求抛物线的标准方程和焦点坐标
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
求顶点在原点,对称轴为坐标轴,过点a(3,-2)的抛物线的标准方程
求顶点在原点,对称轴为坐标轴,过点a(3,-2)的抛物线的标准方程首先，抛物线是一种二次函数的图像。
抛物线的标准方程通常表示为 y=ax^2+bx+c 的形式。
对于顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线来说，我们可以知道它的顶点坐标为(0,0)。
这意味着当 x=0 时，y=0。
因此，我们可以得出 c=0。
接下来，我们考虑过点 a=(3,-2)。
这意味着当 x=3 时，y=-2。
因此，我们可以得出方程 y=-2=9a+3b。
根据这个方程，我们可以得到 a=-2/9 和 b=1/3。
最后，我们将这些结果带入抛物线的标准方程中，即 y=-2/9x^2+1/3x+0。
这就是顶点在原点，对称轴为坐标轴，过点 a=(3,-2) 的抛物线的标准方程。
总的来说，求出抛物线的标准方程有两种方法。
一种是通过求出抛物线的顶点和一个点来求得，另一种是通过求出抛物线的渐近线和一个点来求得。
无论哪种方法，都需要知道抛物线的一些性质，例如它的对称性、顶点的位置等。
只有了解这些性质，才能正确地求出抛物线的标准方程。
在实际应用中，抛物线的标准方程有着广泛的用途。
例如，在工程中，抛物线的标准方程可用来描述物体的轨迹，在经济学中，抛物线的标准方程可用来描述需求和供给的关系，在医学研究中，抛物线的标准方程可用来描述药物的药效曲线等。
求出抛物线的标准方程后，我们还可以利用它来绘制抛物线的图像，并进一步分析抛物线的性质。
例如，我们可以通过求出抛物线的极值点来分析它的凹凸性，或者通过求出抛物线的焦点来分析它的形状等。
总的来说，抛物线是一种非常重要的函数，它在许多领域都有着广泛的应用。
通过求出抛物线的标准方程，我们可以更好地理解抛物线的性质，并为进一步的分析和应用打下基础。
抛物线的标准方程及性质
知识梳理第十八讲抛物线的方程及性质热身练习1．抛物线y =-x2的焦点坐标为．2．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2, 3) ，则它的方程是．3．已知方程为x2 =-2 py( p > 0) 的抛物线上有一点M (m, -3) ，点M 到焦点F 的距离为5，则m 的值为．4．AB 是抛物线y 2 = 2 px( p > 0) 的动弦，且| AB |=a(a > 2 p) ，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离为．1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎛p, 0⎫2 ⎪⎝⎭F⎛-p, 0⎫2 ⎪⎝⎭F⎛0,p ⎫2 ⎪⎝⎭F⎛0, -p ⎫2 ⎪⎝⎭ 准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下3．抛物线一些常用结论(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F⎛p,0⎫的距离|PF|＝x0＋p，也称为抛物线的焦半径．2 ⎪2⎝⎭2 ，k 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎪ +(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎛ p , 0⎫，准线方程为 x ＝－a ． 4 ⎪ 4 ⎝ ⎭(3)通径长度为 2p （过抛物线焦点的弦中通径最短）；(4) 设抛物线方程： y 2 = 2 px ，过焦点的直线l : y = k ⎛ x -p ⎫（斜率存在且 k ≠ 0），对应倾斜角2 ⎪⎝⎭为θ，与抛物线交于A (x 1, y 1 ),B (x 2 , y 2 )．⎧ y 2 = 2 px ⎪ 联立方程： ⇒ k 2 ⎛ x - p ⎫ = 2 px ，整理可得： k 2 x 2 - ( 2 + ) + k 2 p 2 = ⎨ y = ⎛ p ⎫ 2 ⎪k p 2p x 0 k x - ⎪⎝ ⎭4⎩⎝⎭ 2（1） x x =p y y= - p 2 ；1 241 2（2） ∠A 1FB 1 = 90︒ ， ∠ANB = 90︒， FN ⊥ AB ；1 12（3）= 为定值； | FA | | FB | p（4）以 AB 为直径的圆和抛物线的准线相切于 N ，以 A 1B 1 为直径的圆与 AB 相切于 F ；k 2 p + 2 p 2k 2 p + 2 p ⎛ 1 ⎫（5） AB = x 1 + x 2 + p = k 2 + p = k 2= 2 p 1 + ⎪ ⎝ ⎭=⎛ 1 ⎫⎛ cos 2θ⎫ 2 p2 p 1 +tan 2θ⎪ = 2 p 1 + sin 2θ⎪ =sin 2θ；1 1 1 p2 p p 2（6） S AOB = ⋅ d O -l ⋅ AB = ⋅ (OF ⋅ sin θ)⋅ AB = ⋅ ⋅ sin θ⋅ =； 2 2 2 2 sin 2θ（7） A ， O ， B 1 三点共线； （8） MN 被抛物线平分．2sin θ一、求抛物线方程的问题【例 1】动圆 M 与定直线 y = 2 相切，且与定圆C ： x 2 + ( y + 3)2= 1相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．例题解析2【例 2】抛物线的焦点在直线 y = 2x + 2 上，且对称轴垂直于 y 轴，则其标准方程是．【例 3】已知抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点(m ,－3),到焦点距离为 5，求 m 的值并写抛物线方程．【例 4】如图，直线 l 1 和 l 2 相交于点 M ，l 1 ⊥ l 2 ，点N ∈l 1．以 A 、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |＝ ＝3，且|BN |＝6．建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程．【巩固训练】1．抛物线 y = ax 2(a > 0)的准线方程．，|AN |2．已知抛物线 x 2+ 2 py = 0( p > 0) 上的点到它的准线的距离的最小值为 1，求抛物线的焦点坐标2．3．已知点 F (- 1 , 0) ，直线l ：x = 1，点 B 是直线l 上的动点，若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF4 4的垂直平分线交于点 M ，则点 M 所在曲线是（）( A ) 圆(B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线4．方程 =| x - y + 3 | 表示的曲线是 （ ）( A ) 圆 (B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线17 2(x + 3)2 + 2( y -1)229 5．求到点 A (-2, 0) 的距离比到直线l : x = 3 的距离小 1 的点 P 的轨迹方程．6．过抛物线 x 2= ay 的焦点 F 作 y 轴的垂线，交抛物线与 A 、B 两点，若| AB |= 6 ，求抛物线的方程．7．已知圆 x 2 + y 2- 6x - 7 = 0 与抛物线的准线相切，求抛物线的标准方程．8．设抛物线 C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为 F ，点 M 在 C 上，|MF |＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0，2)， 则 C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或 y 2＝8xB ．y 2＝2x 或 y 2＝8xC ．y 2＝4x 或 y 2＝16xD ．y 2＝2x 或 y 2＝16x二、抛物线的定义的运用及性质【例 5】设 F 为抛物线 y 2= 4x 的焦点（1）点 A ( 2 ,2 )，若点 P 在抛物线上移动，则 PA + PF的最小值是（2）点B ( 2 ,3 )，若点 P (x 0 , y 0 )在抛物线上移动，则 x 0 + PB 的最小值是 ．（3）直线l 1 : 4x - 3y + 6 = 0 、直线l 2 : x = -1 ，若点 P 在抛物线上移动，则 P 到l 1 和l 2 的距离之和的最小值是．（4）A ,B ,C 为该抛物线上三点，若 FA + FB + FC = 0 ，则| FA | + | FB | + | FC |= ．【例 6】设抛物线 y 2= 2x 的焦点为 F ，以 P ( , 0) 为圆心， PF 长为半径作一圆，与抛物线在 x 轴2上方交于 M , N ，则| MF | + | NF | 的值为（）( A ) 8(B ) 18(C ) 2 (D ) 4【例 7】如图所示点 F 是抛物线 y 2= 8x 的焦点，点 A 、 B 分别在抛物线 y 2 = 8x 及圆(x - 2)2+ y 2= 16 的实线部分上运动，且AB 总是平行于 x 轴，则∆FAB 的周长的取值范围是（ ）A ． (6,10)B ． (8,12)C ． [6,8]D ． [8,12]【例 8】AB 为过抛物线 y 2＝2px (p ＞0)焦点 F 的弦，点 A ，B 在抛物线准线上的射影为 A 1，B 1，且 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).求证： (1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(2)x xp 2 y y ＝－p 2；1 2＝ ， 1 24(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； 1 1 2 (4) ＋ ＝ . |AF | |BF | p【例 9】（1）经过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 作倾角为 π的弦AB ，则|AB|= ．3（2）已知抛物线 x 2= 4 y ，求过抛物线焦点，且长等于 8 的弦所在的直线方程．【例 10】过抛物线 y 2= 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A 、有且仅有一条B 、有且仅有两条C 、有无穷多条D 、不存在【例 11】已知过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 的弦与抛物线交于 A , B 两点，过 A , B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C , D ，则 AC + BD 的最小值为．【例 12】设抛物线 y 2＝2x 的焦点为 F ，过 F 的直线交该抛物线于 A ，B 两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为．【例13】抛物线y2= 2px(p> 0) 的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且∠AFB＝90°，弦A B的中点M在其准线上的射影为M′，则|M M′|的最大值为．|AB|【例14】点P 是抛物线y2 = 2x的任意一点，点A(a, 0) ．（1）若a= 2 ，求PA 的最小值，以及此时的点P 的坐标；（2）若PA 取最小值时，点P 与顶点重合，求a 的范围．【巩固训练】1 ．抛物线y2 = 2 px( p > 0) 上有A(x , y ) ，B(x , y ) ，C(x , y ) 三点， F 是它的焦点，若1 12 23 3AF , BF , CF 成等差数列，则（）A．x1, x2 , x3 成等差数列B．x1, x3 , x2 成等差数列C．y1 , y2 , y3 成等差数列D．y1 , y3 , y2 成等差数2．若点A 的坐标为(3,1) ，F 为抛物线y2 = 2x 的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则| PA | + | PF |取得最小值时点P 的坐标是．3．已知过抛物线y2=2p x(p>0)的焦点的弦AB的两端点为A(x,y),B(x,y),则关系式y1y2的值一定等于．1 1 2 2x1x24．已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上，则MA + MF 的最小值为．5．点M (20, 40) ，抛物线y2 = 2 px （p > 0 ）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，| PM | + | PF | 的最小值为41，则p 的值等于-．6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为．7．如图，过抛物线y2 = 2px(p> 0) 的焦点F 作直线交抛物线于A、B 两点，M 为准线l 上任意一点，记∠AMF＝α，∠BMF＝β，∠MFO＝θ，若AM⊥BM，则|α—β|与θ的大小关系为（）30A ． |α- β|> θB ． |α- β|= θC ． |α- β|< θD ．不确定8．设 A (x , y ), B (x , y ) 两点在抛物线y = 2x 2上， l 是 AB 的垂直平分线．1 12 2（1） 当且仅当 x 1 + x 2 取何值时，直线l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； （2） 当直线l 的斜率为 2 时，求l 在 y 轴上的截距的取值范围．三、抛物线的应用【例 15】一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分，它的方程为 x 2= 2 y (0 ≤ y ≤ 20) ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及到杯的底部，则玻璃球的半径 r 的范围为．【例 16】由于洪峰来临，某抛物线形拱桥下游 8 千米处有一救援船只接到命令，要求立即到桥上执行任务，并告知：此时水流速度为 100 米/分钟，拱桥水面跨度为 米，水面以上拱高 10 米，且1 桥下水面上涨的高度与时间 t （分钟）的平方成正比，比例系数为 10，已知救援船只浮出水面部分的宽、高各为 3 米，问该船至少以多大的速度前进，才能顺利通过？（桥宽忽略不计，水速视为匀速）1 2 3 n【例17】设点F是抛物线L：y2=2px(p>0)的焦点，P、P、P、 、P是抛物线L上的n 个不同的点（n≥3,n∈N*）．（1）当p = 2 时，试写出抛物线L 上的三个定点P1 、P2、P3的坐标，从而使得| FP1 | + | FP2| + | FP3|= 6；（2）当n > 3时，若FP1 +FP2 +FP3 + +FP n = 0 ，求证：| FP1| + | FP2 | + | FP3| + + | FP n |=np ；（3）当n > 3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若| FP1 | + | FP2 | + | FP3 | + + | FP n |=np ，则FP1 +FP2 +FP3 + +FP n = 0 ．”开展了研究并发现其为假命题．请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：①试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；② 对任意给定的大于3 的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）．2【例 18】给定抛物线C ： y 2= 4x ，F 是C 的焦点，过点 F 的直线l 与C 相交于 A 、B 两点．（1）设l 的斜率为 1，求OA 与OB 得夹角的大小．（2）设 FB = λAF ，若λ∈[4, a ]，求l 在 y 轴上的截距的变化范围．【巩固训练】1．某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高为 4米，在修建桥时，每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱长为 米．2．经过抛物线 y 2=2px 的焦点 F 作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于 P 1、P 2 两点， （1）求|P 1P 2|； （2）当θ变化时，求|P 1P 2|的最小值．3．已知两个动点 A 、B 和一个定点 M (x 0 , y 0 )均在抛物线 y = 2 px ( p > 0)上，设 F 为抛物线的焦2⎛ 1 ⎫点，Q 为对称轴上一点，若 QA + AB ⎪ ⋅ AB = 0且 FA ， FM ⎝⎭ ， FB 成等差数列．（1）求OQ 的坐标；（2）若 OQ = 3, FM= 2 ，求 AB 的取值范围．-1．注重抛物线定义的运用．一般的，如果涉及到抛物线上的点与焦点的连线都要根据定义进行 转化． 2．抛物线与椭圆和双曲线之间既有统一又有区别．在解题时经常采取设而不求的方法，计算量 很大，多练习才能熟练应用．1．已知抛物线 x 2+ my = 0 上的点到定点(0, 4) 和到定直线 y = -4的距离相等，则 m =（ ）1 1 A ．；B ． 1616；C ． 16 ；D ． -16．2．若点 P 到点 F (4, 0) 的距离比它到直线 x + 5 = 0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（）．A 、 y 2= -16xB 、 y 2= -32xC 、 y 2= 16xx 2 + y 2 =D 、 y 2= 32x3．已知抛物线的顶点在原点，焦点和椭圆．16 81的右焦点重合，则抛物线的标准方程为4．抛物线 y 2= x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为．5．直线 y = (a + 1)x - 1与抛物线 y 2= 8x 有且只有一个公共点，则 a 的值是．6．过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 作倾斜角为 3π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 AB 的长是（）4反思总结课后练习2PF PAAB 4C 8D 2 7．若抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则该点横坐标可能为（ ）A 10B 9C 8D 68．抛物线 y 2 = 4mx (m > 0) 的焦点为 F ，点 P 为该抛物线上的动点，又点 A (-m , 0) ，则的最 小值为 ．9． 若 F 是抛物线 y 2= 4x 的焦点，点 P (i = 1, 2, 3,...,10) 在抛物线上，且 + + ... + = ， i 则| P 1F | + | P 2 F | +... + | P 100 F |= . P 1 F P 2 F P 100 F 010．斜率为1的直线过抛物线 y 2= 4x 的焦点，且与抛物线交于两点 A 、 B ．（1）求 AB 的值；（2）将直线 AB 按向量 a = (-2, 0) 平移得直线 m ， N 是 m 上的动点，求 NA ⋅ NB 的最小值．11．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F ( 0,1) ，AC ⋅BD = 0，点E 为y 轴上一点，记∠EFA =α，其中α为锐角．（1）求抛物线Γ方程；（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？。
抛物线标准方程,焦点坐标和准线方程
抛物线是平面解析几何中的重要图形之一，其标准方程和焦点坐标、准线方程是研究抛物线性质的重要工具。
在本文中，我们将对抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程进行详细的介绍和分析。
一、抛物线的标准方程在平面直角坐标系中，抛物线的标准方程一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。
1. 当抛物线开口朝上时，抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a > 0。
2. 当抛物线开口朝下时，抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a < 0。
3. 当抛物线横轴平移h个单位，纵轴平移k个单位后，其标准方程为：y = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
二、抛物线的焦点坐标对于抛物线y = ax^2 + bx + c，其焦点坐标可通过以下公式进行计算：焦点坐标为（h, k + 1/4a）其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
三、抛物线的准线方程对于抛物线y = ax^2 + bx + c，其准线方程为：x = -b/2a即，准线的方程为直线x = -b/2a。
通过以上介绍，我们对抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程有了初步的了解。
在实际问题中，抛物线的这些特性往往能够帮助我们更好地分析和解决问题。
熟练掌握抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程对于平面解析几何的学习和应用具有重要的意义。
笔者在此特别提醒读者，学习数学知识要扎实，不懂的地方及时向老师请教。
多做相关的练习和题目，通过实际操作来巩固所学知识。
希望本文能够对大家有所帮助，为大家的学习和工作提供一些有益的参考。
抛物线是平面解析几何中的重要图形之一，其标准方程和焦点坐标、准线方程是研究抛物线性质的重要工具。
在本文中，我们将对抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程进行详细的介绍和分析。
四、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其顶点对称。
即抛物线上任意一点关于顶点的对称点都在这条抛物线上。
抛物线的标准方程及抛物线与直线的位置关系
抛物线的标准方程及抛物线与直线的位置关系知识点概括：抛物线的概念抛物线的概念1、平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。
2、抛物线的性质、抛物线的性质::抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y pxp =>22(0)y pxp =->22(0)x pyp =>22(0)x pyp =->图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2py =范围 0x ³ 0x £0y ³ 0y £对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =焦半径 02x p PF +=02x p PF -=02y p PF +=02y p PF -=焦点弦)(21x x p AB ++=)(21x x p AB +-=)(21y y p AB ++= )(21y y p AB +-=o Fxy l oxy F l xyo F l+2p ， (2)12x x 2x 或x 2＝43y B．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－42x ；当焦点在y 轴上时，抛物线方程为x 2＝42＝3，∴p ＝6. ∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x . 公式3.3.通径：过通径：过通径：过抛物线抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：称为通径；通径：|H |H 1H 2|=2P 4、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)||AF =x 0=42p ，12y y =－p 2．例1、当a 为任何值时，为任何值时，直线直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的物线的标准方程标准方程为( ) A ．y 2＝－93y解析：由直线过定点P ，所以îíìx ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得定点P (－2,3)．因为抛物线过定点P ，所以，当焦点在x 轴上时，方程为y 2＝－93y .选A. 例2、动圆M 经过点A (3,0)且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆求动圆圆心圆心M 的轨迹方程．解：设圆M 与直线l 相切于点N . ∵|MA |＝|MN |，∴圆心M 到定点A (3,0)和定直线x ＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上． ∵p例3、已知抛物线C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A (2，32＋2＝4，p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 巩固练习：1、（2013年山东数学（理））已知抛物线1C ．316 B ．38 C ．233 D ．433【答案】【答案】D D 2、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 2)在抛物线内．若抛物线上一动点P 到A 、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程．的方程．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其准线为x ＝－p 2，过P 点作抛物线准线的垂线，垂足为H (图略)，由定义知，|PH |＝|PF |.∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PH |，故当H 、P 、A 三点共线时，|P A |＋|PF |最小． ∴|P A |＋|PF |的最小值为p:212y x p =(0)p >的焦点与的焦点与双曲线双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一于第一象限象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条的一条渐近线渐近线,则p = （ ）A 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】【答案】C C3、（2013年上海市春季年上海市春季高考数学高考数学试卷）试卷）已知已知 A B 、为平面内两定点为平面内两定点,,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线的垂线,,垂足为N .若2MN AN NB l=×,其中l 为常数,则动点M 的轨迹不可能是的轨迹不可能是 （ ） A ．圆．圆 B ．椭圆 C ．抛物线．抛物线 D ．双曲线．双曲线 【答案】【答案】C C+2p ， (2)12x x =42p ，12y y =－p 2．(3) (3) 弦长弦长)(21x x p AB ++=，则AB =q 2sin 2p（5）AF 1+BF 1=P24、（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,F,其其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF D 为等边三角形,则P =_____________【答案】【答案】6 65、（2013年安徽数学（理）试题）已知年安徽数学（理）试题）已知直线直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点两点..若该抛物线上存在点C ,使得ABC Ð为直角为直角,,则a 的取值范围为的取值范围为___ _____. ___ _____. 【答案】),1[+¥6、（ 2013年江苏卷（数学））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两处的切线与两坐标轴坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与包含三角形内部与边界边界).).若点若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是的取值范围是__________.__________. 【答案】úûùêëé-21,21、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ， 则(1)||AF =x 0,p x x x x =³+21212,即当x 1=x 2时,通径最短为2p (4) (4) 若若AB 的倾斜角为θ2. 221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p pp-＜ 由22x py =得22x y p=，则,xy p ¢= 所以12,.MAMBx x kkpp==因此直线MA :102(),xy p x x p+=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p +=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时，时， 将其代入①、②并整理得：将其代入①、②并整理得：弦长公式2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-3.3.点点P(x 0,y 0)和抛物线22y px =(0)p >的位置关系的位置关系(1) (1)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内Ûy 20<2px 0 (2) (2)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >上Ûy 20=2px 0 (3) (3)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >外Ûy 2>2px 0例1、如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，引抛物线的切线，切点切点分别为A ，B . (1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成三点的横坐标成等差数列等差数列；(2)已知当M 点的坐标为点的坐标为（（2，p 2-）时，时， 410AB =，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p -+===-所以2.AB k p =由弦长公式2221212241()411616.AB k x x x x p p=++-=++的方程为011(),xy y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，上，代入得033.xy x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，）在抛物线上， 则2330322,x py x x ==因此x 3=0或x 3=2x 0. 即D (0，0)或202(2,).x D x p(1(1’ ’ 当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意. (2(2’ ’ 当00x ¹，对于D (0，0)又0,AB x k p=AB ⊥CD ，所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾. 对于202(2,),x D x p 又410AB =，所以p =1或p =2，因此所求，因此所求抛物线抛物线方程为22x y =或24.x y =(3)解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x2, y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB ，此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x p C x kpx px +++==因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴，轴，解:（1）证明：设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E EF F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-, 即：121()y x x x x x =+- 因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ① 又直线AP 方程：2101x yy x y x -=+由210012x y y x y x x yì-=+ïíï=î得：2210010x yx x y x ---= 所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=Þ=-= 同理，同理，200222,F F y y x y x x =-= 所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=-- 令令0x x =-得: 0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上.即证即证. .yxPNOMAEBF又00,ABx kp=¹所以所以直线直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，，与题设矛盾， 所以00x ¹时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意. 例2、已知已知抛物线抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ¹>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交的延长线分别交曲线曲线C 于E F 、．（1）证明E F N 、、三点三点共线共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以，使以线段线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．由．（2）解：由已知A B M N 、、、.共线，所以()0000,,(,)A y y B y y - 以AB 为直径的为直径的圆的方程圆的方程：()2200x y y y +-=由()22002x y y y x y ì+-=ïí=ïî得()22000210y y y y y --+-=所以0y y =（舍去），01y y =-要使圆与要使圆与抛物线抛物线有异于,A B 的交点，则010y -³所以存在01y ³，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--= 例3、已知已知直线直线:1L x my =+（0m ¹）过）过椭圆椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F ，且交椭圆C 与A ，B 两点.（1）若抛物线243x y =的焦点为椭圆C 的上的上顶点顶点，求椭圆C 的方程；的方程； （2）对于（）对于（11）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF l l ==，当m 变化时，求12l l +的值，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所于是0254 3.1k y kk ++=+注意:本题中条件” 12,MA AF MB BF l l ==”的处理很好! 巩固练习：1、在直角在直角坐标系坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的上点的距离的最小值最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ¹±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值的纵坐标之积为定值. .解:（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y 以22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，由题设知，曲线曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，的距离，因此，曲线曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，上运动时，P P 的坐标为0(4,)y -，又03y ¹±，则过P 且与圆且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个，每条切线都与抛物线有两个交点交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.01218.724y yk k +=-=- ②② 由101240,20,k x y y k y x -++=ìí=î得21012020(4)0.k y y y k -++= ③③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则0112120(4).y k y yk +×= ④④同理可得0234220(4)y k y y k +×=⑤⑤ 于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得: :010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++由023222c --=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) ) 抛物线抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x ¢= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),),则切线则切线,PA PB 的斜率分别为整理得2200721890.k y k y ++-= ①① 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故=2012012124004()16y k k y k k k k éù+++ëû==6400 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.2、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点为原点,,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点上的点,,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) ) 求抛物线求抛物线C 的方程的方程; ;(Ⅱ) ) 当点当点()00,P x y 为直线l 上的定点时上的定点时,,求直线AB 的方程的方程; ; (Ⅲ) ) 当点当点P 在直线l 上移动时上移动时,,求AF BF ×的最小值. 【答案】【答案】((Ⅰ) ) 依题意依题意依题意,,设抛物线C 的方程为24x cy =,112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112xy y x x -=-,,21BF y =+, 所以()221212121AF BF y y yy y x y×=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y æö+-+=++=++ç÷èø所以当012y =-时．1617 B ．1615 C 即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --= 因为切线,PA PB均过点()00,P x y ,所以1220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解的两组解. . 所以所以直线直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) ) 由由抛物线定义可知11AF y =+所以()()()121212111AF BF y y y y y y ×=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=ìí=î,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = , AF BF ×取得取得最小值最小值,且最小值为92.课后作业：1．抛物线28y x =的准线方程是（方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 2.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（ ）A ．87D ．0 3.在抛物线y px 22=上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（的值为（ ）则=×OB OA （ ）（A ）43 （B ）－43（C ）3 （D ）－3 6．已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（的坐标为（ ）A. （41，－1）B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）7．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l,垂足为K ，则△AKF 的面积是（的面积是（ ））（A ）4 （B ）33 (C) ．．10．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = 一、选择题：12345678ABCDBACB题 号答 案二.填空题:9．x A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 4．与．与直线直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（是（） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 5、设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，43 (D)8 8．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ×+× ＝0，则动点P （x ，y ）的）的轨迹方程轨迹方程为（为（ ） （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 二.填空题:9．在．在平面直角坐标系平面直角坐标系xOy xOy中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于x x 轴对称，顶点在原点，顶点在原点O O ，且过点P(2,4)P(2,4)，则该抛物线的方程是，则该抛物线的方程是 ．11．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 12．已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则y 2221y +的最小值是的最小值是y 82= ； 10． -1. ． 11．4)1(22=+-y x ；12． 32 。
抛物线及其标准方程
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，
抛物线的标准方程与性质
抛物线的标准方程与性质一、抛物线定义平面与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系?点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 那么P>0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴设︱KF ︱= p 那么F 〔0,2p 〕，l ：x = -2p 。
设抛物线上任意一点M 〔X ，Y 〕定义可知 |MF|=|MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得y 2 = 2px 〔p ＞0〕 二、标准方程把方程y 2 = 2px 〔p ＞0〕叫做抛物线的标准方程，其中F 〔2P ，0〕，l ：x = - 2P而p 的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK|一条抛物线，由于它在坐标平面的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.1．四种抛物线的标准方程比照图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征〔标准位置〕和方程的特点〔标准方程〕统一起来？ 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，那么〔1〕围：抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
〔2〕对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.〔3〕顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
[一点通]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问
题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后， 要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据 准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
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5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛 物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm， 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
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p＝4， 解得 m＝2 6，
p＝4， 或 m＝－2
6.
∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(－ ，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5， 即点 M 到准线的距离等于 5，
答案：B
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4． 已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点， 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D.2 )
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解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A(0,2)点，抛物线的 1 焦点 F( ，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离 d＝ 2 |AF|＝ 12 17 2 0－ ＋2－0 ＝ . 2 2
2
4，得 p＝8，故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：A
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2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、 到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， ∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则焦点坐标 F(－ ，0). 2 m2＝6p， 由题意知 p2 2 m ＋3－ ＝5， 2
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y2 = 2px（p＞0）
抛物线标准方程的推导
如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0 由抛物线的定义，可导出 抛物线方程为 p 2 y = 2p(x- 2 )(p＞0） N y L
M
o
· · F
x
比较之下，显然方程 y2 = 2px（p＞0）更为简单
抛物线的标准方程
P 由题意得 2 ，即p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
变式
1 已知抛物线的准线方程是x =－ 4 ,求它
的标准方程。
解题感悟:
求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式. （ 2） 求 p 值 （3）写抛物线方程
注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
结束
例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。 y
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向 标准方程
焦点
准线
x
向右
o
x 向左
y
o
x
向上
﹒
o
y
向下
四种抛物线标准方程对比
x
寻找：区别与联系
一、四种形式标准方程的共同特征
y 2 2 px y 2 2 px
p 0
p 0
2 x x 2 py 2 py p 0 p 0
抛物线标准方程的推导 l
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？ N
M
· · F
想 一 想 ？
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、（证明）
抛物线标准方程的推导
l N
K
M
· · F
试 一gt;0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
抛物线标准方程的推导
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F（ 2 ，0），L：x =2 设动点M的坐标为（x，y） K o 由抛物线的定义可知， F
· ·
x
p 2 p 2 (x ) y x 2 2
抛物线及其标准方程
引入悟境
请同学们思考两个问题
想 1、我们对抛物线已有了哪些认识？ 一 想 2、二次函数的图像抛物线的 ？ 开口方向是什么？
生活中存在着各种形式的抛物线
赵州桥
喷泉
抛物线的生活实例
投篮运动
抛物线的生活实例
飞机投弹
引领悟识：
若动点M满足到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e.（直线 l 不经过点F） （1）当0＜e ＜1时，点M的轨迹是什么? 是椭圆 （2）当e＞1时，点M的轨迹是什么?
3
。
课堂练习
练习2:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2 解：抛物线的方程化为：y = a x 即2p= a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
1 4a
,抛物线的开口向右
1 4a
∴焦点坐标是（ ②当a<0时,
p 2
，0），准线方程是： x=
1 4a
2
1 1、二次项系数都化成了_______
2、四种形式的方程一次项的系数都含2p
O 点 ，且焦点与准 3、四种抛物线都过____ 线分别位于此点的两侧
引导悟技
二、四种形式标准方程的区别
y 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py
2
p 0
p 0
=
,抛物线的开口向左
∴焦点坐标是（
1 ， 0 ），准线方程是： 4a
x=
1 4a
引申悟道
1。抛物线的定义
2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
4。注重数形结合的思想 5。注重分类讨论的思想
p 0
p 0
1、一次项(X或Y)定焦点和对称轴 2、一次项系数符号定开口方向.
例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
解: ∵2P=6,∴P=3
1 3 是一次项系数的 4 所以抛物线的焦点坐标是（ 2，0） 1 3 是一次项系数的 准线方程是x= 4 2 的相反数
练习
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1）y 2 = -20 x
焦点F ( -5 , 0 ) 准线：x =5
（ 2） y = 6 x
2
1 1 焦点F ( 0 , 24 ) 准线：y = － 24
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
抛物线的标准方程
方程 y2
= 2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点
p ， 2 0），准线L：x =p 2
位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴 即焦点F（
﹒
y
o
x
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛物 线的标准方程还有其它形式。
A
o
.F
B
x
课堂练习
练习1：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。 y
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， A 得p= 9
2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= 2
．
4
O
x
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2
l l M M F
是双曲线
l M
·
F
·
H
.
实验一
F
0＜ e ＜ 1
e＞1
e=1？
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中
定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线
l
H
M
· · F
定义告诉我们： 1、判断抛物线的一种方法
2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|