稀疏约束的正则化方法
稀疏平滑特性的多正则化约束图像盲复原方法
像， 这 是一 种严 重的“ 病态 问题” ［ 】 Ｉ ２ ］ ． 为 了能够很 好地 求解这类 “ 病 态 问题” ， 正 则化 技 术便孕 育而 生 了． 正 则化技
术也就 是在 求解 复原 图像 的过程 中加入 能够 反映真 实清 晰 图像 某种 内在特 性 的正则项 ， 以保证得 到 的解 具 有 这 种特性 ． 因此， 能够真实 、准 确地找 到反映原始清 晰图像 内在特 性的正则 项， 是 正则化技术成 功的关键．
数 的分布， 提 出 了一种 基于 贝叶斯 的单 幅运动模 糊 图像盲 复原方法 】 ． ２ ０ ０ ８年， Ｓ ｈ ａ ｎ等人 也利用这 种思想提 出一 种更 加合 理的分 段函数 ， 以便 更好 地近似 这类严 重 的拖 尾分布 ， 但 却认 为运 动模 糊退化 函数 只服从 某种指 数 的 分布 【 ６ Ｊ ． 文献 ［ ５ ， ６ ］ 已被 认为 是运动 模糊 盲复 原领域 中极 具代表 性 的两篇文 章． 这种严 重 的拖尾 分布是 基于 统计
用到了模糊图像的盲复原中【 ． 因为 Ｔ Ｖ － ｎ ｏ ｒ ｍ 存在分段常数特性， 所以该方法只能较好地适用于具有明显边缘
的Ｐ Ｓ Ｆ （ 比如运动模 糊 、理想 的低通滤波器 等等） ． 近 几年 的一些方 法认 为， 大多数 清晰 自然 图像 的边 缘都近似 地服 从一种 严重 的拖尾 分布。 而 模糊 图像 的边
不可 能得 到同一场景 的多幅不 同的模 糊 图像 ． ２ ０ １ ０ 年， Ａｌ ｍｅ ｉ ｄ ａ 等人根据 自然 图像边 缘 的稀 疏性原 理， 对 图像运用 了一种基 于稀疏先 验分布 的类 Ｔ Ｖ函数
正则化约 束， 提 出了一种适 用于 多种模糊情 况的 自然 图像盲 复原方法 【 ｌ 们 ． 该方法针对 无约 束的 Ｐ Ｓ Ｆ 以及有 约束 的 Ｐ Ｓ Ｆ都 能达 到较好 的复原效 果． 自然 图像边 缘 的这 种稀疏特性 能够 反映 出几 乎所有 自然 图像 的内在特 性， 具 有较 好 的普适 性。 但 是该方法对 于有约束 的 Ｐ Ｓ Ｆ也只运用 了一种 Ｔ Ｖ － ｎ ｏ ｒ ｍ 的正则化 约束．
penalty法
Penalty法是一种正则化方法，用于防止模型过拟合，从而提高模型的泛化能力。
它通过对模型参数施加约束，使得模型更加简单和稀疏。
Penalty法包括L1和L2两种规范，其中L1规范假设模型的参数满足拉普拉斯分布，L2规范假设模型的参数满足高斯分布。
L1正则化通常用于使模型稀疏化，使某些不重要的特征的系数为零。
这有助于简化模型，并提高模型的解释性。
L2正则化则通过将权重向零收缩，减少过拟合。
在选择Penalty法时，需要根据具体的问题和数据来决定使用哪种规范。
如果主要目的是解决过拟合问题，L2正则化通常是一个好的选择。
但如果希望模型更稀疏，或者有特征选择的需求，那么
L1正则化可能更适合。
此外，Penalty法还可以与各种优化算法结合使用，如坐标轴下降法、牛顿法、随机梯度下降等。
在使用这些优化算法时，需要注意它们是否与所选的Penalty规范兼容。
例如，L1正则化的损失函数不是连续可导的，因此不能与需要一阶或二阶连续导数的优化算法一起使用，如牛顿法和随机梯度下降法等。
如何解决学习算法中的稀疏数据问题
如何解决学习算法中的稀疏数据问题在学习算法中，稀疏数据问题一直是一个挑战。
稀疏数据指的是数据集中只有少数几个非零元素，而其他元素都为零的情况。
这种情况在现实生活中非常常见，例如推荐系统中用户对商品的评分、自然语言处理中的文本表示等等。
然而，稀疏数据给学习算法带来了很大的困难，因为它会导致模型的性能下降和过拟合的问题。
因此，解决学习算法中的稀疏数据问题成为了一个非常重要的研究方向。
为了解决稀疏数据问题，学术界提出了许多方法。
一种常用的方法是特征选择。
特征选择的目标是从原始数据中选择出最具有代表性的特征，以便提高模型的性能。
特征选择可以通过过滤、包装和嵌入等不同的方法来实现。
过滤方法是根据某种准则对特征进行评估和排序，然后选择排名靠前的特征。
包装方法是将特征选择问题转化为一个优化问题，通过搜索最优特征子集来解决。
嵌入方法则是在模型训练过程中同时学习特征的权重和模型的参数。
这些方法在处理稀疏数据问题时都取得了一定的效果，但是它们都有各自的局限性，例如计算复杂度高、对数据分布敏感等。
另一种解决稀疏数据问题的方法是特征转换。
特征转换的目标是将原始的稀疏数据转化为稠密数据，以便更好地利用学习算法。
常用的特征转换方法有主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）等。
这些方法可以通过线性变换将原始的稀疏数据映射到一个低维的稠密空间中，从而减少数据的维度和稀疏性。
然而，特征转换方法也存在一些问题，例如可能损失一部分信息、对数据分布敏感等。
除了特征选择和特征转换，还有一些其他的方法可以解决稀疏数据问题。
例如，可以使用正则化方法来约束模型的参数，从而减少过拟合的问题。
正则化方法可以通过在目标函数中添加一个正则项，来惩罚模型的复杂度。
常用的正则化方法有L1正则化和L2正则化。
L1正则化可以使得模型的参数稀疏化，从而减少稀疏数据的影响。
L2正则化则可以使得模型的参数分布更加均匀，从而减少过拟合的问题。
此外，还可以使用集成学习的方法来解决稀疏数据问题。
大模型稀疏化技术
大模型稀疏化技术大规模模型稀疏化技术是一种用于优化神经网络模型的方法，通过减少模型中不必要的连接和参数，从而达到减小模型体积、降低计算复杂度和减少存储需求的目的。
本文将从概念、方法和应用几个方面介绍大规模模型稀疏化技术的原理和实际应用。
一、概念大规模模型稀疏化技术是指在神经网络模型中通过剪枝和权重稀疏化等方法，减少模型中的冗余连接和参数，从而达到模型优化的目的。
通过稀疏化处理，可以减小模型的规模，提高模型的推理速度，并降低模型训练和推理所需的计算资源。
二、方法1. 剪枝：剪枝是指通过删除模型中的冗余连接和参数来减小模型的规模。
剪枝方法通常基于模型权重的重要性进行选择，权重越小的连接和参数被视为冗余的，可以被删除。
剪枝方法可以采用手动设定阈值的方式，也可以通过自动确定阈值的方式进行。
2. 权重稀疏化：权重稀疏化是指将模型中的权重值设为零或接近零，从而减小模型的规模。
权重稀疏化可以采用正则化方法，如L1正则化或L2正则化，通过对模型的权重值进行约束，使得部分权重值变为零。
也可以采用剪枝方法，将权重较小的连接和参数删除。
3. 稀疏训练：稀疏训练是指在模型训练过程中引入稀疏性的方法。
在稀疏训练中，模型中的部分连接和参数被设为零或接近零，从而约束模型的规模。
稀疏训练可以通过正则化方法，如L1正则化或L2正则化，在训练过程中对权重值进行约束，也可以通过剪枝方法，在每个训练迭代中删除权重较小的连接和参数。
三、应用大规模模型稀疏化技术在深度学习领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 嵌入式设备：在嵌入式设备上部署深度学习模型需要考虑计算资源和存储空间的限制。
通过大规模模型稀疏化技术，可以减小模型的规模，降低模型在嵌入式设备上的运行成本。
2. 云端推理：在云端进行大规模模型的推理任务时，模型的规模和推理速度是关键考虑因素。
通过大规模模型稀疏化技术，可以减小模型的规模，提高推理速度，降低云端推理的成本。
图像恢复问题的梯度稀疏化正则方法
图像恢复问题的梯度稀疏化正则方法赵晨萍;冯象初;王卫卫;贾西西【摘要】针对图像恢复中边缘损坏及细节丢失等问题,从分析梯度直方图的分布特征及梯度稀疏性最佳表示出发,提出了一种基于梯度稀疏性的正则方法,建立了具有梯度先验信息的图像恢复模型.该模型不仅能够增强图像的细节特征,而且能够在去除模糊及噪声与保持图像边缘之间取得很好的平衡.设计了一种新的优化算法对模型进行求解.实验结果表明,新算法快速有效且收敛性好,新模型能够在很好地去除模糊和噪声的同时,有效保留图像边缘及纹理等信息.%In order to alleviate the defects in image restoration,e.g.,the damage of the edges and the loss of the details,a new gradient sparsity regularization model is derived based on the analysis of the gradient histogram and the best penalty in sparse representation.The proposed model can not only highlight the image detail effectively but also achieve a good balance between blur and noise removal and edge preservation.A new optimization algorithm is designed to solve the new model.Simulation experiments on image denoising and deblurring confirm that the numerical method is fast and efficient,the proposed regularization model can well preserve the significant edges and textures when effectively removing the blur and noise.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2017(039)010【总页数】6页(P2353-2358)【关键词】图像恢复;梯度直方图;梯度稀疏化;优化算法【作者】赵晨萍;冯象初;王卫卫;贾西西【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;河南科技学院数学科学学院,河南新乡453003;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126;西安电子科技大学数学与统计学院,陕西西安710126【正文语种】中文【中图分类】TN911.73图像恢复问题是计算机视觉和图像处理领域的经典研究课题之一[1-3]。
机器学习知识：机器学习中的稀疏表示方法
机器学习知识：机器学习中的稀疏表示方法稀疏表示方法是机器学习中一个重要的技术，它可以在高维数据中找出有效的表示方式，从而提高机器学习算法的效果。
本文将介绍稀疏表示方法的基本概念、应用领域和常用算法，以及其在机器学习中的作用和意义。
一、稀疏表示方法的基本概念稀疏表示的基本思想是将数据表示为最少的线性组合，即通过选择少数重要的特征，来表示整个数据集。
这种方法不仅可以减少每个样本的特征数量，还可以有效降低数据量，提高模型训练和预测的效率。
稀疏表示方法在机器学习中主要涉及两个方面：一是通过一定的约束条件，使得每个样本的表示向量在某个空间中更加稀疏；二是通过对简单线性组合的最优化求解，得到每个样本的最优表示。
二、稀疏表示方法的应用领域稀疏表示方法在机器学习中应用广泛，包括图像处理、文字识别、语音识别、自然语言处理等多个领域。
在图像处理中，稀疏表示方法被广泛应用于压缩和去噪。
它可以通过选定一些特定的基向量，来表示图像中的部分结构，从而达到降低图像信息存储和传输的目的。
同时，它也可以对图像中的噪声进行修复，提高图像质量。
在文字识别和自然语言处理中，稀疏表示方法可以用于单词和短语的编码，从而构建语言模型。
它可以通过学习大量的语料库，得到单词和短语在向量空间中的稀疏表示，从而提高自然语言处理的效果。
在语音识别中，稀疏表示方法可以将语音波形信号的短时频谱分解成多个基向量的线性组合，然后通过选择最优系数来重构原始信号，从而实现语音信号的稀疏表示和识别。
三、稀疏表示方法的常用算法稀疏表示方法中最常用的算法是L1范数正则化和L0范数正则化。
L1范数正则化是指将L1范数作为稀疏表示的约束条件，即使得每个样本的表示向量在L1范数的限制下更加稀疏。
这种方法的优点是可以在保留重要特征的同时减少特征数量，从而避免过拟合和提高模型的泛化能力。
而L1范数正则化的求解可以通过单个样本的坐标下降法或者批量梯度下降法进行。
L0范数正则化是指将L0范数作为稀疏表示的约束条件，即选择最少的非零系数来表示每个样本。
地球物理反演中的正则化技术分析
地球物理反演中的正则化技术分析地球物理反演是一种通过观测地球上各种现象和数据，来推断地球内部结构和物质分布的方法。
在地球物理反演中，由于观测数据的不完整性和不精确性，常常需要借助正则化技术来提高反演结果的可靠性和准确性。
正则化技术是一种以一定规则限制解的优化方法。
通过在反演过程中引入附加信息或者假设，正则化技术可以帮助减小反演问题的不确定性，提高解的稳定性和可靠性。
在地球物理反演中，正则化技术有多种应用。
下面将介绍几种常见的正则化技术，并对其进行分析和比较。
1. Tikhonov正则化Tikhonov正则化是一种基本的正则化技术，它通过在目标函数中加入一个范数约束来限制解的空间。
常见的约束可以是L1范数和L2范数。
L1范数可以使解具有稀疏性，即解中的大部分分量为零，适用于具有稀疏特性的反演问题。
而L2范数可以使解具有平滑性，适用于具有平滑特性的反演问题。
2. 主成分分析正则化主成分分析正则化是一种通过将反演问题映射到低维空间来减小问题的维度的正则化技术。
它可以通过选择重要的主成分来实现数据降维，从而减少反演问题的不确定性。
主成分分析正则化在处理高维数据时可以提高反演的效率和精度。
3. 奇异值正则化奇异值正则化是一种基于奇异值分解的正则化技术。
通过对反演问题进行奇异值分解，可以将问题分解为多个低维子问题，从而减小高维问题的不确定性。
奇异值正则化适用于非线性反演问题，可以提高反演结果的稳定性和可靠性。
4. 稀疏表示正则化稀疏表示正则化是一种基于稀疏表示理论的正则化技术。
它通过将反演问题转化为对系数矩阵的优化问题，并引入L1范数约束，使得解具有稀疏性。
稀疏表示正则化适用于信号重构和图像恢复等问题，并在地震勘探和地球成像中有广泛应用。
在选择正则化技术时，需要考虑问题的特性和数据的特点。
不同的正则化技术适用于不同的问题，并且各自具有一些优势和限制。
因此，根据问题的具体要求和数据的特征，选择合适的正则化技术可以提高反演结果的可靠性和准确性。
L1和L2正则化约束的一种解释
L1和L2正则化约束的⼀种解释写在最开始：模型融合以及有约束优化时常常会遇到如下复合优化⽬标：L = f + λg，其中λ是 temperature factor。
那么如何理解这种优化⽬标呢？这⾥举⼀个⽐较形象的例⼦：考托福托福满分120，越⾼越好，因此 f = 120 - score如果Loss函数是 L = f，显然⽬标就是把托福考的⾼，越⾼越好，没有其他的限制。
接着要求提⾼了，由于经济条件限制，我想考好还不想多花钱。
那么如何⽤数学语⾔来描述：尽量少交钱（少交报名费，少报补习班）去考出⼀个好的分数呢？答案就是在⽬标函数中引⼊代价 g，即 L = f + g。
对于这种复合优化函数，可以尝试考虑⼀种简单情况来简化思维：假设 x1，x2 都能使得 f 取得最⼩值，但g(x2) < g(x1)，那么若是极⼩化整体的 f+g，则 x2 才是最优解。
确实做到了在确保f⾜够⼩的前提下，尽可能减⼩g。
紧接着要求⼜提⾼了，有2个学⽣，他俩经济条件不同，且他俩都想考好还不多花钱。
显然 L = f+g 并没有考虑到这2个学⽣各⾃的特征。
即，我们需要⼀个 temperature factor 去控制（或者tradeoff）考的⾼和花钱少这两个要求。
终极形式的⽬标函数终于出现了：L = f + λ g，这⾥λ就是 temperature factor。
当λ << 1 时，表⽰ minf 更重要，在这个场景⾥是：不怎么在乎钱，可以容忍多花些钱，考⾼了就好。
当λ >> 1 时，表⽰ ming 更重要，在这个场景⾥是：不能花太多钱，即使考的不怎么好也不再刷分了。
两个极端情况：当λ = 0 时，问题退化为⽆约束优化问题。
当λ >>> 1 时，这种情况不应该出现，毕竟原始的优化⽬标还是 f ，g只是约束条件，λ过于⼤会造成优化对象错误地转移到约束条件 g 上。
（在这个场景⾥是：过分在乎钱，那就不⽤考了，毕竟不考⼀分钱都不⽤花）。
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稀疏约束的正则化方法翁云华;杜娟【摘要】This paper presents a peculiar regularization method of theoretical analysis is used to solve the in-verse problem of ( nonlinear) so as to promote the regularization method to the sparse domain.We look at spe-cific Tikhonov regularization method of stability and convergence.We are going to the regularization method is used in the traditional continuous lp space,So we will be limited p between 0 to 1,whilep<1,Triangle ine-quality is no longer set up and we'll get a pseudo Banach space with non convex constraints.We are going to prove the existence of the minimum value in the traditional environment, the stability and continuity.In addi-tion, we will also be given in the respective topological Hilbert space under the traditional assumptions of the convergence speed.%给出了一个奇特的正则化方法的理论分析并用来解决（非线性）反问题，从而将正则化方法推广到稀疏域上。
考察特定的Tikhonov正则化方法的稳定性和收敛性。
将这种正则化方法用于传统的连续的lp 空间，由于这是稀疏域上的正则化方法，所以将p限定于0到1之间。
当p＜1时三角不等式不再成立并且会得到一个带有非凸限制条件的伪Banach空间，证明了在传统的环境下最小值的存在性、稳定性和连续性。
还给出在各自的传统假设下拓扑Hilbert空间下的收敛速度。
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)001【总页数】5页(P24-28)【关键词】凸函数;稀疏约束;正则化;收敛率【作者】翁云华;杜娟【作者单位】成都理工大学管理科学学院，四川成都 610059;成都理工大学管理科学学院，四川成都 610059【正文语种】中文【中图分类】O29本文是关于在稀疏域条件下正则化方法的理论分析.我们将这种方法不妨设在lp(p∈(0,1))空间上并且是非线性的算子.我们证明了Tikhonov正则化方法的解的存在性,解得稳定性,对数据扰动解的收敛性.除此之外,我们还将给出在各自的传统假设下拓扑Hilbert空间下的收敛速度.考虑算子方程[2]F(x)=y这里F是一个非线性算子.为此我们将该式用Tikhonov方法表示,求该等式的最小值除了传统的正则化项ψ(x),如L2范数,全部变量或者是最大正则化熵等方法,还有一个具有潜质的新奇的稀疏域上的正则化方法.在文[1]中的几种拓展最初设定的l1正则化方法和压缩landwerber迭代是两种求最小值的算法,得到了进一步完善[6,7,9].通过文[5]中关于l1一些稀疏域上基本正则化方法的介绍我们能够实现将该方法延拓到稀疏域上.本文主要研究了如式(2)具有良好适定性的Tikhonov正则化非线性反问题,其中ψ(x)是lp伪范数.证明了传统意义下正则化非线性算子的最小解的存在性,稳定性和收敛性.因此，用类似于求最大熵的方法将式(2)转化为在凸区域上的标准的正则化问题,此外还给出了拓扑空间标准收敛率.假设X为(伪)Banach[3]空间lp(0<p≤1),令Y为可分的Hillbert空间(如l2空间).其中X=lp,jα也包含了X=lp.令D(F)⊆X是连续算子F的作用区域,该区域是凸的且闭合的区域,该算子将D(F)⊆X映射到Y.在D(F)⊆X上寻找满足等式F(x)=y的适定解.通常得到的yδ都是带有误差的且满足‖y-yδ‖≤δ,δ>0,这就造成了不适定问题的产生.因此关注下面广义的Tikhonov泛函Jα:X→R其中α>0,p∈(0,1],并且‖x‖p是lp的伪范数[4]‖其中xk是数列x的第k项.下面所要做的事情就是将原来的泛函(3)转换成更容易得到的或者是相近的.最终改造后的最小值问题就映射成1≤q≤2区域上了,这样就能应用标准的正则化理论了,q=1时是一种特殊的情况,这时的正则化理论很多都不能成立,因此就要单独讨论. 现在xs在原式(3)中表示各个量的从属关系在当前章节中用X表示lp(0<p≤1)空间,Z表示lq(1≤q≤2)空间,用Y表示可分的Hilbert空间.通过特定的非线性算子,可见最小值问题成功转化,下面的定义定理可以详细说明叠加算子如何使转化成功.定义1 令φp,q是N×R到R上的映射:φp,q:N×R(k,r)|→sign(r)|引理1[8]对任意的0<p≤1,1≤q≤2,k∈N映射np,q是双射且连续的.定义2 定义映射序列算子Np,q，Np,q:x|→{φp,q(k,xk)}k∈N,x∈Z,0<p≤1,1≤q≤2.显然这种方法定义的算子序列其实没什么必要,因为φp,q是不依赖于k的,但是这种方法能够清楚地看到其相近关系,从而能够更深入的了解定理定义.命题1 对任意的0<p≤1,1≤q≤2,x∈Z的Np,q∈X,如定义2,该算子Np,q,Z→N 是有界的,连续的且双射.能够给出精确地最小值模型通过定义叠加算子,因此定义一个新的算子Gp,q:D(G)→Y ，x|→F∘Np,q(x) ,其中D(g)⊆Z,D(G):(F)).问题1 令yδ是真实值y的一个近似满足条件‖y-yδ‖≤δ并且α>0,最小值公式为: 映射成xs∈X,0<p≤1.问题2 令yδ是真实值y的一个近似满足条件‖y-yδ‖≤δ并且α>0,定义xs=Np,q(x),0<p≤1,其中x最小值是映射成x∈Z,1≤q≤2.论点1 显然问题1与问题2是等价的.定义3 假设存在一个弱非平凡拓扑,是一个正交空间,存在一个弱闭算子O使得对一切弱序⟹O(x)=a假设存在一个弱非平凡拓扑,是一个正交空间,存在一个弱连续算子O使得对一切弱序列xn有⟹论点2 对任意的0<p≤1,1<q≤2,算子Np,q:Z→Z,如定义3是弱连续的.证明令然后会发现(Np,q(x))k=φp,q(k,xk)=sign(xk)|xk|r-1,r>1.这种传统算子Np,q作用于lr同时有个函数:ω(t)=tr-1,根据[2]中的推论4.11以及[4]中的4.14表明Np,q是弱连续的在lr上.如:⟹,在Z上有一个弱收敛序列,因为根据定义q≥r,能够推测出这个弱收敛序列在lr上.通过弱收敛序列在lr上,能够推出逐点收敛正如:‖‖‖C.能够得出弱收敛序列Np,q(xn)在Z=lq上.论点3 证明了若连续算子Np,q是Z上的拓扑.人们会得出边界算子X=lp,0<p≤1然而因为X⊆Z,0<p≤1,1<q≤2,得到的结果是可行的,推断算子F给出有效的性质,会注意到具有相同结果的Np,q:Z→X并不存在.考虑到这个事实并不适用普遍情况.已经解决的典型的假设上的算子F:D(F)⊂X→Y是弱闭的,再次运用事实X⊆Z因为D(F)⊆Z,0<p≤1,1<q≤2,我们假设F是Z上弱闭的拓扑.假设1 令算子F:D(F)→Y在Z=lq,1≤q≤2上是连续的并且是弱闭的拓扑结构. 假设2 当0<p≤1,1<q≤2时,令算子F:D(F)→Y是满的定义4 令⊆是F(x)=y的最小解,即‖{‖}定理1 (最小解的存在性)令0<p≤1,1<q≤2,α>0.再令算子F:D(F)←Y是满的,然后存在一个最小解⊆Z,这个转化存在最小解,⊆X是原方程.定理2 (稳定性)令0<p≤1,1<q≤2,α>0.再令算子F:D(F)←Y是满的，令{yn}∈Y,{xn}∈X位数列,同时yn→yδ,xn是方程的最小解,将yδ代替yn令(xs)n∈yδ表示相应的序列存在一个收敛序列xn极限为,每一个收敛序列都是一个最小值,因此存在一个最小值(xs)n∈X是收敛的:‖(xs)n-xδ‖p→0通过引理2可以推断出原始变量的收敛率.但是最小的延伸引理将另外处理提供收敛对原始拓扑X,0<p≤2.引理2 令0<p≤2,设数列xn∈X,n∈N是收敛的,因此令‖收敛于‖,从而‖.定理3 (收敛性)令0<p≤1,1<q≤2,α>0.再令算子F:D(F)←Y满足,令y∈Y,存在一个最小范数解x+∈D(g)⊆Z,g(x+)=y,yδ是带有扰动的数据‖y-yδ‖≤δ，令α=α(δ,yδ)≥0,因此当δ→0时有,然后每一个数列{},δk→0,αk:=α(δk,yδk)并且是式(2)的最小解强收敛序列.通过使用局部利普希茨连续性,定义1中可以直接推断原始变量在拓扑Z=lq,1<q≤2的收敛率‖‖‖‖=‖‖≤‖L||‖令yδ测量数据满足‖y-yδ‖≤δ,α>0定理4 0<p≤1,1<q≤2,α>0,再令算子F:D(F)←Y是满的,y∈Y是最小解存在的条件.令yδ测量数据满足‖y-yδ‖≤δ,α>0,如下性质成立:1) 算子F是可微的2) 存在ω∈Y使得如下式子成立‖(F∘Np,q)′(x)-(F∘Np,q)′(x+)‖β‖x-x+‖23) 存在β>0使得β‖ω‖<1成立.则‖‖‖从而‖‖‖由式(13)关于原始变量的收敛率以及φp的局部利普希茨连续性可得‖⟹‖‖=O(δ)由此得到了常见的假设在稀疏的背景下促进正规化收敛率.以上方法利用一个众所周知的结果在希尔伯特空间拓扑下的经典假设.证明了最小解的存在性,稳定性,连续性和Tikhonov正则化方法的延拓:Jα:X→Rx|→‖F(x)-yδ‖2+α‖,在序列空间中的收敛性.为此更改给定的问题经典配方,利用正规化理论的结果，最终得到了正则化解的收敛速度,为求Tikhonov正则化解提供了一般方法.【相关文献】[1] Bonnans J F, Shapiro A. Perturbation analysis of optimization problems[M]. Operations Research:Springer, 2000.[2] Caillau J B, Noailles J. Sensitivity analysis for time optimal orbit transfer[J]. A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, 2013, 49(4): 327-350.[3] Castillo E, Conejo A, Pedregal P, et al. Building and solving mathematical programming models in engineering and science[M]. Taylor & Francis:Lie Transactions, 2009, 35(9):918-919.[4] Conejo A, Castillo E, Mínguez R, et al. Decomposition Techniques in Mathematical Programming Engineering and Science Applications[M].ResearchGate:Springer Berlin, 2011.[5] Gelfand I M, Fomin S V. Calculus of Variations[M].ResearchGate:Progress in Nonlinear Differential Equations & Their Applications, 1963.[6] 老大中. 变分法基础[M]. 北京:国防工业出版社, 2004.[7] Castillo E, Conejo A J, Castillo C,et al. Perturbation approach to sensitivity analysis in mathematical programming[J]. ResearchGate,Optim Theory and Applications, 2006,128(1):49-74[8] Castillo E, Conejo A, Castillo C. A closed formula for local sensitivity analysis in mathematical programming[J]. Taylor & Francis,Engineering Optimization, 2006(38): 93-112.[9] Gal T, Greenberg H J. Advances in Sensitivity Analysis and Parametric Programming[M]. Springer:Kluwer Academic Public, 1997.。