线性代数中行列式Laplace展开式的证明

理论前沿　Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒ＇ａｌｄ—Ｕ　：：　＝：：：矗：　
线性代数中行列式Ｌａｐｌａｃｅ展开式的证明　

武柏锋　
（吉林大学物理学院　刘舂杰　长春　１　３００１　２）　

摘要：本文的重点是对行列式亦有沿多行（列）展开的求值方法的证明。对此法来说一般人只会用之，不知其证明，甚至对数学要求较高　
的物理学院在《线性代数》中忽略其证明。　
关键词：行列式　排列　逆序数　
中图分类号：Ｇ　６　４　２　文献标识码：Ａ　文章编号：１　６７３—９７９５（２０１　０）０３（ｂ）－Ｏ０８　５－－０１　

１行列式的定义及沿多行（列）展开的定理（Ｌａｐｌａｃｅ定理）　
行列式值的定义：　

：
∑ｓｇｎ（ａ）ａ，　）　
Ｅ　（ｒ＋　）　

其中ｉ、　（ｒ＋ｓ）为所有ｒ＋ｓ级置换形成的集合；ｉｉ、ｏ∈　（ｒ＋　）　
表示ｏ－取遍　（ｒ＋ｓ）中所有的ｒ＋　级置换；ｉｉｉ、ｓｇｎ（ｏ－）＝（一１）“　为置　换ｏ－的符号因子，其中ｒ（ｏ－）是置换ｏ－－的逆序数。　依行列式值的沿多行（列）展开的定理得：取定　中的某ｋ行　后，Ａ等于含于此ｋ行的所有ｋ阶子式与其代数余子式的乘积之　和，数学表达式为：　＝∑ｓｇｎ（ｃｒ１）　ｏ－ｌ∈　（ｒ＋ｓ）　口１　（１）’。‘　１　（，）　（ｒ＋Ｉ】　（Ｈ１）…以（ｒ＋１）　（ｒ＋　）　其中ｉ、ｇ（ｒ＋ｓ）为有ｑ（１）＜　（２）＜…＜ｑ（　和　＋１）＜ｏ－ｉ（ｒ＋２）＜・・＜　＋ｓ）　特征的所有ｒ十Ｓ级置换形成的集合；ｉｊ、０．１∈　＋　）表示　取遍　（ｒ＋　）中所有的ｒ＋　级置换；ｉｉｉ、ｓｇｎ（ｃｒ　）＝（一１）　为置换　的符号　因子且　（　）＝∑［ｆ　（ｆ）］。　ｊ＝ｌ　２由行列式值的定义证明其值沿多行（列）展开的定理即：　用（１）证明（２）　ｉ、∑［　（ｆ）一柏＝　时，由新排列的特点可知：　作用于原排列仅仅使　ｉ＝１　其中的元素ｒ、，＋１交换位置，即仅有唯一新排列｛１．２、…，＋１、　－　，＋ｓ｝　与∑［　（ｆ）一ｆ］＝１对应，由上述新排列知：ｆ（ｃｒ１）：１　ｆ＝ｌ　“、设∑［　（ｆ）一司＝　时新排列　（１）、　（２）、…　（　、ａｌ（ｒ＋１）、…　＋－５）｝　逆序数为ｋ即：ｆ（　）＝ｋ。由逆序数的计算可知：　ｒ（　）＝ｋ＝∑Ⅳ［口　（ｆ）Ｊ＝∑Ⅳ［　（ｆ）］　ｉ＝１　Ｉ　其中Ⅳ【　（『）］为新排列中在元素右面的所有比　（ｆ）大的元素　的个数，上式右端等号成立的理由在于新排列在置换　作用下的　两个特征；　ｉｉｉ、取仃’　∈　（ｒ＋　），使　’　作用原排硎得：　二　［　’　（ｆ）一ｆ］　ｋ＋１，新｛｛｝歹０为：｛ｏ－’　（１）、…　ｉ＝１　盯　１（ｐ一１）、仃’１（ｐ）、０－’１（　＋１）・・一ｏ－’Ｌ（ｒ）、０－　ｌ（ｒ＋１）、　‘１９－　Ｉ（ｇ一１）、ｏ－’１（ｇ）、ｏ－　１（ｇ＋１）　ｏ－ｉ１（ｒ＋　））义此排列只需从排列　（１）、　（２）　ｑ（ｒ）　（　＋１）…ｑ（ｒ＋　））　中交换元素　（ｐ）、　（ｇ）（，　ｇ）而得即：　｛　（１）、　・’ｏ－１（　一１）、０．１（ｇ）、ｏ－１（ｐ＋１）’　（ｒ）、　（ｒ＋１）、…　（ｇ一１）、　（ｐ）、０－１（ｑ＋１）…　（　＋　）｝　由新排列的特点知：必然存在１≤ＪＤ≤，，，＋１≤口≤厂＋ｓ，又由于　条件∑［　。（ｆ）一『］＝七＋　得：　（ｇ）：　（ｐ）＋１。　１　下面来计算：ｆ（　’　）＝∑Ⅳ［　’。（ｆ）］＝∑Ｎ［　（　（１）当１≤ｆ≤Ｐ一１时，由ｉｉ中排歹ｑ知：　。（ｆ）＜ａ　（ｐ），由ｉｉｉ中排歹Ｕ知：　０－’　（ｆ）＜０－　。（ｐ）即：ｑ（　）＜　（ｇ），推出：Ⅳ［　’ｌ（　＝Ⅳ［　（ｆ）］，即：　∑Ｎ［ｏ－　。（　）］＝∑Ⅳ【　（ｆ）］　（２）当ｉ＝Ｐ时，在ｉｉ｛ｊ｝歹Ｕ中取６　（，）（　≥ｒ＋ｌ，Ｊ　ｑ）　ｉ、若ｑ（Ｊ）＞ｏ＂Ｉ（ｐ），由　（ｇ）＝　（Ｐ）＋ｌ，有　．（　）≥Ｇ１（ｐ）＋２则有　（Ｊ）＞　（ｑ）；　ｉｉ、若０－￣（ｊ）＜０－１（Ｐ）有０．１（Ｊ）＜ｏ。（ｐ）＋１＝　（ｇ）即：　（Ｊ）＜０．ｔ（ｑ）｝　
综上：若ｉｊ排列Ｎ［ｏ－￣（ｐ）］＝ｘ　
则ｉｉ｛｛ｊ｝歹ＵＮ［ｃｒ’】（ｐ）】＝Ｎ［ｏ－￣（ｇ）】＝ｘ＋１［　（ｐ）　（ｇ）】Ｉ　
（３）当ｐ＋１≤ｉ≤ｒ时，由于　（ｇ）＝ｏ－　（ｐ）＋１，则在ｉｉ排列中　
ｏ－１　＋１）≥Ｇ　＋２，又６ｌ（ｆ）≥Ｇ１（ｐ＋１）≥６１（ｐ）＋２＞Ｇｌ（ｐ）＋１＝ｏ　）＞ａ（功，　
故Ⅳ【　－　（　）ｌＪ＝Ⅳ［　（ｆ）］，即存在：∑ＮＥｃｒ’。（ｆ）］＝∑Ⅳ【　（ｊ）］。　
ｉ＝ｐ＋ｌ　ｉ＝ｐ＋ｌ　
综上：　

Ｐ—ｌ　，　一１　
ｆ（　’　）＝∑Ⅳ【　’　（ｆ）Ｊ：∑Ⅳ【　’。（明＋Ⅳ【　’。（ｐ）］＋∑Ⅳ　’　（ｆ）］：∑＿Ⅳ［　（ｆ）】＋　

Ⅳ　（ｐ）】＋１＋∑Ｎ［０－１（ｉ）］　
ｉ＝ｐ＋ｌ　
∑Ｎ［ｏ－１（ｉ）］＋１＝后＋　证毕。　

＝
ｌ　
由命题一知：新排列　（１）、　，（２）、…　（ｒ）、ｏ－ｚ（ｒ＋１）、…　＋　））逆序　

数为　）＝　Ｏ）～ｆ］，则符号因子为　（　）：【－１）　）。令，（　）＝∑［ｆ　（ｆ）】，　
ｉ＝１　ｔ＝ｌ　
则ｒ（　）与ｒ（ｏ－Ｊ的奇偶性相同，因而ｓｇｎ（０－￣）＝（－１）　。　

取ｏ－∈　（，＋　）、０－１∈　＋　）、０－２∈　（ｒ）、　∈　（　）令　、　０－２、　
作用于｛ｌ　…ｒ、ｒ＋ｌ一・ｒ＋ｓ）使得ｏｌｉ）＝　ｑ（　１≤ｊ　ｏ（ｉ）＝　（ｆ）［，＋１≤ｆ≤ｒ＋　】　
贝０有：ｒ（　）＝ｆ（　１）＋ｆ（ａ　）＋ｒ（０－Ｊ和。ｓｇｎ（ｃｒ）＝ｓｇｎ（ｃｒ￣）ｓｇｎｆ（０　）ｓｇｎｒ（ａ　），　
由行列式的定义式（１）有：　

Ａ＝∑ｓｇｎ（ｏ＇）ａ，￣０）ａ２　）…　…　…）＝∑　∑　
∈ｐ（ｒ＋　）　ｑ　ｅｇ（ｒ＋ｓ）ｏ＂２∈　（ｒ）　
ｓｇｎ（ｃｒｔ）ｓｇｎ（ｏ－２）ｓｇｎ（ｏ－３）ａ，　（１）‘一ａｒｏ－２￣（ｒ）ａ（，＋１）　（，＋Ｉ）…日（Ｈ　）　（，＋　）　

依照（１）得　
（１）…　（，）　

“）　（，＋１）…ｑｒ十１）　（，＋　

（…）　（　）　，＋　）ａｌ（ｒ＋　

＝
∑ｓｇｎ（０．＝）ａｌ　【ｌ】ｄ２　２）　
∈州　）　

…　
ｓｇｎ（０．Ｊｄ（ｒ＋　）。　．（　＋ｔ）ｄ（ｒ＋：）　．（，＋ｚ）‘・‘　（ｒ＋　）　（　＋　（４）　
，　…　

根据（３）、（４）可将上式变为　
ｌ口Ｉ　（１）　
＝
∑ｓｇｎ（０－，）ｌ；　
（　＋　）　｛　
｝ａ，ｑ（１）　

ｑＨ）　（Ｈ１）…　（ｒ＋１）　（Ⅲ　

且ｓｇｎ（０．１）＝（一１）　、ｙ（ｑ）＝∑［ｆ＋　（ｆ）］，则证毕。　
中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　８５