四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题

13.函数 的定义域为______.
根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
由题意，函数 有意义，则满足 ，
解得 且 ，即函数的定义域为 .
故答案为： .
14.已知扇形的圆心角和弧长均为2，则扇形的面积为______.
1
利用扇形的弧长公式求得半径，由面积公式即可求解.
扇形的圆心角和弧长均为2，则半径 ，
又因为 ，所以 ，
所以函数 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，求 ， 的最小值
即求 ， 的最小值，
①当 时， 在区间[-1，2]上为增函数，
；
②当 时， 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数， ；
③当 时， 在区间[-1，2]上为减函数，
.
综上所述： .
22.已知函数 ， .
（1）求函数 在区间 的值域；
B
利用集合的补运算求 即可.
由 ， ，
所以 .故选：B
2.点 位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
D
判断 的值的正负，可得答案;
,
所以点 位于第四象限，故选：D
3.函数 （ ，且 ）恒过定点（3，2），则 （）
A. 2B. 3C. 4D. 5
C
由对数函数的性质，可得函数 恒经过点 ，结合题意求得 的值，即可求解.
①若 时， 有1解，此时 ， 有3解，所以原方程有4解；
②若 时， 有2解，此时 ， 有2解，所以原方程有4解；③若 时， 有3解，此时 ， 有1解，所以原方程有4解；
综上所述，故选：C.
数形结合法解决零点问题：
(1)零点个数：几个零点；
(2)几个零点的和；
(3)几个零点的积.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【小问2详解】
由表可知2020年的人口数量为92.076万，
又由（1）知2030年的人口数量大约为101.351万，
则有 ，即 ，
解得 ，
所以该地区2020年到2030的年平均增长率a大约为0.010.
21.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 ， 的最小值.源自（1）（2）C. D.
B
分析】令 ，由二次函数图象性质可知满足 且 计算即可得出结果.
令 ，且 ，
所以只需满足 且 即可，
即 且 ，解得 ，故选:B.
9.函数 的图象大致形状是（）
A. B.
C. D.
A
根据 时的函数值情况，可排除B;根据函数定义域，可排除C；根据函数的奇偶性，可排除D，由此可得答案.
当 时， 且 ，得 ，所以B选项错误，
（2）请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a（结果保留3位小数）.
参考数据； ， ， .
（1）101.351万
（2）0.010
（1）根据题意直接代入公式计算即可；
（2）直接利用增长率的公式求解即可.
【小问1详解】
2030年即间隔年份为20年，
该地区的人口数量
该地区2030年的人口数量大约为101.351万.
17.计算下列各式的值.
（1） ；
（2） .
（1）
（2）
（1）由对数运算性质计算即可得出结果.
（2）由根式及指数的运算性质计算即可得出结果.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式=
18.在平面直角坐标系xOy中，角 、 的顶点和始边分别与坐标原点O和x轴的非负半轴重合，角 (如图所示)的终边与单位圆的交点A的纵坐标为 .
（2）将所求不等式变形为 ，结合函数 的定义域、奇偶性与单调性可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【小问1详解】
解：因为 是偶函数，所以 ，即
所以 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，所以 .
对于函数 ，有 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为内层函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
∴ ，
又∵ ，
，
，
，
∴函数 的周期为4，
∴ .故选：D.
11.已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（）
A. B. C. [1，3]D.
B
根据题意，由 ， 且 求解.
设 的周期为T，因为 ，即 ，解得 ，
由 ，
解得 ，
即 在区间 上单调递减，
因为 ，显然k只能取0，
所以 且 ，
解得 .故选：B.
根据幂函数的性质，可得函数 在区间 上为单调递增函数，符合题意；
对于B中，函数 ，由 ，所以函数 为偶函数，
不符合题意；
对于C中，函数 定义域为 不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D中，函数 在 为单调递减函数，不符合题意.故选：A.
5.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
（1）求 与 的值；
（2）若角 的终边位于第三象限，且与角 的终边相互垂直，求 的值.
（1） ， ；
（2） .
(1)根据三角函数定义客气sinα，再根据同角三角函数的平方关系和α终边位置可求cosα；
(2)由题意知 ，利用诱导公式即可求出tanβ的值.
【小问1详解】
由三角函数的定义知 ，
又由图可知角 是第二象限的角，∴ ；
由扇形的面积公式可得该扇形的面积为 ，
故答案为： .
15.若奇函数 共有n个零点，则 所有零点之和为______.
由函数 的图象关于 中心对称，得到函数 的n个零点转化为 根据函数的图象变换，得到 关于 中心对称，进而求得函数 的n个零点之和.
因为函数 为奇函数，所以 的图象关于 中心对称，
设函数 的n个零点分别为 ， ， ，… ，所以 ，
时间
2010年
2015年
2020年
…
间隔年份t（单位：年）
0
5
10
…
人口数量 （单位：万）
80
86 368
92.076
…
该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数 能比较好地描述2010年起该地区的人口数量 （单位：万）与间隔年份t（单位：年）的关系.
（1）请估计该地区2030年的人口数量（结果保留3位小数）；
12.若定义在 上的奇函数 在区间 上的解析式为 ，则关于x的方程 的解的个数可能为（）
A. 2或4或5或6B. 2或4或6C. 4D. 6
C
作出 的图象，令 ，则原方程可化为 ，研究 的根的不同情况，进而得到 的解的个数.
由题目给出的 的解析式和奇偶性可得 的图象如下：
令 ，则原方程可化为 ，其判别式 ，故该方程有两个不相等的非零实根 、 ，且 ，不妨设 .
【小问2详解】
由题意知 ，
∴ .
19.已知偶函数 （其中 ），且满足 .
（1）求 的解析式，并指出其在定义域内的单调性（不需要证明）；
（2）解关于 的不等式 .
（1） ， 在区间 为增函数，在区间 为减函数
（2）
（1）由偶函数的定义可求得 的值，再由 可求得 的值，可得出函数 的解析式，求出函数 的定义域，利用复合函数的单调性可出函数 的增区间和减区间；
由题意，函数 ，
当 时，即 时，可得 ，即函数 恒经过点 ，
又因为 恒经过点 ，可得 ，解得 ，
所以 .故选：C
4.下列幂函数中，既是奇函数又在区间 单调递增的是（）
A. B. C. D.
A
根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
对于A中，函数 ，由 ，所以函数 为奇函数，
又由 的图象是由函数 的图象向右平移 个单位得到，
所以 关于 中心对称，
设 的n个零点分别为 ， ， ，… ，
则
.
故答案为： .
16.关于函数 有下列结论：① 是定义在 上的偶函数；② 的最小正周期为 ；③ 在区间 上单调递减；④ 在区间 上有且只有两个零点.其中所有正确结论的标号是______.
①③
根据函数奇偶性、周期性的定义，以及 的性质即可求解.
解：因为 ， ，所以 是定义在 上的偶函数，故①正确；
因为 ，故②错误；
因为当 时， ，所以 在 上单调递减，故③正确；
因为当 时， ，所以 ，所以 在 有无穷多个零点，故④错误.
故答案为：①③.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
因为函数 的定义域为 ，所以C选项错误；
函数 满足 ，故 是偶函数，
所以D选项错误，故选：A.
10.若定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则 的值等于()
A. B. C. D.
D
根据f(x)是偶函数以及 求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和 即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.
∵函数 是偶函数，
而外层函数 为增函数，
所以 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数.
【小问2详解】
解：因为 ，所以 可化为 ，
又由函数 的单调性可知原不等式等价于 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
20.Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为 ，其中 是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，己知某地区的人口数据如下表；
（1）由图象可得出 的最大值和最小正周期，可求得 、 的值，再由 结合 的取值范围可求得 的值，进而可求得函数 的解析式；
（2）由 ，求得 ，令 ，即求 ， 的最小值，讨论二次函数的对称轴即可求得结果.
【小问1详解】
由图可知 .