天体运动问题中的几个基本要点剖析

天体运动问题中的几个基本要点剖析

万有引力定律的发现为研究天体运动奠定了理论基础．天体运动问题是历年高考中的一个重要考点，此类问题涉及牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动以及功能关系等知识的灵活应用．回顾历年高考以及平时复习训练对天体运动的考查，要掌握好天体运动问题，须把握“一条基本定律、两条解题思路、三种天体模型、四组概念辨析、五个常量的应用”这五个基本要点，下面对这些要点作一剖析．

一．一条基本定律

一条基本定律是指万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

公式：2

2

1r

m m G

F =． 适用条件：适用于两质点间的相互作用，具体应掌握以下三种情况：①两物体间的距离远大于物体本身的线度，两物体可视为质点处理，其距离为两质点间的距离；②两个质量分布均匀的球体间，其距离为两球心间的距离；③一个均匀球体和一个可视为质点的物体之间，其距离为质点到球心的距离．

例1 如图1，在一个半径为R ，质量为M 的均匀球体中紧贴球边缘挖去一个半径为

2

R

的球形空穴后，对位于球心和空穴中心线上，与球心相距d 的质点m 的引力是多大？

解析：完整的均匀球体对球外质点m 的引力为：

21d

Mm G F =．

设挖去的半径为2R 的小球质量为M 1，易得M M 8

1

1=，

若小球未被挖去时，此小球对质点m 的引力为2

212)

2

(8)2(R d Mm

G R d m M G

F -=-=，所以挖去球穴后剩余部分对质点m 的引力为：

2

22

221)2

(8287R

d d R dR d GMm F F F -+-=-=．

点评：此题应用等效的思想运用先“补”后“割”的方法求得不规则物体间的引力大小，方法值得借鉴．

二．两条解题思路

思路一：根据万有引力提供天体做圆周运动时所需的向心力，由牛顿第二定律有：

ma r Mm G ==2（其中r v a 2=、r 2

ω、r T

224π）．

思路二：对地球表面或在其表面附近绕其做圆周运动的物体有：

1

图

mg R

Mm

G

=2（其中2/8.9s m g =）此式也适用于其它天体，只是不同的天体因质量和半径不同，g 的值也不同，g 一般称为天体表面的重力加速度．

例２ 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东京98°和北纬0

40=α，已知地球半径为R ，地球自转周期T ，地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c ，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

解析 设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，T 为卫星绕地心转动的周期，也就是地球自转周期，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

r T m r Mm G

2

2

)2(π= ①

式中G 为万有引力恒量，再由mg R

Mm

G

=2得： 2gR GM = ②

把②代入①得3

2

224π

g

T R r =． 设嘉峪关到卫星的距离为L ，如图２所示，由余弦定理得：

a rR R r L cos 222-+=，

故所求时间为c

L

t =

，由以上各式得： c

a g T R R R g T R t cos )4(2)4(3/12

2223/2222ππ-+=

． 点评：抓住以上两条解题思路是解天体运动问题的关键，同时还要注意其它相关知识的应用．

三．三种天体模型 模型一：“自转”天体

此类天体在绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动，而此类天体表面上的物体（相对天体静止）则以转轴上某一点为圆心做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动．

例3 如图３所示，P 、Q 为质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度处，如果把地球看成是一个均匀球体，则( ) A ．P 、Q 受地球引力大小相等

B ．P 、Q 做圆周运动的向心力大小相等

C ．P 、Q 做圆周运动的周期相等

D ．P 、Q 做圆周运动的线速度大小相等

解析： 设地球质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，P 、Q 两质点受引力均为

2

图

3图

2

R Mm

G

F =引，A 正确；P 、Q 做圆周运动的角速度等于地球自转角速度ω，则P 、Q 做圆周运动周期均为ω

π

=2T ，C 正确；因P 、Q 做圆周运动的半径r 不同，由r m F 2ω=向和

r v ω=知B 、D 均错，故选A 、C ． 模型二：“公转”天体

此类天体在绕另一天体（称为中心天体，认为静止）做匀速圆周运动，其做圆周运动所需的向心力由中心天体对其引力提供，如人造卫星绕地球运动，月球绕地球运动等．

例4 如图4所示，a 、b 、c 是环绕地球的圆形轨道上运行的三颗人造卫星，下列叙述正确的是( )

A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度

B ．b 、c 的周期相等，且大于a 的周期

C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度

D ．b 、c 所需的向心力大小相等 解析： 设地球质量为M ，卫星与地心间距离为r ，由卫星做

圆周运动所需的向心力由地球对其引力提供有：

向ma r T

m r v m r Mm G =π==22

224

式中v 、T 、向a 分别表示卫星绕地球运转时的线速度、周期、向心加速度． 得r

GM

v =

，r 越小，线速度越大，A 错； GM

r T 32π

=，r 越大，周期越大，B 正确；

2

r M

G

a =向，r 越小，向心加速度越大，C 错； 2r

Mm

G F F ==引向，因b 、c 卫星质量m 未知，其向心力大小无法比较，D 错，故应

选B ．

模型三：“双星”天体

“双星”是宇宙中两颗相隔一定距离，且都在围绕其连线上的某点做匀速圆周运动的天体，两颗星做圆周运动的角速度相等．

例5 两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须以一定的角速度绕二者连线上的一点转动才不至于由于万有引力作用而吸在一起，已知两颗星的质量分别为1m 、2m ，相距

L ，试求这两颗星的中心位置和转动的周期．

解析：设两颗星做圆周运动的周期均为T ，转动中心Ｏ距1m 距离为1R ，由两颗星做圆周运动的向心力由两颗星间万有引力提供，有：

12212214R T m L m m G π=，)(4122

2221R L T

m L m m G -=π．

4

图