2021年江西省新余一中高考数学全真模拟试卷(理科)(附答案详解)

2021年江西省新余一中高考数学全真模拟试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知集合A、集合B={2,3，a，b}，且A∩B={3,4}，则下列结论正确的是()A. 有可能a+b=8B. a+b≠8C. a+b<8D. a+b>82.(2021·江西省新余市·模拟题)设复数z1=1−i,z2=2+4i1+i，且在复平面上对应的点分别为Z1、Z2，则|Z1Z2|=()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.(2021·陕西省宝鸡市·模拟题)某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4√3的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是()A. 2B. 4C. 2√6D. 4√64.(2021·江西省新余市·模拟题)某程序框图如图所示，若N=2021，则输出的S=()A. 20192020B. 20202021C. 20212022D. 202220235.(2020·福建省漳州市·月考试卷)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C大约增加了()A. 10%B. 30%C. 50%D. 100%6.(2021·全国·模拟题)(x+y)2(x−2y)4的展开式中x2y4的系数为()A. 88B. 104C. −40D. −247.(2021·全国·模拟题)地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，B B，C C，D D，E A，E疏散乘客时间(s)120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是()A. AB. BC. DD. E8.(2021·江西省新余市·模拟题)已知x∈(0,π4)，且a=2cos2x+1e2cos2x,b=cosx+1e cosx,c=sinx+1e sinx，则a，b，c的大小关系式为()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b9.(2021·河南省·模拟题)已知A为直线l：3x−4y+m=0上一点，点B(4,0)，若|AB|2+|AO|2=16(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是()A. [−4,16]B. [−16,4]C. (−4,16)D. (−16,4)10.(2021·湖北省咸宁市·同步练习)古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某同学用平行于母线PA且过母线PB的中点M的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的抛物线.若该圆锥的高PO=1，底面半径OA=√3，则该抛物线焦点到准线的距离为()A. √3B. 3C. √32D. 3211.(2021·山东省潍坊市·模拟题)关于函数f(x)=sinxx，x∈(0,+∞)的性质，以下说法正确的是()A. 函数f(x)的周期是2πB. 函数f(x)在(0,π)上有极值C. 函数f(x)在(0,+∞)单调递减D. 函数f(x)在(0,+∞)内有最小值12.(2021·四川省成都市·模拟题)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2，点M，N在双曲线的同一条渐近线上，O为坐标原点.若直线F2M平行于双曲线的另一条渐近线，且OF2⊥F2N，|F2M|=√52|F2N|，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±14x B. y=±12x C. y=±√22x D. y=±2x二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·江西省新余市·模拟题)已知向量|a⃗|=2，b⃗ =(1,−√3)，且a⃗，b⃗ 夹角为π3，则|2a⃗−b⃗ |=______ ．14.(2021·江西省新余市·模拟题)2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A，B，C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率______ ．15.(2018·四川省泸州市·模拟题)数列{a n}的前n项和为S n，且S3=1，S4=−1，a n+3=2a n(n∈N ∗)，则S2017=______．16.(2021·江西省新余市·模拟题)阿基米德多面体，也称为半正多面体，是指至少由两种类型的正多边形为面构成的凸多面体.如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，若得到的几何体是由正三角形与正六边形构成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为7√3，则该阿基米德多面体外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·江西省新余市·模拟题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且b(asinA+csinC−bsinB)=3S．(1)求cos B的值；(2)若a、b、c成等比数列，且△ABC的面积是√72，求△ABC的周长．18.(2021·辽宁省丹东市·模拟题)如图，在空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC与△ADC都是以AC为底的等腰三角形，O为AC的中点，AC=2，AB=√5．(1)证明：点O在平面BED内；(2)已知∠ADC=90°，cos∠ABE=√10，求二面角B−AE−D的余弦值．519.(2021·江苏省苏州市·模拟题)某贫困地区截至2016年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户2016年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．(1)将家庭人均年纯收入不足5000元的家庭称为“特困户”，若从这50户中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有“特困户”的户数X的数学期望；(2)假设2017年底该地区有1000户居民，其中900户为小康户，100户为“特困户”，若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有t%(0<t<10)变为“特困户”，假设该地区居民户数保持不变，记经过n年脱贫工作后该地区小康户数为a n．(ⅰ)求a1并写出a n+1与a n的关系式；(ⅰ)要使经2年脱贫工作后该地区小康户数至少有950户，求最大的正整数t的值．20.(2021·河南省鹤壁市·月考试卷)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0,b)的直线的距离为12c．(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x+2)2+(y−1)2=52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．21.(2021·山东省聊城市·模拟题)已知函数f(x)=cosx+12x2−2，g(x)=12x2+sinx−e bx．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若关于x的不等式f(x)≥g(x)在x∈[0,+∞)恒成立，求实数b的取值范围．22.(2021·河南省·模拟题)在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2a1−acosθ．(Ⅰ)若0<a<1，曲线C与极轴所在直线交于A，B两点，且|AB|=4√2，求a的值；(Ⅱ)若a=1，直线l1，l2经过极点且相互垂直，l1与C交于P，Q两点，l2与C交于M，N两点，求|PQ|+|MN|的最小值．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=3|x−2|+|x−m|(x∈R)，不等式f(x)<3的解集为(1,n)．(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)若三个实数a，b，c，满足a+b+c=m.证明：(b+c)2+(a+2b+c)2+(a+b+2c)2≥4m．3答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵B={2,3，a，b}，A∩B={3,4}，∴a，b中只有一个为4，∴a+b≠8．故选：B．根据条件可知，a，b中只有一个是4，从而得出a+b≠8正确．本题考查了集合的列举法的定义，交集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【知识点】复数的模、复数的代数表示及其几何意义【解析】解：z2=(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(1+2i)(1−i)2=1+2+2i−i=3+i，∴z2−z1=3+i−(1−i)=2+2i，∴|Z1Z2|=|z2−z1|=√22+22=2√2，故选：D．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【知识点】球的表面积和体积、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征【解析】解：作出截面图如图，则OA=2√3，由截面圆的周长为4π，得2π⋅AB=4π，则AB=2．∴球的半径是√OA2+AB2=√(2√3)2+22=4．故选：B．由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径．本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4.【答案】C【知识点】程序框图【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1 1×2+12×3+...+12021×2022的值，由于S=11×2+12×3+...+12021×2022=1−12+12−13+...+12021−12022=1−12022=20212022．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+1 2×3+...+12021×2022的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】A【知识点】函数模型的应用【解析】解：将信噪比SN从1000提升至2000时，C大约增加了Wlog2(1+2000)−Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)=log22001−log21001log21001≈10.967−9.9679.967≈10%，故选：A．将信噪比SN 从1000提升至2000时，C大约增加了Wlog2(1+2000)−Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)，计算即可算出结果．本题主要考查了函数的实际应用，以及对数的运算性质，是中档题．6.【答案】D【知识点】二项式定理【解析】解：∵(x+y)2(x−2y)4=(x2+2xy+y2)(C40⋅x4−2C41⋅x3y+4C42⋅x2y2−8C43⋅xy3+16C44⋅y4)，故它的展开式中x2y4的系数为16C44−2×8C43+4C42=−24，故选：D．把(x+y)2和(x−2y)4，按照二项式定理展开，可得x2y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．7.【答案】C【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】【分析】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，是基础题．利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．【解答】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到B疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．8.【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】解：令g(x)=x+1，e x，则g′(x)=−xe x所以当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．①)，因为x∈(0,π4,1)，2cosx∈(√2,2)，且cosx>sinx>0，所以cosx∈(√22又2cos2x−cosx=cosx(2cosx−1)>0，所以2cos2x>cosx>sinx>0，由①得a<b<c，故选：A．构造函数g(x)=x+1，利用导数可得g(x)在区间(0,+∞)单调递减，进一步分析可得e x2cos2x>cosx>sinx>0，从而可得答案．，利用导数推得g(x)在区间本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=x+1e x(0,+∞)单调递减是关键，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】B【知识点】两点间的距离公式【解析】解：设A(x,y)，∵|AB|2+|AO|2=16，B(4,0)，∴(x−4)2+y2+x2+y2=16，即(x−2)2+y2=4，∵A在直线l上，∴直线l与圆(x−2)2+y2=4在公共点，≤2，∴|6+m|5解得−16≤m≤4，∴实数m的取值范围为[−16,4]．故选：B．设A(x,y)，由|AB|2+|AO|2=16，B(4,0)，得(x−2)2+y2=4，直线l与圆(x−2)2+≤2，由此能求出实数m的取值范围．y2=4在公共点，从而|6+m|5本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是中档题．10.【答案】D【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由题意可得，M为BP的中点，O为AB的中点，则△ABP中，OM为中位线，有AP//OM，截圆锥的平面平行于母线PA，且M点位于该平面上，因此，知点O也位于该平面上，平面过点O，且|OM|=12|AP|=12√|OA|2+|OP|2=12⋅√12+(√3)2=1，同时，由对称性，知截得的抛物线的对称轴为OM，焦点在OM上，抛物线与底面交点E，x E=|OM|=1，y E=|OA|=√3，以OM为x轴，M为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，则抛物线过点E(1,√3)，所以(√3)2=2p⋅1，解得p=32，所以焦点到准线的距离为p=32．故选：D．由题意可得△ABP中，OM为中位线，有AP//OM，|OM|=1，以OM为x轴，M为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，抛物线与底面交点E，x E=|OM|=1，y E=|OA|=√3，即可得出答案．本题考查抛物线的方程，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．11.【答案】D【知识点】命题及其关系、利用导数研究函数的极值【解析】解：对于A选项：f(x+2π)=sin(x+2π)x+2π=sinxx+2π≠f(x)，选项A错误；对于B选项：f′(x)=xcosx−sinxx2，令G(x)=xcosx−sinx．则x∈(0,π)时G′(x)=−xsinx<0，G(x)单调递减，又G(0)=0，故在该区间G(x)<0.而x2>0，则x∈(0,π)时，f′(x)<0．故x∈(0,π)函数f(x)单调递减没有极值，选项B错误；对于C选项：f ′(32π)=49π2>0，即存在函数单调递增的点．选项C错误；对于选项D：f′(π)=−1π<0，f′(2π)=2π>0．故在x∈(π,2π)存在一点x0，使得f′(x0)=0，且f(x0)为函数的极小值，故函数f(x)在(0,+∞)上至少有一个极小值，且其在(0,+∞)定义域时连续不断地，因此也存在最小值， 选项D 正确． 故选：D ．对于A 选项，利用函数的周期性的特点进行求证即可；对于B 、C 、D 选项，可通过求导进行求证即可．本题考查了函数的周期性，考查了利用导数求函数的单调性，极值点以及函数最值的方法．12.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：如图，设渐近线y =ba x 的倾斜角为θ，θ∈(0,π2)，则∠NMF 2=2θ，∠ONF 2=π2−θ，在△MNF 2中，由正弦定理可得NF 2MF 2=sin2θsin(π2−θ)，可得sinθ=1√5，tanθ=12，即可得 b a =12， 则该双曲线的渐近线方程为y =±12x ． 故选：B ．设渐近线y =ba x 的倾斜角为θ，在△MNF 2中，利用正弦定理正弦定理可得NF 2MF 2=sin2θsin(π2−θ)，可得tanθ，即可求得双曲线的渐近线方程．本题考查了双曲线的性质、解三角形，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．13.【答案】2√3【知识点】向量的数量积【解析】解：向量|a ⃗ |=2，b ⃗ =(1,−√3)，可得|b ⃗ |=2， a ⃗ ，b ⃗ 夹角为π3，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =2×2×12=2， 则|2a ⃗ −b ⃗ |=√4a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√16−8+4=√12=2√3．故答案为：2√3．利用已知条件求解向量的数量积，然后通过向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．14.【答案】56【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：总的分配方案总数为C42A33=6×3×2=36(种)，先求甲、乙2名干部分到同一个贫困县的分法，甲、乙捆绑在一起，所以甲、乙2名干部分到同一个贫困县的分法有A33=6(种)，则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的分法有36−6=30(种)，所以所求概率为3036=56．故答案为：56．先求出总的分配方案，再利用捆绑法求出甲、乙2名干部分到同一个贫困县的分法数，根据古典概型的概率公式求解即可．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了捆绑法的应用，是基础题．15.【答案】−1【知识点】数列求和方法【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由a n+3=2a n(n∈N ∗)，可得：a4=2a1，又S3=1，S4=−1，可得1+2a1=−1，解得a1=−1.由a n+3=2a n(n∈N∗)，可得a2017=2a2014=⋯…=2671a4=2672a1=−2672.可得S2017=S3+2S3+22S3+⋯…+2671S3+a2017．【解答】解：由a n+3=2a n(n∈N ∗)，可得：a4=2a1，又S3=1，S4=−1，∴1+2a1=−1，解得a1=−1．∵a n+3=2a n(n∈N ∗)，a2017=2a2014=22a2011=⋯…=2671a4=2672a1=−2672．∴S2017=S3+2S3+22S3+⋯…+2671S3+a2017=1+2+22+⋯…+2671−2672=2672−12−12672−12−1−2672=−1．故答案为：−1．16.【答案】11π2【知识点】球的表面积和体积【解析】解：设阿基米德多面体的棱长为a ，则√34a 2×4+4×6×√34a 2=7√3，解得a =1，显然正四面体的棱长为3，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为O ． 如图：BC =3，则BG =√32BC =3√32，BF =23=BG =√3，∴AF =√AB 2−BF 2=√6，设OA =OB =R ，则OF =AF −R =√4−R ，在直角三角形OBF 中，OB 2=BF 2+OF 2，即R 2=3+(√6−R)2，解得R =3√64， ∴在直角三角形AFB 中cos∠BAF =AFAB=√63， ∴在三角形EAO 中，cos∠EAO =cos∠BAF =√63，由余弦定理得，OE 2=AE 2+AO 2−2×AE ×AOcos∠EAO =22+(3√64)2−2×2×(3√64)×√63=2216，∴OE =√224． 所以这个半正多面体的外接球的半径为√224.则该阿基米德多面体外接球的表面积为4π×(√224)2=11π2故答案为：11π2．可求得正四面体的棱长为3，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为O.然后解三角形可得该阿基米德多面体外接球半径，即可求解．本题考查了空间几何体的性质、球的体积和表面积，考查了计算能力，属中档题．17.【答案】解：(1)因为b(asinA +csinC −bsinB)=3S =312acsinB ，所以b(a 2+c 2−b 2)=3×12acb ，即a 2+c 2−b 2=3ac 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =34；(2)由题意得b 2=ac ，S =12acsinB =12×√74ac =√78ac =√72，所以ac =4，b =2， 又a 2+c 2−b 2=3ac 2=6，所以a 2+c 2=10， 所以(a +c)2−2ac =10，所以a +c =3√2，△ABC 的周长a +b +c =3√2+4．【知识点】正弦定理【解析】(1)由已知结合正弦定理及三角形面积公式先进行化简，然后结合余弦定理可求cos B ；∖ (2)由等比中项性质及三角形面积公式可求ac ，b ，然后求出a +c ，进而可求． 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)证明：连接OB ，OD ，则OB ⊥AC ，∵平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ∩平面ACD =AC ，∴OB ⊥平面ACD ，∵DE ⊥平面ACD ，∴DE//OB ，∴O ，B ，E ，D 四点共面，∴点O 在平面BED 内．(2)连接OD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(1,0，0)，B(0,2，0)，D(0,0，1)，设E(0,t ，1)，(0<t <2)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,t −2,1)， ∵∠ADC =90°，cos∠ABE =√105， ∴|cos <BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|4−2t √5⋅√(t−2)2+12|=√105， 解得t =1或t =3(舍)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设平面BAE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 0,y 0,z 0)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0−2y 0=0m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y 0+z 0=0，取z 0=1，得m⃗⃗⃗ =(2,1，1)， 设平面AED 的法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +c =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b =0，取a =1，得n ⃗ =(1,0，1)， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√6⋅√2=√32， ∵二面角B −AE −D 的平面角为钝角， ∴二面角B −AE −D 的余弦值为−√32．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)连接OB ，OD ，则OB ⊥AC ，从而OB ⊥平面ACD ，再由DE ⊥平面ACD ，得DE//OB ，由此能证明点O 在平面BED 内．(2)连接OD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −AE −D 的余弦值．本题考查点在平面内的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图得家庭人均收入在[2000,3000)元、[3000,4000)元、[4000,5000)元、[5000,6000)元、[6000,7000)元、[7000,8000)元的家庭数依次为： 0.04×50=2户；0.10×50=5户；0.32×50=16户；0.30×50=15户；0.18×50=9户；0.06×50=3户．共计50户，其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：2+5+16=23户， 若从这50户中再取出10户调查致贫原因，这10户中含有“特困户”的户数X ～H(10,23，50)的超几何分布， ∵当X ～H(n,M ，N)时，E(X)=n ×MN ， ∴E(X)=10×2350=4.6户．(2)(i)∵每经过一年的脱贫工和后，“特困户”中有90%变为小康户， 但小康户仍有t%(0<t <10)变为“特困户”， ∴a 1=(1−t100)⋅900+90100×100=990−9t ， a n+1=(1−t100)a n +90100(1000−a n )， 即a n+1=10−t 100(990−9t)+900(0<t <10)．(ii)a2=10−t100a1+900=10−t100(990−9t)+900，由a2≥950，可得(990−9t)(10−t)≥5000，记函数f(t)=(990−9t)(10−t)，其中0<t<10，∵函数f(t)=(990−9t)(10−t)是开口向上的二次函数，且其对称轴为t=60，则函数f(t)=(990−9t)(10−t)在(0,10)上单调递减，∵f(4)=5724，f(5)=4725，∴最大的正整数t=4．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、频率分布直方图【解析】(1)由频率分布直方图得家庭人均收入在[2000,3000)元、[3000,4000)元、[4000,5000)元、[5000,6000)元、[6000,7000)元、[7000,8000)元的家庭数依次为2户，5户，16户，15户，9户，3户，共计50户，其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有23户，从这50户中再取出10户调查致贫原因，这10户中含有“特困户”的户数X～H(10,23，50)的超几何分布，由此能求出E(X)．(2)(i)由每经过一年的脱贫工和后，“特困户”中有90%变为小康户，但小康户仍有t%(0<t<10)变为“特困户”，推导出a1=990−9t，从而a n+1=(1−t100)a n+90100(1000−a n)，由此能求出a n+1与a n的关系式．(ii)求出a2=10−t100a1+900=10−t100(990−9t)+900，由a2≥950，可得(990−9t)(10−t)≥5000，记函数f(t)=(990−9t)(10−t)，其中0<t<10，利用二次函数的性质能求出最大的正整数t．本题考查数学期望、数列递推关系式的求法，考查频率分布直方图、超几何分布、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)经过点(0,b)和(c,0)的直线方程为bx+cy−bc=0，则原点到直线的距离为d=√b2+c2=12c，即为a=2b，所以e=ca =√1−b2a2=√32；(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M(−2,1)是线段AB的中点，则|AB|=√10，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k(x+2)+1，代入①可得(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2−4b2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2.x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由M 为AB 的中点，可得x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅即√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．【知识点】圆的标准方程、椭圆的性质及几何意义、椭圆的概念及标准方程、点到直线的距离公式【解析】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．(1)求出经过点(0,b)和(c,0)的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3，即可得到椭圆方程．21.【答案】解：(1)f(x)=cosx +12x 2−2，f′(x)=x −sinx ．令ℎ(x)=x −sinx ，则ℎ′(x)=1−cosx ．∵ℎ′(x)≥0在R 上恒成立，∴ℎ(x)在R 上单调递增．又∵ℎ(0)=0，∴当x <0时，ℎ(x)<0；当x >0时，ℎ(x)>0． 即f′(0)=0，当x <0时，f′(x)<0；当x >0时，f′(x)>0， ∴f(x)在(−∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增， 因此，f(x)的最小值为f(0)=−1；(2)不等式f(x)≥g(x)，即cosx +12x 2−2≥12x 2+sinx −e bx ， 等价于e bx −sinx +cosx −2≥0．设p(x)=e bx −sinx +cosx −2，则由题意得p(x)≥0在x ∈[0,+∞)内恒成立． p′(x)=be bx −cosx −sinx ，p′(0)=b −1．①当b <1时，p′(0)<0，这时∃x 0>0，使当x ∈(0,x 0)时，p′(x)<0， 从而p(x)在[0,x 0]上单调递减，又∵p(0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，p(x)<0，这与p(x)≥0在[0,+∞)内恒成立不符．②当b ≥1时，对于任意的x ≥0，bx ≥x ，从而e bx ≥e x ，这时p(x)≥e x −sinx +cosx −2．设q(x)=e x −sinx +cosx −2，则q′(x)=e x −cosx −sinx ， 设φ(x)=e x −x −1，则φ′(x)=e x −1．当x ≥0时，φ′(x)≥0，∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增． 又∵φ(0)=0，∴当x ≥0时，φ(x)≥0，即e x ≥x +1．因此，q′(x)≥1−cosx +x −sinx ≥0，∴q(x)在[0,+∞)上单调递增． 又∵q(0)=0，∴当x ≥0时，q(x)≥0，从而p(x)≥0． 综上，实数b 的取值范围为[1,+∞)．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】(1)求出原函数的导函数，利用二次求导可得原函数的单调区间，进一步求得函数f(x)的最小值；(2)不等式f(x)≥g(x)等价于e bx −sinx +cosx −2≥0.设p(x)=e bx −sinx +cosx −2，由题意得p(x)≥0在x ∈[0,+∞)内恒成立．求其导函数，可得p′(0)=b −1.分析可知，当b <1时，∃x 0>0，当x ∈(0,x 0)时，p(x)<0，这与p(x)≥0在[0,+∞)内恒成立不符．结合放缩法证明p(x)≥0.即可求得实数b 的取值范围．本题考查利用导数求最值，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．22.【答案】解：(Ⅰ)设极点为O ，令θ=0，得|OA|=ρ1=2a 1−a ，令θ=π，得|OB|=ρ2=2a1+a ， 则|AB|=|OA|+|OB|=2a 1−a +2a1+a =4√2， 解得a =√22(a =−√2舍去)；(Ⅱ)设直线l 1：θ=α(ρ∈R)，则l 2：θ=α+π2(ρ∈R)， 则|PQ|=21−cosα+21+cosα=41−cos 2α=4sin 2α，用α+π2替换α，得|MN|=4sin 2(α+π2)=4cos 2α，∴|PQ|+|MN|=4sin 2α+4cos 2α=4sin 2α⋅cos 2α=16sin 22α， 当α=π4时，|PQ|+|MN|取最小值16【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(Ⅰ)在给出的极坐标方程中分别取θ=0与π，即可求得A与B的极径，作和后由|AB|=4√2求a的值；(Ⅱ)设直线l1：θ=α(ρ∈R)，则l2：θ=α+π2(ρ∈R)，代入曲线的极坐标方程分别求得|PQ|与|MN|，作和后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】(Ⅰ)解：由题意，f(1)=3且f(n)=3，n>1，∴3+|1−m|=3，可得m=1，即f(x)=3|x−2|+|x−1|，∴3|n−2|+|n−1|=3，当1<n≤2时，3(2−n)+(n−1)=5−2n=3，解得n=1(舍)；当n>2时，3(n−2)+(n−1)=4n−7=3，解得n=52．综上，有m=1，n=52；(Ⅱ)由a+b+c=m=1，则：(b+c)2+(a+2b+c)2+(a+b+2c)2=(a−1)2+(1+b)2+(1+c)2要证(b+c)2+(a+2b+c)2+(a+b+2c)2≥4m3，即证(a−1)2+(1+b)2+(1+c)2≥4m3=43，而[(a−1)2+(1+b)2+(1+c)2](12+12+12)≥[(a−1)×1+(1+b)×1+(1+c)×1]2=(a+b+c+1)2=4，∴(a−1)2+(1+b)2+(1+c)2≥43，即：(b+c)2+(a+2b+c)2+(a+b+2c)2≥4m3．【知识点】证明不等式的基本方法、不等式和绝对值不等式【解析】(Ⅰ)由题意，f(1)=3且f(n)=3，n>1，首先求得m值，再对n分类讨论求解n值；(Ⅱ)利用分析法结合柯西不等式证明．本题考查绝对值不等式的解法，考查化归与转化思想，考查柯西不等式的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．第21页，共21页。