(交大版大学物理习题解答上册)---3机械能和功习题思考题
上海交大版大学物理第三章参考答案
版权归原著所有 本答案仅供参考习题33-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆，有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）3-2．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义：A F r =⋅∆ ，题意：250.5r t i j =+24(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d r F m i i d t==⋅=∴560300A i i J =⋅=。
3-3．劲度系数为k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。
今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，则：F k x =，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：max mg kx =，有：max mgx k=， 由做功的定义可知：max222122mg x k m g A k xd x k x k===⎰。
3-4．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：f A 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
解：求在B 点的速度：2v N G m R -=，可得：R G N mv )(21212-=由动能定理： 2102f mgR A mv +=-∴11()(3)22f A N G R mgR N mg R =--=-3-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2(52.838.4)F x x i =-- ，其中F和x 单位分别为N 和m 。
西安交大版大学物理上学习指导作业及选择题答案参考答案
西安交⼤版⼤学物理上学习指导作业及选择题答案参考答案第⼀章质点运动学第⼆章运动与⼒第三章动量与⾓动量- 1 -第四章功和能第五章刚体的转动第六章狭义相对论基础- 2 -第七章振动第⼋章波动- 3 -第九章温度和⽓体动理论第⼗章热⼒学第⼀定律- 4 -- 5 -第⼗⼀章热⼒学第⼆定律第⼀章质点运动学课后作业1、⼀质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为 a ＝2＋6 x 2 (SI)如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．解：设质点在x 处的速度为v ，62d d d d d d 2x txx t a +=?==v v 2分- 6 -()x x xd 62d 020+=v v v 2分()2 213xx +=v 1分2、⼀质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t=vv 0d 4d tt tv 2=t 2 3分v d =x /d t 2=t 2 t t x txx d 2d 020=x 2= t 3 /3+x 0 (SI) 2分3、⼀质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为221ct bt S += 其中b 、c 是⼤于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度⼤⼩相等时所经历的时间．- 7 -解： ct b t S +==d /d v 1分c t a t ==d /d v 1分()R ct b a n /2+= 1分根据题意： a t = a n 1分即 ()R ct b c /2+=解得 cbc R t -=1分4、如图所⽰，质点P 在⽔平⾯内沿⼀半径为R =2 m 的圆轨道转动．转动的⾓速度ω与时间t 的函数关系为2kt =ω (k 为常量)．已知s t 2=时，质点P 的速度值为32 m/s ．试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的⼤⼩．- 8 -解：根据已知条件确定常量k()222/rad 4//s Rt t k ===v ω 1分24t =ω, 24Rt R ==ωvs t 1=时， v = 4Rt 2 = 8 m/s 1分 2s /168/m Rt dt d a t ===v 1分22s /32/m R a n ==v 1分()8.352/122=+=nt a a a m/s 2 1分5、⼀敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地⾯h =10 m 时，⼀⼩孩竖直向上抛出⼀球．球相对于电梯初速率200=v m/s ．试问：(1) 从地⾯算起，球能达到的最⼤⾼度为多⼤？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？解：(1) 球相对地⾯的初速度=+='v v v 030 m/s 1分抛出后上升⾼度 9.4522='=gh v m/s 1分- 9 -离地⾯⾼度 H = (45.9+10) m =55.9 m 1分(2) 球回到电梯上时电梯上升⾼度＝球上升⾼度2021)(gt t t -+=v v v 1分08.420==gt vs 1分6、在离⽔⾯⾼h ⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，船在离岸S 处，如图所⽰．当⼈以0υ(m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的⼤⼩．解：设⼈到船之间绳的长度为l ，此时绳与⽔⾯成θ⾓，由图可知222s h l +=将上式对时间t 求导，得题1-4图tss t l ld d 2d d 2=- 10 -根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，∴ t sv v t l v d d ,d d 0-==-=船绳即θcos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船或 sv s h s lv v 02/1220)(+==船将船v 再对t 求导，即得船的加速度320222022002)(d d d d d d sv h s v s l s v slv s v v s t sl t l st v a =+-=+-=-==船船- 11 -第⼆章运动与⼒课后作业1、⼀⼈在平地上拉⼀个质量为M 的⽊箱匀速前进，如图. ⽊箱与地⾯间的摩擦系数µ＝0.6.设此⼈前进时，肩上绳的⽀撑点距地⾯⾼度为h ＝1.5 m ，不计箱⾼，问绳长l 为多长时最省⼒?解：设绳⼦与⽔平⽅向的夹⾓为θ，则l h /sin =θ．⽊箱受⼒如图所⽰，匀速前进时, 拉⼒为F , 有F cos θ－f ＝0 2分F sin θ＋N －Mg ＝0 f ＝µN得θµθµs i n c o s +=MgF 2分- 12 -令0)s i n (c o s )c o s s i n (d d 2=++--=θµθθµθµθMg F ∴ 6.0tg ==µθ，637530'''?=θ 2分且 0d d 22>θF∴ l ＝h / sin θ＝2.92 m 时，最省⼒．2、⼀质量为60 kg 的⼈，站在质量为30 kg 的底板上，⽤绳和滑轮连接如图．设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计，绳⼦不可伸长．欲使⼈和底板能以1 m/s 2的加速度上升，⼈对绳⼦的拉⼒T 2多⼤？⼈对底板的压⼒多⼤? (取g ＝10 m/s 2)N- 13 -解：⼈受⼒如图(1) 图2分a m g m N T 112=-+ 1分底板受⼒如图(2) 图2分 a m g m N T T 2221=-'-+ 2分212T T = 1分 N N ='由以上四式可解得 a m m g m g m T )(421212+=--∴ 5.2474/))((212=++=a g m m T N 1分 5.412)(21=-+=='T a g m N N N 1分3、⼀条轻绳跨过⼀轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略)，在绳的⼀端挂⼀质量为m 1的物体，在另⼀侧有⼀质量为m 2的环，求当环相对于绳以恒定的加速度a 2沿绳向下滑动时，物体和环相对地⾯的加速度各是多少？环与绳间的摩擦⼒多⼤？- 14 -解：因绳⼦质量不计，所以环受到的摩擦⼒在数值上等于绳⼦张⼒T ．设m 2相对地⾯的加速度为2a '，取向上为正；m 1相对地⾯的加速度为a 1(即绳⼦的加速度)，取向下为正． 1分111a m T g m =- 2分 222a m g m T =-2分 212a a a -=' 2分解得 2122211)(m m a m g m m a ++-= 1分21212)2(m m m m a g T +-=1分2121212)(m m a m g m m a +--=' 1分- 15 -4、⼀条质量分布均匀的绳⼦，质量为M 、长度为L ，⼀端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定⾓速度ω在⽔平⾯上旋转．设转动过程中绳⼦始终伸直不打弯，且忽略重⼒，求距转轴为r 处绳中的张⼒T ( r )．解：取距转轴为r 处，长为d r 的⼩段绳⼦，其质量为 ( M /L ) d r ． (取元，画元的受⼒图) 2分由于绳⼦作圆周运动，所以⼩段绳⼦有径向加速度，由⽜顿定律得：T ( r )-T ( r + d r ) = ( M / L ) d r r ω2 令 T ( r )－T (r + d r ) = - d T ( r ) 得 d T =－( M ω2 / L ) r d r 4分由于绳⼦的末端是⾃由端 T (L ) = 0 1分有r r L M T Lrr T d )/(d 2)(??-=ω∴ )2/()()(222L r L M r T -=ω 3分O- 16 -第三章动量与⾓动量课后作业1、如图，⽤传送带A 输送煤粉，料⽃⼝在A 上⽅⾼h ＝0.5 m 处，煤粉⾃料⽃⼝⾃由落在A 上．设料⽃⼝连续卸煤的流量为q m ＝40 kg/s ，A 以v ＝2.0 m/s 的⽔平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A 的作⽤⼒的⼤⼩和⽅向．（不计相对传送带静⽌的煤粉质重）解：煤粉⾃料⽃⼝下落，接触传送带前具有竖直向下的速度gh 20=v 1分设煤粉与A 相互作⽤的?t 时间内，落于传送带上的煤粉质量为 t q m m ?=?1分设A 对煤粉的平均作⽤⼒为f，由动量定理写分量式：0-?=?v m t f x 1分)(00v m t f y ?--=? 1分- 17 -将 t q m m ?=?代⼊得 v m x q f =， 0v m y q f = ∴ 14922=+=y x f f f N 2分 f与x 轴正向夹⾓为α = arctg (f x / f y ) = 57.4° 1分由⽜顿第三定律煤粉对A 的作⽤⼒f ′= f = 149 N ，⽅向与图中f相反．2分2、质量为1 kg 的物体，它与⽔平桌⾯间的摩擦系数µ = 0.2 ．现对物体施以F = 10t (SI)的⼒，（t 表⽰时刻），⼒的⽅向保持⼀定，如图所⽰．如t = 0时物体静⽌，则t = 3 s 时它的速度⼤⼩v 为多少?解：由题给条件可知物体与桌⾯间的正压⼒mg F N +?=30sin 1分物体要有加速度必须 N F µ≥?30cos 2分即 mg t µµ≥-)3(5， 0s 256.0t t =≥ 1分物体开始运动后，所受冲量为 ?-?=tt t N F I 0d )30cos (µ- 18 -)(96.1)(83.3022t t t t ---= t = 3 s, I = 28.8 N s 2分则此时物体的动量的⼤⼩为 I m =v速度的⼤⼩为 8.28==mIv m/s 2分3、⼀炮弹发射后在其运⾏轨道上的最⾼点h ＝19.6 m 处炸裂成质量相等的两块．其中⼀块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下⽅的地⾯上．设此处与发射点的距离S 1＝1000 m ，问另⼀块落地点与发射地点间的距离是多少？（空⽓阻⼒不计，g ＝9.8 m/s 2）解：因第⼀块爆炸后落在其正下⽅的地⾯上，说明它的速度⽅向是沿竖直⽅向的．利⽤ 2t g t h '+'=211v ，式中t '为第⼀块在爆炸后落到地⾯的时间．可解得v 1＝14.7 m/s ，竖直向下．取y 轴正向向上, 有v 1y ＝－14.7 m/s 2分设炮弹到最⾼点时(v y ＝0)，经历的时间为t ，则有S 1 = v x t ① h=221gt ②由①、②得 t =2 s , v x =500 m/s 2分- 19 -以2v表⽰爆炸后第⼆块的速度，则爆炸时的动量守恒关系如图所⽰．x v v m m x =221③0==+y y m m m v v v 1y 22121 ④解出 v 2x =2v x =1000 m/s ， v 2y =-v 1y =14.7 m/s 3分再由斜抛公式 x 2= S 1 +v 2x t 2 ⑤y 2=h +v 2y t 2-22gt 21 ⑥落地时 y 2 =0，可得 t 2 =4 s , t 2＝－1 s （舍去）故 x 2＝5000 ｍ 3分Mmv4、质量为M ＝1.5 kg 的物体，⽤⼀根长为l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今有⼀质量为m ＝10 g 的⼦弹。
大学物理上册课后习题集答案解析
习题解答 习题一1-1 ｜r D ｜与r D 有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和td d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）r D 是位移的模，D r 是位矢的模的增量，即r D 12r r -=，12r r r-=D ；（2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . trd d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则tˆr ˆt r t d d d d d d rr r += 式中trd d 就是速度径向上的分量，∴trt d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，tv d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有t t(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以t vt v t v d d d d d d tt += 式中dt dv就是加速度的切向分量. (tt r d ˆd d ˆd t 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =tr d d ，及a ＝22d d t r而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分v =22d d d d ÷øöçèæ+÷øöçèæt y t x 及a =222222d d d d ÷÷øöççèæ+÷÷øöççèæt y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r+=， jt y i t xt r a j t y i t x t r v222222d d d d d d dd d d d d +==+==\ 故它们的模即为22222222222222d d d d d d d d ÷øöçèæ+÷øöçèæ=+=÷øöçèæ+÷øöçèæ=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作22d d d d tr a trv ==其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。
大学物理学(第三版上) 课后习题3答案详解
习题33.1选择题(1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为(A)02ωmRJ J+ (B) 02)(ωR m J J + (C)02ωmRJ(D) 0ω [答案： (A)](2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止，其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s(a) (b)题3.1（2）图[答案： (A)](3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （A ）动能不变，动量改变。
（B ）动量不变，动能改变。
（C ）角动量不变，动量不变。
（D ）角动量改变，动量改变。
（E ）角动量不变，动能、动量都改变。
[答案： (E)]3.2填空题(1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240˚时的切向加速度a τ= ，法向加速度a n=。
[答案：0.15; 1.256](2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。
木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。
题3.2（2）图[答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o轴的合外力矩为零，机械能守恒](3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。
(2021年整理)大学物理练习册习题及答案3
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习题及参考答案第2章 质点动力学参考答案一 思考题2—1如图，滑轮绳子质量忽略不计,忽略一切摩擦力,物体A 的质量m A 大于物体B 的质量m B ，在A 、B 运动过程中弹簧秤的读数是（A ）()12m m g + (B )()12m m g - (C ）12122m m g m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ (D ）12124m m gm m ⎛⎫⎪+⎝⎭2—2用水平压力F 把一个物体压着靠在竖直的墙面上保持静止,当F 逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f（A )恒为零 (B ）不为零，但保持不变(C )随成F 正比增大 (D )开始随F 增大，达到某一值后,就保持不变2-3如图,物体A 、B 的质量分别为M 、m ,两物体间摩擦系数为m ，接触面为竖直面，为使B 不下滑,则需要A 的加速度为(A ）a g μ≥ (B ）a g μ≥ （C )a g ≥ （D ）M ma g M +≥2-4质量分别为m 和M 的滑块A 和B ，叠放在光滑的水平面上，如图，A 、B 间的静摩擦系数为m s ,滑动摩擦系数为m k ,系统原先处于静止状态，今将水平力F 作用于B 上，要使A 、B 间不轰生相对滑动，应有（A ）s F mg μ≤ (B )(1)s F m M mg μ≤+（C ）()s F m M mg μ≤+ （D )s m M F mgM μ+≤AmBB m A 思考题2-1图思考题2-3图思考题2—4图m(a )(b )Bm mm 21m 21思考题2-7图2—5 在光滑的水平面上,放有两个相互接触的物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，且m 1〉 m 2。
大学物理学第三版上海交大上册习题答案
第一章习 题1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为)ωt sin ωt (cos j i +=R r其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω=消去t 可得轨道方程 222R y x =+2） j rv t Rcos sin ωωt ωR ωdtd +-==i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2122])c o s ()s i n [(1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。
解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知2t 4x =t 23y +=消去t 得轨道方程为：2)3y (x -=2）j i rv 2t 8dtd +==j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 11+=+==⎰⎰Δ3） j v 2(0)= j i v 28(1)+=1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）j i rv 2t 2dt d +== i va 2dtd ==2）212212)1t (2]4)t 2[(v +=+= 1t t 2dtdv a 2t +==n a ==1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为20121at t v y += （1） 图 1-420221gt t v h y -+= （2）21y y = （3）解之t =1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，tv d d . 解：（1） t v x 0= 式（1）2gt 21h y -= 式（2）j i r )gt 21-h (t v (t)20+=（2）联立式（1）、式（2）得 22v 2gx h y -=（3）j i rgt -v t d d 0= 而 落地所用时间 gh 2t = 所以j i r 2gh -v t d d 0= j v g td d -= 2202y 2x )gt (v v v v -+=+=212220[()]g t dv dt v gt ==+1-6. 路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯下以匀速1v 沿直线行走。
大学物理(上)课后习题答案解析
第1章质点运动学 P211.8一质点在xOy 平面上运动,运动方程为：x =3t +5, y =21t 2+3t -4. 式中t 以 s 计,x ,y 以m 计。
⑴以时间t 为变量,写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移；⑶计算t＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式,计算t ＝4 s 时质点的速度；<5>计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；<6>求出质点加速度矢量的表示式,计算t ＝4s 时质点的加速度<请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式>。
解：〔1j t t i t r)4321()53(2-+++=m⑵1=t s,2=t s 时,j i r5.081-=m ；2114r i j =+m∴213 4.5r r r i j ∆=-=+m⑶0t =s 时,054r i j =-；4t =s 时,41716r i j =+∴140122035m s 404r r r i j i j t --∆+====+⋅∆-v ⑷1d 3(3)m s d ri t j t-==++⋅v ,则：437i j =+v 1s m -⋅ <5> 0t =s 时,033i j =+v ；4t =s 时,437i j =+v<6> 2d 1 m s d a j t-==⋅v这说明该点只有y 方向的加速度,且为恒量。
1.9质点沿x 轴运动,其加速度和位置的关系为226a x =+,a 的单位为m/s 2,x 的单位为m 。
质点在x =0处,速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。
解：由d d d d d d d d x a t x t x===v v v v得：2d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分210d (26)d xx x =+⎰⎰vv v 得：2322250x x =++v∴ 31225 m s x x -=++⋅v1.11一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为θ=2+33t ,式中θ以弧度计,t 以秒计,求：⑴t ＝2 s 时,质点的切向和法向加速度；⑵当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少?解： t tt t 18d d ,9d d 2====ωβθω ⑴s 2=t 时,2s m 362181-⋅=⨯⨯==βτR a⑵当加速度方向与半径成ο45角时,有：tan 451n a a τ︒== 即：βωR R =2,亦即t t 18)9(22=,解得：923=t 则角位移为：322323 2.67rad 9t θ=+=+⨯= 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动,其角加速度为α=0.2 rad/s 2,求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。
大学物理规范作业C(上)03功能原理机械能守恒解答
大学物理规范作业
总（03） 功能原理 机械能守恒
1
一、选择题
1.人造地球卫星沿着椭圆轨道飞行，卫星在轨道上的 B 速率：【 】
（A）处处相等 （C）只在近地点相等 解： 忽略其他星体引力，地球和其卫星系统机械能守恒。 由于卫星沿轨道绕地球运行，卫星和地球之间的距 离不断变化，引力势能也将不断变化，卫星的动能随之 不断变化。因此，卫星在轨道上的速率处处不等。 （B）处处不相等 （D）只在远地点相等
2.一个质点在几个力同时作用下的位移为： r 4i 5 j 6k (m) ,其中一个恒力为 F 3i 5 j ( N ) ， 则这个力在该位移过程中所做的功为：【 C 】 （A）67 J
1 2 1 2 fs kx ( mv mgs sin 37 ) 2 2
式中 s 4.8 0.2 5m, x 0.2m
代入有关数据，解得 k 1390 N / m
弹回后，再次运用功能原理，
1 2 fs mg s sin 37 kx 2
代入有关数据，解得 s 1.41m 木块弹回的高度：
r2
r1
解：核对电子的吸引力所做的元功
k dA F dr 2 dr r r2 r2 k 1 1 则 A dA 2 dr k ( ) r1 r1 r r2 r1
6
3.用R和M分别代表地球的半径和质量。在离地面高度 为R处有一质量为m的物体。若以地面为势能零点，地
[(8 6t )(3 8t 3t )]dt 176J
(交大版大学物理习题解答上册)---5刚体力学基础习题思考题
习题55-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力分析如图，可建立方程：ma T mg 222=-┄①ma mg T =-1┄②2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④βr a = ，2/2J m r =┄⑤联立，解得：g a 41=，mg T 811=。
5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
解：（1）设杆的线密度为：lm =λ，在杆上取一小质元d m d x λ=，有微元摩擦力： d f d m g g d x μμλ==， 微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=， 考虑对称性，有摩擦力矩：20124lM g x d x m g l μλμ==⎰；（2）根据转动定律d M J Jdtωβ==，有：00t M d t Jd ωω-=⎰⎰，2011412m g l t m l μω-=-，∴03lt gωμ=。
或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，2112J m l =，有：03lt gωμ=。
T5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2MR，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：m g T m a -=┄①βJ TR =┄② a R β= ，212J m R =┄③ 联立，解得：22m g a M m=+，2M m gT M m =+，考虑到dv a dt=，∴022v t m g dv dt M m =+⎰⎰，有：22m g tv M m=+。
上海交大版大学物理上册答案
第一章 质点运动学【例题】例1-1 A ｔ= 1.19 s 例1-2 D 例1-3 D 例1-4 B 例1-5 3 3 例1-6 D 例1-7 C例1-8 证明：2d d d d d d d d v xv vtx xv tv K -==⋅= ∴ d v /v =－K d x⎰⎰-=xx K 0d d 10v vvv , Kx -=0lnv v ∴ v =v 0e－Kx例1-9 1 s 1.5 m 例1-10 B【练习题】1-1 x=(y-3)2 1-2 -0.5m/s -6m/s 2.25m 1-3 D 1-4 不作匀变速率运动．因为质点若作匀变速率运动，其切向加速度大小t a 必为常数，即321t t t a a a ==，现在虽然321a a a ==， 但加速度与轨道各处的切线间夹角不同，这使得加速度在各处切线方向的投影并不相等，即321t t t a a a ≠≠，故该质点不作匀变速率运动。
1-5 D 1-6证明：设质点在x 处的速度为v 62d d d d d d 2x tx xta +=⋅==v v()x x xd 62d 02⎰⎰+=v v v()2 213xx +=v1-7 16 R t 24 rad /s21-8 Hv/(H-v) 1-9 C第二章 质点运动定律【例题】例2-1 B 例2-2 B 例2-3 解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv ，由牛顿定律∴⎰⎰=-=-vv 00vv d d ,vv d d tt mKt m K ∴ mKt /0e -=v v (2) 求最大深度 tx d d =vt x mKt d ed /0-=vt x mKt txd ed /000-⎰⎰=v ∴ )e1()/(/0mKt K m x --=vK m x /0max v = 例2-4 D 例2-5 答：(1) 不正确。
向心力是质点所受合外力在法向方向的分量。
质点受到的作用力中，只要法向分量不为零，它对向心力就有贡献，不管它指向圆心还是不指向圆心，但它可能只提供向心力的一部分。
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习题33-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆，有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）3-2．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义：A F r =⋅∆ ，题意：250.5r t i j =+24(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d r F m i i d t==⋅=∴560300A i i J =⋅=。
3-3．劲度系数为k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。
今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，则：F k x =，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：max mg k x =，有：max mgx k =， 由做功的定义可知：max222122mg x k m g A k xd x k x k===⎰。
3-4．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：f A 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
解：求在B 点的速度：2v N G m R-=，可得：R G N mv )(21212-= 由动能定理： 2102f mgR A mv +=-∴11()(3)22f A N G R mgR N mg R =--=-3-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2(52.838.4)F x x i =-- ，其中F和x 单位分别为N 和m 。
（1）计算当将弹簧由m 522.01=x 拉伸至m 34.12=x 过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：211.3420.522(52.838.4)x x A F d x x x dx =⋅=--⎰⎰2233212126.4()12.6()69.2x x x x J =----= （2）∵()()F x F x i =，按保守力的定义：()()()B A A BF x dl F x i dr F x i dr ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰()()()()0B B AAF x i d xi d y j d zk F x i d xi d y j d zk =⋅++-++=⎰⎰∴该弹力为保守力。
3-6．一质量为m 的物体，在力2()F at i bt j =+ 的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t 此力所做功的功率为多少。
解：由P F v =⋅，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：B2231111()()23F v dt ati bt j dt at i bt j m m m ==+=+⎰⎰所以功率为：P F v =⋅ 2232325111111()()()2323ati bt j at i bt j a t b t m m =+⋅+=+ 。
3-7．一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为：cz bxy ax E ++-=2p 。
（1）求作用力F；（2）当质点由原点运动到3=x 、3=y 、3=z 位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。
其中p E 的单位为J ，z y x 、、的单位为m ，F 的单位为N 。
解：（1）由力和势能的关系：P F E =-∇ 有：2()()(2)F i j k ax bx y cz ax by i bx j ck x y z∂∂∂=-++-++=---∂∂∂（2）由于该力场是有势场，那么力是保守力，保守力做功与路径无关，所以可取一个比较简单的积分路径：r x i y j zk =++，则：(333)(333)(000)(000)[(2)]()A F d r ax by i bx j ck dxi dy j dzk =⋅=---⋅++⎰⎰，，，，，，，，(333)2333300(000)[(2)]993ax by d x bxd y cdz ax byxcza b c =---=--=--⎰，，，，，，3-8．轻弹簧A B 的上端A 固定，下端B 悬挂质量为m 的重物。
已知弹簧原长为0l ，劲度系数为k ，重物在O 点达到平衡，此时弹簧伸长了0x ，如图所示。
取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O '；力的平衡位置O 。
若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P 时系统的总势能。
解：（1）取弹簧原长位置'O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P 时系统的总势能：2001()()2P E mg x x k x x =-+++，（2）取力的平衡位置O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能：22001122P E mgx k x x k x =-++-（），而0mg kx =∴22200111222P E mgx k x x kx kx =-++-=（）。
3-9．在密度为1ρ的液面上方，悬挂一根长为l ，密度为2ρ的均匀棒AB ，棒的B 端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在1212ρρρ<<的条件下，求细棒下落过程中的最大速度max v ，以及细棒能进入液体的最大深度H 。
解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：G F =浮，即hsg lsg 12ρρ= ，则：l h 12ρρ=。
利用功能原理：212mgh mv A =+浮，有：22max 21012h slv sglh gsydy ρρρ=-⎰可解得：max v =（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H 时，速度为零，设：'H l h =+，由能量守恒有：211'llsgH ysgdy lsgh ρρρ=+⎰，即：211()l lsgH ysgdy lsg H l ρρρ=+-⎰∴1122()lH ρρρ=-。
3-10．若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f 的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k 为常数，即f k v =-，试求质量为m 的卫星，开始在离地心R r 40=（R 为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心R r 40=处质点的速度为1v ，地面上的速度为2v ，万有引力提供卫星向心力：202rMm G r v m =，∴2012==R r v v再由动量定理：f dt mdv =，有：kvdt mdv -=分离变量取积分，可得：2121ln ln 2v v v m m mt dv kv k v k=-==⎰。
3-11．一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L ，质量为m ，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：111P A E mg l mgl =∆=⨯=3-12．起重机用钢丝绳吊运质量为m 的物体时以速率0v 匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。
设钢丝绳劲度系数为k ，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能，由2202121kx mv =，可得：0v kmx =， （这里，由于是微小伸长，因伸长而引起重力势能的降低可以忽略不计）分析物体的受力，可得到绳子的拉力为：0T mg k x mg =+=+。
3-13．在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A 、A 边上再放一物体B ，它们质量分别为A m 和B m ，弹簧劲度系数为k ，原长为l ．用力推B ，使弹簧压缩0x ，然后释放。
求：（1）当A 与B 开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后，A 还能往前移动多远? 解：（1）当A 与B 开始分离时，两者具有相同的速度，但A 的加速度为零，此时弹簧和B 都不对A 产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：22011()22A B m m v k x +=，有：0x m m k v BA +=，x l =； （2）分离之后，A 的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：221122A Am v kx = ，则：0A x = 。
3-14．已知地球对一个质量为m 的质点的引力为3e Gm m F r r=-（e e ,R m 为地球的质量和半径)。
（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：e e 211e e P R R eE F dr Gm m dr Gm m r R ∞∞=⋅=-⋅=-⎰⎰ ；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：e e 211e e R R eE F dr Gm m dr Gm m r R ∞∞∞=⋅=-⋅=⎰⎰∴两种情况下势能差是完全一样的。
3-15．试证明在离地球表面高度为h (e h R <<)处，质量为m 的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh 。
解：∵万有引力的势能函数表达式为0P MmE G r=-，（以无穷远处为势能零点），且此时地球表面处的势能为：0e R e eMmE G mgR R =-=-，在离地球表面高度为h (e h R <<)处，质量为m 的质点所具有的引力势能为：)()()()()(20200h R mg h R R Mm G h R h R Mm G h R Mm G e e ee e e +-=+-≈++-=+-， 如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为： [()]P e e E mgR mg R h mgh =---+=。
思考题3 3-1．求证：一对内力做功与参考系的选择无关。
证：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：1122A f d r f d r =⋅+⋅，由于外力的存在，质点1和2的运动情况是不同的，虽然其内力相等而方向相反（12f f =-），但12dr dr ≠，∴上式可写为： A=112212()A f d r f d r f d r d r =⋅+⋅=⋅-表明，内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。