二次函数中的图形变换
专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
二次函数绕原点旋转180后的解析式
二次函数绕原点旋转180后的解析式代数学中的函数是描述某一种数学现象的一种数学模型，它是将实数集或复数集上的元素一一映射到另一个集合中的关系。
其中，函数f(x)的定义域是一个连续的范围，它的值域也可以是一个连续的范围。
其中，二次函数f(x)=ax2+bx+c，a≠0，是代数学中最常用的函数之一，它有许多有趣的性质。
本文主要讨论二次函数绕原点旋转180度后的解析式。
绕原点旋转180度是表示图形发生形变的一种重要方法，而旋转180度后二次函数的解析式也会相应的发生改变。
具体地说，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，a≠0，绕原点旋转180度后的解析式应该是什么样子？首先要把二次函数改写成参数方程形式。
由于二次函数绕原点旋转180度后，轴线从原来的直线变成了一条折线，而折线的方程可以用参数方程形式表示。
令(x0,y0)为原函数f(x)的极坐标关系式，则可以得到f(x)=ax2+bx+c的极坐标关系式为：x0=a cos2t+b cos t+c；y0=a sin2t+b sin t。
根据极坐标关系式，绕原点旋转180°的解析式可以写作：x=cos2(t+π/2)+b cos(t+π/2)+c；y=sin2(t+π/2)+b sin(t+π/2) 。
其中，t为旋转角，取值范围从0到2π，π/2表示180度的旋转角。
由以上的极坐标变换可以得到：x=a cos t+b cos3t-c；y=-a sin t-b sin3t 。
以上就是二次函数绕原点旋转180度后的解析式。
从结果可以看出，当二次函数绕原点旋转180度后，其函数形式由ax2+bx+c成了 a cos3t-b cos t+c，而y从 a sin2t+b sin t成了 -a sin t-b sin3t，这就是二次函数绕原点旋转180度后的解析式。
经过本文的介绍，我们可以看出，函数的旋转180°是一个处理函数形式变化的重要方法，了解二次函数的旋转180°的解析式有助于更好地理解函数的性质变化，不仅有助于理解和分析问题，更能在某些特殊的问题和函数中发挥作用。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数图象及性质
第11讲 二次函数及其图象（Ｄ）姓名：____________一、 知识梳理知识点一：二次函数的定义：一般地,形如)0(2≠++=a c ．bx ax y 的函数叫做二次函数。
知识点二：二次函数的图象及性质及平移： 1、2的图象和性质规律一：由图像可知：无论a 正还是负，二次函数图像的形状都是抛物线；图形是轴对称图形；都有开口方向、顶点坐标、对称轴方程；函数值y 随自变量x 的增减变化而变化，函数都有最大值或最小值。
规律二：a 的绝对值相等，图像的开口大小相等，a 的绝对值越大，图像的开口就越小。
2、2、2、2y ax c =-的图象规律一：二次函数解析式缺少一次项，它图象顶点都在y 轴上，反之亦然； 规律二：函数值增加或减少，图像就上、下平移，平移的规律是：上加下减。
3、y=a 2、2、2的图像规律：二次函数自变量增加或减少，图像就左、右平移，平移的规律是：左加右减。
4、y=a 2(0)x bx c a ++≠的图像当a ﹥0时，① 抛物线开口向，且向上无限延伸② 顶点坐标（,2ab -a b ac 442-） 对称轴是直线：x= a b2-。
③ 当ab x 2->时，y 随x 增大而增大；当ab x 2-<时，y 随x 增大而减小。
④ 当x= a b2-时，y 有最小值 = ab ac 442-.当a ﹤0时，① 抛物线开口向下，且向下无限延伸② 顶点坐标（,2ab -a b ac 442-）对称轴是直线：x= a b2- ③ 当a b x 2->时，y 随x 增大而减小；当abx 2-<时，y 随x 增大而增大。
④当x=a b2-时，y 有最大值 =ab ac 442-.知识点三、求二次函数解析式的三种基本方法:①一般式： 若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则设一般式c ．bx ax y ++=2。
② 顶点式：若已知二次函数图像的顶点坐标、或对称轴、最大（小）值，则设顶点式k h x a y +-=2)(。
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交K≠0..2、性质：1.当k>0时;图象分别位于第一、三象限;同一个象限内;y随x的增大而减小；当k<0时;图象分别位于二、四象限;同一个象限内;y随x的增大而增大..2.k>0时;函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时;函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数..定义域为x≠0；值域为y≠0..3.因为在y=k/xk≠0中;x不能为0;y也不能为0;所以反比例函数的图象不可能与x轴相交;也不可能与y轴相交..4. 在一个反比例函数图象上任取两点P;Q;过点P;Q分别作x轴;y轴的平行线;与坐标轴围成的矩形面积为S1;S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形;又是中心对称图形;它有两条对称轴y=x y=-x即第一三;二四象限角平分线;对称中心是坐标原点..6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点m、n同号;那么A B两点关于原点对称..7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n;要使它们有公共交点;则n^2+4k·m≥不小于0..8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴..9.反比例函数关于正比例函数y=x;y=-x轴对称;并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线;交于q、w;则矩形mwqoo为原点的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合;k值不相等的反比例函数永不相交..12.|k|越大;反比例函数的图象离坐标轴的距离越远..13.反比例函数图象是中心对称图形;对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：1关系式为整式时;函数定义域为全体实数； 2关系式含有分式时;分式的分母不等于零；3关系式含有二次根式时;被开放方数大于等于零； 4关系式中含有指数为零的式子时;底数不等于零；5实际问题中;函数定义域还要和实际情况相符合;使之有意义.. （二）一次函数 1、一次函数的定义一般地;形如y kx b =+k ;b 是常数;且0k ≠的函数;叫做一次函数;其中x 是自变量..当0b =时;一次函数y kx =;又叫做正比例函数..⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+;要判断一个函数是否是一次函数;就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =;0k ≠时;y kx =仍是一次函数．⑶当0b =;0k =时;它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例;一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时;直线y=kx 经过三、一象限;从左向右上升;即随x 的增大y 也增大；当k<0时;•直线y=kx 经过二、四象限;从左向右下降;即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kxk 是常数;k ≠0 (2) 必过点：0;0、1;k(3) 走向：k>0时;图像经过一、三象限；k<0时;•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴 3、一次函数及性一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;y=kx ＋b 即y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过0;b 和-kb;0两点的一条直线;我们称它为直线y=kx+b;它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移 1解析式：y=kx+bk 、b 是常数;k ≠0 2必过点：0;b 和-kb;0 3走向： k>0;图象经过第一、三象限；k<0;图象经过第二、四象限 b>0;图象经过第一、二象限；b<0;图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限4增减性： k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小.5倾斜度：|k|越大;图象越接近于y 轴；|k|越小;图象越接近于x 轴.6图像的平移： 当b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次函数()0k kx b k =+≠k ;b 符号 0k >0k < 0b > 0b < 0b = 0b >0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线;并且只能画出一条直线;即两点确定一条直线;所以画一次函数的图象时;只要先描出两点;再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：0;b;.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升;y 随x 的增大而增大k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降;y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线;它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数 一次函数概 念 一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数 一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;是y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围X 为全体实数图 象 一条直线必过点 0;0、1;k 0;b 和-k b ;0 走 向 k>0时;直线经过一、三象限； k<0时;直线经过二、四象限 k ＞0;b ＞0;直线经过第一、二、三象限 k ＞0;b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0;b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0;b ＜0直线经过第二、三、四象限 增减性 k>0;y 随x 的增大而增大；从左向右上升 k<0;y 随x 的增大而减小..从左向右下降 倾斜度 |k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴 图像的 平 移 b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.7、直线11b x k y +=01≠k 与22b x k y +=02≠k 的位置关系 1两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ 2两直线相交⇔21k k ≠3两直线重合⇔21k k =且21b b = 4两直线垂直⇔121-=k k8、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：1根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；2将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 3解方程得出未知系数的值；4将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时;求相应的自变量的值. 从图象上看;相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大小于0时;求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组1以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地;形如2y ax bx c =++a b c ，，是常数;0a ≠的函数;叫做二次函数.. 这里需要强调：和一元二次方程类似;二次项系数0a ≠;而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数;右边是关于自变量x 的二次式;x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数;a 是二次项系数;b 是一次项系数;c 是常数项．二、二次函数的基本形式① 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()()20f x a x m n a =++≠ ③ 零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠当240b ac∆=->时;二次函数的图像和x轴有两个交点()11,0M x;()22,0M x;线段1212M M x xa a=-==．当240b ac∆=-=时;二次函数的图像和x轴有两个重合的交点,02bMa⎛⎫-⎪⎝⎭．特别地;当且仅当0b=时;二次函数()()20f x ax bx c a=++≠为偶函数．1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大;抛物线的开口越小..2. 2y ax c=+的性质：上加下减..3. ()2y a x h=-的性质：左加右减..4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+;确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变;将其顶点平移到()h k ，处;具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移;负左移；k 值正上移;负下移”． 概括成八个字“左加右减;上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看;()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式;后者通过配方可以得到前者;即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭;其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+;确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;然后在对称轴两侧;左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，;()20x ，若与x 轴没有交点;则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向;对称轴;顶点;与x 轴的交点;与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时;抛物线开口向上;对称轴为2bx a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时;y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时;y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时;y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时;抛物线开口向下;对称轴为2b x a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时;y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时;y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时;y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ;b ;c 为常数;0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ;h ;k 为常数;0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠;1x ;2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式;但并非所有的二次函数都可以写成交点式;只有抛物线与x 轴有交点;即240b ac -≥时;抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中;a 作为二次项系数;显然0a ≠．⑴ 当0a >时;抛物线开口向上;a 的值越大;开口越小;反之a 的值越小;开口越大；⑵ 当0a <时;抛物线开口向下;a 的值越小;开口越小;反之a 的值越大;开口越大．总结起来;a 决定了抛物线开口的大小和方向;a 的正负决定开口方向;a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下;b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下;当0b >时;02ba-<;即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时;02ba->;即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下;结论刚好与上述相反;即 当0b >时;02ba->;即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时;02ba-<;即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ;在y 轴的右侧则0<ab ;概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时;抛物线与y 轴的交点在x 轴上方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时;抛物线与y 轴的交点为坐标原点;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时;抛物线与y 轴的交点在x 轴下方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来;c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之;只要a b c ，，都确定;那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式;通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点;选择适当的形式;才能使解题简便．一般来说;有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标;一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值;一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标;一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点;常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况;可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180° 2y ax bx c =++关于顶点对称后;得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后;得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质;显然无论作何种对称变换;抛物线的形状一定不会发生变化;因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时;可以依据题意或方便运算的原则;选择合适的形式;习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向;再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向;然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时;图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠;其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0∆=时;图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时;图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时;图象落在x 轴的上方;无论x 为任何实数;都有0y >；2' 当0a <时;图象落在x 轴的下方;无论x 为任何实数;都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交;交点坐标为(0;)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标;需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ;b ;c 的符号;或由二次函数中a ;b ;c 的符号判断图象的位置;要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称;可利用这一性质;求和已知一点对称的点坐标;或已知与x 轴的一个交点坐标;可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看;一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++<≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≥≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≤≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;与x 轴的交点的横坐标．。
中考复习函数专题30 函数图象的平移与变换(老师版)
专题30 函数图象的平移与变换知识对接考点一、函数图象的变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：①沿水平方向左右平行移动②沿竖直方向上下平行移动1．利用描点法作函数的图象的基本步骤：①确定函数的定义域②简化函数的解析式③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等)④画出函数的图象2．图象的平移变换①)0)((>-=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)0)((>+=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到②)0()(>±=h h x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到注意：（1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减（2）谁向谁变换是)(x f y =→)(a x f y -=还是)(a x f y -=→)(x f y =二、对称变换图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。
两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。
①)(x f y =与)(x y -=)的图象关于y 轴对称②)(x f y =与)(x y -=的图象关于x 轴对称③)(x f y =与)(x y -=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将)(x f y =的)图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。
⑤()x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案一、单选题1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣22．将抛物线影响y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=-（x+2）2B．y=-x2+2C．y=-（x-2）2D．y=-x2-23．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到新的抛物线是（）A．y=5(x+2)2+3B．y=5(x−2)2+3C．y=5(x+2)2−3D．y=5(x−2)2−34．在平面直角坐标系内，将抛物线y=(x+2)2−3经过两次平移后，得到的新抛物线为y=(x−1)2−4.下列对这一平移过程描述正确的是（）A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．下列平移中，不能使二次函数y=2x2+4x−6经过原点的是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移6个单位D．向上平移8个单位6．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+37．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y= 12x2沿射线OC平移得到新抛物线y= 12（x-m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0<m≤6C．0<m≤8 D．0<m≤2 或6 ≤ m≤88．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+59．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x−2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．抛物线y＝12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝12（x+1）2﹣2B．y＝12（x﹣1）2+2C．y＝12（x﹣1）2﹣2D．y＝12（x+1）2+211．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y=x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位12．把抛物线y=(x+2)2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（）A．y=(x+2)2+2B．y=(x+1)2−2C．y=x2+2D．y=x2−2二、填空题13．将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．14．抛物线y=-x2-2x+3可由抛物线y=ax2平移得到，则a的值是。
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函数图像中的图形变换
扣庄乡陈官营中学田海凤
一、学情分析
学生已经掌握了图形三种变换即：平移、旋转和轴对称的性质，知道在变换的过程中寻找到不变的量。
二次函数是初中代数部分重要的内容，学生已经掌握了二次函数解析式的求法，抛物线顶点坐标的求法，理解抛物线的性质并能运用性质进行应用。
把抛物线作为问题情境，让几何图形在抛物线中进行变换，学生在寻找关系中存在困难，所以本节课主要是把抛物线和几何图形的变换有机结合，意在培养学生的综合能力和解题方法，提升学生的素质。
二、教学目标
知识与技能：通过本节课的学习使学生学会寻找抛物线情境下图形变换中的隐含条件，并能运用图形变换的性质转化题目中相等的线段和角，从而培养学生的解题能力，体会数学中转化、数形结合的思想。
过程与方法：学生通过独立思考、小组讨论展示、全班释疑的过程实现对问题的认识由浅入深，挖掘问题的本质，寻找解决问题的方法，从而达到发展学生能力的目的。
情感态度与价值观：学生在解决问题的过程中感受到成功的喜悦，培养学生仔细认真态度。
三、教法和学法分析
本节课我将按照独学、对学、群学的教学模式，让学生在独学中发现问题，在对学中解决问题，在全班群学中深化问题。
四、教学过程
（一）知识回顾：
图1
设计意图：帮助学生回忆二次函数、一次函数解析式的求法，坐标轴上的点的坐标特点，从而引出求平面直角坐标系中的几何图形的面积，加深学生点的坐标与线段之间的相互转换，树立数形结合思想。
平面直角坐标系有着一个永远存在的直角，使学生意识到可以使用勾股定理求线段长，同时复习了直角坐标系中求线段长的方法
教学方法：学生课下完成，学生在上课前进行小组讨论，上课后让一名学生进行展示。
（二）知识的整理
在“知识回顾”中你在第_______题的第______问出现问题，你出错的原因是_____________________________________________________________________________. 通过以上题目你最想对同学说的一句话是__________________________________________ 设计意图：让学生把在复习回顾中出现的问题进行整理和总结，加深学生对错误问题的认识和理解
教学方法：学生直接口述。
（三）典型示例
（2012.南充）已知抛物线2
142
y x bx =-++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，抛物线2
142
y x bx =-
++与x 轴分别交于点A 、E ，与y 轴交于点B ，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D ．设AD 的长为m （m ＞0），BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式．
变式1. 如图3，抛物线y ＝333
233-2+-x x (a ≠0)
与y 轴相交于点C (0，3
)．连结AC 、BC ．若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运
动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将B
M N △沿处，求的t 值及点P 的坐标； P(
)2
3,123t t - )
6513,2173((317
1;317131233321233323212
+-+-∴--=+-=
+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=P t t t t t 舍去）
变式2. 如图4，已知抛物线y=42
1-
2
++x x 与x 轴分别交于点A 、E ，与y 轴交于点B ，连接AB 、BE . 点P 与点Q 同时从点A 出发，沿着线段AB 、A E 以2个单位每秒的速度向终点B 、N 移动，但其中一个到达终点时，另一个也停止运动.连接PQ ,把△APQ 沿x 轴向左平移，使点P 落在直线BE 上的点A ′处，求直线PQ 所扫过的四边形的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并求出当t 为何值时S 有最大值，且最大值是
多少？
设计意图：2013年学科考试说明中，图形变换的题目有选择题11、25；填空题11、17；解答题21、22、24、25、26、28； 2010年学科说明中就已经出现反比例函数与几何图形相结合的题目。
纵观3年的中考试题，在2010年第22题出现反比例函数与几何图形相结合的题目。
2011年26题把抛物线与矩形的面积相结合，2012年22题把反比例函数、一次函数与平行四边形相结合。
2013年学科说明第26题把一次函数与折叠结合、第31题把抛物线与角的旋转结合。
所以我把抛物线作为背景，把二次函数、一次函数与图形的三种变换放在一起。
通过本题目的讲解，让学生学会分析此类题目的思路，掌握解决此类题目的关键是利用图像变换的性质找到相等的线段和相等的角，学会把线段和点的坐标之间进行相互的转化。
从而提高学生综合的解题能力。
教学建议：留给学生充足的思考时间，学生利用8分钟的时间进行思考，然后小组讨论，最后全班展示
（四）总结与反思
通过刚才的题目你得到什么启示？你认为解决此类问题的关键是什么？
师生共同总结：
（1）在函数与几何图相结合的题目中，有线段长就有点的坐标，有坐标就可以求函数解析式；反过来，有函数解析式，就可以表示线段长，根据题目所给条件我们可以利用相似、勾股定理等关系，求一些数值。
（2）利用图像变换的性质找到相等的线段和相等的角，在函数图像的情境中学会把线段和点的坐标之间进行相互的转化是解决此类题目的关键。
（五）拓展练习（课下作业）
（2010安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B
（－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－43
3，
0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′． （1）求折痕所在直线EF 的解析式；
（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：
（选做题）
（2008年沈阳）如图所示，在平面直角坐标
系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =
，
OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点
为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点
A E D ，，．
（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
设计意图：
初中数学中的图形变换，主要包括轴对称的变换，平移变换、旋转变换、相似变换（位似变换）。
图形变换有利于培养学生的空间观念。
二次函数是初中数学的基础内容，是历年中考的重点。
在二次函数中进行变换，在河北省中考学科说明中首次出现，但在全国其他省市的中考试卷中早已出现。
二次函数图像与图形变换相结合主要是利用数形结合的思想，运用二次函数和图形变换的性质，从形思数，由数构形，发现联系，并得到解决问题的途径，能有效的考察学生的动手操作能力。
通过此节课的教学，希望能够帮助学生找到解决问题的方法。
帮助学生把握图形变换的性质，用运动和变换的眼光去观察，研究图形，把握变换的全过程和变化后的图形的特
点，抓住其中的等量关系和变量关系，结合图像解决此类问题。
从中培养学生的识图能力、
第26题图
空间想象能力。
培养学生的透过现象看本质的洞察能力，提高对中考综合性试题的解题的信心和能力。