垂直关系1：线面垂直的判定

直线与平面垂直的判定一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的___垂面__.它们唯一的公共点P叫做__垂足__.图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结](1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条__相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__a∩b＝P__⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面__垂直__，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的__交点__叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过__垂足__和__斜足__的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__锐角__，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于__0°__.因此，直线与平面所成的角的范围是__[0°，90°]__．预习自测1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(A)A．平行B．相交C．异面D．垂直[解析]∵直线l⊥平面α，∴l与α相交又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(D)A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定[解析]如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l 在平面α内都有可能．故选D．3．(2016～2017·福州高二检测)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A ＝8，则P到BC的距离是(D)A． 5 B．2 5C．3 5 D．4 5[解析]取BC的中点D∵AB＝AC∴AD⊥BC．又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC．又P A∩AD＝D∴BC⊥平面P AD，∴BC⊥PD．∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6∴AD＝4∴PD＝P A2＋AD2＝45．故选D．命题方向1⇨线面垂直的判定典例1 如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF．[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到P A⊥平面ABC，可想到P A⊥AB、P A⊥BC、P A⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是P A⊥BC，联系已知，问题得证．[解析](1)∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴P A⊥BC．∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．又AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB．(2)∵BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，∴BC⊥AE．∵PB⊥AE，BC∩PB＝B∴AE⊥平面PBC．(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A∴PC⊥平面AEF．『规律方法』线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．〔跟踪练习1〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D所以SD⊥平面ABC．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD又因为SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC ． 命题方向2 ⇨直线与平面所成的角 典例2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)求直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角．[思路分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A 1作平面BDD 1B 1的垂线，该垂线必与B 1D 1、BB 1垂直，由正方体的特性知，直线A 1C 1满足要求．[解析] (1)∵直线A 1A ⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角，设A 1A ＝1，则AC ＝ 2∴tan ∠A 1CA ＝22． (2)连接A 1C 1交B 1D 1于O ，在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1又BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，垂足为O ． ∴∠A 1BO 为直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°．『规律方法』 求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．〔跟踪练习2〕如图，在三棱柱ΑΒC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．[解析](1)取BC的中点E，连接A1E、DE、AE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E ⊥AE因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC由D、E分别是B1C1、BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝2．由∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝ 2∠DA1E＝90°，得A1F＝7 2．所以sin∠A1BF＝7 8．易错系列逻辑推理不严密致误典例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD．求证：CD⊥平面ABB1A1.[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1∴CD⊥平面ABB1A1．[错因分析]错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．[正解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC∴CD⊥AA1．又AC＝BC，D是AB的中点∴CD⊥AB．∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1AB∩AA1＝A∴CD⊥平面ABB1A1．[警示]用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.〔跟踪练习3〕如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A2C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1．[错解]在三棱柱中，∵AA1⊥平面ABC，∠B1A1C1＝90°∴AD⊥A1C1；又从图可知AD⊥平面BCC1B1∴AD⊥C1D∴AD⊥平面A1DC1．[辨析]前半部分，虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1，但推理过程不严密；后半部分AD⊥平面BCC1B1纯属臆想，无任何推理依据．[分析]先推证C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1；再在矩形ABB1A1中，通过计算证明AD⊥A1D．[证明]∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC∴AA1⊥平面A1B1C1．∴A1C1⊥AA1．又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1．而A1B1∩AA1＝A∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B∴A1C1⊥AD．由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2．∴AD2＋A1D2＝AA21∴A1D⊥AD．∵A1C1∩A1D＝A1∴AD⊥平面A1DC1．1．线线垂直和线面垂直的相互转化典例4 一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC∴BB1⊥AD∵AB＝AC，D是BC的中点∴AD⊥BC．又BC∩BB1＝B∴AD⊥平面BCC1B1．(2)解：连接C1D．由(1)AD⊥平面BCC1B1则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝32，AC1＝2，sin∠AC1D＝ADAC1＝64即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为6 4．〔跟踪练习4〕如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE．[证明]∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE．又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC．∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF．∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B∴AE⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．2．关于垂直的存在型探索性问题典例5 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？[思路分析]关键是将PQ⊥QD转化为DQ⊥AQ，再使DQ⊥AP即可，但AD＝BC＝a 是变化的，故需对a进行讨论．[解析]∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥QD．若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ则有QD ⊥平面P AQ ，从而QD ⊥PQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使AQ ⊥DQ ．∴当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．[点评] 本题运用平面几何知识，借助以AD 为直径的圆与BC 交点的个数推断点Q 是否存在．课堂检测1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( A ) A ．①③ B ．①② C ．②④D ．①④[解析] 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③．2．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( D )A ．223B ．23C ．24D ．13[解析] ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1∴∠AC 1A 1为直线AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角 ∵AA 1＝1，AB ＝BC ＝2，∴AC 1＝3 ∴sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13．3．如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有__4__.[解析] ∵P A ⊥平面ABC∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ． ∴△P AB 、△P AC 为直角三角形． ∵BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A∴BC ⊥平面P AC ．∴BC ⊥AC ，BC ⊥PC ． ∴△ABC 、△PBC 为直角三角形．4．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点，P A ＝AD ．求证：EF ⊥平面PCD ．[解析] 如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF ．∴FH 綊12CD∴FH 綊AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF ． ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ．又∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ∴CD ⊥平面P AD ．又∵AH ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AH ． 又∵P A ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ∴AH ⊥平面PCD又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD ．A 级 基础巩固一、选择题1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( B ) A ．(0°，90°)B ．[0°，90°]C ．(0°，90°]D ．[0°，180°][解析] 由线面角的定义知B 正确．2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．6[解析] 仅有平面AC 和平面A 1C 1与直线AA 1垂直．3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，则图中共有直角三角形的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ∵P A ⊥平面ABCD∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，P A ⊥BC ，P A ⊥CD ．⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥BCP A ⊥BC P A ∩AB ＝A ⇒BC ⊥平面P AB ⇒BC ⊥PB 由⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AD CD ⊥P A P A ∩AD ＝A ⇒CD ⊥平面P AD ⇒CD ⊥PD ． ∴△P AB ，△P AD ，△PBC ，△PCD 都是直角三角形．4．直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( B ) A ．40° B ．50° C ．90°D ．150°[解析] 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b 与α所成的角也是50°． 5．下列说法中，正确的是( B ) A ．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B ．垂直于同一平面的两条直线互相平行 C ．垂直于同一平面的两个平面互相平行 D ．平行于同一平面的两条直线互相平行[解析] A 中两直线可相交、异面、平行，故A 错；B 中l ⊥α，m ⊥α则l ∥m ，正确；C 中两平面可平行、相交，故C 错；D 中两直线可平行、相交、异面，故D 错．6．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是(D)A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[解析]设AB长为1，由P A＝2AB得P A＝2又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2又P A⊥平面ABC，所以P A⊥AD所以△P AD为直角三角形．∵P A＝AD，∴∠PDA＝45°∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D．二、填空题7．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的__外心__.(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”) [解析]P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为__45°__.[解析]如图，设C在平面α内的射影为O点连结AO，MO则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝ 2∴CM＝22，CO＝12.∴sin CMO＝COCM＝22，∴∠CMO＝45°．三、解答题9．如图，在三棱锥A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB．作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE 于H .求证：AH ⊥平面BCD ．[解析] 取AB 的中点F ，连接CF 、DF ． ∵CA ＝CB ，DA ＝DB ，∴CF ⊥AB ，DF ⊥AB ．∵CF ∩DF ＝F ，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴AB ⊥CD ．又CD ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CD ⊥平面ABE ． ∵AH ⊂平面ABE ，∴CD ⊥AH ．∵AH ⊥BE ，BE ∩CD ＝E ，∴AH ⊥平面BCD ．10．如图在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝13，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，M 为AC 的中点.(1)求证：PM ⊥平面ABC ；(2)求直线BP 与平面ABC 所成的角的正切值．[解析] (1)∵P A ＝PC ，M 为AC 的中点，∴PM ⊥AC ．① 又∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6 ∴AM ＝MC ＝MB ＝12AC ＝5．在△PMB 中，PB ＝13，MB ＝5． PM ＝PC 2－MC 2＝132－52＝12． ∴PB 2＝MB 2＋PM 2，∴PM ⊥MB ．② 由①②可知PM ⊥平面ABC ． (2)解：∵PM ⊥平面ABC∴MB 为BP 在平面ABC 内的射影∴∠PBM 为BP 与底面ABC 所成的角． 在Rt △PMB 中tan ∠PBM ＝PM MB ＝125．B 级 素养提升一、选择题1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1上的点，则下列直线中一定与CE 垂直的是( B )A ．ACB ．BDC ．A 1D 1D ．A 1A[解析] ∵BD ⊥AC ，BD ⊥A 1A ，AC ∩A 1A ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1． 又∵CE ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE ．2．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( C ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交[解析] 取BD 中点O ，连接AO 、CO则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC 又BD 、AC 异面，∴选C ．3．如图，三条相交于点P 的线段P A ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的( C )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心[解析]∵PC⊥P A，PC⊥PBP A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB．又∵AB⊂平面P AB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH．又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH．同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．4．(2018·全国卷Ⅰ文，10)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为(C)A．8 B．6 2C．8 2 D．8 3[解析]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°因为AB＝2，所以BC1＝23，从而求得CC1＝2 2所以该长方体的体积为V＝2×2×22＝82，故选C．二、填空题5．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是__菱形__.[解析]由于P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以P A⊥BD．又PC⊥BD，且PC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，PC∩P A＝P，所以BD⊥平面P AC．又AC⊂平面P AC，所以BD⊥AC．又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．6．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，P A⊥平面AC，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是__[2，＋∞)__.[解析]因为P A⊥平面AC，QD⊂平面AC，∴P A⊥QD．又∵PQ⊥QD，P A∩PQ＝P∴QD⊥平面P AQ，所以AQ⊥QD．①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD．C级能力拔高1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.[解析]当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．连接A1B、CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1又D1E⊂面A1BCD1，∴AB1⊥D1E．又DD1⊥平面BD∴AF⊥DD1．又AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE∴AF⊥D1E．∴D1E⊥平面AB1E．即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.2．如图，在锥体P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，P A＝PD，E，F 分别是BC，PC的中点．求证：AD⊥平面DEF.[证明] 取AD 的中点G ，连接PG ，BG .因为P A ＝PD所以AD ⊥PG ． 设菱形ABCD 边长为1．在△ABG 中，因为∠GAB ＝60°，AG ＝12，AB ＝1所以∠AGB ＝90° 即AD ⊥GB ． 又PG ∩GB ＝G 所以AD ⊥平面PGB 从而AD ⊥PB ．因为E ，F 分别是BC ，PC 的中点，所以EF ∥PB ，从而AD ⊥EF ． 易证DE ∥GB ，且AD ⊥GB 所以AD ⊥DE ，因为DE ∩EF ＝E 所以AD ⊥平面DEF ．。