【24模型】弹簧模型的应用
弹簧小球模型知识点总结
弹簧小球模型知识点总结一、弹簧小球模型的基本原理弹簧小球模型的基本原理是利用弹簧的弹性力和小球的质量产生共振效应，以研究系统的动力学特性。
弹簧小球模型可以简化为单自由度系统或多自由度系统，分别用来研究不同的力学问题。
1. 单自由度弹簧小球模型单自由度弹簧小球模型由一条弹簧和一个小球组成，小球在弹簧的作用下可以进行简谐振动。
当外力作用在小球上时，小球受到外力作用产生振动，弹簧的弹性力会对小球产生反作用力，最终形成小球的振动。
单自由度弹簧小球模型的动力学方程可以用简单的力学原理进行建立，是研究简单振动问题的基础。
2. 多自由度弹簧小球模型多自由度弹簧小球模型由多条弹簧和多个小球组成，可以用来研究复杂的多自由度系统的力学特性。
多自由度系统的动力学方程可以通过拉格朗日方程或哈密顿原理进行建立，并可以通过数值模拟方法进行求解。
多自由度弹簧小球模型在工程学和物理学中有广泛的应用，可以用来研究复杂的振动问题和非线性动力学问题。
二、弹簧小球模型的动力学方程弹簧小球模型的动力学方程是描述系统运动规律的基本方程，可以用来求解系统的振动特性和响应。
单自由度弹簧小球模型的动力学方程可以表示为简谐振动方程，多自由度弹簧小球模型的动力学方程则可以表示为多自由度振动方程。
1. 单自由度弹簧小球模型的动力学方程对于单自由度弹簧小球模型，可以用简单的力学原理建立动力学方程。
假设弹簧的劲度系数为k，小球的质量为m，外力为F(t)，则小球的运动方程可以表示为：m*a(t) = F(t) - k*x(t)其中，a(t)为小球的加速度，F(t)为外力，k为弹簧的劲度系数，x(t)为小球的位移。
在无外力的情况下，小球的振动方程可以简化为简谐振动方程：m*a(t) = -k*x(t)这是一个典型的简谐振动方程，可以通过求解微分方程来得到系统的振动特性和响应。
2. 多自由度弹簧小球模型的动力学方程对于多自由度弹簧小球模型，可以通过利用拉格朗日方程或哈密顿原理建立动力学方程，并通过适当的数值模拟方法进行求解。
弹簧双振子模型在高考物理中的应用
弹簧双振子模型在高考物理中的应用作者：周毅慧武维来源：《物理教学探讨》2024年第05期摘要：從质心的概念出发，系统阐述如何在质心参考系中运用质心运动定理推导得出弹簧双振子速度、加速度变化规律，并探讨如何在相关高考题目中应用有关结论解题。
关键词：质心参考系；质心运动定理；弹簧双振子模型；高考物理；中学物理中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）5-0052-6两物体通过轻质弹簧连接的运动模型称为“弹簧双振子模型”，该模型涉及到的动力学和能量问题，是高中物理力学常见的问题，也是近几年高考的考查热点。
这类问题中物体的运动情况复杂，涉及位移、速度、加速度等多个物理量变化，需要综合运用牛顿运动定律、能量守恒定律和动量守恒定律来解决。
弹簧双振子模型是一个典型的一维二体运动模型，如果选取系统的质心作为参考系会使解题过程大大简化。
这里质心是一个重要的力学概念，虽然高中物理教学中没有涉及，但对学优生而言，掌握质心和质心参考系，可以更清晰地分析两物体的相互作用过程，从而快速、准确地解决问题。
1 弹簧双振子模型的动力学特征如图1所示，质量分别为mA和mB的两个物体A和B（均可视为质点），用一根劲度系数为k的轻质弹簧连接起来，静止放置在光滑水平面上。
初始时刻弹簧处于原长，长度为l0。
现给A物体一个水平向右的初速度v0，或对A施加水平向右的恒力F，弹簧会被压缩，A、B 物体开始运动。
选取系统的质心为参考系，以质心C为原点，建立如图2所示的一维坐标系x。
当弹簧处于原长时，设A、B物体到质心的距离分别为lA、lB，质心的位置应满足下面在质心参考系中给图1（a）中A物体一个水平向右的初速度，对图1（b）中A物体施加水平向右的恒力。
两种情况下，对弹簧双振子运动模型的动力学特征进行分析。
1.1 惯性参考系中的弹簧双振子在图1（a）所示的运动情形中，系统所受合外力为0，故质心系为惯性参考系，质心速度vC应满足mAv0=（mA+mB）vC当>（ｍ８／ｍＡ）>4.6时，A物体会在一段时间内反向运动。
第7课弹簧模型(动量守恒定律应用)
例：如图所示，A，B，C三个木块的质量 均为m。置于光滑的水平面上，B，C之间 有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而 不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细 线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于 B，C可视为一个整体，现A以初速v0沿B， C的连线方向朝B运动，与B相碰并黏合在 一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从 而使C与A，B分离，已知C离开弹簧后的速 度恰为v0，求弹簧释放的势能。
选修3－5 动量 近代物理初步
解析 设弹簧第一次恢复自然长度时B
的速度为vB ,以A、B及弹簧组成的系统为研 究对象,系统在水平方向上所受合外力为零
（弹簧对A、B的相互作用力为系统的内
力）,故系统动量守恒,机械能守恒,有
（mA+mB）v0=mBvB
①ห้องสมุดไป่ตู้
1（mA+mB）v02+Ep= 1mBvB2 ②
选修3－5 动量 近代物理初步
选修3－5 动量 近代物理初步
第一讲 动量 动量守恒定律
第7课 弹簧模型
水平面光滑，弹簧开始时处于原长
（1）何时两物体相距最近，即弹簧最短
Nv
N
F弹
F弹
G
G
两物体速度相等时弹簧最短，且损失的动能
转化为弹性势能
（2）何时两物体相距最远，即弹簧最长
v
两物体速度相等时弹簧最长，且损失的动能转
有许多书籍还能培养我们的道德情操，
给我们巨大的精神力量，
鼓舞我们前进。
选修3－5 动量 近代物理初步
选修3－5 动量 近代物理初步
复习巩固 如图所示,木块A的质量mA=1kg,足够长的木板 B的质量mB=4kg,质量为mC=2kg的木块C置于木 板B上,水平面光滑,B、C之间有摩擦。现使A 以v0=10m/s的初速度向右匀速运动,与B碰撞 后将以vA′=2m/s的速度弹回。求: (1)B运动过程中的最大速度。 (2)若B、C间的动摩擦因数为0.6，则C在B上 滑动的距离。
弹簧模型(原卷版)—动量守恒的十种模型解读和针对性训练
动量守恒的十种模型解读和针对性训练弹簧模型模型解读【典例分析】【典例】（2024高考辽吉黑卷）如图，高度0.8m h =的水平桌面上放置两个相同物块A 、B ，质量A B 0.1kg m m ==。
A 、B 间夹一压缩量Δ0.1m x =的轻弹簧，弹簧与A 、B 不栓接。
同时由静止释放A 、B ，弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程A 0.4m x =；B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离B 0.25m x =后停止。
A 、B 均视为质点，取重力加速度210m/s g =。
求：（1）脱离弹簧时A 、B 的速度大小A v 和B v ；（2）物块与桌面间动摩擦因数μ；（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能p E D。
的【针对性训练】1. （2024年3月江西赣州质检）如图甲所示，光滑水平地面上有A 、B 两物块，质量分别为2kg 、6kg ，B 的左端拴接着一劲度系数为200N/m 3的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。
A 以速度v 0向静止的B 方向运动，从A 接触弹簧开始计时至A 与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l 与时间t 的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能2p 12E kx =（x 为弹簧的形变量），则（ ）A. 在0~2t 0内B 物块先加速后减速B. 整个过程中，A 、B 物块构成的系统机械能守恒C. v 0=2m/sD. 物块A 在t 0时刻时速度最小2. （2024河南新郑实验高中3月质检）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m 1、m 2的两物块A、B 相连接，并静止在光滑水平面上。
现使A 获得水平向右、大小为3m/s 的瞬时速度，从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像提供的信息可得（ ）A.在t 1、t 3时刻两物块达到共同速度1m/s ，且弹簧都处于伸长状态B.从t 3到t 4时刻间弹簧由压缩状态恢复到原长C.两物体的质量之比为m 1：m 2=1：2D.在t 2时刻A 、B 两物块的动能之比为E k 1：E k 2=8：13. （2024山东济南期末）如图甲所示，物块A 、B 用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B 左侧与竖直墙壁接触。
运用高中物理学中的弹簧振子解决实际问题
运用高中物理学中的弹簧振子解决实际问题当我们提到弹簧振子，很多人可能会联想到物理课堂上的学习内容。
实际上，高中物理学中的弹簧振子理论可以被应用于解决各种实际问题。
本文将讨论如何利用弹簧振子理论解决实际问题，并针对不同场景给出具体的例子。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子是由弹性介质——弹簧和质点组成的系统。
当质点与弹簧相连并受到位移时，弹簧会产生反向的弹性力，质点受到这种力的作用产生振动。
弹簧振子的振动特性可以用下面的公式描述：\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]其中，T表示周期，m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数。
2. 应用场景之一：天体摆钟天体摆钟是利用地球的自转运动和重力作用的一种计时装置。
它的振动部分可以用弹簧振子模型来描述。
根据弹簧振子的周期公式，我们可以知道周期与质点质量的平方根成反比，与弹簧的劲度系数的平方根成正比。
在天体摆钟中，我们可以通过调节质点的质量和弹簧的劲度系数来改变振钟的周期，从而使得摆动的频率与所需计时的周期相匹配。
通过合理设计和调整弹簧振子的参数，可以制造出高精度的钟表。
3. 应用场景之二：汽车悬挂系统在汽车行驶过程中，悬挂系统的设计对乘坐舒适性、操控性和安全性都有很大影响。
弹簧振子理论可以应用于汽车悬挂系统的设计和调整。
通过利用弹簧振子的周期公式，我们可以选取合适的弹簧劲度系数和质量，使得汽车在行驶过程中能够具有合适的减震效果，保证乘坐舒适性。
此外，合理设计悬挂系统的参数，可以使汽车在高速行驶时保持稳定性，提高操控性和安全性。
4. 应用场景之三：物体质量的测量在一些实际问题中，我们需要准确地测量物体的质量，而常用的天平等测量设备有其限制。
利用弹簧振子的原理，我们可以设计制造出一种称为弹簧测力计的装置。
弹簧测力计利用弹簧振子的原理来测量物体施加的力，从而推算出物体的质量。
通过测量弹簧振子的振动周期或振动频率，结合弹簧的劲度系数，我们可以计算出物体施加的力，并进一步推算出物体的质量。
子弹打木块、弹簧模型
（4）弹簧恢复原长时，AB的速度？
（5） A的最大速度？ （6）B的最小速度如何？
注意：弹簧状态的把握
由于弹簧的弹力随形变量变化，所以弹簧弹力联系 的“两体模型”，一般都是作加速度变化的复杂运动 ，所以通常需要用“动量关系”和“能量关系”分析 求解。复杂的运动过程不容易明确，特殊的状态必须 把握；弹簧最长（短）时两体的速度相同；弹簧自由 时两体的速度最大（小）。
2、质量为m的物块甲以3m/s的速度在光滑水平面上运动，有 一轻弹簧固定于其左端，另一质量也为m的物块乙以4m/s的速 度与甲相向运动，如图所示．则（ AD）
A．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力属于内力作用， 故系统动量守恒
B．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零 C．甲物块的速率可能达到5m/s D．当甲物块的速率为1m/s时，乙物块的速率可能为2m/s， 也可能为0
例1、
总结求解方法：
1、动量守恒——关键看系统的合外力是否为零 2、受力分析，“子弹打木块”模型实质是两个物体在一对作用 力和反作用力（认为是恒力）作用下的运动，物体做匀变速运 动，可用动力学规律求解 3、求时间——单个物体运用动量定理或牛顿运动定律和运动学 关系 4、求位移——单个物体运用动能定理或牛顿运动定律和运动学 关系 5、涉及相对位移——有机械能向内能转化 E损=Q=fS相 6、匀变速运动---可利用v-t图像（定性分析时多用到）
二、弹簧模型的特点与方法
1、注意弹簧弹力特点及运动过程。 弹簧弹力不能瞬间变化
2、弹簧连接两种形式：连接或不连接。 连接：可以表现为拉力和压力 不连接：只表现为压力。
3、动量问题：动量守恒。 4、能量问题：机械能守恒（弹性碰撞）。
动能和弹性势能之间的转化
弹簧模型动量守恒定律应用PPT文档23页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
九年级弹簧模型知识点归纳
九年级弹簧模型知识点归纳弹簧模型是物质结构模型中的一种，被广泛应用于材料科学和固体力学等领域。
它是由许多弹性线段组成的连续介质，用于研究材料的原子结构、弹性性质以及变形行为等。
在九年级的物理学习中，学生将接触到一些基本的弹簧模型知识点。
本文将对这些知识点进行归纳和总结。
一、弹性力的基本概念弹性力是物体由于形变而产生的恢复力，它使物体趋于恢复原状。
在弹簧模型中，弹性力是由弹簧的形变所引起的。
弹簧的弹性力与形变程度成正比，且满足胡克定律。
胡克定律表明，当弹簧形变线性增加时，弹簧的弹性力也线性增加。
二、胡克定律的数学表达式胡克定律可以用数学表达式的形式表示，即 F = kx，其中 F 表示弹簧的弹性力，k 是弹簧的弹性系数，x 是弹簧的形变量。
弹簧的弹性系数表示了弹簧对形变的敏感程度，它越大表示弹簧越硬，弹性力增加的速度越快。
三、切线斜率与弹性系数的关系在弹簧模型中，切线的斜率表示了弹簧的弹性系数。
弹簧的弹性系数可以通过绘制弹簧的力对形变曲线，并求取切线的斜率来计算得到。
通过这种方式，学生可以直观地了解弹簧的弹性特性，并根据切线的斜率来判断弹簧的硬度或柔软度。
四、弹性势能的计算弹性势能是指物体在形变过程中，由于弹性力所作的功。
在弹簧模型中，弹性势能可以通过计算形变恢复力对形变的积分来获得。
这一过程体现了能量的转化和守恒定律。
通过计算弹簧的弹性势能，学生可以进一步理解弹簧形变与势能储存之间的关系。
五、弹簧的应用弹簧作为一种常见的力学元件，广泛应用于各个领域。
在机械工程中，弹簧常用于减震、缓冲以及能量储存等方面。
在电子学中，弹簧常被用于电子开关等装置。
在日常生活中，弹簧也存在于各种机械设备和玩具中。
通过学习弹簧模型，学生可以进一步了解弹簧的实际应用，培养实际问题解决能力。
综上所述，九年级的物理学习中，弹簧模型是一个重要的知识点。
通过对弹性力、胡克定律、切线斜率、弹性势能以及弹簧的应用等方面的学习，学生不仅可以掌握弹簧模型的基本原理，还可以培养实际问题解决能力。
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【24模型】弹簧模型的应用
弹簧模型
（1）弹力的变化特点——物体做变加速运动
（2）弹力不能突变的特点——形变的发生和恢复都需要一定的时间
（3）物体做简谐运动的特点——运动状态存在对称性
（4）弹力做功与路径无关的特点，重力势能只取决于状态的特点（5）有临界状态和转折状态的特点——分离状态、合力为零状态、拉力和压力转折状态等
（6）弹簧问题多解的特点——对同一大小的弹力弹簧对应两个状态，要注意不要漏解解题关键：画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。
轻弹簧是一种忽略弹簧自身质量的一种理想化模型。
高中物理常以轻弹簧模型设置一些复杂的物理问题情境，着重考察学生对力的概念，物体的平衡，牛顿运动定律的应用以及能量的转化与守恒等知识的理解与处理。
轻弹簧的特点
①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反；
②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量；
③弹簧的弹力不会发生突变。
特别提醒：
橡皮筋与轻弹簧极为相似，只是橡皮筋不能被压缩！
典型习题
例1：劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为12kg的物体A、B，将它们竖直静止放在水平面上，如图所示．现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40s物体B刚要离开地面．（g=10m/s2 ）
试求：
（1）物体A重力势能增加了多少
（2）物体B刚要离开地面时，物体A的动能
（3）弹簧的弹性势能公式：Ep=kx2，x为弹簧的形变量，则此过程中拉力F做的功是多少？
（1）开始时弹簧压缩，求解出压缩量；物体B刚要离开地面时，求解出弹簧的伸长量；然后根据重力势能的定义公式求解重力势能的增加量；
（2）物体A向上做匀加速运动，已知时间、初速度、位移，根据运动学公式求解末速度；根据动能定义公式求解动能；
（3）拉力对A、B、弹簧系统做的功等于系统机械能的增加量，根据功能关系列式求解即可．
【解析】
（1）开始时弹簧压缩：mAg=kx1
当物体B刚要离地面时弹簧伸长：kx2=mBg
解得：x1=x2=0.15 m
物体A重力势能增大，△EpA=mAg（x1+x2）=36 J
（2）物体A向上做匀加速运动，根据位移时间关系公式，有：
x1+x2=at2
根据速度时间关系公式，有：
vA=at
联立解得
EK=mAvA2=13.5 J
（3）因开始时弹簧的压缩量与末时刻弹簧的伸长量相等，对应弹性势能相等
【解法一】动能的增加量：△Ek=EK=13.5 J
由功能关系：WF=△EpA+△Ek=49.5 J
【解法二】动能的增加量：△Ek=EK=13.5 J
重力做功：WG=-mAg（x1+x2）=36 J
根据动能定理：WF+WG=△Ek
解得：WF=49.5 J
答：
（1）物体A重力势能增加了36J；
（2）物体B刚要离开地面时，物体A的动能为13.5J；
（3）此过程中拉力F做的功是49.5J．
例2：如图所示，质量m1=2kg的物体A与一劲度系数为k=500N/m的轻弹簧相连，弹簧的另一端与地面上的质量为m2=1kg 的物体B相连，弹簧竖起．A、B均处于静止状态．另有一质量为m3=1kg的物体C从物体A的正上方距离h=0.45m处自由下落．落到A上立刻与A粘连并一起向下运动，其速度为1m/s，它们到达最低点后又向上运动，最终恰好能使B离开地面但不继续上升．（A、B、C均可视为质点，g取10m/s2）
（1）求C与A碰撞前的速度V；
（2）从AC一起运动直至最高点的过程中弹簧对AC整体做的功．（1）碰前物体做自由落体运动，由动能定理可求得下落后的速度；
（2）由胡克定律可求得开始及离开时物体的位移，则由动能定理可求得弹力所做的功．
【解析】
（1）设物体C与A碰撞前速度为V，则根据动能定理：
解得：V=3m/s．
（2）根据F=kx，开始时弹簧压缩量
B刚要离开地面时弹簧伸长量
则AC一起运动的最高点和碰撞位置的距离为h′=x1+x2=0.06m 设从AC一起运动直至最高点的过程中弹簧弹力做功为W，根据动能定理：
解得W=0.3J．
例3：如图所示，质量为M=1Kg的长滑块B静止放在光滑的水平地面上，左边固定一劲度系数为K=8N/m且足够长的水平轻质弹簧，右侧有一不可伸长的轻绳连接于竖直墙壁上，细线所能承受的最大拉力为T=4N．现使一质量为m=2Kg，初速度为v的小物体A，在滑块B上无摩擦地向左运动，而后压缩弹簧．（已知弹簧的弹性势能EP与
弹簧的形变量x的关系：，K为弹簧的劲度系数）
（1）小物体A的速度v满足什么条件，才能使细线被拉断．
（2）若小物体A的初速度，滑块B向左的最大加速度为多大．
（3）若小物体A离开滑块B时相对地面的速度为零，则小滑块的初速度v为多大？
（1）假设绳子不断，当滑块速度减为零时，弹性势能最大，弹力最大，绳子的张力最大，等于弹簧的弹力；然后根据机械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）当滑块与长木板速度相等时，弹力最大，加速度最大；先求
解出断开时滑块速度，然后根据动量守恒和机械能守恒定律列式联立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑块与长木板分离后，速度恰好为零，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式后联立求解即可．
【解析】
（1）设弹簧压缩量为x1时，绳被拉断，即
kx1=T①
压缩弹簧过程动能转化为弹性势能，依题意有
②
联立解得：③
（2）设绳被拉断瞬时，小物体的速度为V1，有
④
绳断后长滑块加速，小物体减速，当两者速度相等时，弹簧压缩量最大为x2，长滑块有向左的最大加速度am，此过程动量守恒，有：mv1=（M+m）v2 ⑤
根据机械能守恒，有：
⑥
由牛顿第二定律得：kx2=Mam ⑦
联立①④⑤⑥⑦解得：=8m/s2．⑧
（3）要使小物体离开长滑块时相对地面速度为零，即弹簧恢复原长时小物体速度为零，此时长物块速度为v．在绳断开至弹簧恢复原长过程中，动量守恒，能量守恒，故有
Mv=mv1 ⑨
⑩
联立①④⑨⑩解得m-M=
由于，必有m＞M
所以小物体最后离开滑块时，相对地面速度恰好为零的条件是m ＞M且满足m-M=．
代入数据解得m/s．
答：
（1）小物体A的速度v满足v＞1m/s，才能使细线被拉断．
（2）滑块B向左的最大加速度为8m/s2．
（3）若小物体A离开滑块B时相对地面的速度为零，则小滑块的初速度v为．每日一题解析
如图所示，一轻质弹簧固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动．则以下说法正确的是（）
A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，动能先增大后减小
C．物体在B点的速度为零，加速度为零
D．在整个过程中，物体m机械能守恒
物体接触弹簧开始，合力向下，向下做加速度逐渐减小的加速运动，运动到某个位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，然后合力方向向上，向下做加速度逐渐增大的减速运动，运动到最低点时，速度为零，加速度方向向上，逐项分析即可．
【解析】
A、物体接触弹簧开始，弹簧的弹力小于重力，其合力向下，向下做加速度逐渐减小的加速运动，运动到某个位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，后来弹簧的弹力大于重力，合力方向向上，向下做加速度逐渐增大的减速运动，运动到最低点B时，速度为零，所以
速度先增大后减小，动能先增大后减小，故A错误，B正确；
C、若小球轻轻的放在弹簧的上端，则小球做简谐运动，到达最低点B时合力等于重力，则在弹簧上方h处释放小球到达最低点的合力必然大于重力，所以在B点的加速度大于重力加速度，故C错误；
D、在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒，物体的机械能不守恒，故D错误．
故选：B
明天分析上抛模型
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