【聚焦中考】2017中考数学(河南地区) 一轮复习资料考点跟踪突破9 不等式(组)及不等式的应用
【聚焦中考】2019年中考数学 考点聚焦 第2章 方程与不等式 跟踪突破9 不等式(组)及不等式的应用试题
【聚焦中考】2019年中考数学 考点聚焦 第2章 方程与不等式 跟踪突破9 不等式(组)及不等式的应用试题一、选择题1．若a ＜b ，则下列不等式成立的是( A )A ．－a ＞－bB ．－a ＋1＞b ＋1C . 1a ＞1bD ．ac ＜bc 2．(2018·眉山)已知点M(1－2m ，m －1)在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( B )3．(2018·怀化)不等式3(x －1)≤5－x 的非负整数解有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．(2018·乐山)若不等式ax －2＞0的解集为x ＜－2，则关于y 的方程ay ＋2＝0的解为( D )A ．y ＝－1B ．y ＝1C ．y ＝－2D ．y ＝25．(2018·雅安)“一方有难，八方支援”，雅安芦山4·20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为( C )A ．60B ．70C ．80D ．90二、填空题6．(2018·陕西)不等式－12x ＋3＜0的解集是__x ＞6__． 7．(2018·鄂州)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3<3x －2，2（x －2）≥3x －6的解集是__－1＜x ≤2__． 8．(2018·黑龙江)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，x<m 有3个整数解，则m 的取值范围是__2＜m ≤3__． 9．(2018·新疆)对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x ”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x 的取值范围是__x ＞49__．10．(2018·烟台)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－a －1①，－x ≥－b ②，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b －a 的值为__13__．参考答案11．(1)(2018·黄冈)解不等式：x ＋12≥3(x －1)－4 ； 解：去分母得，x ＋1≥6(x －1)－8，去括号得，x ＋1≥6x －6－8，移项得，x －6x ≥－6－8－1，合并同类项得，－5x ≥－15.系数化为1，得x ≤3(2)(2018·雅安)解下列不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x ①，x －13≤x ＋19②.解：由①得，x ＜－1，由②得，x ≤2，故此不等式组的解集为：x ＜－1.在数轴上表示为：12．已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3≥－3，12（x －2a ）＋12x ＜0，并依据a 的取值情况写出其解集．解：⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3≥－3①，12（x －2a ）＋12x ＜0②，解①得：x ≤3，解②得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3；当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a13．(导学号：01262092)(2018·呼和浩特)已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2>3（x －1），12x ≤8－32x ＋2a 有四个整数解，求实数a 的取值范围．解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2>3（x －1）①，12x ≤8－32x ＋2a ②，解不等式①得：x ＞－52，解不等式②得：x ≤a ＋4，∵不等式组有四个整数解，∴1≤a ＋4＜2，解得：－3≤a ＜－214．(导学号：01262093)(2018·温州)有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．(1)(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？解：(1)根据题意得：15×40＋25×40＋30×20100＝22(元/千克)．答：该什锦糖的单价是22元/千克(2)设加入丙种糖果x 千克，则加入甲种糖果(100－x)千克，根据题意得：30x ＋15（100－x ）＋22×100200≤20，解得：x ≤20. 答：最多可加入丙种糖果20千克15．(导学号：01262018)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x 2－4＞0.解：∵x 2－4＝(x ＋2)(x －2)∴x 2－4＞0可化为(x ＋2)(x －2)＞0，由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －2＞0；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0，x －2＜0. 解不等式组①得x ＞2，解不等式组②得x ＜－2.∴(x ＋2)(x －2)＞0的解集为x ＞2或x ＜－2，即一元二次不等式x 2－4＞0的解集为x＞2或x ＜－2.(1)一元二次不等式x 2－16＞0的解集为__x ＞4或x ＜－4__；(2)分式不等式x －1x －3＞0的解集为__x ＞3或x ＜1__； (3)解一元二次不等式2x 2－3x ＜0.解：(1)∵x 2－16＝(x ＋4)(x －4)，∴x 2－16＞0可化为(x ＋4)(x －4)＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＞0，x －4＞0，②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＜0，x －4＜0，解不等式组①，得x ＞4，解不等式组②，得x ＜－4，∴(x ＋4)(x －4)＞0的解集为x ＞4或x ＜－4，即一元二次不等式x 2－16＞0的解集为x ＞4或x ＜－4(2)∵x －1x －3＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜0，x －3＜0，解得：x ＞3或x ＜1 (3)∵2x 2－3x ＝x(2x －3)，∴2x 2－3x ＜0可化为x(2x －3)＜0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得①⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，2x －3＜0，②⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，2x －3＞0，解不等式组①，得0＜x ＜32，解不等式组②，无解，∴不等式2x 2－3x ＜0的解集为0＜x ＜32。
【聚焦中考】2017中考数学(河南地区) 一轮复习资料第7讲 一元二次方程及其应用
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•
4．一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： 2 (1)b －4ac＞0⇔方程有两个_______ 不相等的实数根； 单击此处编辑母版文本样式 2 (2)b －4ac＝0⇔方程有两个_______ 相等 的实数根； • 第二级 (3)b2－ 4ac＜0⇔方程________ 没有 实数根． • 第三级 5．一元二次方程的根与系数的关系 • 第四级 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为 x1，x2，则有 x1＋x2＝_____，x1x2＝ • 第五级
①证明：∵(x－3)(x－2)＝|m|，∴x2－5x＋6－|m|＝0，Δ＝1＋4|m|，而|m|≥0，∵Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根 ②解：∵方程的一个根是 1，∴|m|＝2，解得：m＝± 2，∴ 原方程为：x2－5x＋4＝0，解得：x1＝1，x2＝4，即 m 的值为± 2，方程的另一个根是 4.
解：①根据题意得 Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得 m≤4； ②根据题意得 x1＋x2＝6， x1x2＝2m＋1， 而 2x1x2＋x1＋x2≥20， 所以 2(2m＋1)＋6≥20， 解得 m≥3，而 m≤4，所以 m 的范围为 3≤m≤4.
单击此处编辑母版标题样式 【点评】 ①先利用一元二次方程的根的判别式 Δ＝b －4ac 来求出 m 的取值范围；②
• 第五级
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1．(2016· 新疆)一元二次方程 x2－6x－5＝0 配方可变形为( A ) A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4 • 单击此处编辑母版文本样式 C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝4 3 • 第二级 2 2．(2016· 攀枝花)若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x ＋ ax－a2＝0 的一个根，则 a 的 2 • 第三级 值为( C) • 第四级 第五级 A．－1 或 4 • B ．－1 或－4 C．1 或－4 D．1 或 4 3． (2016· 烟台)若 x1， x2 是一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两个根， 则 x2 1－x1＋x2 的值为( D ) A．－1 B．0 C．2 D．3
中考数学 第二章方程组与不等式组 第9讲 不等式及一元一次不等式精品课件(含11真题和12预测题)
A．a＋c＞b＋c
B．c－a＜c－b
ab C.c2＞c2
D．a2＞ab＞b2
【解析】由于 a＞b，则－a＜－b，故 A、B、C 均正确；D
项中当 a＝1，b＝－2 时，a2＜b2，故 D 不正确．
【答案】D
3．(2011中考预测题)若不等式(a＋1)x>a＋1的解集是x<1，则a必
须满足( )
A．a<0
4．一元一次不等式 只含有_一_个未知数，并且未知数的次数是_一__ 且系数不等于0___的不等式，叫一元一次不等式．其一般形式为ax_＋__b_＜__0__
或 ax＋b＞__0_(_a_≠_0_)___ _.
5．解不等式 求不等式 解集 的过程或证明不等式 无解 程，叫做解不等式．
的过
考点二 不等式的基本性质
(1)(2011·上海)如果 a＞b,c＜0,那么下列不等式成立的是( )
A．a＋c＞b＋c
B．c－a＞c－b
C．ac＞bc
D.ca＞cb
(2) 2010·河北 把不等式－2x<4 的解集表示在数轴上，正确的是
()
【解答】(1)A (2)A
方法总结： 1.在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向.边界：有等号 的用实心圆点，无等号的用空心圆圈.方向：大于向右，小于向左. 2.解不等式时，系数化为1时，必须明确系数的符号，当未知数的系 数为负数时，一定要改变不等号的方向.
B．a<1
C．a<－1
D．a>－1
【解析】原不等式中不等号的方向为“>”，而解集中不等号的方
向为“<”，说明系数a＋1<0，解得a<－1.
【答案】C
4．(2010中考变式题)如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质
2024河南中考数学一轮知识点训练复习专题 一次不等式与一次不等式组 (课件)
②第三步出错的原因是_ ________________________；
“10”和“ ”移项没有变号
③请从第三步开始，写出正确的解答过程．
[答案] 至少购买了甲树苗80棵.
18.[2023三门峡二模] 直播带货已经成为年轻人的购物时尚.为回馈粉丝,某直播带货达人推出促销措施，在直播间购买皮衣和毛衣,均可到线上客服处领取 的补贴.粉丝丽丽在直播间购买了一件皮衣和一件毛衣,共花去3 000元，已知皮衣单价比毛衣单价的5倍还多600元.
[答案] 解不等式 ，得 ，解不等式 ，得 ， 原不等式组的解集是 ， 该不等式组的整数解是 ， ，0，1，2，3. ， 该不等式组所有整数解的和是3．
13. ［原创新题］下面是小彬解一元一次不等式 及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
8.[2022黑龙江大庆] 满足不等式组 的整数解是___.
2
9.［原创新题］已知关于 的不等式组 其中实数 在数轴上对应的点如图所示，则该不等式组的解集为_ ___________.
10. [2023四川泸州] 关于 , 的二元一次方程组 的解满足 ，写出 的一个整数值_________________________________________．
30
17.[2023江西] 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
[答案] 该班的学生人数为45人.
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元，购买这批树苗的总费用没有超过5 400元，请问至少购买了甲树苗多少棵.
6（答案不唯一， 且 为整数）
2017-2018学年人教版九年级中考数学总复习课件第9课时 一元一次不等式(组)(共20张PPT)
范围是m ≤ 0 .
点悟:利用数轴可以更加直观地找到不等式组的公共部分.
【考点 5】一元一次不等式的应用
列一元一次不等式(组)解简单的实际应用题的步骤与列 一元一次方程解决实际问题的步骤类似.
14.[教材原题]某次知识竞赛共有 20 道题,每一题答对得 10 分,答错 或不答都扣 5 分,小明得分要超过 90 分,他至少要答对多少道题?
解集,这个不等式组是( D )
3 2 1 0 1 2
A.
x x
≥2 3
B.
x x
≤2 3
C.
x x
≥2 3
D.
x x
≤2 3
3.[变式]不等式 3x 10 ≤0 的所有正整数解
是 1, 2, 3
.
4.[变式]关于 x 的不等式3x a ? 0 ,只有两个正整数解,则 a 的
合并同类项,得 4x ? 5
系数化为
1,得 x ?
5 4
.
9.[2017
湖州模拟]解不等式
3 2
x
1
≤
2x
,并把解集在数轴上表示出来.
解: 3 x 2 ≤ 4 x
3x 4x≤ 2
x ≤ 2
x ≥ 2
原不等式的解集在数轴上表示如下
3 2 0 1 2 3
10.[变式]当
m≥
1时,式子
m
m 2
1
解集 组成的不等式组的解集.
可以利用 数轴 来直观表示不等式(组)解集.
1.[教材原题]用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上 表示解集:x 与 3 的和不小于 6.
解: x 3 ? 6 ,解集是 x ? 3 ,在数轴上表示如下:
-1 0 1 2 3 4
【聚焦中考】2017中考数学(河南地区) 一轮复习资料第4讲 分式及其运算
单击此处编辑母版标题样式 4.勿忘分母不能为零
•
x2＋x 2 1 试题 (2015· 烟台)先化简： 2 ÷ ( － )，再从－2＜x＜3 的范围内选取一个你 x －2x＋1 x－1 x 最喜欢的值代入，求值． 单击此处编辑母版文本样式 x（x＋1） 2x－x＋1 • 第二级 错解 解：原式＝ ÷ （x－1）2 x（x－1） • 第三级 2 x（ x ＋ 1 ） x （ x － 1 ） x ＝ • 第四级 ＝ ， 2· （x－1 ） x ＋ 1 x － 1 • 第五级 当 x＝0 时，原式＝0. 剖析 (1) 由于 x 的值是根据自己的理解情况给出的，所以此题是一道开放型的试题， 但在选择 x 的值时，一定注意所选择的 x 的值要保证原分式有意义；(2) 在选择 x 的值时， 注意 x 除了不能取 0，± 1 外，取其他值均可． x（x＋1） 2x－x＋1 x（x＋1） x（x－1） x2 正解 解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ ，当 x＝2 时， （x－1）2 x（x－1） （x－1）2 x＋1 x－1 原式＝4
单击此处编辑母版标题样式
[对应训练]
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x2＋4x＋4 4＋x2 3．(1)(2016· 重庆)计算： 2 ÷ (2x－ )； x x ＋2x 单击此处编辑母版文本样式 x＋8 x－4 2 (2)( 2016· 聊城 ) 计算： ( － )÷ . • 第二级 x2－4 x－2 x2－4x＋4 • 第三级 1 • 第四级 解：原式＝ x－2
单击此处编辑母版标题样式
•
1 1．(2016· 衡阳)如果分式 有意义，则 x 的取值范围是( B) x＋1 A．全体实数 B．x≠－1 单击此处编辑母版文本样式 C• ． x＝1 D．x＞1 第二级 1 • 第三级 2．(2016· 驻马店模拟)分式－ 可变形为( D) 1 － x • 第四级 1 1 • 第五级 A．－ B. x－1 x ＋1 1 1 C．－ D. x＋1 x －1
2025年河南省九年级中考数学一轮复习课件：课时8一元一次不等式(组)
②当1 400＝28m＋1 120时，m＝10. ③当1 400＜28m＋1 120时，m＞10. ∴10＜m≤20. 答：当购买羽毛球拍的数量少于10副时，选择方案B更实惠；当购 买羽毛球拍的数量等于10副时，选择两种购买方案所需总费用相同；当 购买羽毛球拍的数量大于10副且不超过20副时，选择方案A更实惠．
2021 题21(2)，2分
2020 题12，3分
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知识点过关练
一、不等式的有关概念 1．概念：用符号“＜”“≤”“＞”“≥”或“≠”连接的式子 叫做不等式． 2．不等式的解和解集：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的 解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的 解集．
根据题意，得180 x＝x－80.
解得x＝400. ∴一件这种健身器材的原价是400元．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内， 选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元， 请直接写出a的取值范围．
解：a的取值范围为300≤a＜400或600≤a＜800. 【提示】①当a＜300时，显然不可能． ②当300≤a＜600时，a－80＜0.8a. 解得a＜400.∴300≤a＜400. ③当600≤a＜900时，a－160＜0.8a. 解得a＜800.∴600≤a＜800.
号的方向③__不__变____．
或ac⑤
＞
b c
.
如果a＞b，c＜0，那么ac
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等 ⑦___＜_____bc
号的方向⑥__改__变____．
或ac⑧
＜
b c
.
1.(人教七下P117改编)若a>b，则下列不等式成立的是( B )
河南中考数学考点突破 8_第四节 一元一次不等式(组)
根据不等式性质3,若- 1 >-1,a<0,则- a <-a,所以选项C不正确;
2
2
根据不等式性质3,若a>b,则-a<-b,再根据不等式性质1,则c-a<c-b,
所以选项D不正确.
故选B.
2.(2018浙江舟山)不等式1-x≥2的解集在数轴上表示正确的是
(A )
答案 A 不等式1-x≥2, 解得x≤-1, 表示在数轴上,如图所示:
第四节 一元一次不等式(组)
总纲目录
考情分析 考点研读 命题探究 随堂检测
考情分析
考点研读
考点一 不等式的概念及其性质 考点二 一元一次不等式（组）及其解法 考点三 一元一次不等式的应用
考点一 不等式的概念及其性质
易错警示
应用“不等式的基本性质3”时的常见错误
不等式两边同乘“负数”时,忽视“不等号方向要改变”.
不少于乙种树的数量的 1 ,可得出关于a的一元一次不等式,求出a
2
的取值范围,再由(1)知甲种树的单价比乙种树的单价贵,即可找 出最省钱的购买方案.
解析 (1)设甲种树的单价为x元,乙种树的单价为y元,
根据题意得
7x 3x
4y 5y
510, 350,
解得
x
y
解析 (1)设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元.
依题意得
3x 4x
5y 1 800, 10 y 3 100,
解得
x
y
250, 210.
答:A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为250元、210元.
(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30-a)台.
第四讲不等式(组)及应用课件++2025年中考数学一轮复习
－ ≥
,
解：2(x＋1)＞x
2x＋2＞x
x＞－2
＋
1－2x≥
2－4x≥x＋7
－5x≥5
x≤－1
∴不等式组的解集为－2＜x≤－1.
在数轴上表示略.
9．某校购买了一批消毒液．其中甲、乙两种消毒液共100瓶，甲种
8元/瓶，乙种12元/瓶．
(1)若购买这两种消毒液共用1 040元，求甲、乙两种消毒液各购买
2 000＋2 240＋75×(80－a)＝(13 040－75a)元.
∴a的最大值为10元.
②13 040－75a－10 000≥2 290，解得a≤10，
1．(2024·广州)若a＜b，则( D )．
A．a＋3＞b＋3
B．a－2＞b－2
C．－a＜－b
D．2a＜2b
2．(2024·湖北)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是
每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
若小明的最终得分不低于80分，则小明至
少答对了多少道题？
③设：设未知数(一般求什么，就设什么为x)；设小明答对了x道题.
④列：根据不等关系列出需要的代数式，从
而列出不等式；
⑤解：解所列出的不等式，写出未知数的值
或范围；
⑥答：检验所求的解是否符合题意，写出答
案(包括单位)．
( A )．
A
B
C
D
3．(2024·河南)下列不等式中，与 －x＞1组成的不等式组无解的是
( A )．
A．x＞2
B．x＜0
C．x＜－2
D．x＞－3
4．(2024·广东)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，
则这个不等式组的解集是 x≥3
(完整版)2017年河南省中考数学试卷(含答案解析版)
2017年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中比1大的数是（ ）A ．2B ．0C ．﹣1D ．﹣32．（3分）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（ ）A ．74.4×1012B ．7.44×1013C ．74.4×1013D ．7.44×10153．（3分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）A．B．C．D．4．（3分）解分式方程﹣2=，去分母得（ ）1x ‒131‒x A ．1﹣2（x ﹣1）=﹣3B ．1﹣2（x ﹣1）=3C ．1﹣2x ﹣2=﹣3D ．1﹣2x +2=35．（3分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）A ．95分，95分B ．95分，90分C ．90分，95分D ．95分，85分6．（3分）一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．（3分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有（ ）sA ．AC ⊥BDB ．AB=BC C ．AC=BD D ．∠1=∠28．（3分）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．181614129．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为（ ）A ．（，1）B ．（2，1）C ．（1，）D ．（2，）33310．（3分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）an l l n beA ．B ．2﹣C ．2﹣D ．4﹣2π33π332π332π3二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：23﹣= ．412．（3分）不等式组的解集是 ．{x ‒2≤0x ‒12＜x 13．（3分）已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y=﹣的图象上，则m2x 与n 的大小关系为 ．14．（3分）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 ．15．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别2是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为 ．三、解答题（本题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），其中x=+1，y=﹣1．2217．（9分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．调查结果统计表组别分组（单位：元）人数A 0≤x ＜304B 30≤x ＜6016C 60≤x ＜90a D 90≤x ＜120b Ex ≥1202请根据以上图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a +b= ，m= ；（2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数；（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数．18．（9分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作CF ∥AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD ．（1）求证：BD=BF ；（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．g o19．（9分）如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°45≈，tan53°≈，≈1.41）3543220．（9分）如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点kx A （m ，3）和B （3，1）．（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；（2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．g21．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同．（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．22．（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想 图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．23．（11分）如图，直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛23物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．43（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m的值．2017年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•河南）下列各数中比1大的数是（ ）A．2B．0C．﹣1D．﹣3【考点】18：有理数大小比较．【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案．【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关键．2．（3分）（2017•河南）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（ ）A．74.4×1012B．7.44×1013C．74.4×1013D．7.44×1015【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ rA．B．C．D．【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】左视图是从左边看到的，据此求解．【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1，D 不符合，故选D ．【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大． 4．（3分）（2017•河南）解分式方程﹣2=，去分母得（ ）1x ‒131‒x A ．1﹣2（x ﹣1）=﹣3B ．1﹣2（x ﹣1）=3C ．1﹣2x ﹣2=﹣3D ．1﹣2x +2=3【考点】B3：解分式方程．【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用．【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x ﹣1得到结果，即可作出判断．【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，1x ‒13x ‒1去分母得：1﹣2（x ﹣1）=﹣3，故选A【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检5．（3分）（2017•河南）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）A．95分，95分B．95分，90分C．90分，95分D．95分，85分【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，故中位数为95分，数据95出现了3次，最多，故这组数据的众数是95分，故选A．【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．6．（3分）（2017•河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】AA：根的判别式．【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．7．（3分）（2017•河南）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（ ）A ．AC ⊥BDB ．AB=BCC ．AC=BD D ．∠1=∠2【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A 、正确．对角线相等是平行四边形的菱形．B 、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C 、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D 、正确．可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形．故选C ．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．8．（3分）（2017•河南）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．18161412【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，∴两个数字都是正数的概率是：=．41614故选：C ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 9．（3分）（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为（ ）A ．（，1）B ．（2，1）C ．（1，）D ．（2，）333【考点】LE ：正方形的性质；D5：坐标与图形性质；L1：多边形．【分析】由已知条件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′=12=，于是得到结论．AD '2‒OA 23【解答】解：∵AD′=AD=2，AO=AB=1，12∴OD′==，AD '2‒OA 23∵C′D′=2，C′D′∥AB ，∴C （2，），3故选D ．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．10．（3分）（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．2﹣C ．2﹣D ．4﹣2π33π332π332π3【考点】MO ：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的想知道的∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B 是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B 是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S △B′O′B ﹣（S 扇形O′OB ﹣S △OO′B ）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．12360⋅π×2236012332π3故选C ．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）（2017•河南）计算：23﹣= 6 ．4【考点】22：算术平方根；1E ：有理数的乘方．【分析】表示4的算术平方根，值为2．4【解答】解：23﹣=8﹣2=6，4故答案为：6．【点评】本题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个基础题目，比较简单． 12．（3分）（2017•河南）不等式组的解集是 ﹣1＜x ≤2 ．{x ‒2≤0x ‒12＜x 【考点】CB ：解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的公共部分，【解答】解：{x ‒2≤0①x ‒12＜x②解不等式①0得：x ≤2，解不等式②得：x ＞﹣1，∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤2，故答案为﹣1＜x ≤2．【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．13．（3分）（2017•河南）已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y=﹣的图2x 象上，则m 与n 的大小关系为 m ＜n ．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】由反比例函数y=﹣可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在2x 每个象限内，y 随x 的增大而增大，根据这个判定则可．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，2x ∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵0＜1＜2，∴A 、B 两点均在第四象限，∴m ＜n ．故答案为m ＜n ．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键． 14．（3分）（2017•河南）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 12 ．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出BC 与AC 的长度．【解答】解：根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，由图象可知：点P 从B 先A 运动时，BP 的最大值为5，即BC=5，由于M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP ⊥AC ，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC 的面积为：×4×6=1212故答案为：12【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC 与AC 的长度，本题属于中等题型．15．（3分）（2017•河南）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，2点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为 +或112212．【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；KW ：等腰直角三角形．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．2【解答】解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM=BC=+；1212212②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，2∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′，∴BM=B′M ，∴CM=BM ，2∵BC=+1，2d ∴CM +BM=BM +BM=+1，22∴BM=1，综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为+或1，12212故答案为：+或1．12212【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题（本题共8个小题，满分75分）16．（8分）（2017•河南）先化简，再求值：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），其中x=+1，y=﹣1．22【考点】4J ：整式的混合运算—化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】首先化简（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ），然后把x=+1，y=﹣122代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（2x +y ）2+（x ﹣y ）（x +y ）﹣5x （x ﹣y ）=4x 2+4xy +y 2+x 2﹣y 2﹣5x 2+5xy=9xy22当x=+1，y=﹣1时，22原式=9（+1）（﹣1）=9×（2﹣1）=9×1=9【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．17．（9分）（2017•河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．调查结果统计表组别分组（单位：元）人数A0≤x＜304B30≤x＜6016C60≤x＜90aD90≤x＜120bE x≥1202请根据以上图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有 50 人，a+b= 28 ，m= 8 ；（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数．【考点】VB ：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）根据B 组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b ，然后求得a 的值，m 的值；（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人），则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，A 组所占的百分比是=8%，则m=8．450a +b=8+20=28．故答案是：50，28，8；（2）扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是360°×=144°；2050（3）每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数是1000×=560（人）．2850【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18．（9分）（2017•河南）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作CF ∥AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD ．（1）求证：BD=BF ；（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）根据圆周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可；（2）求出AC=10，AD=6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴BD⊥AC，∠BDC=90°，∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF，∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=∠FCB，∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD=BF；（2）解：∵AB=10，AB=AC，∴AC=10，∵CD=4，∴AD=10﹣4=6，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：BD==8，102‒62在Rt △BDC 中，由勾股定理得：BC==4．82+425【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．19．（9分）（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）4535432【考点】TB ：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图作CE ⊥AB 于E ．设AE=EC=x ，则BE=x ﹣5，在Rt △BCE 中，根据tan53°=，可得=，求出x ，再求出BC 、AC ，分别求出A 、B 两船到C 的EC BE 43xx ‒5时间，即可解决问题．【解答】解：如图作CE ⊥AB 于E ．g在Rt △ACE 中，∵∠A=45°，∴AE=EC ，设AE=EC=x ，则BE=x ﹣5，在Rt △BCE 中，∵tan53°=，ECBE ∴=，43x x ‒5解得x=20，∴AE=EC=20，∴AC=20=28.2，2BC==25，ECsin 53°∴A 船到C 的时间≈=0.94小时，B 船到C 的时间==1小时，28.2302525∴C 船至少要等待0.94小时才能得到救援．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 20．（9分）（2017•河南）如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的kx 图象交于点A （m ，3）和B （3，1）．th （1）填空：一次函数的解析式为 y=﹣x +4 ，反比例函数的解析式为 y= ；3x （2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）先将B （3，1）代入反比例函数即可求出k 的值，然后将A 代入反比例函数即可求出m 的，再根据B 两点的坐标即可求出一次函数的解析式．（2）设P 的坐标为（x ，y ），由于点P 在直线AB 上，从而可知PD=y ，OD=x ，由题意可知：1≤x ≤3，从而可求出S 的范围【解答】解：（1）将B （3，1）代入y=，k x ∴k=3，将A （m ，3）代入y=，3x ∴m=1，∴A （1，3），将A （1，3）代入代入y=﹣x +b ，∴b=4，∴y=﹣x +4（2）设P （x ，y ），由（1）可知：1≤x ≤3，∴PD=y=﹣x +4，OD=x ，∴S=x （﹣x +4），12∴由二次函数的图象可知：S 的取值范围为：≤S ≤232故答案为：（1）y=﹣x +4；y=．3x 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型．21．（10分）（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同．（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．【考点】9A ：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据“购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A 种魔方m 个（0≤m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，根据两种活动方案即可得出w 活动一、w 活动二关于m 的函数关系式，再分别令w 活动一＜w 活动二、w 活动一=w 活动二和w 活动一＞w 活动二，解出m 的取值范围，此题得解．【解答】解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据题意得：，{2x +6y =1303x =4y 解得：．{x =20y =15答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个．（2）设购进A 种魔方m 个（0≤m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，根据题意得：w 活动一=20m ×0.8+15（100﹣m ）×0.4=10m +600；w 活动二=20m +15（100﹣m ﹣m ）=﹣10m +1500．当w 活动一＜w 活动二时，有10m +600＜﹣10m +1500，解得：m ＜45；当w 活动一=w 活动二时，有10m +600=﹣10m +1500，解得：m=45；当w 活动一＞w 活动二时，有10m +600＞﹣10m +1500，解得：45＜m ≤50．综上所述：当m ＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m ＞45时，选择活动二购买魔方更实惠．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x 、y 的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出w 活动一、w 活动二关于m的函数关系式．22．（10分）（2017•河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D ，Eb分别在边AB ，AC 上，AD=AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 PM=PN ，位置关系是 PM ⊥PN ；（2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．【考点】RB ：几何变换综合题．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE ，PN=BD ，进而判断出1212BD=CE ，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，同（1）的方法得出PM=BD ，PN=BD ，即可得出PM=PN ，同（1）的方法即可得出结论；1212（3）先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大=AM +AN ，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，∴PN ∥BD ，PN=BD ，12∵点P ，M 是CD ，DE 的中点，∴PM ∥CE ，PM=CE ，12∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE ，∴PM=PN ，∵PN ∥BD ，∴∠DPN=∠ADC ，∵PM ∥CE ，∴∠DPM=∠DCA ，∵∠BAC=90°，∴∠ADC +∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCA +∠ADC=90°，∴PM ⊥PN ，故答案为：PM=PN ，PM ⊥PN ，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD=∠ACE ，BD=CE ，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD ，PM=CE ，1212∴PM=PN ，∴△PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PM ∥CE ，∴∠DPM=∠DCE ，同（1）的方法得，PN ∥BD ，∴∠PNC=∠DBC ，∵∠DPN=∠DCB +∠PNC=∠DCB +∠DBC ，∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCE +∠DCB +∠DBC =∠BCE +∠DBC=∠ACB +∠ACE +∠DBC =∠ACB +∠ABD +∠DBC=∠ACB +∠ABC ，∵∠BAC=90°，∴∠ACB +∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面，∴MN 最大=AM +AN ，连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，2在Rt △ABC 中，AB=AC=10，AN=5，2∴MN 最大=2+5=7，222∴S △PMN 最大=PM 2=×MN 2=×（7）2=．121212142492【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=CE ，PN=BD ，解（2）的关键是判断出△ABD ≌△ACE ，1212解（3）的关键是判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，是一道基础题目． 23．（11分）（2017•河南）如图，直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴23交于点B ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．43（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．【考点】HF ：二次函数综合题．【分析】（1）把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①由M 点坐标可表示P 、N 的坐标，从而可表示出MA 、MP 、PN 、PB 的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值；②用m 可表示出M 、P 、N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于m 的方程，可求得m 的值．【解答】解：（1）∵y=﹣x +c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，23∴0=﹣2+c ，解得c=2，∴B （0，2），∵抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，43∴，解得，{‒12+3b +c =0c =2{b =103c =2∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x +2；43103（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x +2，23∵M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，∴P （m ，﹣m +2），N （m ，﹣m 2+m +2），2343103∴PM=﹣m +2，PA=3﹣m ，PN=﹣m 2+m +2﹣（﹣m +2）=﹣m 2+4m ，23431032343∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN=∠APM ，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN ⊥MN ，∴BN=OM=m ，∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2，BN AM PN PM m3‒m ‒43m 2+4m‒23m +2∴M （2，0）；当∠NBP=90°时，则有=，PN PA BPMP ∵A （3，0），B （0，2），P （m ，﹣m +2），23∴BP==m ，AP==（3﹣m ），m 2+(‒23m +2‒2)2133(m ‒3)2+(‒23m +2)2133∴=，解得m=0（舍去）或m=，‒43m 2+4m 133(3‒m )133m‒23m +2118∴M （，0）；118综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2，0）或（，0）；118②由①可知M （m ，0），P （m ，﹣m +2），N （m ，﹣m 2+m +2），2343103∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，当P 为线段MN 的中点时，则有2（﹣m +2）=﹣m 2+m +2，解得m=3（三点重2343103合，舍去）或m=；12当M 为线段PN 的中点时，则有﹣m +2+（﹣m 2+m +2）=0，解得m=3（舍去）2343103或m=﹣1；当N 为线段PM 的中点时，则有﹣m +2=2（﹣m 2+m +2），解得m=3（舍去）或2343103m=﹣；14综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为或﹣1或﹣．1214【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．。
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考点跟踪突破9 不等式(组)及不等式的应用
一、选择题
1．若a＜b，则下列不等式成立的是( A )
A．－a＞－bB．－a＋1＞b＋1
C.1a＞1bD．ac＜bc
2．(2016·眉山)已知点M(1－2m，m－1)在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正
确的是( B )
3．(2016·怀化)不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有( C )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．(2016·乐山)若不等式ax－2＞0的解集为x＜－2，则关于y的方程ay＋2＝0的解为
( D )
A．y＝－1B．y＝1
C．y＝－2D．y＝2
5．(2016·雅安)“一方有难，八方支援”，雅安芦山4·20地震后，某单位为一中学捐赠
了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬
一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为( C )
A．60B．70C．80D．90
二、填空题
6．(2016·陕西)不等式－12x＋3＜0的解集是__x＞6__．
7．(2016·鄂州)不等式组2x－3<3x－2，2（x－2）≥3x－6的解集是__－1＜x≤2__．
8．(2016·黑龙江)不等式组x>－1，x
个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值
范围是__x＞49__．
10．(2016·烟台)已知不等式组x≥－a－1①，－x≥－b②，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集
如图所示，则b－a的值为__13__．
三、解答题
11．(1)(2016·黄冈)解不等式：x＋12≥3(x－1)－4；
解：去分母得，x＋1≥6(x－1)－8，去括号得，x＋1≥6x－6－8，移项得，x－6x≥－6
－8－1，合并同类项得，－5x≥－15.系数化为1，得x≤3
(2)(2016·雅安)解下列不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
x－1>2x①，
x－13≤x＋1
9
②.
解：由①得，x＜－1，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：x＜－1.在数轴上表示
为：
12．(2016·洛阳模拟)已知实数a是不等于3的常数，解不等式组
－2x＋3≥－3，
12（x－2a）＋1
2
x＜0，
并依据a的取值情况写出其解集．
解：－2x＋3≥－3①，12（x－2a）＋12x＜0②，解①得：x≤3，解②得：x＜a，∵实数a是不等于3的常
数，∴当a＞3时，不等式组的解集为x≤3；当a＜3时，不等式组的解集为x＜a
13．(2016·呼和浩特)已知关于x的不等式组5x＋2>3（x－1），12x≤8－32x＋2a有四个整数解，求实
数a的取值范围．
解：解不等式组5x＋2>3（x－1）①，12x≤8－32x＋2a②，解不等式①得：x＞－52，解不等式②得：x≤a
＋4，∵不等式组有四个整数解，∴1≤a＋4＜2，解得：－3≤a＜－2
14．(2016·温州)有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单
价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．
甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果
单价(元/千克)
15 25 30
千克数
40 40 20
(1)求该什锦糖的单价；
(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖
果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？
解：(1)根据题意得：15×40＋25×40＋30×20100＝22(元/千克)．答：该什锦糖的单价是
22元/千克
(2)设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果(100－x)千克，根据题意得：
30x＋15（100－x）＋22×100
200
≤20，解得：x≤20.
答：最多可加入丙种糖果20千克
15．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2－4＞0.
解：∵x2－4＝(x＋2)(x－2)
∴x2－4＞0可化为(x＋2)(x－2)＞0，
由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①x＋2＞0，x－2＞0；②x＋2＜0，x－2＜0.
解不等式组①得x＞2，
解不等式组②得x＜－2.
∴(x＋2)(x－2)＞0的解集为x＞2或x＜－2，即一元二次不等式x2－4＞0的解集为x
＞2或x＜－2.
(1)一元二次不等式x2－16＞0的解集为__x＞4或x＜－4__；
(2)分式不等式x－1x－3＞0的解集为__x＞3或x＜1__；
(3)解一元二次不等式2x2－3x＜0.
解：(1)∵x2－16＝(x＋4)(x－4)，∴x2－16＞0可化为(x＋4)(x－4)＞0.由有理数的乘法法
则“两数相乘，同号得正”，得①x＋4＞0，x－4＞0，②x＋4＜0，x－4＜0，解不等式组①，得x＞4，解不
等式组②，得x＜－4，∴(x＋4)(x－4)＞0的解集为x＞4或x＜－4，即一元二次不等式x
2
－16＞0的解集为x＞4或x＜－4
(2)∵x－1x－3＞0，∴x－1＞0，x－3＞0或x－1＜0，x－3＜0，解得：x＞3或x＜1
(3)∵2x2－3x＝x(2x－3)，∴2x2－3x＜0可化为x(2x－3)＜0.由有理数的乘法法则“两数
相乘，同号得正，异号得负”，得①x＞0，2x－3＜0，②x＜0，2x－3＞0，解不等式组①，得0＜x＜32，
解不等式组②，无解，∴不等式2x2－3x＜0的解集为0＜x＜32