高中数学新人教a版必修5教案 3.4 基本不等式1
高中数学人教版A版必修五学案：§3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2 (二)
[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件：(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有() A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____． (3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为____． 答案(1)D(2)－2(3)3解析(1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2， 当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立， ∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝⎛⎭⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 422 ＝12·⎝⎛⎭⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为3.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1(1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是() A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________． 答案(1)D(2)3＋2 2解析(1)a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立． 题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy () A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案C 解析由题意得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ln y ， ∴ln x ln y ＝14， ∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1，∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围． 解设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3， ∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15， ∴a ≥15. 反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2(1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为() A ．2B ．4C ．1D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________．答案(1)B(2)18解析(1)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立． (2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)，代入得－2m －n ＋1＝0，∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝18， 当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立． 题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18500＋25a ＋40b ≥18500＋225a ×40b＝18500＋21000ab ＝24500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm 2. 反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．跟踪训练3一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．答案8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立， 此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是() A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81答案C解析A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于() A ．1＋2B ．2C ．3D ．4答案B解析y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1 ≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m答案C解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．答案2解析①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎡⎦⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________． 答案1解析∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
高中数学基本不等式优秀教案
《不等式的性质》教学设计一. 教学内容解析；本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5〕》〔人教A 版〕第三章第一节的第二课《不等式的性质》。
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这局部内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及根底．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系根底上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比拟两个实数大小的方法和不等式的性质。
二．教学目标设置；1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2.理解并掌握比拟两个实数大小的方法．3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比拟实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．三．学生学情分析；在的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是〔1〕利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，〔2〕学习关于不等式原来不完善的地方，比方对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。
教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用．四．教学策略分析；这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的根本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜测不等式的根本性质，并给出证明。
让学生体会“运算〞在研究不等式性质中的关键作用。
为了研究不等式的性质，首先学习比拟两实数大小的方法，这是论证不等式性质的根本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生根本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．五．教学过程设计；引入：1．古诗横看成岭侧成峰，远近上下各不同，引出不等关系。
3.4.1基本不等式的应用(2)(2015年人教A版数学必修五导学案)
1 1 的最小值； x y
1 9 1 ，求 x y 的最小值． x y
【学后反思】
h
课题:3.4.1 基本不等式的证明（2）检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1．若 x，y R ； （1）当 x 2 y 18 时，则 x y 的最____值为______，此时 x _____； y _____．
5．求函数 y x
4 ( x 0) 的值域． x
6．设 x ， y 为正实数，且 2 x 5 y 20 ，求 u lg x lg y 的最大值．
5．设 x，y R ，求证： x 2 y 2 5 2(2x y) ．
h
（2）已知 x 0 ， y 0 ，且 5x 7 y 20 ，求 xy 的最大值．
2 2．求证： （1） x
1 1； 2 x 1源自（2）x2 3 x2 2
2；
（3）已知 x
5 1 ，求 y 4 x 1 的最大值． 4 4x 5
3． x 4 y 1 ，求
1 1 的最小值． x y
【课后巩固】
1．下列不等式的证明过程正确的是（ A．若 a ， b R ，则 ）
b a b a 2 2 a b a b B．若 x ， y 是正实数，则 lg x lg y 2 lg x lg y
4 4 x a b a b a b D．若 a ， b R ，且 ab 0 ，则 ( ) 2 2 b a b a b a
C．若 x 是负实数，则 x
4 2 x
x
12 3 x 的最小值为_____；此时 x _____． x 12 3 x 的最大值为______；此时 x _____． （2）若 x 0 时， y x 1 ( x 3) 的最小值为______；此时 x _____． （3）函数 y x x3 1 1 3． （1）已知 x，y R 且 x 2 y 1 ，则 的最小值为___________． x y
高中数学人教A版必修五教案：3.4基本不等式(二)
第二课时 基本不等式（二） 一、教学目标（1）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
（3）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性二、教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件三、教学流程（一）复习引入1．基本不等式：如果ab b a b a 2R,,22≥+∈那么)""(号时取当且仅当==b a 如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：练习)0_______(___432)()1(>--=x xx x f 两两两)0_____(___sin 21sin )2(<<-+x xx π两两两.24)(22)3(b a x f b a b a 两两两两两两两两两两两+==+,4)(15.0222422222224)(222的最小值是所以时取等号，即且当且仅当解：x f b a b a b a x f b a b a b a ===+===≥+=+=+小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.（二）举例分析例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
新人教A版必修5高中数学《3.4 基本不等式》导学案(3)
高中数学《3.4 基本不等式》导学案（3）新人教A 版必修5学习目标1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x ＞0，则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32，求函数y ＝x(3－2x)的最大值；一层练习 4、若a <1，则a ＋1a －1有最___值，为________．5、设0>x ，求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y ＝x ＋1x的值域．9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0，y>0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3求2x ＋y 的最小值；6、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．(3)设x>0，y>0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．(2)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－36．若lg x ＋lg y ＝1，则2x＋5y的最小值为________．8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 2已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b+的最小值是( )A ．B ．3-C ．3+D ．33(2011·安徽合肥一模)若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]1函数y ＝3x ＋32－x的最小值为__________．4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）(1).11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．达标练习课后练习。
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
【优化方案】2012高中数学 第3章3.4基本不等式ab≤a+b2课件 新人教A版必修5
例1
已知a， ， 为不全相等的正实数． 已知 ，b，c 为不全相等的正实数．求证
a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca. ＋ ＋
【思路点拨】 思路点拨】 → 得到结论
【证明】 证明】
构造基本不等式的条件 →
运用基本不等式证明 → 判断等号成立的条件
∵a＞0，b＞0，c＞0， ＞ ， ＞ ， ＞ ，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. ， ， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ＋ ＋ ， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ＋ ＋
例2
3 (1)设 0＜x＜ ， 设 ＜ ＜ 求函数 y＝4x(3－2x)的最 ＝ － 的最 2
大值； 大值； 1 9 (2)已知 x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小 已知 ＞ ， ＞ ， x y ， ＋ 值．
【思路点拨】 思路点拨】 不等式求解． 不等式求解． 构造和或积的定值，利用基本 构造和或积的定值，
解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x) 元， 2160×10000 × 则 f(x)＝(560＋48x)＋ ＝ ＋ ＋ 2000x 10800 ＝560＋48x＋ x (x≥10，x∈N*)． ＋ ＋ ≥ ， ∈ ． 10800 所以 f(x)＝560＋48x＋ x ＝ ＋ ＋
≥560＋2 48×10800＝2000， ＋ × ＝ ， 10800 当且仅当 48x＝ x ，即 x＝15 时取等号． ＝ ＝ 时取等号． 因此， x＝15 时， 取值最小值 f(15)＝2000， 当 f(x)取 因此， ＝ ＝ ， 即为了楼房每平方米的平均综合费用最少， 即为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该 楼房应建为 15 层．
3．4 ．
湖南省平江县第三中学高中数学《3.4 基本不等式》导学案(2)新人教A版必修5
湖南省平江县第三中学高中数学《3.4 基本不等式》导学案（2）新人教A 版必修 5 学习目标 1．理解并掌握基本不等式及变形应用．2．会用基本不等式求最值问题※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)学习过程一、自主学习基本不等式（预习教材P 97~ P 98，找出疑惑之处）二、合作探究题型三 利用基本不等式求最值1．2.一层练习的最小值求且已知y x y x xy +>>=,0,0,1的最大值求，且已知xy y x y x 20,0=+>>二层练习6. 已知x>2，求x＋4x－2的最小值；达标练习___ ______ 312)(,022 1,2 1=+ =>-+=>xxxxfxxxyx此时为值的最、若的最小值求函数、已知的最大值求函数、已知)2(,27xxyx-=<<4、设0<x<32，求函数y ＝4x(3－2x)的最大值；5、已知x<3，求f(x)＝4x －3＋x 的最大值；课后练习1、求函数y ＝x ＋1x的值域．2、已知ab ＝16，a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的最小值为__________．3、若x>0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值； 的最大值求函数、已知)32(,3203x x y x -=<<4、已知x>2，求x ＋4x －2的最小值；5、已知x>0，求f(x)＝12x＋3x 的最小值；的最小值），求（且、、设)41(1012222y x y x xy R y x ++≠∈。
河南省伊川县实验高中人教版高中数学必修五教案：3.4
《基本不等式》教案张晓锋教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式课时：1课时一、教材分析1．本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
2．教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3．教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
二、学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.三、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.四、教学过程设计1.创设情境【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.（请学生在学案上课前完成：4S S S =+Q 大正方形直角三角形小正方形()2222142c ab a b a b ∴=⨯+-=+.） 【思考1】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？( 生1：4S S ≥大正方形直角三角形，得ab b a 222≥+；生2：0S ≥小正方形，得()02≥-b a .） 【归纳】对于两直角边a b 、，有222a b ab +≥.【思考2】上式中何时等号成立？(请学生说明：当a b =时, 222a b ab +=；当a b ≠，222a b ab +>.)【归纳】当且仅当a b =时，等号成立.【探究1】上式对正实数是成立的，那么对任意实数a b 、，上式都成立吗？（请学生自主探究，用“比较法”证明.强调a b =和a b ≠两种情况，说明“当且仅当”的含义.）【归纳】对任意实数a b 、，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.2.基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>> 【引入】当0,0a b >>a a b 代替b 即可得到：)20,0a b ab a b +≥>>【说明】通常我们把上式写作(0,0)2a b ab a b +≥>>，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）【思考3】你能否证明基本不等式？（请学生思考完成.生1：（比较法）210222a b ab a b a b ab +-=≥+∴≥Q当且仅当a b =时，等号成立； 生2：（综合法）202a b a b ab≥∴+≥Q 当且仅当a b =时，等号成立;生3：（分析法）()()()()22,a b ab a b ab a b ab a b a b ab +≥∴+≥∴+-≥∴≥∴+≥Q要证只要证只要证只要证上式显然成立。
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若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。
简记为：“一正、二定、三相等”。
五、反思总结，整合新知：
两种思想，三个注意
六、布置作业：
1、已知x 0，若x＋ 的值最小，则x为（）.
A．81 B．9 C．3 D．162．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2 ，则 ＋ 的最大值为()
3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点教学难点及
解决措施
重点：从不同角度探索基本不等式 的证明过程及应用。
难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
教学流程
一、创设情景，提出问题；
借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式 的几何解释，通过数形结合，赋予不等式 几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。
四、题型分类
题型一利用基本不等式证明不等式
思考：若 的最小
值为________,此时
【例1】 已知a>0，b>0，证明下列不等式:
变式训练1：已知a>0，b>0，证明下列不等式:
三、理解升华：
1、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
2、探究基本不等式证明方法：
方法一：作差比较或由 展开证明。
方法二：分析法（完成课本填空）3、探究基本不等式的几何意义：
基本不等式
高考要求
掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
三维目标
1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式 。在此基础上，引导学生认识基本不等式。
同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示，
A．2B． C．1D．
3．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()
A. B. C. D.
4、若a>0,b>0,且 ，则（）
A. B. C. D.
5、若实数a，b，满足 ，则 的最小值是（）.
A．18 B．6 C． D．
二、填空题：
_______
7．已知x，y∈R＋，且满足 ＋ ＝1，则xy的最大值为________．8．若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。
9．设 ，则函数 的最小值是。
10、若x>0,求 的最小值
高考闯关
1.设x，y∈R，且xy≠0，则 · 的最小值为________．
2．下列不等式一定成立的是()
A．lg >lg x(x>0)B．sin x＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D. >1(x∈R)
课后作业
让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：
二、抽象归纳：
一般地，对于任意实数a,b，有 ，当且仅当a＝b时，等号成立。
你能给出它的证明吗？
特别地，当a>0,b>0时，在不等式 中，以 、 分别代替a、b，得到什么？
【归纳总结】
如果a,b都是正数，那么 ，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。其中 称为a,b的算术平均数， 称为a,b的几何平均数。
题型二利用基Biblioteka 不等式求最值【例2】 （1）已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是_______,此时x=___,y= _____
（2）已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则 ＋ 的最小值为________；
变式训练2：已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，则 ＋ 的最小值为________；