抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质

一、抛物线定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？

点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程

解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （

0,2p ）,l ：x = —2

p 。 设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2

)2(22p

x y P x +=+-

化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程

把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （

2P ，0)，l ：x = — 2

P

而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。

1．四种抛物线的标准方程对比

图形 标准方程

焦点坐标

准线方程

)

0(22>=p px y

⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,2p 2

p x -

=

)

0(22>-=p px y

⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,2p 2

p

x =

)

0(22>=p py x

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛2,0p

2

p

y -

=

)

0(22>-=p py x

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-2,0p

2

p

y =

2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点

三、抛物线的性质

设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则

（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.

(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。

（4)离心率:抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.

（5）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中,通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分

别为),2

(),,2(p p p p -，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p 。 （6)平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点。 但它不是双曲线的切线. （7）焦点弦长公式：过焦点弦长121222

p p

PQ x x x x p =+++=++ 四、例题讲解

例1。求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

(1）y 2=6x （2）y x 2

1

2

= （3）2x 2+5y=0 解:（1）因为2p=6,p=3,所以焦点坐标是(

23，0） 准线方程是x=-2

3 （2）因为2p=21，p=41，所以焦点坐标是（0，8

1

)， 准线方程是Y=—81

(3）抛物线方程是2x 2+5y=0， 即x 2=-25y ， 2p=25,则焦点坐标是F(0，-8

5

）， 准线方程是y=

8

5

例2.根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1)焦点坐标是F （0，—2） （2)焦点在直线3x —4y —12=0上 （3) 抛物线过点A （-3，2)。

解：(1)因为焦点在y 轴的负半轴上，并且p/2=2,p=4，

所以抛物线的方程是x 2=—8y （2）由题意，焦点应是直线3x-4y —12=0与x 轴或y 轴的交点,

即A （4，0）或 B （0，-3）当焦点为A 点时,抛物线的方程是y 2=16x 当焦点为B 点时，抛物线的方程是x 2=—12y

（3） 当抛物线的焦点在y 轴的正半轴上时，把A(-3,2）代入x 2 =2py ，当焦点在x

轴的负半轴上时 得 p=

49把A(-3,2)代入y 2 = -2px ，得 p=32 ∴抛物线的标准方程为x 2 =29y 或y 2 = -3

4

x

例3. 设P 是抛物线x y 42

=上的一个动点。 （1）求点P 到点A(-1，1）的距离与点P 到直线的距离之和的最小值；

（2）若B （3，2），求PF PB +的最小值。

解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F （1，0)，准线是

由抛物线的定义知：点P 到直线

的距离等于点P 到焦点F 的距离。

于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A(—1，1)的距离与点P 到F （1，0）

的距离之和最小。

显然,连结AF 交曲线于P 点，则所求最小值为AF ，即为5。

图4

图3

(2）如图4，自点B 作BQ 垂直准线于Q 交抛物线于点P 1,则

F P Q P 11=，则有BQ Q P B P PF PB =+≥+11=4

即PF PB +的最小值为4 巩固练习：

1、已知点P 是抛物线2

2y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

解析：运用抛物线的定义，将P 到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离，如右图，当点A (0,2)与P 以及F 三点共线时，距离之和最小,即为17

2

AF =

2、已知A （3，1），抛物线4

2

x y =上一点P （x ，y),则|PA|+y 的最小值为 。

解析：抛物线4

2

x y =的准线为：y= -1,焦点F （0，1），记P 在直线y= -1上的射影为Q ，

则y=｜PQ|—1=|PF ｜—1,｜PA|+y=|PA ｜+|PF ｜-1，问题转化为：求|PA|+｜PF|的最小值，易见：

|PA ｜+|PF ｜≥|AF|=3，当且既当F 、P 、A 共线时等号成立，故：｜PA ｜+y 的最小值为2。 3、求证：以抛物线px y 22

=过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。 证明:如图5，设抛物线的准线为，过A 、B 两点分别作AC 、BD 垂直于，垂足分别为C 、D 。取线段AB 中点M ，作MH 垂直于H 。

图5

由抛物线的定义有:BF BD AF AC ==，

∵ABDC 是直角梯形