12-3 波函数 薛定谔方程及简单应用
量子力学-第二章波函数和薛定谔方程
因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种描述微观粒子状态和性质的数学框架。
波函数和薛定谔方程是量子力学中最基本的概念和方程，它们对于理解量子世界起着至关重要的作用。
一、波函数的概念与性质在量子力学中，波函数是描述一个粒子状态的数学函数。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它的本质是由Schrödinger方程产生的解。
波函数的平方的绝对值表示了在给定的坐标和时间点上发现粒子的概率密度。
波函数具有以下几个重要的性质：1. 归一化性：波函数的归一化要求其在整个空间范围内的概率积分为1，保证了粒子存在的概率。
2. 连续性：波函数在连续性要求下需要满足薛定谔方程，保证了粒子的连续性。
3. 可复的性：波函数可复性表示波函数可以是复数形式，具有实部和虚部。
二、薛定谔方程薛定谔方程是描述量子体系中波函数随时间演化的基本方程，由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1926年提出。
薛定谔方程可以用于求解各种量子力学问题，从而得到波函数。
薛定谔方程的一般形式为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
薛定谔方程可以通过对哈密顿算符作用于波函数得到，它描述了波函数随时间的变化规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用波函数和薛定谔方程在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型的例子来说明其在实际问题中的应用。
1. 粒子在势场中的行为：通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在给定势场中的波函数。
根据波函数的模方，可以得到粒子在势场中的概率分布，进而研究其运动规律。
2. 量子力学中的双缝实验：双缝实验是量子力学的经典实验之一。
通过薛定谔方程可以得到双缝实验中的波函数，从而解释了粒子的波粒二象性。
3. 原子与分子结构：波函数和薛定谔方程在原子与分子结构的研究中发挥了关键作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子与分子的能级结构和等离子态。
四、波函数与薛定谔方程的发展与挑战自薛定谔方程提出以来，波函数与薛定谔方程的研究不断发展，并面临着一些挑战。
波函数和薛定谔方程
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
大学物理课件：波函数 薛定谔方程
14.6.2 薛定谔方程
薛定谔方程：适用于低速下微观粒子在力场中运动的 波函数所满足的微分方程称为薛定谔方程. 1.薛定谔方程的建立
a.自由粒子平面波函数：
(x, y,z,t) 0ei[Et(xpx ypy zpz )]/
b.自由粒子的薛定谔方程：
（14.6.4）
2
2 i
2m
t
（14.6.6）
波函数 薛定谔方程 14.6.1 波函数及其统计解释
波函数：由于微观粒子具有波粒二象性，其位置 与动量不能同时确定，所以已无法用经典物理方 法去描述其运动状态，故用波函数描述微观粒子 的运动。
1.经典的波与波函数
机械波：y(x,t) Acos2π(t x )
电磁波：
E ( x,t )
E0
c os 2π(t
c.粒子在外力场中运动且势能为 V
粒子的能量：
E
1 2m
(
px2
py2
pz2
)
V
(x,
y,
z,t)
对应的薛定谔方程：
2
2 V i
2m
t
该方程是关于空间、时间的线性偏微分方程，具有波动 方程的形式。将其应用于微观粒子所得大量结果与实验 符合，薛定谔因此贡献荣获1933年度诺贝尔物理学奖。
2.定态薛定谔方程
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势
能为：
u(x)
, 0,
x 0,x a 0 x a （14.6.15）
Ep
无限深势阱：该势能如图所示形如一
无限深的阱，故称无限深势阱，本问
题为求解该一维无限深势阱内粒子的
o
ax
波函数。
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数
薛定谔方程及简单应用
d2
d x2
k22
0
(0 x a)
1
A1eik1x
B eik1x 1
(x 0)
通解：
2
A2eik 2 x
B eik2x 2
(0 x a)
乘e
i
Et
3 A3eik1x B3eik1x ( x a)
第一项： 向x方向传播的波
[例
A e ] i
(
k1
x
E
t
)
1
第二项： 向-x方向传播的波
入射波+反射波
U0 透射波
o
a
x
隧道效应： 总能量E小于势垒高度U0的粒子也 有可能贯穿势垒，到达另侧
贯穿系数：
T |
2
| e 3 xa
2a 2m(U0 E )
|1 |2x0
a
T
U0
应用举例
1. 解释放射性 衰变
E
4 He
4 He 的 结 合 能 比 较 大 ， 核 内两 个 质 子 和 两 个 中 子
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有E取某些特定值时才有解
本征值
本征函数
4. 讨论解的物理意义，
即求| |2，得出粒子在空间的概率分布。
一、一维无限深势阱
模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 简化模型。
0
0a
a
n=1
x
o a/4
a
a
42 a sin2 x d( x)
0a
aa
a
2
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程是量子力学中两个重要的概念。
波函数是用来描述量子系统状态的数学函数，而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的微分方程。
本文将介绍波函数和薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨它们对量子力学的重要性。
一、波函数的概念和性质1. 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述量子系统的数学函数。
它通常用符号ψ来表示，且是复数函数。
波函数的模的平方表示了找到该系统处于某个状态的概率。
2. 波函数的物理意义波函数的物理意义是描述了量子系统的可能状态和其对应的概率分布。
通过对波函数的求模平方，我们可以得到量子系统在不同状态的概率分布图。
3. 波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即在整个空间内积分后等于1。
归一化条件保证了系统一定会处于某个状态，并且概率总和为1。
二、薛定谔方程的基本形式和解析解1. 薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是描述量子系统波函数在时间上演化的基本方程。
一维情况下，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ式中符号的含义为ħ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
2. 薛定谔方程的解析解对于某些特定的势能函数，薛定谔方程存在解析解。
比如自由粒子情况下的薛定谔方程的解为平面波，简谐振子情况下的薛定谔方程的解为倒谐波。
三、波函数和薛定谔方程的应用1. 粒子在势阱中的行为波函数和薛定谔方程被广泛应用于研究粒子在势阱中的行为。
通过对势能函数和初始条件的设定，可以计算出粒子的波函数演化，并分析粒子的行为，比如能量谱和态密度等。
2. 电子在固体中的行为波函数和薛定谔方程在固体物理学中有着重要的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶体中的波函数，从而研究电子的能带结构、载流子运动以及材料的电导性等性质。
3. 分子和化学反应波函数和薛定谔方程在化学领域中也有广泛的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的波函数，从而研究化学反应的动力学过程、反应速率以及分子能谱等性质。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
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总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
第二章波函数和薛定谔方程
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
（2）3/ 2
exp[
p•
r]
则 Ψ可按Фp 展开
1
i
(r , t)
c(
p,
t )
p
Байду номын сангаас(r
)dp
(2)3/ 2
c( p, t)exp[ p • r ]dpxdpydpz
展开系数
c( p, t)
p
(r
)(r
,
t
)dr
1
（2）3/ 2
(r , t)exp[
i
p • r ]dxdydz
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
P
P
电子源
O
感
Q光
屏
O Q
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，它提出了一种新的描述方式——波函数。
波函数是量子力学的核心概念，它可以用来描述粒子的位置、能量、动量等性质。
而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的数学表达式。
本文将重点讨论波函数与薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数的概念与性质波函数（ψ）是量子力学中对粒子状态的描述。
它是一个复数函数，包含了粒子位置、能量等信息，并且满足归一化条件，即在整个空间内的积分平方和为1。
波函数的模的平方，即|ψ|²表示粒子在某个位置上的出现概率密度。
波函数具有叠加原理，也就是说多个波函数可以叠加形成新的波函数。
这个叠加过程可以用波函数的线性组合来表示，其中各个波函数所对应的系数表示了它们的相对贡献程度。
二、薛定谔方程的形式与意义薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，它是由薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程的一般形式为：Ĥψ = Eψ其中Ĥ为哈密顿算符，E为能量本征值，ψ为波函数。
这个方程描述了体系中的粒子在不同的势场中的运动规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用1. 原子结构与电子行为在原子结构研究中，波函数被用来描述电子在原子核周围的分布情况。
薛定谔方程可以求解出不同原子的能级和电子轨道分布，从而解释和预测原子光谱的性质。
2. 材料物性与波函数分析波函数可以用来研究材料的结构和物性。
通过计算材料中的波函数，可以得到材料的能带结构、电子密度分布等信息，从而揭示其导电性、磁性等特性。
3. 量子力学中的粒子碰撞在粒子碰撞研究中，波函数描述了入射粒子和出射粒子之间的相互作用。
利用薛定谔方程求解波函数，可以计算出散射截面、角分布等碰撞参数。
4. 量子计算和量子通信波函数的叠加性为量子计算和量子通信提供了基础。
量子计算利用波函数的叠加原理，利用量子态的叠加特性进行并行运算，从而加快计算速度；量子通信利用波函数的纠缠性质，实现了安全的信息传输。
量子力学-波函数和薛定谔方程
1. 单电子衍射实验
我们再看一下电子的衍射实验
1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长 时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样。
P
P
电子源
O
Q 图
感 光 屏 Q
单电子衍射实验
单电子衍射实验结果分析：
实验所显示的电子的波动性是许多电子地同一次实 验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中 的统计结果。波函数正是为描写粒子的这种行为而引进 的。 (1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子 到达该处的概率大；“暗纹”处是到达该处的电子数少， 或讲电子到达该处的概率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起， “亮纹”处表示 该处波强度|Ψ(r)|2大；“暗纹”处表示该处波强度|Ψ(r)|2 小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比。
量子力学
Quantum Mechanics 第二章
第二章 波函数 和薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 薛定谔(Schrodinger)方程 (S-方程) §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态薛定谔方程 §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8 势垒贯穿 §2.9 例题
自由粒子的波函数无法正常归一化
自由粒子德布罗意平面波为
Ae
i ( p r Et )
归一化条件为
d =1
2
2
A
d
所以德布罗意平面波无法正常归一化。 （具体如何处理后面将讨论）箱归一化方法
四. 多粒子体系的波函数
(r1 , r2 ,, rN , t ) 描述N个粒子组成的体系的运动状态 玻恩统计解释：
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应用 1 9 8 1年宾尼希和罗 雷尔利用电子的隧道效应 制成 了扫描遂穿 显 微 镜 ( STM ) ，可观测固体表 面原子排列的状况 .
量子围栏照片
1986年宾尼希又研制了原子力显微镜.
自由粒子 (v c) E E k
p 2mEk
2
一维运动自由粒子的含时薛定谔方程
h 2 2Ψ h Ψ 2 i 2 8π m x 2π t
2 粒子在势能为 Ep的势场中运动
E Ek Ep
一维运动粒子的含时薛定谔方程
h Ψ h Ψ 2 Ep ( x, t )Ψ i 2 8π m x 2π t
8π m ( E Ep ) 0 2 h
定态波函数 ( x, y , z )
例如，氢原子的定态薛定谔方程 2 e Ep 2 4πε0 r
8π m e 2 (E ) 0 2 h 4πε0 r
2 2 2
定态波函数性质 (1) 能量 E 不随时间变化. 2 (2) 概率密度 不随时间变化.
(1)是固体物理金属中自由电子的简化 模型； (2)数学运算简单，量子力学的基本概 念、原理在其中以简洁的形式表示出来 .
Ep , x 0, x a
0, ( x 0, x a)
Ep 0, 0 xa
Ep
o
a
x
d 2 8π 2 mE 0 2 2 dx h
从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数
1
o
2
3
x
a
当粒子能量 E < Ep0 时，从经典理论来 看, 粒子不可能穿过进入 x a 的区域 .但用 量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒， 事实表明，量子力学是正确的.
粒子的能量虽不足以超越势垒 ,但在势垒 中似乎有一个隧道, (x) 能使少量粒子穿过 1 2 3 而进入 x a 的区 a o x 域，此现象人们形 象地称为隧道效应. 隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波 粒二象性.
某一时刻整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
标准条件
Ψ
2
dV 1 (束缚态)
波函数必须是单值、连续、有限的函数.
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学,并建立了 量子力学的近似方法 . 1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
Ep
nπ ( x) A sin x a
归一化条件
2 a 2 A sin 0
o
a
x
2
dx dx 1
* 0
a
nπ xdx 1 a
2 A a
得
nπ k a
2 A a
Ep
( x) A sin kx
o
a
x
2 nπ ( x) sin x , (0 x a ) a a
一
波函数及其统计解释
1 波函数
由于微观粒子具有波粒二象性，其位 置与动量不能同时确定. 所以已无法用经典 物理方法去描述其运动状态.
用波函数来描述微观粒子的运动.
(1) 经典的波与波函数
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t ) 电磁波 x H ( x, t ) H 0 cos 2π (t ) 经典波为实函数
讨论： 1 粒子能量量子化
h2 En n 2 2 8ma
Ep
能
量
o
a
x
基态 能量 激发态能量
h2 E1 , (n 1) 2 8ma
h2 En n 2 n 2 E1 , (n 2,3,) 8ma 2
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
2 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同 波 函 数
波动方程
d 2 8 π 2 mE 0 2 2 dx h
波函数
Байду номын сангаасp
(x)
0 , ( x 0, x a) 2 nπ sin x , (0 x a) a a
o
a
x
概率密度 能量
2 2 nπ ( x) sin x a a
2
h2 2 En n 8ma 2
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 8π m ( E Ep ) ( x) 0 2 2 dx h
2
三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
2 2 2 8 π 2 m 2 2 ( E Ep ) 0 2 2 x y z h
拉普拉斯算子
2 2
2 2 2 2 2 2 x y z 2
2 2
3 粒子在恒定势场中的运动
p2 E Ep 2m
Ep ( x)与时间无关
Ψ ( x, t ) 0e
0e
( x) 0 e
2
i 2 π ( Et px ) / h
i 2 πpx / h i 2 πEt / h
e
( x) (t )
i 2 πpx / h
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t ) 0e
i
2π ( Et px ) h
2 波函数的统计意义 概率密度 表示在某处单位体积内粒子 出现的概率
Ψ *
2
正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子的概率为
Ψ dV ΨΨ dV
*
2
可见，德布罗意波(或物质波)与机械波、 电磁波不同，是一种概率波.
x a, A sin ka 0
Ep
sin ka 0
sin ka 0, ka nπ
nπ k , n 1,2,3, a
8π mE k h2
2
o
a
x
量子数
h2 E n2 8ma 2
( x) A sin kx
nπ k , n 1,2,3, a
8 π 2 mE k 2 h
d 2 k 2 0 dx 2
d 2 k 0 2 dx
2
Ep
( x) A sin kx B cos kx
o
a
x
波函数的标准条件：单值、有限和连续 .
x 0, 0, B 0
( x) A sin kx
( x)
2 nπ sin x a a
概率密度
2 2 nπ ( x) sin ( x) a a
2
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大
3 波函数为驻波形式，阱壁处为波节， 波腹的个数与量子数 n 相等
( x ) A sin
n4
n
nπ x a
( x) 2
二 薛定谔方程
1 自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t ) 0e
i
2π ( Et px ) h
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ 4π p Ψ 2 2 x h
2 2 2
Ψ i2π EΨ t h
机械波
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
y ( x, t ) Re[ Ae
x i 2 π (t )
]
(2)量子力学波函数(复函数)
描述微观粒子运动的波函数 Ψ( x, y, z , t )
E h 微观粒子的波粒二象性 h p 自由粒子的能量和动量是确定的，其 德布罗意频率和波长不变 ，可认为是一平 面单色波. 波列无限长，根据不确定原理 ， 粒子在 x方向上的位置完全不确定.
波函数的标准条件：单值、有限和连续 (1)
x, y , z
2
dxdydz 1 可归一化
, , (2) 和 连续 x y z
(3) ( x, y, z ) 为有限的、单值函数
三 一维势阱问题
粒子势能 Ep 满足边界条件
0, 0 x a Ep Ep , x 0, x a
2 nπ sin 2 x a a 2 n
16E1
n3
9E1 4E1 E1
n2
n 1
x0
a
x0
a
Ep 0
四 一维方势垒
一维方势垒
隧道效应
Ep ( x)
0, x 0, x a Ep ( x) Ep0, 0 x a
粒子的能量
Ep0
o
a
x
E Ep0
隧道效应
(x)