高等数学应用题教学文案

第一章 函数 极限 连续 问题1. 上岸点的问题 有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1） 222xyR

内游泳，当他位于点（,02R）时，听到紧急集

合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为1v，陆地上跑步的速度为2v，求赶回营房 所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。 图1-1

解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的

位置数字化，根据本题特点可设 (cos,sin)MRR

其中为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()tf的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()tf的定义域为0。 该士兵在水中游泳所花的时间为

2221111

1(cos)sin54cos22PMRRtRRvvv

而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论： ① 当03时，有22254cosMARtvv；

② 当3时，要先跑一段圆弧»MB，再跑一段且线段BA，所以 »222

1()(3)3RtMBBAvv。

综上所述，可得

1212

54cos54cos,02354cos(3),233RRvvtRRvv







问题2 外币兑换中的损失 某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后

B A O x y P M 

M他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。 解：设1()ft为将x美元兑换成的加拿大元数，2()ft为将x加拿大元兑换成的美元数，则 1()12%1.12,0ftxxxx

2()12%0.88,0ftxxxx 而21(())0.880.120.9856,fftxxx故1()ft，2()ft不互为反函数。 思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？（14.4美元）

问题3 黄山旅游问题 一个旅游者，某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。 证明：设两个旅馆之间的路程为L，以()ft表示在时刻([7,19])t该旅游者离开山脚下的旅馆的路程，则可知()ft是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)0f，(19)fL。 以()gt表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知()gt是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)fL，(19)0f。

于是原问题可转化为：证明存在[7,19]，使()()fg。 作辅助函数()()()tftgt，则()t在区间[7,19]上连续，且有 2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0fgfgL

，

根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在[7,19]，使()0。就得到了所需要证明的结论。

问题4 利润与销量之间的函数关系 收音机每台售价90元，成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购，军队凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如，某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2（元），商行可以按88元/台的价格购进300台），但最低价为75元/台。 1） 把每台的实际售价p表示为订购量x的函数； 2） 把利润P表示成订购量x的函数； 3） 当一商行订购了1000台时，厂家可获利多少？ 解：1）当100x时售价为90元/台。 现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台， 90-75 =15，150.01=1500 所以，当订购量超过1500+100台时，每台售价为75元。当订购量在100~1600时，售价为90-（x-100）*0.01，因而实际售价p与订购量之间的函数关系为 90,10090(100)0.01,100160075,1600xpxxx





2）每台利润是实际售价p与成本之差 P=（p-60）x 3）由1）先计算出p=90-（1000-100）*0.01=81。再有2）可知 P=（81-60）*1000=21000（元）

问题5 Fibonacci数列与黄金分割问题 “有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对?” 解：这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，L）在1202年所著“算法之书”（又译《算盘书》（Liberabaci））中的一个题目。他是这样解答的：若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有： 从上图可知，六月份共有兔子13对；还可看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按这规律可写出数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可见一年后共有兔子233对。 这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。 若设F0=1，F1=1，F2=2，F3=3，F4=5，F5=8，F6=13，… 则此数列应有下面的递推关系： Fn+2 = Fn+1 + Fn（n = 0，1，2，…） 这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项 1111515225nnnF









是由法国数学家比内（Binet）求出的。 与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限是

151lim0.6182nnnFF （1）

或者 151lim1.6182nnnFF （2） 下面我们先来说明（2）式的含义并证明之（至于（1）式的含义见后面的说明）。 记1nnnFbF，则（nb-1）×100%就是第（n+1）月相对于第n月的兔子对数增长率（n = 0，1，2，…），例如： 010,1101nb

021,111100%1nb

032,110.550%2nb 053,110.6666%3nb

…… 若limnnb存在，则（limnnb-1）表示许多年后兔子对数的月增长率（同时也是成兔对数

及仔兔对数在许多年后的月增长率——因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开始算起，也是Fibonacci数列）。 limnnb存在的证明及求法如下：

证：01b 111111(1,2,)nnnnnnnFFFbnFFb

L

用数学归纳法容易证明： 数列{2nb}是单调增加的；数列{21nb}是单调减少的。 又，对一切30,22nnb成立。即数列{2nb}、{21nb}是有界的。 根据“单调有界数列必有极限”的准则，知数列{2nb}、{21nb}的极限存在，分别记为*b

与b*，即 *2limnnbb，*21limnnbb

分别对22111nnbb及21211nnbb的两边取极限，得 **

11bb 与 **11bb

两式相减，得 ******bbbbbb 由此得 **0bb，即221limlimnnnnbb。若不然，则有 **1bb 而由 ***1bbb，得 *0b 这是不可能的（因为211nb）因此limnnb存在，记作b，即 limnnbb

对111nnbb的两边取极限，得11bb 解此方程，得152b，因为1nb，故151.6182b 即 1limlim1.618nnnnnFbF 从而 lim10.618nnb 可见许多年以后兔子总对数，成兔对数及仔兔对数均以每月61.8%的速率增长。

问题6 巧分蛋糕 妹妹小英过生日，妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示）。哥哥小明见了也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你。小明苦想了半天，终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。你知道他用的是什么办法吗？

分析：问题归结为如下一道几何证明题。 已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状），P是曲线所围图形上任一点。求证：一定存在一条过P的直线。将这图形的面积二等分。

证明： 1. 过P点认作一直线l，将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为S1 和S2。若 S1 =S2（此情况很难办到），则l即为所求；若S1S2，则不妨设S1>S2 (此时l与x轴的正向

x l 图1-2（4）0时S1 和S2 00



S1（0）

S2（0）

x l

S2（） S1（）

0图1-2（3）旋转成角

l P

图1-2（1）能切成相等的两块吗？ 图1-2（2）0时S1 和S2

P x

l

S2 S1

0