离散数学测试题 第6章自测题
离散数学-第六章集合代数课后练习习题及答案
第六章作业评分要求：1. 合计57分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).3. 总得分在采分点1处正确设置.一有限集合计数问题(合计20分: 每小题10分, 正确定义集合得4分, 方法与过程4分, 结果2分)要求: 掌握集合的定义方法以及处理有限集合计数问题的基本方法1 对60个人的调查表明, 有25人阅读《每周新闻》杂志, 26人阅读《时代》杂志, 26人阅读《财富》杂志, 9人阅读《每周新闻》和《财富》杂志, 11人阅读《每周新闻》和《时代》杂志, 8人阅读《时代》和《财富》杂志, 还有8人什么杂志也不读.(1) 求阅读全部3种杂志的人数;(2) 分别求只阅读《每周新闻》、《时代》和《财富》杂志的人数.解定义集合: 设E={x|x是调查对象},A={x|x阅读《每周新闻》}, B={x|x阅读《时代》}, C={x|x阅读《财富》}由条件得|E|=60, |A|=25, |B|=26, |C|=26, |A∩C|=9, |A∩B|=11, |B∩C|=8, |E-A∪B∪C|=8 (1) 阅读全部3种杂志的人数=|A∩B∩C|=|A∪B∪C|－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)=(60-8)－(25+26+26)+(11+9+8)=3(2) 只阅读《每周新闻》的人数=|A－B∪C|=|A－A∩(B∪C)|=|A－(A∩B)∪(A∩C)|=|A|－(|A∩B|+|A∩C|－|A∩B∩C|)=25－(11+9-3)=8同理可得只阅读《时代》的人数为10, 只阅读《财富》的人数为12.2 使用容斥原理求不超过120的素数个数.分析:本题有一定难度, 难在如何定义集合. 考虑到素数只有1和其自身两个素因子, 而不超过120的合数的最小素因子一定是2,3,5或7(比120开方小的素数), 也就是说, 不超过120的合数一定是2,3,5或7的倍数. 因此, 可定义4条性质分别为2,3,5或7的倍数, 先求出不超过120的所有的合数, 再得出素数的个数.解定义集合: 设全集E={x|x∈Z∧1≤x∧x≤120}A={2k|k∈Z∧k≥1∧2k≤120},B={3k|k∈Z∧k≥1∧3k≤120},C={5k|k∈Z∧k≥1∧5k≤120},D={7k|k∈Z∧k≥1∧7k≤120}.则不超过120的合数的个数=|A∪B∪C∪D|－4 (因为2,3,5,7不是合数)=(|A|+|B|+|C|+|D|)－(|A∩B|+|A∩C|+|A∩D|+|B∩C|+|B∩D|+|C∩D|)+(|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|)－|A∩B∩C∩D|－4=(60+40+24+17)－(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)－0－4 (理由见说明部分)=89因此不超过120的素数个数=120－1－89=30 (因为1不是素数)说明: |A|=int(120/2); |A⋂B|=int(120/lcd(2,3));|A⋂B⋂C|=int(120/lcd(2,3,5)); |A⋂B⋂C⋂D|=int(120/lcd(2,3,5,7)).二集合关系证明1 设A,B,C是任意集合, 证明(1) (A－B)－C=A－(B∪C)(2) A∩C⊆B∩C ∧A－C⊆B－C ⇒A⊆B(合计12分: 每小题6分; 格式3分, 过程每错一步扣1分)证明(1) 逻辑演算法: ∀x,x∈(A－B)－C⇔x∈(A－B)∧¬x∈C (－定义)⇔(x∈A∧¬x∈B)∧¬x∈C (－定义)⇔x∈A∧(¬x∈B∧¬x∈C) (∧的结合律)⇔x∈A∧¬(x∈B∨x∈C) (德摩根律)⇔x∈A∧¬x∈B∪C (∪定义)⇔x∈A－B∪C (－定义)所以(A－B)－C=A－(B∪C).集合演算法(A－B)－C=(A∩~B)∩~C (补交转换律)=A∩(~B∩~C) (∩的结合律)=A∩~(B∪C) (德摩根律)=A－(B∪C) (补交转换律)得证.(2) 逻辑演算法: ∀x,x∈A⇔x∈A∩(C∪~C) (排中律, 同一律)⇔x∈(A∩C)∪(A∩~C) (∪对∩的分配率)⇔x∈A∩C∨x∈A－C (∪的定义, 补交转换律)⇒x∈B∩C∨x∈B－C (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C) ⇔x∈(B∩C)∪(B－C) (∪的定义)⇔x∈(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)⇔x∈B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)⇔x∈B (排中律, 同一律)所以A⊆B.集合演算法A=A∩(C∪~C) (同一律, 排中律)=(A∩C)∪(A∩~C) (∩对∪的分配率)=(A∩C)∪(A－C) (补交转换律)⊆(B∩C)∪(B－C) (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C)=(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)=B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)=B (排中律, 同一律)得证.方法三因为A∩C⊆B∩C, A－C⊆B－C, 所以(A∩C)∪(A－C)⊆(B∩C)∪(B－C)|, 整理即得A⊆B, 得证.2 求下列等式成立的充分必要条件(1) A－B=B－A(2) (A－B)∩(A－C)=∅(合计10分: 每小题5分; 正确给出充分必要条件2分, 理由3分)解(1) A－B=B－A方法一两边同时∪A得: A=(B－A)∪A=B∪A ⇒B⊆A; 同理可得A⊆B, 综合可得A=B.另一方面, 当A=B时显然有A－B=B－A. 因此所求充要条件为A=B.方法二∀x,x∈A－B∧x∈B－A⇔x∈(A－B)∩(B－A)⇔x∈∅所以A－B=B－A⇔A－B=∅∧B－A=∅⇔A⊆B ∧B⊆A⇔A=B因此A=B即为所求.(2) (A－B)∩(A－C)=∅⇔(A∩~B)∩(A∩~C)=∅⇔A∩(~B∩~C)=∅⇔A∩~(B∪C)=∅⇔A－(B∪C)=∅⇔A⊆B∪C所以A⊆B∪C即为所求充要条件.说明: 这类题型一般先求出必要条件, 再验证其充分性.三设全集为n元集, 按照某种给定顺序排列为E={x1,x2,…,x n}. 在计算机中可以用长为n的0,1串表示E的子集. 令m元子集A={x i1,x i2,…,x im}, 则A所对应的0,1串为j1j2…j n, 其中当k=i1,i2,…,i m时j k=1, 其它情况下j k=0.例如, E={1,2,…,8}, 则A={1,2,5,6}和B={3,7}对应的0,1串分别为11001100和00100010.(1)设A对应的0,1串为10110010, 则~A对应的0,1串是什么?(2) 设A与B对应的0,1串分别为i1i2…i n和j1j2…j n, 且A∪B, A∩B, A－B, A⊕B对应的0,1串分别为a1a2…a n, b1b2…b n, c1c2…c n, d1d2…d n, 求a k,b k,c k,d k, k=1,2,…,n.(合计15分: (1)3分; (2)12分, 每个结果正确2分, 求解过程4分)解下述运算是二进制数的位运算(1) 01001101(2) a k=i k∨j k, b k=i k∧j k, c k=i k∧¬j k, d k=(i k∧¬j k)∨(¬i k∧j k).说明: 这里c k和d k的求解可以使用主范式求解.c k,d k的真值表如下k kc k⇔m2=i k∧¬j kd k⇔m1∨m2=(¬i k∧j k)∨(i k∧¬j k).。
离散数学-第六章习题答案
第6章习题答案1．列举出从X到Y的关系S的各元素（1）X={0，1，2}，Y={0，2，4}，S={<x，y>|x+y∈X⋂Y}（2）X={1，2，3，4，5}，Y={1，2，3}，S={<x，y>|x=y2，x∈X，y∈Y}解：（1）S={<0，0>，<0，2>，<2，0>}（2）S={<1，1>，<4，2>}2．设P={<1，2>，<2，4>，<3，3>}Q={<1，3>，<2，4>，<4，2>}求dom（P），ran（P），并证明：dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）解：dom（P）={1，2，3}ran（P）={2，3，4}证明：对于任意xx∈dom（P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P∨<x，y>∈Q）⇔∃y（<x，y>∈P）∨∃y（<x，y>∈Q）⇔ x∈dom（P）∨x∈dom（Q）⇔ x∈dom（P）⋃dom（Q）所以，dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）3．若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。
证明：设R和S是集合A上的关系。
因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有<x，x>∈R和<x，x>∈S。
因此<x，x>∈R⋂S，即R⋂S是自反的。
因为R和S是对称的，所以对于任意<x，y>，<x，y>∈R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S⇔<y，x>∈R∧<y，x>∈S⇔<y，x>∈R⋂S因此，R⋂S是对称的。
因为R和S是传递的，所以对于任意<x，y>和<y，z><x，y>∈R⋂S ∧<y，z>∈ R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S∧<y，z>∈ R∧<y，z>∈ S⇔（<x，y>∈R∧<y，z>∈ R）∧（<x，y>∈S ∧<y，z>∈ S）⇔<x，z>∈R∧<x，z>∈ S⇔<x，z>∈R⋂S因此，R⋂S是传递的。
离散数学智慧树知到答案章节测试2023年天津大学
第一章测试1.下列语句（）是命题。
A:我只知道一件事情，就是我什么也不知道。
B:你正在说谎。
C:岂有此理？D:请打开门！答案:B2.设命题公式A为¬ (p∧¬q)∨(p→r)。
则在p、q、r的下列真值指派（）下，A的真值为假。
A:0、1、1B:1、0、0C:1、1、0D:0、0、1答案:B3.下列字符串（）是命题公式。
A:p→rB:(p→r)C:¬ (p∧¬q)∨(p→r)D:(¬ (p∧¬q))答案:B4.下列公式（）是公式¬(p∧¬q)∨(p→r)的合取范式。
A:(¬p∨q)∧rB:(¬p∨q)∧(¬p∨r)C:¬p∨q∨¬p∨rD:q∧(¬p∨r)答案:C5.公式¬(p∧¬q)∧(p→r)不能逻辑蕴含（）。
A:¬p∧qB:¬pC:¬p∨rD:(¬p∨q)∧r答案:D6.公式¬ (p∧¬q)∧(p→r)等价于（）。
A:¬p∨(q∧r)B:¬p∨(¬q∧r)C:(¬p∧q)→(p→r)D:(p∧¬q)→(p→r)答案:A第二章测试1.设P(u)：u是运动员，Q(u)：u是大学生。
则命题“存在运动员是大学生”被翻译为（）。
A:∃x(P(x)∧Q(x))B:∃x(P(x)→Q(x))C:∃x(P(x)∨Q(x))D:∃xQ(x)答案:A2.设P和Q是谓词，则下列字符串（）是一元命题函数。
A:∃x(P(u, x)∨Q(u))B:P(u, v)∧Q(u)C:∃xQ(x)D:P(u, u)→Q(v)答案:A3.下列字符串（）是谓词公式。
A:¬P(u, u)→Q(v)B:∃xP(x, x)C:P(u, v)∧Q(u)D:∃x∀xP(x, x)答案:B4.对于公式¬∃x(¬P(u, x)→∀yQ(y))，∃x的作用域是（）。
离散数学智慧树知到课后章节答案2023年下济宁医学院
离散数学智慧树知到课后章节答案2023年下济宁医学院济宁医学院第一章测试1.答案:2.设P：我将去市里，Q：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间”符号化为答案:3.答案:4.下列公式是重言式的为答案:5.答案:永真式6.下列表述成立的为答案:7.下列结论中不正确的是答案:任意两个不同的布尔小项的析取式必为永真式8.答案:9.答案:必要而非充分条件10.答案:11.一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的答案:主析取范式12.下面4个推理定律中，不正确的是答案:13.答案:14.下列语句中哪个是真命题答案:如果疑问句是命题，那么地球将停止转动.15.答案:5第二章测试1.答案:矛盾式2.设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是答案:3.答案:4.下面给出的一阶逻辑等价式中，错误的是答案:5.答案:6.答案:与谓词变元和论述域都无关7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:第三章测试1.答案:2.答案:反自反的3.答案:4.答案:5.答案:6.下列关系中等价关系的是答案:n阶方阵之间的相似关系7.答案:8.下列命题中结论正确的是答案:9.答案:无、2、无、2 10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:对称闭包15.下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是答案:第四章测试1.代数系统中若存在左幺元、右幺元，则左幺元，右幺元不一定相等.答案:错2.一个代数系统中若存在左零元、右零元，则左零元，右零元一定相等。
答案:对3.一个代数系统中若存在左逆元、右逆元，则左逆元，右逆元必相等。
答案:错4.代数系统若存在单位元，则单位元是唯一的。
对5.代数系统若存在单位元，零元则单位元必与零元相等。
答案:错第五章测试1.独异点中的元素必有逆元.答案:错2.答案:错3.对4.答案:对5.独异点是含幺半群.答案:对第六章测试1.群必为半群.答案:对2.群必为独异点.答案:对3.群中并不是每个元素均有逆元.答案:错4.群中无零元.答案:对5.群和其子群共用一个单位元.答案:对第七章测试1.答案:2.答案:等价关系3.答案:4.下面四组数不能构成无向图的度数列的答案:5.答案:6.答案:67.答案:128.答案:9.下列哪一种图不一定是树答案:对每对结点间都有通路的图10.答案:11.答案:12.答案:图(d)是强连通的13.答案:14.答案:15.答案:。
离散数学测试题第6章自测题
离散数学测试题第6章⾃测题第6章⾃测题⼀、填空题(每⼩题3分，共15分)1. 对于n 阶简单⽆向图图G ，若其边数为m ，则G 的补图G 的边数为( ).2. 任意n 阶简单图G 有≤?)(G ( ).3. 3K 的所有不同构的⾮空⼦图有( )个.4. 设有向图G = (V , E )，V = {v 1，v 2，v 3，v 4}，若G 的邻接矩阵A =1001001111011010, 则v 1的出度od(v 1) =________, v 1的⼊度id(v 1) =________, 从v 2到v 4长度为2的路有________条.5.在边赋权图中, 从节点u 到节点v 的路中, ( )的路称为u 到v 的最短路径.⼆、单选题(每⼩题3分，共15分)1. ⼀个连通⽆向图有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，那么它的节点个数是≤（）(A) 17 (B) 18(C) 19 (D) 20.2. 4阶完全⽆向图4K 中含3条边的不同构的⽣成⼦图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2.3. 设G 是简单图，G 是G 的补图，若G G ?，则称G 为⾃补图. 5阶不同构的⾃补图个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.4. 在任意n 阶连通图中，其边数( ).(A)⾄多n – 1条. (B)⾄少n – 1条. (C)⾄多n 条. (D) ⾄少n 条5. 任何⽆向图中，节点之间的可达关系是( )关系.(A)等价. (B)相容. (C)偏序. (D)拟序三、判断题(每⼩题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设G 是简单⽆向图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )2. 设G 是简单⽆向图，则G 或G 是连通图. ( )3. 若⽆向图G 中恰有两个度数为奇数的节点，则该两点必可达. ( )4. 设G有12条边，6个3度节点，其余节点度数⼩于3，则G⾄少有9个节点. ( )5.存在度数序列为7, 5, 4, 2, 2, 1的图. ( )四、(15分)若n个⼈，每个⼈恰有3个朋友，则n必为偶数，试证明之.五、(15分)下图给出了⼀个有向图.(1) 求出它的邻接矩阵A和可达矩阵P.(2) 求出A2，A3，A4..六、(15分) 证明：在⾄少两个⼈的⼈群中，必有两个⼈有相同个数的朋友.七、(10分)证明：⼀个图是强连通的，当且仅当图中有⼀个回路，它⾄少包含每个结点⼀次.。
离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第6章习题解答6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对给定运算的封闭性,具体方法已在5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法.1°给定集合S和二元运算°,判定<S, °>是否构成关群、独导点和群.根据定义，判别时要涉及到以下条件的验证：条件1 S关于°运算封闭：条件2 °运算满足结合集条件3 °运算有幺元，条件4 °∀x∈S,x−1∈S.其中关群判定只涉及条件1和2；独导点判定涉及条件1、2、和3；而群的判定则涉及到所有的四个条件。
2 ° 给定集合S和二元运算°和*，判定<S, °, *>是否构成环,交换环,含幺环,整环,域.根据有关定义需要检验的条件有:条件1 <S, °>S构成交换群,条件2 <S, *> 构成关群,条件3 * 对°运算的分配律,条件4 * 对运算满足交换律,条件5 * 运算有幺元,条件6 * 运算不含零因子——消去律，条件7 |S|≥2,∀x∈S,x≠0,有x−1∈S（对*运算）.其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件. 3° 判定偏序集<S,≤>或代数系统<S,o,*>是否构成格、分本配格、有补格和布尔格. 73若<S,≤>为偏序集,首先验证∀x,y∧y和x∨y是否属于S.若满足条件则S为格,且<S,∨,∧>构成代数系统.若<S,o,*>是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律，则<S,o,*>构成格。
离散数学试卷及答案(6)
一、 填空 15% （每小题 3分）1、 n 阶完全图结点v 的度数d(v) = 。
2、 设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = 。
3、 算式 )*()*)*(((f e d c b a ÷+的二叉树表示为。
4、 如图给出格L ，则e 的补元是 。
5、 一组学生，用二二扳腕子比赛法来测定臂力的大小，则幺元是 。
二、选择 15% （每小题 3分）1、设S={0,1,2,3},≤为小于等于关系，则{S ，≤}是（ ）。
A 、群；B 、环；C 、域；D 、格。
2、设[{a , b , c}，*]为代数系统，*运算如下：则零元为（ ）。
A 、a ；B 、b ；C 、c ；D 、没有。
3、如右图相对于完全图K 5的补图为（ ）。
4、一棵无向树T 有7片树叶，3个3度顶点，其余顶点均为4度。
则T 有（ ）4度结点。
A 、1；B 、2；C 、3；D 、4。
5、设[A ，+，·]是代数系统，其中+，·为普通加法和乘法，则A=（ ）时，[A ，+，·]是整环。
A 、},2|{Z n n x x ∈= ；B 、},12|{Z n n x x ∈+= ；C 、},0|{Z x x x ∈≥且 ；D 、},,5|{4R b a b a x x ∈+=。
三、证明 50%1、设G 是（n,m ）简单二部图，则42n m ≤。
（10分）2、设G 为具有n 个结点的简单图，且)2)(1(21-->n n m ，则G 是连通图。
（10分） 3、记“开”为1，“关”为0，反映电路规律的代数系统[{0，1}，+，·]的加法运算和乘法运算。
如下：证明它是一个环，并且是一个域。
（14分）4、 ],,[⊕⊗L 是一代数格，“≤”为自然偏序，则[L ，≤]是偏序格。
（16分）四、10%设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式（10分）五、10%如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信成路造价（单位：万元），试给出一个设计方案，使得各城市之间既能够通信又使总造价最小。
离散数学智慧树知到答案章节测试2023年武汉科技大学
第一章测试1.若P：天下雨；Q：他来了；则“虽然天下雨，他还是来了”，可符号化为( )A:P∧QB:P→QC:P∨┐QD:P∨Q答案:A2.以下命题公式中，为永真式的是( )A:(Q∨┐P)→(P∧┐P)B:(P→┐P)→┐PC:┐(Q→Q∧P)D:P∧(P∨Q∨R)答案:B3.命题公式的能成真赋值的P,Q的值为（）A:11B:01C:10D:00答案:ABD4.命题公式的能成假赋值的P,Q的值为（）A:10B:00C:11D:01答案:ABD5.G=P→(P∧(Q→P))主析取范式中所含的极大极小项有（）A:P∧QB:¬P∧¬QC:¬P∨QD:P∨QE:P∧¬QF:¬P∨¬QG:P∨¬QH:¬P∧QI:无答案:ABEH6.G=P→(P∧(Q→P))主合取范式中所含的极大极小项有（）。
A:P∧QB:无C:¬P∧QD:此项必选E:P∨¬QF:P∧¬QG:¬P∨¬QH:¬P∨QI:P∨QJ:¬P∧¬Q答案:BD7.(P→Q)∧Q的主合取范式中所含的极大极小项有（）。
A:¬P∧QB:P∨QC:P∧¬QD:¬P∨QE:无F:P∧QG:¬P∧¬QH:¬P∨¬QI:P∨¬Q答案:BD8.(P→Q)∧Q的主析取范式中所含的极大极小项有（）。
A:P∨¬QB:¬P∧QC:¬P∨¬QD:P∧QE:P∧¬QF:无G:¬P∨QH:¬P∧¬QI:P∨Q答案:BD9.设前提集合Γ={P∨Q, R∧S, ┐Q},公式G=P∧S,，证明Γ=＞G。
证明：（1）┐Q P（2）P∨Q P（3） T,1),2),I （4）R∧S P（5） T,4），I（6）P∧S T,3),5),I 按顺序选出(3）和(5）处应该填的内容（）A:¬PB:SC:RD:P答案:BD10.使用演绎法构造下列推理的证明。
离散数学五、六章检测题及答案
离散数学五、六章检测题及答案《离散数学》五、六章检测题一、填空题 1．设,G *是一个群，则对任意的,a b G ∈均有1)(-*b a = 。
2．设Z 是整数集，在Z 上定义二元运算*为a b a b a b *=++?，其中+和?是数的加法和乘法，则代数系统的幺元是 0 ，零元是 -1 。
3．代数系统〈Z ，+〉（Z 为整数集，+为普通加法）中，Z 关于“+”的幺元为，零元为，任意x Z ∈，1-x ＝。
（0，无，x -）代数系统〈Q ，?〉（Q 为有理数集，?为普通乘法）中，Q Z 关于“?”的幺元为 1 ，任意x ∈Q ，0,x ≠1-x ＝。
1/x4．设S 为非空集合，()P S 为集合S 的幂集。
代数系统〈(),,P S 〉中，()P S 关于“ ”的幺元为，零元为，()P S 关于“ ”的幺元为，零元为。
,,,S S ΦΦ5．设,G *是一个群，a G ∈，则11()a --= 。
a6．对于整数集Z 上定义的运算*： 2a b a b *=+-，其中+是数的加法，则,Z * 的幺元为，任意元素a 的逆元为。
（2，14aa -=-）7．设,*G 是群，若G 中存在一个元素a ，使得G 中任意元素都可由a 的幂生成，则称该群是____，元素a 称为该群的________。
循环群，生成元8．设{1,2}A =，A 上的运算*定义为：min(,),,x y x y x y A *=?∈，则*的运算表为。
9．设群,G *中，1G >，e 为其幺元，若元素a G ∈的逆元素为b G ∈，则a b *的运算结果是。
e 10．设〈A ,+，·〉是一个代数系统，θ是A 关于“+”的幺元，如果满足，则称〈A ,+，·〉是域。
11．设,G *是一个群，,B G B ?≠Φ，且B 有限，则,B *是,G *的子群当且仅当。
B 关于*封闭12．设{1,,}S a b =，且〈,S *〉是以1为幺元的群，则2b = , 3a = ．（a ；1） 13．设,A ≤是一个有界格，如果A 中任意元素都，则称,A ≤是一个有补格。
离散数学6章理解练习知识题及答案解析
离散数学练习题第一章一．填空1.公式)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧的成真赋值为 01；102.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →⌝↔→的真值为 03.公式)()()(q p q p q p ∧∨⌝∧↔⌝与共同的成真赋值为 01；104.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。
二．将下列命题符合化 1.7不是无理数是不对的。
解：)(p ⌝⌝，其中p: 7是无理数； 或p ，其中p: 7是无理数。
2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。
解：其中,q p ∧⌝p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研3.只有不怕困难，才能战胜困难。
解：p q ⌝→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或q p ⌝→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。
解：)(q p r →→⌝，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧⌝)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。
解：q p ↔，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除三、求复合命题的真值P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨2.r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为02. r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()((的真值为1四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数，推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。
y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。
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第6章自测题
一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 对于n 阶简单无向图图G ，若其边数为m ，则G 的补图G 的边数为( ).
2. 任意n 阶简单图G 有≤∆)(G ( ).
3. 3K 的所有不同构的非空子图有( )个.
4. 设有向图G = (V , E )，V = {v 1，v 2，v 3，v 4}，若G 的邻接矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001001111011010, 则v 1的出度od(v 1) =________, v 1的入度id(v 1) =________, 从v 2到v 4长度为2的路有________条.
5.在边赋权图中, 从节点u 到节点v 的路中, ( )的路称为u 到v 的最短路径.
二、单选题(每小题3分，共15分)
1. 一个连通无向图有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，那么它
的节点个数是≤（ ）
(A) 17 (B) 18
(C) 19 (D) 20.
2. 4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有
(A)3 (B)4 (C)5 (D)2.
3. 设G 是简单图，G 是G 的补图，若G G ≅，则称G 为自补图. 5阶不同构的自补
图个数为( ).
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.
4. 在任意n 阶连通图中，其边数( ).
(A)至多n – 1条. (B)至少n – 1条. (C)至多n 条. (D) 至少n 条
5. 任何无向图中，节点之间的可达关系是( )关系.
(A)等价. (B)相容. (C)偏序. (D)拟序
三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.
1. 设G 是简单无向图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )
2. 设G 是简单无向图，则G 或G 是连通图. ( )
3. 若无向图G 中恰有两个度数为奇数的节点，则该两点必可达. ( )
4. 设G有12条边，6个3度节点，其余节点度数小于3，则G至少有9个节点. ( )
5.存在度数序列为7, 5, 4, 2, 2, 1的图. ( )
四、(15分)若n个人，每个人恰有3个朋友，则n必为偶数，试证明之.
五、(15分)下图给出了一个有向图.
(1) 求出它的邻接矩阵A和可达矩阵P.
(2) 求出A2，A3，A4.
.
六、(15分) 证明：在至少两个人的人群中，必有两个人有相同个数的朋友.
七、(10分)证明：一个图是强连通的，当且仅当图中有一个回路，它至少包含每个结点一次.。