抛物线标准方程推导过程
抛物线及标准方程
（1） 焦点F(5，0)，准线方程x 5；
（2） 焦点F( 5，0)，准线方程x 5．
8
8
小结 作业 一课一练
故焦点坐标为 (0， 1) ，准线方程为 x 1 ．
4
4
1．根据下列条件，求抛物线的标准方程： （1）焦点为F（ 3 ，0） ； （2）准线方程为x 1 ．
4
1 y2 12x， 2 y2 x.
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） y2 20x； （2） 2 y2 5x 0．
4
4
y2 2 px, ( p 0)
－－抛物线标准方程
标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方
程.其中 p＞0,表示焦点在 x 轴正半轴上.
焦点坐标是 ( p , 0) ,
p 准线方程为: x
2
2
P的几何意义:焦点到准线的距离.
下面将四种形式的抛物线的方程、焦点、准线方程和 图形列表.本章内，只研究表中的这四种抛物线标准方程．
三、标准方程的推导
如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴，
F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系.
设 | FK | p, ( p 0), M (x, y),
则F( p ,ห้องสมุดไป่ตู้),l : x p
2
2
y
l d .M
MF d 即 (x p )2 y2 | x p |
2
2
K.
OF
x
x2 px p2 y2 x2 px p2
故抛物线的标准方程为
y2 2x．
例2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） y2 16x； （2） x2 y 0．
抛物线的标准方程(五大题型)(原卷版)
3．3．1 抛物线的标准方程定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．【即学即练1】（2023·高二课时练习）若动点P 到点()3,0的距离和它到直线3x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．抛物线C ．直线D ．双曲线知识点02 抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F 且垂直于l 的直线为x 轴，垂足为K ．以F ，K的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xOy ．设KF p =（0p >），那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-． 设点(,)M x y 是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合||MF =2p d x =+ 将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p 它的准线方程是2p x =-． 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-．一般情况归纳：首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()2,0F -；(2)准线方程为：4y =-；(3)焦点到准线的距离为6.题型一：抛物线的定义例1．（2023·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是（ ）.A ．116B ．18C ．2D ．4例2．（2023·江苏·高二假期作业）若点P 到直线=1x -的距离比它到点(2)0，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线例3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为2，焦点为F ，则PF =（ ）A．2 B ．3 C D ．变式1．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线题型二：抛物线的标准方程例4．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为4y =；(2)顶点在原点，且过点()3,2-；(3)顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线34120x y --=上；(4)焦点在x 轴上，且抛物线上一点()3,A m 到焦点的距离为5.例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点()1,2P .求该抛物线的标准方程.例6．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为()0,4F -；(2)准线方程为12x =. 变式2．（2023·高二课前预习）已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求抛物线的标准方程.变式3．（2023·高二课前预习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.题型三：轨迹方程—抛物线例7．（2023·全国·高二专题练习）设圆22:4O x y +=与y 轴交于A ，B 两点（A 在B 的上方），过B 作圆O 的切线l ，若动点P 到A 的距离等于P 到l 的距离，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．28x y =B ．216x y =C ．28y x =D ．216y x =例8．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-例9．（2023·高二课时练习）已知在平面直角坐标系中有一定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到y 轴的距离为d ，且||1PF d -=，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．2y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．22y x =变式4．（2023·江苏·高二专题练习）与圆C ：2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．2y x =（0x >）和0y =（0x <）C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）变式5．（2023·全国·高二专题练习）若点P 到点(0,2)的距离比它到直线1y =-的距离大1，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．24y x =B ．24x y =C ．28y x =D ．28x y =变式6．（2023·福建宁德·高二统考期末）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y变式7．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C 与过点()1,0-且垂直于x 轴的直线l 仅有1个公共点，且与圆22:650C x y x '+-+=外切，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．212y x =B ．26y x =C ．22143x y += D ．22110x y += 变式8．（2023·高二课时练习）已知动圆过点(1,0)，且与直线=1x -相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．24y x= D ．0x = 题型四：抛物线距离和与差的最值问题例10．（2023·高二课时练习）已知点,A B 分别是抛物线2:4C y x =-和圆22:2440E x y x y +-++=上的动点，点A 到直线:2l x =的距离为d ，则AB d +的最小值为 ．例11．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点M 为抛物线24x y =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，点()1,2P -，则MP MN +的最小值为 . 例12．（2023·全国·高二专题练习）已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ 的最小值 . 变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为 ．变式10．（2023·全国·高二假期作业）已知P 为抛物线24y x =上的动点，F 为抛物线的焦点，点Q ，则PQF △周长的最小值为 .变式11．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，为使||||MA MF +最小，点M 的坐标应为 ．变式12．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()3,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为变式13．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，直线l ：=1x -，点T 为圆M ：()()22341x y ++-=上的动点，设点P 到直线l 的距离为d ，则PT d +的最小值为 ．题型五：抛物线的实际应用例13．（2023·高二课时练习）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度30m AB =，拱高5m OP =，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱11A B 的长度为 m .（精确到m ）例14．（2023·河南周口·高二校联考期中）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.例15．（2023·广东·高二统考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，水面宽4m ，水面下降2m 后，水面宽8m ，则桥拱顶点O 离水面l 的距离为 .变式14．（2023·全国·高二专题练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.变式15．（2023·福建福州·高二校联考期末）如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm 时，水面宽度为6cm ，当水面再上升2cm 时，水面宽度为 cm.变式16．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为 米.变式17．（2023·海南海口·高二校考期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 m .一、单选题1．（2023·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）圆22420x x y y -+-=的圆心在抛物线22y px =上，则该抛物线的焦点坐标为（ ）A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,02．（2023·贵州贵阳·高二校考期中）抛物线216=x y 的焦点到圆22:(3)1C x y -+=上点的距离的最大值为（ ） A ．6 B ．2 C ．5 D ．83．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知ABC 的顶点在抛物线22y x =上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC 的重心，则||||||FA FB FC ++的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．以上结论均不正确5．（2023·高二课时练习）O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（ ）A．B ．C ．D ．86．（2023·广东·高三校联考阶段练习）抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，点M 在抛物线上，且||3MF =，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为线段FN 的中点，则p =（ ）A ．2B ．C ．4D ．67．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，点P 为E 上一点，Q 为PF 靠近点P 的三等分点，若10PF =，则Q 点的纵坐标为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．88．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（ ）.A ．27π8B ．64π27C ．9π4D ．25π16二、多选题9．（2023·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若5MF =，则（ ）A ．F 的坐标为()1,0B ．04y =C ．||OM =D ．2OFM S =10．（2023·高二课时练习）（多选）设斜率为2的直线l 过抛物线()20y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =-B ．28y x =-C ．24y x =D ．28y x =11．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）对于抛物线上218x y =，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，焦点为()0,2B ．开口向上，焦点为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．焦点到准线的距离为4D ．准线方程为2y =-12．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，点00(,)M x y 在抛物线C 上，若4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =±C ．OM =D ．F 的坐标为()0,1三、填空题13．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A且该点在抛物线()220x py p =>上，则p 的值为 .14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p = ．15．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p = ．16．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，线段AB 的中点为M ，其中点A 的横坐标为3，4AF =，则点M 到y 轴的距离为 .四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）倾斜角为60︒的直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点(1)求抛物线的准线方程；(2)求OAB 的面积（O 为坐标原点）.18．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点P 横坐标为3，且点P 到焦点F 的距离为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(2,0)作直线交抛物线于点,A B ，求ABO 面积的最小值（其中O 为坐标原点）.19．（2023·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段.(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)直线2y x =-与抛物线22y x =交于A 、B 两点，求证：原点O 在以AB 为直径的圆上.20．（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 且斜率为k （0k >）的直线l 与C 交于A ，B 两点，8AB =．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．21．（2023·江苏连云港·高二统考期中）在①焦点到准线的距离是2，②准线方程是=1x -，③通径的长等于4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：()220y px p =>，___________.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线28y x =-与抛物线C 相交于点A ，B ，求证：OA OB ⊥. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 22．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =过点()2,4A ．(1)求抛物线C 的方程；(2)P ，Q 是抛物线C 上的两个动点，直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为4，证明：直线PQ 恒过定点．。
高一数学复习考点知识讲解课件25---抛物线的标准方程
高一数学复习考点知识讲解课件§3.3抛物线3．3.1抛物线的标准方程考点知识1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用．导语通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？一、抛物线的定义与标准方程问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l 上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．知识梳理 抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线(directrix)． 问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？提示过F 作直线FN ⊥直线l ，垂足为N ，以直线NF 为x 轴，线段NF 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，设焦点F 到准线l 的距离为p ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又设P (x ，y )为抛物线上任意一点．过点P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则PF ＝PH ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋p 2， 将上式两边平方并化简，得y 2＝2px (p >0)．知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2注意点：(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或y )的取值范围． 例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点为直线x ＋3y ＋15＝0与坐标轴的交点．解(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)．又p2＝2，∴2p ＝8，故所求抛物线的标准方程为x 2＝8y . (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.反思感悟求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型．(2)求参数p的值．(3)确定抛物线的标准方程．提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪训练1(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．答案2x＝－1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1. (2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 答案x 2＝10y 和x 2＝－10y解析设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0等于() A ．1B ．2C ．4D ．8 答案A解析∵14＋x 0＝54x 0， ∴x 0＝1.(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由题图可知，点P ，点(0,2)和抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172. 延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值． 解将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝±6.所以点A 在抛物线内部．设点P 为其上一点，点P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ， 则P A ＋PF ＝P A ＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，P A ＋d 最小，最小值是72. 即P A ＋PF 的最小值是72.2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解如图，作PQ 垂直于准线l 于点Q ，P A1＋PQ＝P A1＋PF≥A1F min.A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋72＝0的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋(－4)2＝1.即所求最小值为1.反思感悟抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．答案4解析把点A(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.(2)设点A的坐标为(1，15)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋P A的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，点P 到准线x ＝－2的距离为d ＋1，于是PF ＝d ＋1，所以d ＋P A ＝PF －1＋P A 的最小值为AF －1＝4－1＝3.三、抛物线的实际应用例3(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是() A ．11.25cmB ．5.625cm C ．20cmD ．10cm 答案B解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p ＞0)．∵A (40,30)在抛物线上， ∴302＝2p ×40， ∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4542＝458＝5.625(cm)．(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．答案3.84解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，y B)，解得y B＝－425，点A的坐标为(2，－4)，∴AB＝y B－(－4)＝－425＋4＝3.84，∴最长支柱的长为3.84米．反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝85，得x2＝－165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，y A)，由22＝－165y A，得y A＝－5 4.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝|y A|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船开始不能通航．1．知识清单：(1)抛物线的定义．(2)抛物线的标准方程．(3)抛物线的实际应用．2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是() A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y答案B解析由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为()A.18B.12C.14D．4答案C解析根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝12y，其中p＝14，则抛物线的焦点到准线的距离p＝14.3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．答案6解析由抛物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案2 6解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26米．课时对点练1．已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程为()A．x2＝4y B．x2＝－4yC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x答案D解析∵抛物线的焦点坐标是(－1,0)，∴抛物线是焦点在x 轴负半轴上的抛物线，且p 2＝1，得p ＝2.∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .2．已知抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则其焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4 答案A3．抛物线y ＝14x 2的准线方程是() A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案A解析因为y ＝14x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)答案B解析∵抛物线的准线方程为x＝－p 2，∴－p2＝－1，∴p2＝1，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．5．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为()A．y2＝x B．x2＝8yC．x2＝－8y D．y2＝－8x答案AC解析若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝12，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.6．点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案D解析当a >0时，开口向上，准线方程为y ＝－14a ，则点M 到准线的距离为3＋14a＝6，所以a ＝112，所以抛物线方程为y ＝112x 2；当a <0时，开口向下，准线方程为y ＝－14a ，点M 到准线的距离为|3＋14a |＝6，所以a ＝－136或112(舍去)，所以抛物线方程为y ＝－136x 2.综上，抛物线方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2. 7．已知抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，则抛物线方程为________________，双曲线方程为________．答案y 2＝4x 4x 2－43y 2＝1解析因为交点在第一象限，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，由此知道双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程x214－y234＝1.8．在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是________．答案(－6,62)，(－6，－62)解析由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x，又PF＝9，∴3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6 2.∴所求点的坐标为(－6,62)，(－6，－62)．9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．解不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn，AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，由△AOB的面积为16，可得12·2m·n＝16，解得m＝n＝4，p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .10．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．解设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， M 点到准线的距离为d ，则d ＝MF ＝10，即9＋p 2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．11．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点()A ．0.5mB ．1mC ．1.5mD ．2m答案B解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，集光板端点A (1,0.25) ，代入抛物线方程可得2×0.25p ＝1，解得p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y ，故焦点坐标是F (0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1m.12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP→＝4FQ →，则QF 等于() A.72B.52C ．3D ．2答案C解析过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，如图．∵FP→＝4FQ →， ∴PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，∴QF ＝QQ ′＝3.13．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为()A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案C解析由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.14．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 答案②④解析抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则MF ＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足； 由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．15．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x轴上方且在双曲线上，则OP →·FP→的最小值为________. 答案3－2 3解析抛物线y ＝18x 2，即x 2＝8y 的焦点为F (0,2)．所以a 2＝22－12＝3，故双曲线的方程为y 23－x 2＝1.设P (x ，y )，因为点P 在x 轴上方，故由双曲线的性质可得y ≥3，OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ，y －2)， OP →·FP →＝x 2＋y (y －2)＝x 2＋y 2－2y＝y 23＋y 2－2y －1＝43y 2－2y －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－32y －1 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74. 因为y ＝34<3，故函数t ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74在[3，＋∞)上单调递增，当y ＝3时，取得最小值，最小值为43×(3)2－2×3－1＝3－2 3.所以OP →·FP→的最小值为3－2 3. 16.一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB 恰好是拱高OD 的4倍．若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解以拱顶O 为原点，拱高OD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵AB 是OD 的4倍，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4. 由点B 在抛物线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4， ∴p ＝a 2.∴抛物线方程为x 2＝－ay .设点E (0.8，y 0)为抛物线上一点，代入方程x 2＝－ay ，得0.82＝－ay 0，∴y 0＝－0.64a ，∴点E 到拱底AB 的距离h ＝a 4－|y 0|＝a 4－0.64a ，令h ＞3，则a 4－0.64a ＞3，解得a ＞6＋22415或a ＜6－22415(舍去)．∴a 的最小整数值为13.。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自《解析几何》教材第四章第一节，主要内容包括抛物线的定义、性质及其标准方程的推导和应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质。
2. 学会推导抛物线的标准方程，并能解决实际问题。
3. 能够运用抛物线标准方程解决几何问题和实际应用。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质及其标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入2. 知识讲解(1) 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离等于到一条定直线l的距离的点的轨迹。
(2) 抛物线的性质：① 对称性；② 焦点、准线；③ 直线与抛物线的交点；④ 平面几何关系。
(3) 抛物线的标准方程：y^2 = 2px (p > 0) 或 x^2 = 2py (p > 0)。
3. 例题讲解(1) 求抛物线y^2 = 4x的焦点和准线。
(2) 已知抛物线x^2 = 8y，求过点P(2,3)且与抛物线相切的直线方程。
4. 随堂练习(1) 求抛物线y^2 = 12x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 16y，求过点A(4,2)且与抛物线相交的直线方程。
5. 课堂小结六、板书设计1. 定义2. 性质3. 标准方程4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目(1) 求抛物线y^2 = 20x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 18y，求过点B(3,2)且与抛物线相切的直线方程。
2. 答案(1) 焦点：F(5,0)，准线：x = 5，对称轴：y轴。
(2) 直线方程：y = 4/3x 2/3。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、知识讲解、例题讲解、随堂练习等环节，使学生掌握了抛物线的定义、性质和标准方程。
抛物线的二级结论及推导
抛物线的二级结论及推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线始终是数学中一个重要的概念，它具有很多重要的性质和实际应用。
在高中数学学习的过程中，我们经常会接触到关于抛物线的二级结论及推导。
在这篇文章中，我们将详细介绍抛物线的二级结论，并推导相关的内容。
抛物线是一条平面曲线，它的数学定义是平面上到一个定点的距离等于到一直线的距离的点的集合。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c都是常数，a ≠ 0。
在这个方程中，a决定了抛物线的开口方向（向上还是向下）、b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
抛物线的二级结论是指关于抛物线上的二次项的系数a的性质。
具体来说，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
在我们的推导中，我们将证明这一结论的有效性。
我们来看当a > 0时，抛物线开口向上的情况。
我们假设抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
我们知道抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
由于a > 0，所以当x取任意值时，ax^2的值都大于等于0。
整个方程的值都不会小于c（当x取顶点坐标时，ax^2 = 0）。
这说明抛物线的图象是向上开口的。
除了抛物线的开口方向之外，二级结论还包括了抛物线的顶点、焦点等重要性质。
在实际问题中，我们可以利用这些结论来解决一些与抛物线相关的问题，比如确定一个抛物线的开口方向、求解最值等。
抛物线的二级结论是抛物线研究中一个非常重要的内容，它帮助我们理解和利用抛物线的各种性质，为我们的数学学习和实际问题的解决提供了有力的支持。
希望通过本文的介绍，读者能够对抛物线的二级结论有更深入的理解，并能够灵活运用这些知识。
第二篇示例：抛物线是代数表达式的一种特殊形式，常见于数学课程中。
学习抛物线的二级结论及推导可以帮助我们更深入地了解这个概念，并应用于实际问题的求解中。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
9、抛物线的定义及标准方程
x
抛物线的特征：
顶点，对称轴，开口方向（左右，上下） 除了以上的几个特征，还有什么特点呢？
d: 表示 动点 M 到 直线 l 的 距离 |MF|: 表示 动点 M 到 定点 F的距离 y
d
o
பைடு நூலகம்
M
|MF|=d
F
x
抛物线的特点： 抛物线上的任意一点，
定义
到其焦点的距离 等于 到其准线的距离。 d:表示动点M到 准线 直线l 的距离 |MF|:表示动点M到定点 焦点F 的距离 准 |MF|=d 线 y
2、一个动点 P 到点（3,0）的距离比它到直线 x 2 的距离大 1，求该 动点 P 的轨迹方程。
3、抛物线 y2 4x 上的一点Ｍ的到焦点的距离为 1，求点 M 的纵坐标。 思考： 4、 已知 P 为抛物线 记 y 2 4x 上一点，
P 到此抛物线的准线的距离为 d1 ，
P 到直线 x 2 y 12 0 的距离为 d2 ，求 d1 d2 的最小值。
（3）已知点P为抛物线 y
2
2x上的一个动点，
17 2
。
则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线
的距离之和的最小值为
例2：定义法求轨迹方程
1.已知动圆Ｍ经过点A（3,0），且与直线l: x
相切，求动圆圆心Ｍ的轨迹方程。 2.已知动圆Ｍ与直线 y
3
2相切，且与 2 2 x ( y 3) 1外切，求动圆 定圆C：
1 (2)焦点的非零坐标是一次项系数的 倍， 4 1 准线方程中等式右边是一次项系数的 倍。 4
（3）P 为 焦准距（焦点到准线距离）
y 20 x x为一次项 x 5 (5, 0) 右 开口方向 ，焦点 ，准线方程 ；