2.2__函数的表示法(北师大版)
北师大版高一数学函数的概念2--区间
一、温故迎新
1．什 么是函数呢？
初中定义：在一个变化过程中,有两个变量x和y，如 果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我 们称y是x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量.
A
2 3 5
乘2
B
4 6 10
A
平方 B
A 1
求倒数
B 1 1 2
6
12
1 -1 2 -2 3 -3
【例2】.试判断以下各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝ x2 x2－9 (2)f(x)＝ ，g(x)＝x＋3 x－3 (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 (4)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1
【解析】 (1)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同， 也就是对应关系不同，故不相等. (2)f(x)＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数. (3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，
（1） 对应法则—— f
2、函数的三要素
（2） 定 义 域 ——A （3） 值 域——｛f(x)|x∈A｝
求函数的定义域。
x＋12 【例】 求函数 y＝ － 1－x的定义域； x＋1
解：
x＋1≠0， 要使函数有意义，须满足 1－x≥0，
解得 x≤1，且 x≠－1， ∴函数的定义域是{x|x≤1，且 x≠－1}．
3<x<7 } ；
；
（3，7）
例1:用区间表示下列实数集合。
① {x|-18≤x＜6 }; ② {x|x＞6} ； ③ {x|3＜x≤8}；
[-18,6)ຫໍສະໝຸດ （6, +∞ ）(3,8]
北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-2《分段函数》课件PPT
+ = 1,
= −1,
解得ቊ
= 2,
= 2.
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).
∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
2.已知函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
延伸探究
在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
可得到以下函数解析式y=
4,10 < ≤ 15,∈N+ ,
5,15 < ≤ 19,∈N+ .
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
典例剖析
例
分段函数的理解与应用
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm,
当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l
第二章
§2
函 数
2.2
函数的表示法
第2课时
分段函数
学习目标
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2015高考总复习数学(文)课件：2.2函数的表示法
答案：C
(2)(2012 年江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，
ax＋1，－1≤x<0， 在区间[－1,1]上，f(x)＝bx＋2 ，0≤x≤1， x ＋ 1 若
1 3 f2＝f2，则
考纲要求
1.函数的三种表示法 图象法 、________ 列表法 、________. 解析法 ________ 用函数图象 表示两个变量之间的关系. (1)图象法：就是____________ 列出表格 表示两个变量的函数关系. (2)列表法：就是__________ 等式 表示. (3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用______ 2.分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应关系用不同式子来表示 的函数称为分段函数.分段函数的对应关系为一整体.
解析：∵f(x)＝x2＋4x＋3， ∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3 ＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋(b2＋4b＋3). 又 f(ax＋b)＝x2＋10x＋24， a2＝1， ∴2ab＋4a＝10， b2＋4b＋3＝24. ∴5a－b＝2.
a＝1， 解得 b＝3 a＝－1， 或 b＝－7.
1 fx ，从而求出
过变量替换消去
f(x)的表达式.
【互动探究】 3.(2011 年湖北)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)
满足 f(x)＋g(x)＝ex，则2
－x
e x－ex ex－e C. 2 D. 2
－
－x
考点 3 求函数的解析式 例 3：(1)已知 f(x＋1)＝x2－1，求 f(x)的表达式； (2)已知 f(x)为一次函数，如果 f[f(x)]＝4x－1，求 f(x)的表达 式；
北师大版九下数学第2章 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2与y=-x2的图象与性质【习题课件】
整合方法
11．已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值． 解：根据题意有mm＋ 2＋24≠m0＋，5＝2. 解得mm≠ ＝－ －23， 或m＝－1. 即当m＝－3或m＝－1时，函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5 是关于x的二次函数．
整合方法
BS版 九年级下
第2章 二次函数
2 二次函数的图像与性质
第1课时 二次函数y＝x2与y＝－x2的 图象与性质
夯实基础
1．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边 长x(cm)的函数关系图象为( C )
【点拨】根据正方形的面积公式可知，函数表达式 为y＝x2，又x＞0，故选C.
夯实基础
探究培优
解：存在．当 OA＝AP 时，点 P 的坐标为(2，0)；当 OA＝OP 时，点 P 的坐标为( 2，0)或(－ 2，0)；当 OP＝AP 时，点 P 的坐标为(1，0)．
探究培优
14．有一抛物线型城门洞，拱高为4 m，如图，把它放 在平面直角坐标系中，其函数表达式为y＝－x2. (1)求城门洞最宽处AB的长； 解：因为点O到AB的距离为4 m，所以A，B两点的 纵坐标都为－4，由－4＝－x2，得x＝±2.又点A在点 B的左侧，所以点A的坐标为(－2，－4)，点B的坐标 为(2，－4)．所以AB＝4 m．即城门洞最宽处AB的长 为4 m.
整合方法
(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出另一个交 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解:存在．联立方程组 yy＝ ＝－ 3x－x2，10，解得yx＝＝－－255，或xy＝＝－2，4. 则另一个交点的坐标为(－5，－25)．
探究培优
13．已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上． (1)求点A的坐标． 解：把点A(1，a)的坐标代入y＝x2， 得a＝1，所以点A的坐标为(1，1)． (2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
高中数学北师大版必修2 2.2 教学课件 《圆的标准方程》(数学北师大必修二)
a2
北京师范大学出版社 | 必修二
二、知识应用： 题型三 已知两直线位置关系求直线方程
例 2. ABC 的三个顶点的坐标分别是 A5，1、B7， 3、C 2， 8 .
并求它的外接圆方程.
解：法一： AB 的垂直平分线： x 2 y 8 0 ； BC 的垂直平分线： x y 1 0
圆上点的坐标满足方程 方程的解为坐标的点在圆上
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授：
1.圆的标准方程： (x a)2 ( y b)2 r2 ，其中 a，b 为圆心， r 为半径.
注：(1) 如果圆心在坐标原点，这时 a 0，b 0 ，圆的方程就是 x2 y2 r2 .有关图形特征 与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时： | a | r ；圆与x轴相切 时： | b | r ；与坐标轴相切时： | a || b | r ；过原点： a2 b2 r2 .
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授：
2.点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ，圆心为 C a，b ，半径为 r ，则有
(1) 若点 M x0，y0 在圆上 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2 (2) 若点 M x0，y0 在圆外 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2 (3) 若点 M x0，y0 在圆内 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2
⑵ 请同学给出圆心、半径请其他的同学说出圆的标准方程或反之.
北京师范大学出版社 | 必修二
二、知识应用： 题型二 点和圆的位置关系
例 2.写出圆心为 A2,3,半径长为 5 的圆的方程，并判断
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2 对函数的进一步认识
2.2 函数的表示法
教学目标：
1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,
3.会用描点法画一些简单函数的图象,
教学重点、难点：
教学重点:函数的三种表示方法,分段函数
教学难点:分段函数的表示及其图象,
教学过程第1课时
导入新课：我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).
一、函数的三种表示法
提出问题：初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？
讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.
(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.
(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.
例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
活动：此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},
用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;
图象法的特点：直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图、股市走势图、心电图等。
列表法的特点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等。
练习：1、等腰三角形的周长是20,底边长y 是一腰长x 的函数,则( D )
A.y=10-x(0<x≤10)
B.y=10-x(0<x<10)
C.y=20-2x(5≤x≤10)
D.y=20-2x(5<x<10)
2、（创新教程26页能力提升第2题）向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( )
分析:观察图象,根据图象的特点发现:取水深h=
2H ,注水量V′>2
0V , 即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.
A 中V′<20V ,C 、D 中V′=2
0V ,故排除A 、C 、D. 答案：B
3、将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域
分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.
解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,
2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a ). 例2 .画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念,我们有x x 0,-x x 0.y ≥⎧=⎨<⎩
像这样的函数称为分段函数。
即自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不相同的函数，是一个函数。
函数y=|x|的图象如图所示.。