四边形综合复习讲义【重点】

第四章四边形综合知识点：一、平行四边形1、平行四边形（1）平行四边形定义：（2）平行四边形的性质：①②③④对称性（3）平行四边形的判定：①②③④2、菱形（1）菱形定义：（2）菱形的性质：①②③④对称性菱形的面积=（3）菱形的判定：①②③3、矩形（1）矩形定义：（2）矩形的性质：①②③④对称性（3）矩形的判定：①②③4、正方形（1）正方形定义：（2）正方形的性质：①②③④对称性（3）正方形的判定：①②③④二、梯形梯形的分类：（1）等腰梯形定义：（2）等腰梯形性质：①②③④对称性（3）等腰梯形的判定：①②③H GFEDCBAG FE DC BA例题解析：例1、．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。

其中正确的是（ ） （A ）①②.（B ）①②③.（C ）②③④ （D ）①②③④。

例2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．例3、如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定．．是．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：（2满．足．怎样的条件？例4、如图所示,ABCD 中,AE,AF 是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE 交AF 于G. (1)求 的面积;(2)求△ECD 的面积;(3)求证:△AEG 为等边三角形.例5、矩形ABCD 中，AB=2，AD=．（1）在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（2）若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：点B 平分线段AF ；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．例6、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .求出y 关于x 的函数关系式例7、如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1=∠2=∠3，BD=CD ，∠ADB=90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ． (1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3)若O 为AB 中点，求证：OF=BE ．例8、如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

（1）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明。

（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③ 中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

① DM 的延长线交CE 于点N ，且AD ＝NE ；② 将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下且CF ＝2AD 。

（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。

探究：线段MD 、 MF 的关系，并加以证明。

课后练习：一、 选择题1、下列命题中，正确的是（ ）A 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；B 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；C 对角线互相平分且相等的四边形一定是正方形；D 两条对角线相等的四边形是矩形．2、如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是（ ） A 平行四边形； B 梯形； C 对角线相等的四边形； D 对角线垂直的四边形．3、若等腰梯形的对角线互相垂直，且中位线长是10，则它的面积为（ ） A 、50 B 、100 C 、150 D 、2004、下列图形中，面积最大的是（ ）图1G 图 3A B C P DEA 、边长为正方形B 、边长为2，高为1的平行四边形C 、对角线长分别为4和1的菱形D 、中位线长为2，高为2的梯形。

5、七边形的对角线的条数是（ ） A 10 B 12 C 14 D 166、下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A 平行四边形 B 等边三角形 C 矩形 D 等腰梯形7、如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AC=3cm ，BD=4cm.作DE ∥AC ，交BC 的延长线于E ，则下列结论:(1) 四边形ACED 是平行四边形. （2）∠BDE=∠BOC=900;(2) BC+AD=BE=5cm; (4)梯形ABCD 的高 DH==2.4cm,面积为 6cm 2；（５）S 梯形ABCD =S ΔBDE .。

其中正确的有（ ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个8、如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF•的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1G FH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2I HJ 的中心O 3，再从O 3走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）A ．36mB ．48mC ．96cmD ．60m9、把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ）A．cmB ．(10 cmC ．22cmD ．18cm10、在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC 、BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则的值为（ ）A. B. C.D.二、填空题1、一个多边形内角和为，则它的边数为______，共有对角线______条，外角和为______。

2、一个多边形除去一个内角外,其余内角的和为25700,则这个多边形的边数是____.3、•如图，•是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm 的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm ，则∠1=_____3cm3cm4．如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线交点，AE ⊥BD 垂足为E 。

若OE ：OD=1：2，AE=3cm,则DE= cm.5、如图，正方形ABCD 的边长为1，EF 分别在BC 、CD 上，∠EAF=45º，若ΔCEF 的面积为41，则ΔEAF 的面积为6、如图，正方形ABCD ，以AB 为边分别在正方形内、外作等边△ABE 、△ABF ，则∠CFB=_______，若AB=4，则AFBE 四边形S =_________.7、 如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，90ADC BCD ∠+∠=，且2DC AB =，分别以DA AB BC ，，为边向梯形外作正方形，其面积分别为123S S S ，，，则123S S S ，，之间的关系是 ．8、如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=；依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．9、如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2EF BE =，则AFC S =△ 2cm ．10、如图，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米。

则△CDE 的面积等于 平方厘米三、解答题1、如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE (1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论.ABCDEFE BCDA FDC1D B 3AC 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1ADCEF GBBAECDFG2、如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．3、梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是AD 的中点，证明①如果AB+CD=BC ，则有∠DEC=90°和CE 是∠DCB 的平分线 ②如果∠BEC=90°，则有AB+CD=BC ③若△DEC 的面积是12，求梯形ADCB 的面积4、如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．5、如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形． （1）求四边形ABCD 四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，•请你画出示意图．6、如图，在Rt ABC △与Rt ABD △中，90ABC BAD ∠=∠=，AD BC AC BD =，，相交于点G ，过点A 作AE DB ∥交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF CA ∥交DA 的延长线于点F AE BF ，，相交于点H ．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明四边形AHBG 是菱形；（3）若使四边形AHBG 是正方形，还需在Rt ABC △的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）A B C O FEF D O CB E AA BC DＢ Ｅ ＦCQ P F A B C D E 7、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． （1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？8、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．9、四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 移动。