【24模型】弹簧模型的应用
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【24模型】弹簧模型的应用
弹簧模型
(1)弹力的变化特点——物体做变加速运动
(2)弹力不能突变的特点——形变的发生和恢复都需要一定的时间
(3)物体做简谐运动的特点——运动状态存在对称性
(4)弹力做功与路径无关的特点,重力势能只取决于状态的特点(5)有临界状态和转折状态的特点——分离状态、合力为零状态、拉力和压力转折状态等
(6)弹簧问题多解的特点——对同一大小的弹力弹簧对应两个状态,要注意不要漏解解题关键:画出弹簧的几个特殊状态(原长、平衡位置、最大长度)尤其重要。
轻弹簧是一种忽略弹簧自身质量的一种理想化模型。
高中物理常以轻弹簧模型设置一些复杂的物理问题情境,着重考察学生对力的概念,物体的平衡,牛顿运动定律的应用以及能量的转化与守恒等知识的理解与处理。
轻弹簧的特点
①轻弹簧各处受力相等,其方向与弹簧形变的方向相反;
②弹力的大小为F=kx,其中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的伸长量或缩短量;
③弹簧的弹力不会发生突变。
特别提醒:
橡皮筋与轻弹簧极为相似,只是橡皮筋不能被压缩!
典型习题
例1:劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为12kg的物体A、B,将它们竖直静止放在水平面上,如图所示.现将一竖直向上的变力F作用在A上,使A开始向上做匀加速运动,经0.40s物体B刚要离开地面.(g=10m/s2 )
试求:
(1)物体A重力势能增加了多少
(2)物体B刚要离开地面时,物体A的动能
(3)弹簧的弹性势能公式:Ep=kx2,x为弹簧的形变量,则此过程中拉力F做的功是多少?
(1)开始时弹簧压缩,求解出压缩量;物体B刚要离开地面时,求解出弹簧的伸长量;然后根据重力势能的定义公式求解重力势能的增加量;
(2)物体A向上做匀加速运动,已知时间、初速度、位移,根据运动学公式求解末速度;根据动能定义公式求解动能;
(3)拉力对A、B、弹簧系统做的功等于系统机械能的增加量,根据功能关系列式求解即可.
【解析】
(1)开始时弹簧压缩:mAg=kx1
当物体B刚要离地面时弹簧伸长:kx2=mBg
解得:x1=x2=0.15 m
物体A重力势能增大,△EpA=mAg(x1+x2)=36 J
(2)物体A向上做匀加速运动,根据位移时间关系公式,有:
x1+x2=at2
根据速度时间关系公式,有:
vA=at
联立解得
EK=mAvA2=13.5 J
(3)因开始时弹簧的压缩量与末时刻弹簧的伸长量相等,对应弹性势能相等
【解法一】动能的增加量:△Ek=EK=13.5 J
由功能关系:WF=△EpA+△Ek=49.5 J
【解法二】动能的增加量:△Ek=EK=13.5 J
重力做功:WG=-mAg(x1+x2)=36 J
根据动能定理:WF+WG=△Ek
解得:WF=49.5 J
答:
(1)物体A重力势能增加了36J;
(2)物体B刚要离开地面时,物体A的动能为13.5J;
(3)此过程中拉力F做的功是49.5J.
例2:如图所示,质量m1=2kg的物体A与一劲度系数为k=500N/m的轻弹簧相连,弹簧的另一端与地面上的质量为m2=1kg 的物体B相连,弹簧竖起.A、B均处于静止状态.另有一质量为m3=1kg的物体C从物体A的正上方距离h=0.45m处自由下落.落到A上立刻与A粘连并一起向下运动,其速度为1m/s,它们到达最低点后又向上运动,最终恰好能使B离开地面但不继续上升.(A、B、C均可视为质点,g取10m/s2)
(1)求C与A碰撞前的速度V;
(2)从AC一起运动直至最高点的过程中弹簧对AC整体做的功.(1)碰前物体做自由落体运动,由动能定理可求得下落后的速度;
(2)由胡克定律可求得开始及离开时物体的位移,则由动能定理可求得弹力所做的功.
【解析】
(1)设物体C与A碰撞前速度为V,则根据动能定理:
解得:V=3m/s.
(2)根据F=kx,开始时弹簧压缩量
B刚要离开地面时弹簧伸长量
则AC一起运动的最高点和碰撞位置的距离为h′=x1+x2=0.06m 设从AC一起运动直至最高点的过程中弹簧弹力做功为W,根据动能定理:
解得W=0.3J.
例3:如图所示,质量为M=1Kg的长滑块B静止放在光滑的水平地面上,左边固定一劲度系数为K=8N/m且足够长的水平轻质弹簧,右侧有一不可伸长的轻绳连接于竖直墙壁上,细线所能承受的最大拉力为T=4N.现使一质量为m=2Kg,初速度为v的小物体A,在滑块B上无摩擦地向左运动,而后压缩弹簧.(已知弹簧的弹性势能EP与
弹簧的形变量x的关系:,K为弹簧的劲度系数)
(1)小物体A的速度v满足什么条件,才能使细线被拉断.
(2)若小物体A的初速度,滑块B向左的最大加速度为多大.
(3)若小物体A离开滑块B时相对地面的速度为零,则小滑块的初速度v为多大?
(1)假设绳子不断,当滑块速度减为零时,弹性势能最大,弹力最大,绳子的张力最大,等于弹簧的弹力;然后根据机械能守恒定律和胡克定律列式求解;
(2)当滑块与长木板速度相等时,弹力最大,加速度最大;先求
解出断开时滑块速度,然后根据动量守恒和机械能守恒定律列式联立求解出共同速度,得到最大加速度.
(3)滑块与长木板分离后,速度恰好为零,根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式后联立求解即可.
【解析】
(1)设弹簧压缩量为x1时,绳被拉断,即
kx1=T①
压缩弹簧过程动能转化为弹性势能,依题意有
②
联立解得:③
(2)设绳被拉断瞬时,小物体的速度为V1,有
④
绳断后长滑块加速,小物体减速,当两者速度相等时,弹簧压缩量最大为x2,长滑块有向左的最大加速度am,此过程动量守恒,有:mv1=(M+m)v2 ⑤
根据机械能守恒,有:
⑥
由牛顿第二定律得:kx2=Mam ⑦
联立①④⑤⑥⑦解得:=8m/s2.⑧
(3)要使小物体离开长滑块时相对地面速度为零,即弹簧恢复原长时小物体速度为零,此时长物块速度为v.在绳断开至弹簧恢复原长过程中,动量守恒,能量守恒,故有
Mv=mv1 ⑨
⑩
联立①④⑨⑩解得m-M=
由于,必有m>M