四川省中等职业学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题(wd无答案)
2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为60°，则2l 的斜率为（ ）AB ．CD ．【答案】D【分析】直线12l l ⊥,斜率乘积为1-， 斜线斜率等于倾斜角的正切值.【详解】1tan60k =︒=121k k ，所以2k =.故选：D.2．等差数列{}n a 中，466a a +=，84a =，则2a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，因466a a +=，84a =，而2846a a a a +=+，于是得246a +=，解得22a =， 所以22a =. 故选：B3．已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由共面定理列式得AB x AC y AD =+，再根据对应系数相等计算.【详解】因为,,,A B C D 四点共面，设存在有序数对(),x y 使得AB x AC y AD =+，则()()a b x a c y b c λ+=+++，即()a b xa yb x y c λ+=+++，所以得1,1x y λ===-.故选：A4．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线28y x =，从点()14,A y 发出一条平行于x 轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点()24,B y ，则光线从A 出发到达B 所走过的路程为（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】如图所示：焦点为()2,0F ，设光线第一次交抛物线于点A '，第二次交抛物线于点B '，A B ''过焦点F ，准线方程为：2x =-，作AA ''垂直于准线于点A ''，作BB ''垂直于准线于点B ''， 则AA A B B B ''''++，AA A F B F B B ''''=+++，AA A A B B B B ''''''''=+++， 6612AA BB ''''=+=+=，故选：C5．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（ ）A ．1.2mB ．1.3 mC ．1.4 mD ．1.5 m【答案】B【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.6．直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,1,1P --到l 的距离为( )AB CD ．【答案】C【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】∵()1,1,1A ，()1,1,1P -- ∴()0,2,2AP =-- 又()1,0,1m =-，∴AP 在m 方向上的投影2cos 2AP m AP AP m m ⋅⋅⋅===∴P 到l 距离2||(2)d AP =-故选：C.7．在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=°，则OB 与AC 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B【分析】以{,,}OA OB OC 为空间的一个基底，求出空间向量求,OB AC 的夹角即可判断作答.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC 不共面，则AC OC OA =-，令1OA OB OC ===，依题意，1()cos90cos602AC OB OC OA OB OC OB OA OB ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设OB 与AC 所成角的大小为θ，则||1cos |cos ,|2||||AC OB AC OB AC OB θ⋅=〈〉==，而090θ<≤，解得60θ=，所以OB 与AC 所成角的大小为60. 故选：B8．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 上存在两点A 、B 满足122F A F B =，243AF a =，则E 的离心率为（ ）A ．53B ．23C ．32D ．12【答案】A【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，推导出A 、1F 、C 三点共线，利用椭圆的定义可求得1AF 、2AF 、AC 、2CF ，推导出290CAF ∠=，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率. 【详解】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，则O 为BC 、12F F 的中点，故四边形12BF CF 为平行四边形，故12//CF BF 且12CF BF =，则12CF F B =，所以，112F A CF =，故A 、1F 、C 三点共线， 由椭圆定义，122AF AF a +=，有123AF a =，所以13aCF =，则AC a =，再由椭圆定义122CF CF a +=，有253aCF =， 因为22222CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212F F AF AF =+即222049c a =，所以，离心率5e =． 故选：A. 二、多选题9．圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，则r 的值可以是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，列出r 的等量关系式，求解即可.【详解】对圆1C ，其圆心为()0,0，半径为r ；对圆2C ，其圆心为()2,0，半径为1，则122C C =，因为圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，故圆12,C C 外切或内切，则21r =+或21r =-，故可得1r =或3r =. 故选：BD .10．曲线2:14x C y y +=，则（ ）A ．C 上的点(),x y 满足x ∈R ，1y ≤B ．C 关于x 轴、y 轴对称 C ．C 与x 轴、y 轴共有3个公共点D ．C 与直线2xy =只有1个公共点 【答案】ACD【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断. 【详解】220,:14x y C y +=表示椭圆在x 轴上方的部分，220,:14x y C y <-=表示双曲线在x 轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为2x y =， 故选项ACD 正确，选项B 错误. 故选：ACD.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，1CA CB CC ==，D ，E ，M 分别为11B C ，1CC ，1AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则( )A ．1MN BC ⊥B ．存在点N ，MN ⊥平面1BC N C ．MN ∥平面1A DED ．存在点N ，MN DE ∥【答案】AD【分析】A ：连接11,BC B C ，证明1BC ⊥平面1AB C 即可； B ：建立空间直角坐标系，判断MN 与BN 是否可能垂直即可； CD ：当N 是AC 中点时，MN ∥DE . 【详解】A 选项：连接11,BC B C ，由题可知四边形11BCC B 是正方形，则11BC B C ⊥， 由题知平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11BCC B ，又111BC BCC B ⊂，∴1AC BC ⊥， 又1B C AC C ⋂=，1,B C AC ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ， ∵MN ⊂平面1AB C ，∴1BC MN ⊥. 故A 正确；如图建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝1CC ＝2，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,2,0A ，()12,0,2B ，()1,1,1M ，设()0,,0N t ，02t <<，则()2,,0BN t =-，()1,1,1NM t =-，若BN ⊥MN ，则()0210BN NM t t ⋅=⇒-+-=，即220t t -+=，方程无实数根，即BN 与MN 不垂直，则不存在点N ，使得MN ⊥平面1BC N ，B 错误； C 选项：当N 是AC 中点时，MN ∥1B C ，1B C ∥DE ，∴MN ∥平面1A DE ；当N 不是AC 中点时，MN 和B 1C 相交，若MN ∥平面1A DE ，结合1B C ∥平面1A DE 可知平面1AB C ∥平面1A DE ，这显然与图形不符(1A E 与AC 相交)，故此时MN 与平面1A DE 不平行；故C 错误；由C 项可知，N 为AC 中点满足题意，故D 正确.故选：AD.12．设函数()21,0,1,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩数列{}n a 满足()1n n a f a +=，则（ ）A ．当112a =时，1n a < B ．若{}n a 为递增数列，则11a > C ．若{}n a 为等差数列，则10a ≤ D ．当12a =时，12311111na a a a ++++< 【答案】AD【分析】分(],0n a ∈-∞，()0,1n a ∈，()1,n a ∈+∞，1n a =四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解：①(],0n a ∈-∞时，()110n n n a f a a +==-≤，②()0,1n a ∈时，()()()211110,1n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+∈，③()1,n a ∈+∞时，()()211111n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+>，④1n a =时，()2111n n n n a f a a a +==-+=，因此，11211,0,1,0n n nn a a a a a a +-≤⎧=⎨-+>⎩，有10a ≤时，11n n a a +-=-，10a >时，()211n n n a a a +-=-，对于选项A ，()110,12a =∈，1n a <，故A 正确；对于选项B ，{}n a 为递增数列时，则10n n a a +->，当0n a ≤时，110n n a a +=-≤，则110n n a a +-=-<，不符题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()2212110n n nn n a a a a a +-=-+=->， 所以10a >且11a ≠，综上10a >且11a ≠，故B 错误；对于选项C ，{}n a 为等差数列时，则1n n a a d +-=，（d 为常数）， 当0n a ≤时，11n n a a +=-，则11n n a a +-=-，符合题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()221211n n nn n a a a a a +-=-+=-， 要使()21n a -为常数，则10n a -=，所以11a =，综上10a ≤或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列），故C 错误；对于选项D ，12a =，211n n n a a a +-=-，有()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---， 则1212231111111111111111+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n a a a a a a a a a 111111n a a +=---， 因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>-，所以121111111n a a a a ++⋅⋅⋅+<=-，故D 正确. 故选：AD ． 三、填空题13．写出直线210x y ++=的一个方向向量m =______． 【答案】()1,2-【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.【详解】由题意可知，直线210x y ++=可以化为21y x =--， 所以直线的斜率为2-，直线的一个方向向量可以写为()1,2-. 故答案为：()1,2-.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到C 的渐近线的距离为32c ，则C 渐近线方程为______． 【答案】3y x =±【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为：b y x a =±，即0bx ay ±=，依题意，2232bc c a b =+，即2232b a b=+，解得3b a =， 所以C 渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±15．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n 个图案中所有着色的正方形的面积之和为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】()819n-【分析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前n 项和公式，即可求得{}n a 的通项公式.【详解】结合已知条件，归纳总结如下： 第一个图案中，着色正方形的面积即119a =； 第二个图案中，新着色的正方形面积是189a ，故着色正方形的面积即2118999a =+⨯；第三个图案中，新着色的正方形面积是289a ，故着色正方形的面积即231181899999a ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；第n 个图案中，新着色的正方形面积是189n a -，故着色正方形的面积即2111818189999999n n a -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故18199819nna ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-()819n -.故答案为：()819n-.四、双空题16．圆()()22:224C x y -+-=与x 轴相切于点A ．点B 在圆C 上运动，则AB 的中点M 的轨迹方程为______（当点B 运动到与A 重合时，规定点M 与点A 重合）；点N 是直线0x y +=上一点，则MN AN +的最小值为______．【答案】 ()()22211x y -+-= 131-【分析】将点M 的轨迹转化为以AC 为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将MN AN +的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解.【详解】依题意得()2,0A ，()2,2C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥， 所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为()2,1，2AC =， 所以点M 的轨迹方程为()()22211x y -+-=，圆心()2,1D ，设()2,0A 关于直线0x y +=的对称点为(),A m n '， 则有0122022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得02m n =⎧⎨=-⎩，所以()0,2A '-，所以由对称性可知MN AN +的最小值为()()22102211131A D '-=-+--=-．故答案为：()()22211x y -+-=，131- 五、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)21n a n =-； (2)21n nT n =+. 【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解.【详解】(1)数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． (2)由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++， 所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，120OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =．(1)求直线BC 的方程；(2)记OAB 的外接圆为圆M ，若直线OC 被圆M 截得的弦长为4，求点C 的坐标．【答案】(1)3430x y +-=； (2)(2,23).【分析】(1)延长CB 交x 轴于点N ，根据给定条件求出ANB ∠即可计算作答. (2)利用待定系数法求出圆M 的方程，再由给定弦长确定C 点位置，推理计算得解. 【详解】(1)延长CB 交x 轴于点N ，如图，因120OAB ∠=︒，则60NAB ∠=︒，又2AB OA ==，则有(3B ，又120ABC ∠=︒，于是得60ANB ∠=︒，则直线BC 的倾斜角为120°，直线BC 的斜率3BC k =-，因此，)333y x --，即330x y +-=所以直线BC 330x y +-=.(2)依题意，设圆M 的方程为22220D E 4F 0x y Dx Ey F ++++=+->，，由(1)得：042093330F D F D E F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得2230D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，于是得圆M 的方程为222230x y x y +--=，即()(22134x y -+=，圆心(3M ，半径2r =，因直线OC 被圆M 所截的弦长为4，则直线OC 过圆心(3M ，其方程为3y x =， 由34303x y y x ⎧+-⎪⎨=⎪⎩解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,23)C ，所以点C 的坐标是(2,23).19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，点P 在棱1BB 上．(1)若112BP PB =，证明：1D O 与平面PAC 不垂直； (2)若1D O ⊥平面PAC ，求平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)66【分析】（1）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出10DO AP ⋅≠，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值.【详解】(1)证明：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()1,1,0O 、()2,2,0C 、()10,2,2D ， 由112BP PB =得P 点的坐标为22,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,2DO =--，22,0,3AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1203D O AP ⋅=≠， 所以1D O 与AP 不垂直，所以1D O 与平面PAC 不垂直．(2)解：设()()2,0,02P a a ≤≤，则()2,0,AP a =，()2,2,0AC =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220DO AP a ⋅=-=，得1a =， 且1220DO AC ⋅=-=，即1D O AC ⊥， 所以()0,2,1CP =-，()12,0,2CD =-，设平面1PCD 的法向量为(),,m x y z =，由122020m CD x z m CP y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得()2,1,2m =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()11,1,2DO =--，所以111cos ,6m D O m D O m DO⋅<>==-⋅ 所以平面1PCD 与平面PAC 20．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0M ，直线l x ⊥轴，垂足为H ，HN NM =，圆N 过点O ，与l 的公共点的轨迹为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过M 的直线与Γ交于A ，B两点，若2MA MB =，求AB ． 【答案】(1)24y x =； (2)【分析】(1)设出圆N 与l 的公共点坐标，再探求出点N 的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB 的方程，与Γ的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答. 【详解】(1)设(),P x y 为圆N 与l 的公共点，而直线l x ⊥轴，垂足为H ，则(),0H x ， 又()4,0M ，HN NM =，于是得4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭，因O ，P 在圆N 上，即NO NP =， 则有42x +=，化简整理得：24y x =，所以Γ的方程为24y x =.(2)显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y由244x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-．因为2MA MB =，则点A 到x 轴距离是点B 到x 轴距离的2倍，即122y y =-， 由1212216y y y y =-⎧⎨=-⎩解得12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩124y y m +==因此有12AB y =-=所以AB =21．2017年复门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神．据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m （0m >）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记1a ，2a ，3a ，… (1)①写出一个递推公式，表示1n a +与n a 之间的关系； ②证明：{}50n a m +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)为了提前5年实现厦门会蹈“零碳排放”的目标，m 的最小值为多少？ 参考数据：141.02 1.32≈，151.02 1.35≈，161.02 1.37≈【答案】(1)①1 1.02n n a a m +=+；②证明见解析，()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-(2)最少为6.56吨【分析】（1）①根据题意直接写出一个递推公式即可； ②要证明{}50n a m +是等比数列，只要证明15050n n a ma m+++为一个常数即可，求出等比数列{}50n a m +的通项公式，即可求出{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，根据题意求出15S ，利用分组求和法求出数列{}n a 的前n 项和，再令153095S >，解之即可得出答案.【详解】(1)解：①依题意得()()12132130,12%,12%a a a m a a m ==++=++, 则1 1.02n n a a m +=+，②因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+， 所以()150 1.0250n n a m a m ++=+，因为150130500a m m +=+≠所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02， 所以()15013050 1.02n n a m m -+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-；(2)解：记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+-++⨯-+++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()141305013050 1.0213050 1.021550m m m m =+++⨯+++⨯-⨯()()15130501 1.027501 1.02m m +-=--()()130501 1.357501 1.02m m +-≈--2275125m =+，依题22751253095m +≥，所以 6.56m ≥， 所以m 最少为6.56吨．22．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，焦点()1,0F ，A ，B 是Γ上关于原点对称的两点，ABF 的周长的最小值为4+(1)求Γ的方程；(2)直线F A 与Γ交于点M （异于点A ），直线FB 与Γ交于点N （异于点B ），证明：直线MN 过定点．【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【分析】（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，根据椭圆的对称性可得BF AF '=，则三角形ABF 的周长为22a AO +，再设(),A x y 根据二次函数的性质得到AO b ≥，即可求出ABF 的周长的最小值为22a b +，从而得到224a b +=+221a b -=，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线FA 的方程11x m y =+、()33,A x y ，直线FB 的方程21x m y =+、()33,B x y --，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示3y ，即可得到()221122123340m y m y y y +++=，整理得()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，再代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，即可得到()580m n -=，从而求出n ，即可得解； 【详解】(1)设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=， 所以ABF 的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+ 设(),A x y，则AO b ==， 当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF 的周长取得最小22a b +，所以224a b +=+2+=a b ()1,0F ，所以221a b -=， 所以()()1a b a b -+=，所以2a b -=解得2a =，b =Γ的方程为22143x y +=. (2)解：当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合； 当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =；设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223463120m y mny n +++-=，0∆>，122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y -=，()11,M x y ，()33,A x y ， 由1221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221134690m y m y ++-=，0∆>，1321934y y m -=+，()3211934y m y -=+， 设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y -=，()22,N x y ，()33,B x y --由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222234690m y m y ++-=，0∆>，2322934y y m --=+，()3222934y m y -=-+所以()()221122993434m y m y --=+-+，所以()()22112234340m y m y +++=， 所以()221122123340m y m y y y +++=，2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2221221212121211411my n my n y y m y y m n n y y y y +-+-+=+=++-+- 则()()()()221212121231213140y y my y m n n y y y y +++-+-++=，即 ()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+， 得()()()2222663412131034312mn mn m m n n m n --++-+-=+-， 整理得()580m n -=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+，综上直线MN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭。
2021-2022学年四川省达州市渠县九年级(上)期末数学试卷祥细答案与解析
2021-2022学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分）1. 把4个相同的正方体按如图方式摆放，那么它的俯视图是（）A. B.C. D.2. 现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（）A. B. C. D.3. 对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A.这个函数的图象分布在第一、三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.点(1, 4)在这个函数图象上D.当x>0时，y随x的增大而增大4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A.若AB＝AD，则▱ABCD是矩形B.若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C.若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形D.若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形5. 关于x的一元二次方程x2−2x+m＝0的一个根为−1，则m的值为（）A.−3B.−1C.1D.26. 如图，AB // CD // EF，若BF＝3DF，则的值是（）A. B.2 C. D.37. 秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A.7人B.8人C.9人D.10人8. 关于x的方程(a−1)x2−2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A.2B.1C.0D.−19. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE= 15∘，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有( )①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC=2AB；④∠AOE=150∘；⑤S△AOE=S△COE．A.2个B.3个C.4个D.5个10. 如图，函数y＝-(x<0)的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（）A.12B.6+C.6+2D.6+2二、填空题（共6小题，每小题3分）若将方程x2−4x+1＝0化为(x+m)2＝n的形式，则m＝________．某物体对地面的压强P(Pa)与物体和地面的接触面积S(m2)成反比例函数关系（如图）．当该物体与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是4000Pa．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝________．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝________．数学兴趣小组的同学设计用手电来测量附近某大厦CD的高度．如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为________米．已知：一次函数y=−2x+10的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．BCBD =52，△ABC的面积=________．三、解答题（9小题，共72分）解方程：（1）4−2x＝x−2；（2）．（3）x(x+3)＝2x+6；（4）2x2−3x−5＝0．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次参与调查的共有________人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为________∘；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果我国有13亿人在使用手机；①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD:AC＝2:3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=k与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交x点．AB⊥x轴于B且S△ABO=3．2(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，________分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC 的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB=BC=4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足________时，四边形ADCE是正方形．如图：在Rt△AOB中，∠AOB＝90∘，OB＝2，AB // x轴，双曲线y＝经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．AB的对应线段CB恰好经过点O．（1）求证△OBD是等边三角形；（2）求出双曲线的解析式，并判断点C是否在双曲线上，请说明理由；（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBD的周长最小？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分）1.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】列表法与树状图法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】反比例函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】矩形的判定平行四边形的性质正方形的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】一元二次方程的解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】根的判别式一元二次方程的定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】等边三角形的性质与判定等腰三角形的判定与性质矩形的性质三角形的外角性质【解析】首先利用矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，对每个选项进行分析，然后对比即可求解.【解答】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45∘.∴∠AEB=45∘.∴△ABE是等腰直角三角形.∴AB=BE.∵∠CAE=15∘，∴∠ACE=∠AEB−∠CAE=45∘−15∘=30∘.∴∠BAO=90∘−30∘=60∘.∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD.∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB=AB，∠ABO=∠AOB=60∘.∴OB=BE.∴△BOE是等腰三角形，故②正确；∵∠OBE=∠ABC−∠ABO=90∘−60∘=30∘=∠ACB，(180∘−30∘)=75∘，∴∠BOE=12BC=√3AB，故③错误；∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60∘+75∘=135∘，故④错误；∵AO=CO，∴S△AOE=S△COE，故⑤正确，综上所述，正确的结论有①②⑤共3个.故选B.10.【答案】D【考点】直角三角形斜边上的中线相似三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（共6小题，每小题3分）【答案】−2【考点】解一元二次方程-配方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】4000【考点】反比例函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】4m或6m【考点】一元二次方程的应用【解析】设AB长为xm，则BC长为(30−3x)m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是72m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】设AB长为xm，则BC长为(30−3x)m，根据题意得：x(30−3x)＝72，整理得：x8−10x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝6．答：AB的长8m或6m．【答案】【考点】菱形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】32【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】此题暂无解答【答案】10【考点】函数的综合性问题【解析】过点B作BM⊥y轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，连接AD，如图，由S△ABDS△ABC =BDBC=25可知，要求△ABC的面积，只需求△ABD的面积，只需求出点A、B、D、F的坐标．易得BM CN =23，可设BM=2x，就用含有x和k的代数式表示点A、B的坐标，然后代入直线y=−2x+10就可解决问题．【解答】解：过点B作BM⊥y轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，连接AD，如图，则有BM // CN，∴△BMD∽△CND，∴BMCN =BDCD．∵BCBD =52，∴BMCN =BDCD=23．设BM=2x，则CN=3x，∴点B(2x, k2x )，点C(−3x, −k3x)．根据对称性可得点A(3x, k3x)．∵点A、B在直线y=−2x+10上，∴{k3x =−2×3x+10k 2x =−2×2x+10，解得{x=1k=12，∴点A(3, 4)，点B(2, 6)，点C(−3, −4)．设直线BC的解析式为y=mx+n，则有{2m+n=6−3m+n=−4，∴直线BC的解析式为y=2x+2．∵点D是直线BC与y轴的交点，∴点D(0, 2)．∵点F是直线AB与y轴的交点，∴点F(0, 10)，∴S△ABD=S△ADF−S△BDF=12×(10−2)×3−12×(10−2)×2=4．∵S△ABDS△ABC =BDBC=25，∴S△ABC=52S△ABD=52×4=10．故答案为10．三、解答题（9小题，共72分）【答案】移项，可得：−2x−x＝−2−6，合并同类项，可得：−3x＝−6，系数化为8，可得：x＝2．去分母，可得：3(6−x)−6＝x+5，去括号，可得：8−3x−6＝x+4，移项，可得：−3x−x＝5−2+6，合并同类项，可得：−4x＝7，系数化为1，可得：x＝−2．x(x+3)−2(x+4)＝0，(x+3)(x−7)＝0，x+3＝2或x−2＝0，所以x2＝−3；x2＝5；(2x−5)(x+5)＝0，2x−5＝0或x+1＝7，所以x1＝；x2＝−1．【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元一次方程解一元二次方程-公式法【解析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．（1）先变形得到x(x+3)−2(x+3)＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】移项，可得：−2x−x＝−2−6，合并同类项，可得：−3x＝−6，系数化为8，可得：x＝2．去分母，可得：3(6−x)−6＝x+5，去括号，可得：8−3x−6＝x+4，移项，可得：−3x−x＝5−2+6，合并同类项，可得：−4x＝7，系数化为1，可得：x＝−2．x(x+3)−2(x+4)＝0，(x+3)(x−7)＝0，x+3＝2或x−2＝0，所以x2＝−3；x2＝5；(2x−5)(x+5)＝0，2x−5＝0或x+1＝7，所以x1＝；x2＝−1．【答案】2000,144①由知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有13×．②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人×100%＝22%．所以，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%【考点】扇形统计图利用频率估计概率条形统计图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)连接AC，过点D作DF // AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．(2)∵AC // DF，∴∠ACB=∠DFE．∵∠ABC=∠DEF=90∘∴△ABC∼△DEF．∴ABDE =BCEF，∴5DE =36∴DE=10m．【考点】平行投影相似三角形的性质【解析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系ABDE =BCEF．计算可得DE=10(m)．【解答】解：(1)连接AC，过点D作DF // AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．(2)∵AC // DF，∴∠ACB=∠DFE．∵∠ABC=∠DEF=90∘∴△ABC∼△DEF．∴ABDE =BCEF，∴5DE =36∴DE=10m．【答案】当每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利达到1200元【考点】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】∵ △ADE ∽△ACB ，∴ ∠ADE ＝∠ACB ，∠AED ＝∠ABC ，∵ AF 是∠BAC 的平分线，∴ ∠BAF ＝∠CAF ，∵ ∠AGD ＝∠CAF +∠AED ，∠AFC ＝∠BAF +∠ABC ，∴ ∠AGD ＝∠AFC ，∴ △AGD ∽△AFC ，∴ ＝＝，∴ AG:GF ＝2:1．【考点】相似三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)设A 点坐标为(x, y)，且x <0，y >0，则S △ABO =12⋅|BO|⋅|BA|=12⋅(−x)⋅y =32，∴ xy =−3，又∵ y =k x ，即xy =k ，∴ k =−3．∴ 所求的两个函数的解析式分别为y =−3x ，y =−x +2. (2)由y =−x +2，令x =0，得y =2．∴ 直线y =−x +2与y 轴的交点D 的坐标为(0, 2)，A 、C 两点坐标满足{y =−x +2，y =−3x ，x =−1，x =3，∴ 交点A 为(−1, 3)，C 为(3, −1)，∴ S △AOC =S △ODA +S △ODC=12OD ⋅(|x 1|+|x 2|) =12×2×(3+1)=4． 【考点】反比例函数与一次函数的综合待定系数法求一次函数解析式三角形的面积反比例函数综合题待定系数法求反比例函数解析式反比例函数系数k 的几何意义【解析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k 值．根据反比例函数性质，k 绝对值为3且为负数，由此即可求出k ；（2）交点A 、C 的坐标是方程组,{y =−3x y =−x +2的解，解之即得；从图形上可看出△AOC 的面积为两小三角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：(1)设A 点坐标为(x, y)，且x <0，y >0，则S △ABO =12⋅|BO|⋅|BA|=12⋅(−x)⋅y =32，∴ xy =−3，又∵ y =k x ，即xy =k ，∴ k =−3．∴ 所求的两个函数的解析式分别为y =−3x ，y =−x +2.(2)由y =−x +2，令x =0，得y =2．∴ 直线y =−x +2与y 轴的交点D 的坐标为(0, 2)， A 、C 两点坐标满足{y =−x +2，y =−3x ，⇒{x 1=−1，{x 2=3，∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=12OD⋅(|x1|+|x2|)=12×2×(3+1)=4．【答案】5设线段AB的解析式为：y AB＝kx+b，把(10, 50)和(2，，解得：，∴直线AB的解析式为：y AB＝2x+30；设双曲线CD的函数关系式为：y CD＝，把(20, 50)代入得，∴a＝1000，∴双曲线CD的函数关系式为：；当y＝40时，5x+30＝40．∴25−5＝20>18．∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．【考点】反比例函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN // BC，∴AE=BD，∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE=90∘，∴四边形ADCE为矩形；①由（1）知四边形ADCE是矩形，∵BC=AB=4，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=4，∵D为BC的中点，∴∠ADC=90∘，BD=CD=2，∴AD=2√3，∴四边形ADCE的面积为CD×AD=2×2√3=4√3；∠BAC=90∘【考点】直角三角形斜边上的中线矩形的判定与性质正方形的判定等腰三角形的性质三角形中位线定理【解析】(∠B+∠ACB)，再由∠B=（1）根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=12∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN // BC，根据三角形中位线的性质得FD // AB，可得四边形ABDE为平行四边形，则AE=BD=CD，得出四边形ADCE为平行四边形，再证出AD⊥AE即可得出四边形ADCE为矩形．（2）由（1）知四边形ADCE是矩形，由条件可证明△ABC为等边三角形，求出CD和AD长，则四边形ADCE的面积可求出；（3）由（1）知四边形ADCE是矩形，增加条件能使AD=DC即可【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∠MAC，∴∠MAE=12∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN // BC，∴AE=BD，∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE=90∘，∴四边形ADCE为矩形；①由（1）知四边形ADCE是矩形，∵BC=AB=4，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=4，∵D为BC的中点，∴∠ADC=90∘，BD=CD=2，∴AD=2√3，∴四边形ADCE的面积为CD×AD=2×2√3=4√3；答案不唯一，如当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是正方形．∵∠BAC=90∘，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD=DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：∠BAC=90∘．【答案】∵AB // x轴，∴∠ABO＝∠BOD，∵∠ABO＝∠CBD，∴∠BOD＝∠OBD，∵OB＝OD，∴∠BOD＝∠BDO，∴△BOD是等边三角形．由（1）得：△BOD是等边三角形．∴∠BOD＝60∘．∵OB＝2．∴．∵双曲线y＝经过点B，∴k＝．∴双曲线的解析式为y＝；∵∠ABO＝60∘，∠AOB＝60∘．∴∠A＝30∘，∴AB＝2BO，∵AB＝BC，∴BC＝7OB，∴OC＝OB，∴C．∵，∴点C在双曲线上；∵△PBD的周长BD+PB+PD，且BD是定值，∴当PB+PD取最小值时，△PBD有最小值，如图，作点B关于y轴的对称点，∵B．∴OB＝2．∵△BOD是等边三角形，∴BO＝OD＝2，∴点D(6, 0)，设直线B′D解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴，当x＝2时，y＝，∴点P．【考点】反比例函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年凉山州西昌市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 存在有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，要做的假设是A ．,,a b c 至多有两个偶数B ．,,a b c 都是偶数C ．,,a b c 至多有一个偶数D ．,,a b c 都不是偶数【答案】D【详解】因为“至少有一个”的否定是“都不是”，因此要做的假设是,,a b c 都不是偶数，故选D ．2．设z 是复数，若()1i i z -=-(i 是虚数单位)，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为i2B ．1i2z -+=C ．1z =D ．1z z +=【答案】D【分析】先求得z ，由此判断出正确选项. 【详解】依题意()11i i z --==， ()()1111112i i z i i i ++===--+，B 错， 所以z 的虚部为12，A 错，z ==C 错， 11122z z +=+=，D 正确. 故选：D3．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为（ ）A ．18B ．316 C ．14D ．12【答案】C【分析】由古典概型的概率计算公式可得.【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ，共有4416⨯=个基本事件；而使不等式a －2b ＋4<0成立的事件包含：(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共有4个基本事件；由古典概型公式得所求概率41=164P =． 故选：C ．4．若()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与B 的关系是 A ．互斥不对立 B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上答案都不对 【答案】D【详解】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 也不见得对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的． 【解析】互斥事件与对立事件5．已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数fx 的图象如所示，则（ ）A ．()f x 在1x =处取得极小值B ．()f x 在1x =处取得极大值C ．()f x 是R 上的增函数D ．()f x 是(),1-∞上的减函数，1,上的增函数【答案】C【分析】由导函数图象可知0f x在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,即可判断选项.【详解】由图可得,0fx在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,故C 正确、D 错误；所以()f x 没有极值,故A 、B 错误； 故选:C【点睛】本题考查导函数图象的应用,属于基础题.6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”他体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“．．．”即代表着无限次重复，但它却是个定值，可以通过方程11x x +=求得51x +=282828+++=（ ）A ．432-B ．4C ．432+D ．432±【答案】C【分析】282828x +++=28x x +=，注意到0x >，解出x 即可．【详解】282828x +++=28x x +，其中0x >，28x x +两边平方，得282x x =+，即2820x x --=，解得432x =-或432x =+ 故选：C ． 7．设曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，则=a （ ） A ．12B ．1-C ．12-D ．1【答案】C【分析】求出函数的导数，然后可得答案 【详解】由2x y x =-可得()()222222y x x x x '=---=--，所以当4x =时12y '=-，因为曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，所以12a =-， 故选：C8．ACB △是等腰直角三角形，在斜边AB 上任取一点M ，则AM AC <的概率（ ） A 2B ．34C ．12D ．23【答案】A【分析】设1BC AC ==，先求出点M 的可能位置的长度，然后可得答案. 【详解】设1BC AC ==，则2AB =在斜边AB 上任取一点M ，满足AM AC <的点M 的可能位置的长度为1， 22=，故选：A9．若函数()21y ax x =-在区间33(上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <1【答案】A【分析】先对函数求导，由函数在区间33(上为减函数，可得导数小于零的范围为33(，可求得a 的取值范围. 【详解】由函数()21y ax x =-，求导可得()22331y ax a a x '=-=-，因为函数在区间33(上为减函数， 所以在区间33(上()2310y a x '=-≤， 因为231x -在区间33(小于零，且0a ≠， 所以只需0a >即可， 故选：A.10．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．32m ≥B ．32m >C ．32m ≤D ．32m <【答案】A【详解】试题分析：因为函数431()232f x x x m =-+，所以()3226f x x x '=-． 令f′（x ）=0得x=0或x=3，当()()''3,0;03,0;x f x x f x >><<< 经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-272． 不等式f （x ）+9≥0恒成立，即f （x ）≥-9恒成立，所以3m-272≥-9，解得m≥32【解析】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值11．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．如果不放回的任意取出2个球，则它们重量相等的概率为（ ）． A ．215B ．715 C ．13D ．15【答案】A【分析】计算出总的取法数和列出满足重量相等的情况，即可得到答案.【详解】总共有2615C =种取法，其中满足重量相等的有：取出的球的编号为1,5和2,4，所以概率为215故选：A12．设函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值，求实数a 的取值范围（ ） A ．1e 2e ,∞⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭B ．1e ,e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1e 2e ,∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据函数导函数在区间1(0,)e内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.【详解】由22(2)1()ln ()1(1)a x a x f x x f x x x x -++'=+⇒=--， 因为函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值， 所以22(2)1()0(1)x a x f x x x -++'==-在1(0,)e内有解， 即2()(2)10g x x a x =-++=在1(0,)e内有解，21(2)102x a x a x x-++=⇒=+-， 设222111()2()1x h x x h x x x x-'=+-⇒=-=，当1(0,)e x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，所以min 1()(e)e 2eh x h ==+-，要想方程12a x x =+-在1(0,)e x ∈时有解，只需min 1()e 2ea h x a >⇒>+-，故选：A 二、填空题13．若复数z 满足(1)2z i ⋅+=(i 为虚数单位)，则z =___________. 【答案】1i -【分析】直接进行复数除法. 【详解】解：因为(1)2z i ⋅+=， 所以22(1)2211(1)(1)2i iz i i i i --====-++-. 故答案为：1i -.14．国家级邛海湿地公园在每天上午8点起每半小时会有一趟观光车从景区入口发车入园，某人在9点至10点之间到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待的时间不超过10分钟的概率____________【答案】13【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】根据题意可知，在9:20~9.30,9:50~10:00这两段时间内到达，等待的时间不超过10分钟，所以等待的时间不超过10分钟的概率为10101603+=， 故答案为：1315．已知函数()()1ln 21f x x x x =+-+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值为____________【答案】2ln 22--【分析】求导后代入1x =可得()1f '，由导数定义可知所求式子为()21f '-，由此可得结果. 【详解】()1ln 21x f x x x+'=+-，()1ln 21f '∴=+， ()()()()()00121121lim2lim 212ln 222x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'∴=-⨯=-=--∆-∆.故答案为：2ln 22--.16．定义在R 上的函数31()33f x x x =-+．①()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数． ②()f x y x'=在(0,)+∞上存在极小值． ③()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+垂直．④设()4ln g x x m =-，若存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，则25m e >-． 以上对函数的描述中正确的选项是：___________ 【答案】①④【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、存在性的性质逐一判断即可. 【详解】由321()3()1(1)(1)3f x x x f x x x x '=-+⇒=-=-+.①：当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以此时函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以以时函数单调递增，因此本结论正确； ②：()1f x y x x x '==-，因为函数1y x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以此时函数没有极值，因此本结论不正确；③：(0)1f '=-，直线22y x =+的斜率为2，因为2(1)21⨯-=-≠-，所以()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+不垂直，因此本选项结论不正确；④：2()()4ln 1g x f x x m x <⇒-<-'，存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，转化为存在[1,e]x ∈，使24ln 1x m x -<-成立，由224ln 14ln 1x m x m x x -<-⇒>-+， 设2()4ln 1h x x x =-+，[1,e]x ∈，所以42(2)(2)()22x x h x x x -+-'=-=， 当[1,2]x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增，当(2,e]x ∈，()0,()h x h x '<单调递减， 所以当2x =时，函数有最大值，因为22(1)0,(e)4e 15e h h ==-+=-，所以2min ()5e h x =-，要想存在[1,e]x ∈，使24ln 1m x x >-+成立，只需2min ()5e m h x >=-，因此本结论正确，故答案为：①④ 三、解答题17．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合.如下图．某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．(1)若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率． (2)若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率． 【答案】(1)110(2)45【分析】（1）首先运用组合数求出基本事件的总数，再根据古典概型即可求出概率； （2）首先运用组合数求出基本事件的总数和对立事件的总数，再根据对立事件的概率即可求解.【详解】(1)记“能拼成吉祥物”为A 事件.基本事件总数在6个乒乓球中任取3个有3620C =种.而满足条件的只有2种，即“冰墩墩”和“雪容融”. ∴()212010P A ==； (2)记至少抽到一个“墩”为B 事件，则一个“墩”也抽不到的种类数为34C ，则()3436415C P B C =-=.18．若直线L 与曲线2,(0)y x x =>和2249x y +=都相切，则求L 的方程． 【答案】222y x =-【分析】设切点00(,)x y ，再利用导数的几何意义可求得曲线2,(0)y x x =>的切线方程20020x x y x --=，再由切线与圆2249x y +=20202314x =+，从而可求出0x ，进而可求出切线方程【详解】设切点00(,)x y ，即200(,)x x ，00x >.∴02k x =，则切线方程：20002()y x x x x -=-，即20020x x y x --=.20202314x =+，得420091640x x --=. 解得202x =，∵00x >，∴02x =故L 的方程为：222(2)y x -=， 即22y x =-.19．i 是虚数单位，已知数列{n a }，若2i n n a n =⋅，求该数列{n a }的前4n 项的和4n S ． 【答案】44i n n -【分析】利用错位相减法求和即可.【详解】由23441242i 4i 6i 8i nn n S a a a n =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ....①则234414i 2i 4i 6i 8i n n S n +=++⋅⋅⋅+ ....②由①-②得234414(1i)2i 2i 2i 2i 8i n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-即234414142(i i i i )8i 8i 44i 1i 1in n n nn n S n n +++++⋅⋅⋅+--===---.20．已知函数2()2ln f x x a x =-，(0)a >． (1)若1a =时，求函数()f x 的单调区间．(2)若()0f x >在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)(),4e ∞-.【分析】（1）由题可求函数的导数，然后利用导数与单调性的关系即得； （2）利用参变分离法，求函数的最值即得.【详解】(1)当1a =时，()22ln ,(0)f x x x x =->.则由()'f x ()()2121140x x x x x-+=-=>，得12x >， ()0f x '<，得102x <<∴()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，即函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)∵()0f x >在[1,2]上恒成立. ①当1x =时，()0f x >恒成立.②当(1,2]x ∈时，ln 0x >，则由()0f x >得22ln x a x<在(1,2]x ∈上恒成立.令()(]()22,1,2ln x g x x x=∈，则由()g x '()()222ln 10ln x x x -=>， 得2e x >>，()0g x '<得1e x <<即()g x 在e]上单调递减，在e,2⎡⎤⎣⎦上单调递增.∴()(min e 4e g x g==.∴(),4e a ∞∈-.21．观察：下面三个式子的结构规律 ①223sin sincoscos 66334ππππ+⋅+=②22553sin sincoscos 9918184ππππ+⋅+= ③223sin sincoscos 1212444ππππ+⋅+=你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【答案】223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析【分析】根据三个式子的结构规律可得结论；利用两角和差余弦公式化简整理即可证得结论.【详解】猜想：223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；证明如下：222sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 6666ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+++=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222223131cos cos sin sin sin cos sin cos sin 66244ππαααααααα⎛⎫+-=-++ ⎪⎝⎭223333cos sin cos 444αααα=+=. 22．设函数()()x ln ,bf xg x ax x ==+，函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 设0x >，试比较()f x 与()g x 的大小.【答案】（I ）11,22a b ==-; (II)当()0,1x ∈时，()()f xg x >；当()1,x ∈+∞时，()() f x g x <；当1x =时，()() f x g x =.【分析】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线列方程求解即可；(Ⅱ) 设0x >，令()()()11In 2F x f x g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性，分三种情况讨论，分别比较()f x 与()g x 的大小即可.【详解】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点()1,0也在函数()g x 的图象上， 且在此点处()f x 与()g x 有公切线 ()()21',bf xg x a x x'==-， ∴由题意可得：011,122a b a b a b +=⎧⇒==-⎨-=⎩ （Ⅱ）由（I ）可知()112g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()()()2221111111211n 11102222F x f x g x l x x F x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=-+-=--≤ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()F x ∴是()0,+∞上的减函数，而F(1)=0，11 ∴当()0,1x ∈时，()0F x >，有()()f x g x >；当()1,x ∈+∞时，()0F x <，有()()f x g x <；当1x =时，()0F x =，有()()f x g x =.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，利用导数比较大小，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.。
2021-2022学年江西省抚州市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年江西省抚州市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．若直线l 的倾斜角是钝角，则l 的方程可能是（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y -=D ．20x +=【答案】A【分析】根据直线方程，求得直线斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可判断和选择. 【详解】若直线的倾斜角为α，则tan k α=，当0k <时，α为钝角，当0k =，0α=，当0k >，α为锐角；当k 不存在时，倾斜角为2π， 对A ：12k =-，显然倾斜角为钝角；对B ：12k =，倾斜角为锐角；对C ：2k =，倾斜角为锐角；对D ：k 不存在，此时倾斜角为直角. 故选：A.2．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（ ） A ．既不互斥也不对立 B ．互斥又对立 C ．互斥但不对立 D ．对立【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件的定义可得答案.【详解】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以它们的关系是互斥但不对立. 故选：C.3．若方程222210x y y m m +-+-+=表示圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,1)- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(0,1)【答案】D【分析】根据()()22202410m m +---+>，解不等式即可求解.【详解】由方程222210x y y m m +-+-+=表示圆，则()()22202410m m +---+>，解得01m <<.所以实数m 的取值范围为(0,1). 故选：D4．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．3【答案】C【分析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可. 【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为1412401206030=++，故从“史政生”组合120中，抽取的人数时1120430⨯=人. 故选：C .5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于（ ）A ．2B ．6C ．14D ．30【答案】C【分析】模拟运行程序，直到4n =得出输出的S 的值.【详解】运行程序框图，1n =，13≤，2S =；2n =，23≤，6S =；3n =，33≤，14S =；43>，输出14S =. 故选：C6．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ） A ．0.9 B ．0.8C ．0.7D ．0.6【答案】B【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求. 【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为80.810=. 故选：B.7．若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞- D ．(],2-∞【答案】A 【分析】由题得22x a x ≥+对任意(),0x ∈-∞恒成立，求出22x x+的最大值即可. 【详解】解：由题得22x a x≥+对任意(),0x ∈-∞恒成立， 222[()()]2()()2222x x x x x x+=--+-≤--+-=- (当且仅当2x =-时等号成立) 所以2a ≥-. 故选：A8．我国古代铜钱蕴含了“外圆内方”“天地合一”的思想．现有一铜钱如图，其中圆的半径为r ，正方形的边长为()0a a r <<，若在圆内随即取点，取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A ．()221a p r +B ．()221a p r -C ．()1a p r -D ．()1a p r +【答案】B【分析】根据圆和正方形的面积公式结合几何概型概率公式求解即可.【详解】由222r r p a ππ-=可得()221a p r π=- 故选：B9．已知函数()3213f x ax x bx =-+(0a >且12a ≠，0b >)的一个极值点为2，则11a b+的最小值为（ ）A ．74B ．94C ．85D ．7【答案】B【分析】求出函数()f x 的导数，由给定极值点可得a 与b 的关系，再借助“1”的妙用求解即得.【详解】对()3213f x ax x bx =-+求导得：()22f x ax x b '=-+，因函数()f x 的一个极值点为2，则()2440f a b '=-+=，此时，44b a =-+，22()244(2)(2)2(2)(2)(2)f x ax x a a x x x a x x a '=--+=-+--=-+-， 因12a ≠，即222a-≠，因此，在2左右两侧邻近的区域()'f x 值一正一负，2是函数()f x 的一个极值点，则有44a b +=，又0a >，0b >，于是得111111419(4)()(5)(54444b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即423b a ==时取“=”，所以11a b+的最小值为94.故选：B10．已知点()4,3A -，()2,1B -和直线:4320l x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则点P 的坐标为（ ） A ．21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,4- B ．()1,4-或61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,4-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或278,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设点P 的坐标为()a b ，，根据||||PA PB =，点P 到直线l 的距离为2，联立方程组即可求解.【详解】解：设点P 的坐标为()a b ，，线段AB 的中点M 的坐标为(32)-，， 31142AB k -+==--， ∴AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=， ∵点()P a b ，在直线50x y --=上， ∴50a b --=，又点()P a b ，到直线l ：4320x y +-=的距离为2，2=，即43210a b +-=±，联立可得1a =、4b =-或277a =、87b =-，∴所求点P 的坐标为(1)4-，或278()77-，， 故选：C11．已知函数()f x 对于任意的()0,x π∈满足()()2cos xf x f x x '-，其中()f x '是函数()f x 的导函数，则下列各式正确的是（ ） A ．3264f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．343f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．263ff ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．4343f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【分析】令()()0f x F x x x =≠，，结合题意可得()F x '=，利用导数讨论函数 ()F x 的单调性，进而得出()()()643F F F πππ<<，变形即可得出结果.【详解】令()()0f x F x x x=≠，， 则2()()()xf x f x F x x ''-=，又()()2cos xf x f x x '-， 所以()()0,πF x x =∈'， 令()0π6F x x π'>⇒<<，令()006F x x π<⇒<<'，所以函数()F x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,π6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 所以()()()643F F F πππ<<，即()()()634643f f f ππππππ<<， 则2343,2464363f ff f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫><< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，.故选：C12．以原点为对称中心的椭圆12,C C 焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为12,e e ，直线l交12,C C 所得的弦中点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，若121220x x y y =≠，221221e e -=，则直线l 的斜率为( ) A ．±1 B． C ．2± D．±【答案】A【分析】分类讨论直线l 的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据121220x x y y =≠，221221e e -=求解.【详解】设椭圆12,C C 的方程分别为2222111x y a b +=，2222221x y b a +=，由121220x x y y =≠可知，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 的方程为y kx m =+.联立2222111x y a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222222211111()2()0a k b x kma x a m b +++-=，故21122211kma x a k b -=+，21122211mb y a k b =+；联立2222221x y b a y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222222222222()2()0a b k x kmb x b m a +++-=， 则22222222kmb x a b k -=+，22222222ma y a b k =+. 因为121220x x y y =≠，所以22221212222222222222112211222kma kmb mb ma a k b a b k a k b a b k --⋅=⋅⋅++++，所以2222212122k a b b a =.又221221e e -=，所以222222221211221222222212121222211c c a b a b b b a a a a a a ---=-=-+=， 所以222212122a b b a =，所以21k =，1k =±.故选：A.【点睛】此题利用设而不求的方法，找出1a 、1b 、2a 、2b 之间的关系，化简即可得到k 的值.此题的难点在于计算量较大，且容易计算出错.13．“直线()230mx m y -++=和直线10mx y ++=垂直”的充要条件是______． 【答案】2m =或1m =-【分析】利用直线一般式方程表示垂直的方法求解.【详解】因为直线()230mx m y -++=和直线10mx y ++=垂直，所以()220m m -+=，解得2m =或1m =-；故答案为：2m =或1m =-.14．点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b =>>－上一点，12,F F 为焦点，如果1275,PF F ∠=2115,PF F ∠=则双曲线的离心率为___________.【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式、两角和差的正弦公式即可得出.【详解】由1275,PF F ∠=2115,PF F ∠=可得1290F PF ︒∠=，12||2cos 75,||2sin 75,PF c PF c ︒︒∴==根据双曲线的定义可得：2sin 752cos752c c a ︒︒-=， 111sin 75cos 75sin(4530)sin(4530)2cos 45sin 30a e c ︒︒︒︒︒=====-+︒--︒︒∴15．某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9，x ，8，y ，9．已知这组数据的平均数为8.6，方差为0.24，则x y -=______． 【答案】1【分析】根据平均数和方差的计算公式，求得,x y ，则问题得解. 【详解】由题可知：()18.6989,5x y =++++整理得：17x y +=； ()()()()()2222210.2498.68.688.68.698.60.245x y ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，整理得：()()228.68.60.52x y -+-=，联立方程组得217720x x -+=， 解得8x =或9x =，对应9y =或8y =，故1x y -=. 故答案为：1.16．已知函数()ln ln 1(1)f x x nx m m =-++>，()f x '是其导函数，若曲线()y f x =的一条切线为直线l ：210x y -+=，则mn 的最小值为___________.【分析】设直线l 与曲线相切的切点为00(,)x y ，借助导数的几何意义用0x 表示出m ，n 即可作答.【详解】设直线l 与曲线相切的切点为00(,)x y ，而1()f x n x'=-，则直线l 的斜率001()f x n x '=-， 于是得012n x -=，即012n x =-， 由0000021ln ln 1y x y x nx m =+⎧⎨=-++⎩得000ln ln 2x nx m x -+=，而0021nx x +=，于是得0ln ln 1m x +=，即0e m x =因1m ，则00x e <<，200011(2)[(1)1]e mn e e x x x =-=--≥-，当且仅当01x =时取“=”， 所以mn 的最小值为e -. 故答案为：e -【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-. 三、解答题17．已知0m >，()():120p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+．（1）若3m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[)(]2,12,4--；（2）(0,1]．【分析】(1)化简命题p ，将m =3代入求出命题q ，再根据或、且连接的命题真假确定p ，q 真假即可得解；(2)由给定条件可得p 是q 的必要不充分条件，再列式计算作答. 【详解】(1)依题意，p ：12x -≤≤，当3m =时，q ：24x -≤≤， 因p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 与q 一真一假， 当p 真q 假时，即12x -≤≤且2x <-或4x >，无解，当p 假q 真时，即1x <-或2x >且24x -≤≤，解得21x -≤<-或24x <≤， 综上得：21x -≤<-或24x <≤， 所以实数x 的取值范围是[)(]2,12,4--；(2)因p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件，于是得01112m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得01m <≤，所以实数m 的取值范围是(0,1]．18．已知圆()()22:114C x y -+-=，直线():120R l mx y m m -+-=∈．(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)过点()3,5P 作圆C 的切线，求切线的方程． 【答案】(1)相交. (2)34110x y -+=或3x =.【分析】（1）先判断出直线恒过定点(2，1) ，由(2，1)在圆内，即可判断； （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用几何法求解. (1)直线方程():120R l mx y m m -+-=∈，即()()210m x y ---=，则直线恒过定点(2，1).因为()()22211114-+-=<，则点(2，1)位于圆的内部，故直线与圆相交. (2)直线斜率不存在时，直线3x =满足题意；②直线斜率存在的时候，设直线方程为()53y k x -=-，即350kx y k .2=，解得: 34k =，则直线方程为：34110x y -+=.综上可得，直线方程为34110x y -+=或3x =.19．在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A53，名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.【答案】（1）25；（2）215.【分析】（1）根据表中数据知未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有503020-=人.从而求得概率；（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，列出其一切可能的结果，从而求得1A 被选中且1B 未被选中的概率.【详解】解：()1由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一个培训的共有503020-=人.∴从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为202505==P ； ()2从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}1112132122A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，{}{}{}{}{}2331323341A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，， {}{}{}{}{}4243515253A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，共15个，根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213A B A B ，，，，共2个， 1A ∴被选中且1B 未被选中的概率为215P =. 20．2021年2月25日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植A 、B 两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物A 的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份编号x 1 23 45年份2017 2018201920202021单价y （元/公斤） 1820 232529经济作物B 的收购价格始终为25元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若经济作物A 的单价y （单位：元/公斤）与年份编号x 具有线性相关关系，请求出y 关于x 的回归直线方程，并估计2022年经济作物A 的单价；（2）用上述频率分布直方图估计经济作物B 的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断2022年该村应种植经济作物A 还是经济作物B ？并说明理由．附：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1） 2.7149ˆ.y x =+，31.1元/公斤；（2）应该种植经济作物B ；理由见解析．【分析】（1）利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测；（2）先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得m 值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物的亩产量进行求解. 【详解】（1）1234535x ++++==，1820232529235y ++++==51522222222151182203234255295323ˆ12345535i ii ii x y x ybxx ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯∴==++++-⨯-∑∑2.7=，ˆ23 2.7314.9a=-⨯=．则y 关于x 的回归直线方程为 2.7149ˆ.y x =+． 当6x =时，ˆ 2.7614.931.1y=⨯+=， 即估计2022年经济作物A 的单价为31.1元/公斤． （2）利用频率和为1得： 1(0.0100.01750.0125)2020.0120m -++⨯==，所以0.005m =．经济作物B 的亩产量的平均值为：(3600.0053800.0104000.01754200.01254400.005)20401⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故经济作物A 亩产值为30031.19330⨯=元， 经济作物B 亩产值为2540110025⨯=元．933010025<，∴应该种植经济作物B ．21．已知函数()()ln f x x x a =+，a R ∈． (1)求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，求证：()1e xf x x -≤在()0,+∞上恒成立． 【答案】(1)单调减区间为()10,e a --，单调增区间为()1e ,a --+∞；(2)证明见解析.【分析】（1）求得'()f x ，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间； （2）根据题意，转化目标不等式为1ln 1x x x e x --+≤-，分别构造函数()ln 1m x x x =-+，()1x n x e x -=-，利用导数研究其单调性，即可证明.(1)因为()()ln f x x x a =+，故可得'()f x ln 1x a =++，又ln 1y x a =++为单调增函数， 令'()f x 0=，解得1e a x --=，故当10e a x --<<时，'()f x 0<；当1e a x -->时，'()f x 0>，故()f x 的单调减区间为()10,e a --，单调增区间为()1e ,a --+∞.(2)当1a =时，()()ln 1f x x x =+，要证()1e x f x x -≤，即证()1ln 1x x x xe -+≤，又0x >，则只需证1ln 1x x e -+≤，即证1ln 1x x x e x --+≤-，令()ln 1m x x x =-+，'()m x 111x x x-=-=， 当01x <<时，'()m x 0>，()m x 单调递增，当1x >时，'()m x 0<，()m x 单调递减， 故当1x =时，()m x 取得最大值()10m =； 令()1x n x ex -=-，'()n x 11x e -=-，又y ='()n x 为单调增函数，且1x =时，'()n x 0=，当01x <<时，'()n x 0<，()n x 单调递减，当1x >时，'()n x 0>，()n x 单调递增， 故当1x =时，()n x 取得最小值()10n =.则()()min max n x m x =，且当1x =时，同时取得最小值和最大值，故()()n x m x ≥，即1ln 1x x x e x --+≤-，也即()1e xf x x -≤(0)x >时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.22．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，原点O 关于点F 的对称点为Q ，点(0,1)P 关于点Q 的对称点1p ，也在抛物线C 上 （1）求p 的值；（2）设直线l 交抛物线C 于不同两点A ､B ，直线PA ､PB 与抛物线C 的另一个交点分别为M ､N ，PM PA λ=，PN PB μ=，且112λμ+=，求直线l 的横截距的最大值.【答案】（1）12p =；（2）最大横截距为12. 【分析】（1）首先写出F 的坐标，根据对称关系求出1p 的坐标，带入22y px =即可求出p .（2）设直线l 的方程为x my t =+，带入抛物线方程利用韦达定理，计算出直线l 的横截距的表达式从而求出其最大值.【详解】（1）由题知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,0)Q p ，故1(2,1)P p -，代入C 的方程得214p =，∴12p =； （2）设直线l 的方程为x my t =+，与抛物线C ：2y x =联立得20y my t --=， 由题知240m t ∆=+>，可设方程两根为1y ，2y ，则12y y m +=，12y y t =-，（）由PM PA λ=得()()211,1,1M M x y y y λ-=-，∴21M x y λ=，11M y y λλ=+-，又点M 在抛物线C 上，∴()22111y y λλλ+-=，化简得()21(1)110y λλ⎡⎤---=⎣⎦，由题知M ，A 为不同两点，故1λ≠，()2111y λ-=，即()2111y λ=-，同理可得()2211y μ=-，∴()()()()22212121212112222y y y y y y y y -+-=+-+-+=，将（）式代入得2220m m t -+=，即22m t m =-，将其代入240m t +>解得04m <<，∴2211(1)222m t m m =-=--+在1m =时取得最大值12，即直线l 的最大横截距为12.。
2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题解析
2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题一、单选题1．与空间向量()1,2,3a =-共线的一个向量的坐标是（ ） A ．()2,1,0- B ．()1,2,3 C ．13,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,3,2--答案：C根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果. 解：131,1,222a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭.故选：C.2．抛物线212x y =的焦点坐标是（ ） A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D由解析式可判断焦点的位置，再求p ，继而可求出焦点坐标.解：∵ 212x y =， ∴ 焦点在y 轴正半轴上，且122p =， ∴128p = ∴ 抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：D.3．在单调递减的等比数列{}n a 中，若31a =，24103a a +=，则1a =（ ） A ．9 B ．3C ．13D ．19答案：A利用等比数列的通项公式可得1103q q +=，结合条件即求. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由31a =，24103a a +=，得 1103q q +=，解得13q =或3q =，又{}n a 单调递减， 故13q =，3129a a q ==.故选：A.4．若OA 、OB 、OC 为空间三个单位向量，OA OB ⊥，且OC 与OA 、OB 所成的角均为60，则OA OB OC ++=（ ）A ．5 BC D答案：C先求OA OB OC ++的平方后再求解即可.解：()22222OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OA OC ++=+++⋅+⋅+⋅ 11320522⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭，故5OA OB OC =++， 故选：C5．雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为（ ）A ．34B ．12C ．14D ．16答案：B由已知条件得基本事件总数为24C 6=种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.解：从四类比赛中选两类参赛，共有24C 6=种选择，其中“诵读中国”被选中的情况有3种，即“诵读中国”和 “诗教中国” ，“诵读中国”和“笔墨中国”， “诵读中国”和“印记中国” ，由古典概型公式可得3162P ==， 故选：B .6．由直线25y x =+上的点向圆221x y +=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2答案：D切点与圆心的连线垂直于切线，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系， 利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值，结合勾股定理即可得出结果.解：设(),P x y 为直线25y x =+上任意一点，min 225512OP ==+，切线长的最小值为：212l OP =-=，故选：D.7．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率 / 0.4 0.4 0.8乙获胜概率 0.6 / 0.6 0.3丙获胜概率 0.6 0.4 /0.5丁获胜概率 0.2 0.7 0.5 /则甲最终获得冠军的概率是（ ）A ．0.165B ．0.24C ．0.275D ．0.36答案：B先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果. 解：甲最终获得冠军的概率()0.40.50.40.50.80.24p =⨯+⨯=， 故选：B.8．在xOy 平面上有一系列点()()()111222,,,,,,,n n n P x y P x y P x y ，对每个正整数n ，点n P 位于函数()20y x x =≥的图象上，以点n P 为圆心的n P 与x 轴都相切，且n P 与1n P +彼此外切．若11x =，且()*1n n x x n +<∈N ,1n n n T x x +=,{}n T 的前n 项之和为n S ，则10S =（ ）A ．919B ．2021C ．1021D ．1123答案：C根据两圆的几何关系及其圆心在函数()20y x x =≥的图象上，即可得到递推关系式112n n n n x x x x ++-=，通过构造等差数列求得n x 的通项公式，得出112121n T n n =⋅-+，最后利用裂项相消，求出数列{}n T 前n 项和n S ，即可求出10S . 解：由n P 与1n P +彼此外切， ()()22111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222221111144n n n n n n n n n n x x y y y y y y x x +++++-=+--==，又∵1n n x x +<， ∴1111122n n n n n n x x x x x x +++-=⇒-=，故1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111x =，2d =， 则()112121n n n x =+-=-121n x n ⇒=-， 111111=212122121n n n T x x n n n n +⎛⎫==⋅- ⎪-+-+⎝⎭， 则1111111+23352121n S n n ⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 即101021S =，故答案选：C . 二、多选题9．过点()2,1-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．10x y ++= C ．30x y -+= D ．20x y -=答案：AC将点代入直线方程，并求出横纵截距即可判断答案.解：对A ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为0，则A 正确； 对B ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为-1，则B 错误； 对C ，点()2,1-满足直线方程，且横截距为-3，纵截距为3，则C 正确； 对D ，点()2,1-不满足直线方程，则D 错误. 故选：AC.10．关于双曲线22:1916x y C -=，下列结论正确的是（ ）A ．离心率为53B ．实轴长为6C ．渐近线方程为430x y ±=D ．焦点F 到一条渐近线的距离为3 答案：ABC由双曲线方程求a b c ，，，由此判断A ，B ，再求渐近线方程及焦点F 到渐近线的距离，由此判断C ，D.解：∵双曲线22:1916x y C -=∴ 3a =，4b =，5c =，故离心率为53e =，实轴长为26a =，A 对，B 对，又双曲线C 的渐近线方程为：430x y ±=，焦点F 的坐标为(5,0)± 焦点F 到一条渐近线的距离为4d ==，C 对，D 错，故选：ABC.11．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为,a b ，则下列结论正确的是（ ） A ．7a b +=时的概率为536B ．2a b≥时的概率为16C ．6ab =时的概率为19D ．a b +是6的倍数的概率是16答案：CD先求出所有的基本事件的个数为6636⨯=个，再求出四个选项中每一个事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确，进而得出正确答案. 解：先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.A.7a b +=时满足的情形有()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1，故61366P ==，故A 错误； B.2ab≥时满足的情形有()2,1，()3,1，()4,1，()4,2，()5,1，()5,2，()6,1，()6,2，()6,3，故91364P ==，故B 错； C.6ab =时满足的情形有()1,6，()2,3，()3,2，()6,1，故41369P ==，故C 正确； D. a b +是6的倍数的情形有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,()6,6，故a b +是6的倍数的概率是16，故D 正确.故选：CD.12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（ ）A ．12,PF a m PF a m B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=答案：ABD根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.解：由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=， 整理得()()2221cos 1cos 2a m cθθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=， 当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+12≥=，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+， 在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan2nbθ=，D 正确. 故选：ABD点评：方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系. 三、填空题13．直线10x -=的倾斜角为_______________. 答案：150由直线10x -=的斜率为k =，得到00tan [0,180)αα=∈，即可求解.解：由题意，可知直线10x +-=的斜率为k =，设直线的倾斜角为α，则003tan ,[0,180)3αα=-∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150.点评：本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14．等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若66a =，则11S =________． 答案：66直接利用等差数列前n 项和公式和等差数列的性质求解即可. 解：由已知条件得()11161111226622a a a S +===, 故答案为：66.15．由曲线()222x y x y +=-围成的图形的面积为________．答案：2π4-曲线()222x y x y +=-围成的图形关于x 轴，y 轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.解：将x -或y -代入方程，方程不发生改变，故曲线()222x y x y +=-关于关于x 轴，y 轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当0x >，0y >时，曲线()222x y x y +=-可化为：22(1)(1)2x y -++=，在第一象限为弓形，其面积为()2111ππ2211422S =-⨯⨯=-， 故π412π42S ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：24π-.16．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且,AB AD 的斜率之积为34-，则椭圆的离心率为________．答案：120.5根据对称性设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，根据34AB ADk k ⋅=-得到2234b a -=-，再求离心率即可.解：由对称性，B ，D 关于原点对称，设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，2222012222210101022222101010101134AB ADx x b b a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⋅=⋅===-=-+---， 故22211142b e e a =-=⇒=.故答案为：12 四、解答题17．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为23,34，求：(1)甲、乙恰好有一人击中的概率； (2)目标被击中的概率． 答案：(1)512； (2)1112. （1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案. (1)设甲、乙分别击中目标为事件A ，B ，易知A ，B 相互独立且()23P A =，()34P B =，甲、乙恰好有一人击中的概率为()233511343412P AB AB 2⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)目标被击中的概率为()()321111114312P A B P AB ⎛⎫⎛⎫+=-=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,16,12n S S S =-=-． (1)求{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ． 答案：(1)29n a n =-；(2)2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N且且.（1）根据等差数列前n 项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式； （2）结合（1）求出n S ，再令0n a ≥得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案. (1)设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，∴1111434162382254656122a d a d a d a d ⨯⎧+=-⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⨯⎩⎪+=-⎪⎩，解得：172a d =-⎧⎨=⎩ 所以()71229n a n n =-+-⨯=-. (2)29n a n =-，所以()()2171282n S n n n n n =-+-⨯=-.当02905n a n n ≥⇒-≥⇒≥；当02904n a n n <⇒-<⇒≤，当04n <≤，*n ∈N 时，()212128n n n T a a a a a a n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-，当5n ≥时，()()()21245428216n n n T a a a a a S S n n =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-=--⨯-2832n n =-+.综上：2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线:2l y kx =+与C 交于,A B 两点且OA OB ⊥（O 为坐标原点）． (1)求抛物线C 的方程；(2)设()2,2P ，若直线,PA PB 的倾斜角互补，求k 的值．答案：(1)22x y =；(2)2-.（1）利用韦达定理法即求； （2）由题可求122PA x k +=，222PB x k +=，再结合条件即得. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，由222x py y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x pkx p --=， 故124x x p =-，由OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，即221212022x x x x p p+⋅=， ∴1p =，故抛物线C 的方程为：22x y =；(2)设PA 的倾斜角为θ，则PB 的倾斜角为πθ-，∴()tan tan π0PA PB k k θθ+=+-=,由222x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x kx --=，∴122x x k +=，∴21111112222222PA x yx k x x --+===--，同理222PB x k +=，由0PA PB k k +=，得1222022x x +++=，∴1240x x ++=，即240k +=，故2k =-.20．如图，在棱长为3的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是,AB BC 上的点且2AE BF ==．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)求平面B EF '与平面BEF 的夹角的余弦值．答案：(1)证明见解析(2)27（1）建立空间直角坐标系后得到相关向量，再运用数量积证明；（2）求出相关平面的法向量，再运用夹角公式计算即可.(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系：()3,0,3A '，()1,3,0F ，()0,3,3C '，()3,2,0E()2,3,3A F '=--，()3,1,3C E '=--，∴6390A F C E ''⋅=--+=，故A F C E ''⊥.(2)()3,3,3B '，()0,1,3B E '=--，()2,0,3B F '=--，设平面B EF '的一个法向量为(),,m x y z =， 由0302300B E m y z x z B F m ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩'⎩'，令2z =-，则()3,6,2m =-， 取平面BEF 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面B EF '与平面BEF 夹角为θ，易知：θ为锐角， 故2cos 793641m nm n θ⋅===++⨯， 即平面B EF '与平面BEF 夹角的余弦值为27.21．某情报站有A B C D E 、、、、．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A 密码，k P 表示第k 周使用A 密码的概率．(1)求1234,,,P P P P ；(2)求证：15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求k P 的表达式． 答案：(1)11P =，20P =，314P =，4316P =(2)证明见解析，1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (1)根据题意可得第一周使用A 密码，第二周使用A 密码的概率为0，第三周使用A 密码的概率为14，以此类推； (2)根据题意可知第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14，进而可得1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，结合等比数列的定义可知15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.(1)11P =，20P =，314P =，()43131416P P =-⨯= (2)第1k +周使用A 密码，则第k 周必不使用A 密码（概率为1k P -），然后第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14故()1114k k P P +=-，即1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 故15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列且11455P -=，公比14q =- 故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22．已知22:4200A x y x ++-=，直线l 过()2,0B 且与A 交于,C D 两点，过点B 作直线AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求证：EA EB +为定值，并求点E 的轨迹T 的方程；(2)设动直线:n y kx m =+与T 相切于点P ，且与直线3x =交于点Q ，在x 轴上是否存在定点(),0M t ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：(1)证明见解析，22162x y +=（0y ≠）(2)存在，()2,0M(1)根据题意和椭圆的定义可知E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =，进而得出椭圆标准方程；(2)设()00,P x y ，联立动直线方程和椭圆方程并消元得出关于x 的一元二次方程，根据根的判别式可得点P 和Q 的坐标，结合0PM QM ⋅=，利用平面向量的坐标表示列出方程组，即可解出点M 的坐标.(1)圆A ：()22224x y ++=，r =∵AC AD =，∴ACD ADC ∠=∠，又BE AC ∥，∴EBD ACD ∠=∠∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED =，故4EB EA ED EA AB +=+=>= ∴E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =∴2222b a c =-=，故T ：22162x y +=（0y ≠）； (2) 由22162y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x mkx m +++-= ∴()()()2226436130mk m k ∆=--+=，故()22213m k =+， 设()00,P x y ，则023631mk k x k m =-=-+，002y kx m m=+=， 故62k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()33Q k m +，， 由0PM QM ⋅=可得：()()62330k t t k m m m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭ 由()232620k t t t m-++-=对∀k ，m 恒成立 ∴2320220t t t t ⎧-+=⇒=⎨-=⎩ 故存在()20M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M。
浙江省温州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)
b
(4,
x,y)，a来自//b，则
x
y
（
D． 3 4
）
A．4
B．-4
C．0
D．2
3．下列曲线中，与双曲线 x2 y2 1 有相同渐近线的是（ 4
A． x2 y2 1 4
B． x2 4 y2 1
C． 4x2 y2 1
） D． y2 x2 1 4
4．已知抛物线 C : y x2 ，过点 P(1, 0) 与抛物线 C 有且只有一个交点的直线有（
抛物线 C : y x2 的对称轴为 y 轴，直线 x 1 过点 P 且与 y 轴平行，它与抛物线 C 只有一个
公共点，
设过点 P(1, 0) 与抛物线 C 只有一个公共点且斜率存在的直线方程为： y k(x 1) ，
y k (x 1)
由
y
x
2
消去 y 并整理得： x2 kx k 0 ，则 k 2 4k 0 ，解得 k 0 或 k 4 ，
(1)求证： CD AB ； (2)当 AD 与平面 BCD 所成角为 45°时，求二面角 C AD B 的余弦值． 19．已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 过点 A(1, 2) ，O 为坐标原点． (1)求焦点 F 的坐标及其准线方程； (2)抛物线 C 在点 A 处的切线记为 l，过点 A 作与切线 l 垂直的直线，与抛物线 C 的另一个 交点记为 B，求 OAB 的面积．
2．A
【分析】
根据空间向量平行求出 x,y，进而求得答案. 【详解】
因为
a
//
b
，所以存在实数
，使得
b
a
(4,
x
,
y
)
(2,1,1)
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(wd无答案)
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 若函数，则（）A．1B．2C．3D．4(★) 2. 某人投篮3次，则与事件“至少投中2次”对立的事件是（）A．至多投中2次B．至多投1次C．至少投中1次D．3次全投中(★) 3. 用数学归纳法证明时，第二步应假设（）A．时，B．时，C．时，D．时，(★) 4. 运用分析法证明成立，只需证（）A．B．C．D．(★) 5. 若，则整数（）A．B．C．D．(★★) 6. 实数，，，，，，则，，三个数（）A．都小于4B．至少有一个不小于4C．都大于4D．至少有一个不大于4(★) 7. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，则每个盒子中至少有1个小球的放法总数为（）A．18B．24C．36D．72(★★)8. 已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 9. 函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 已知，，函数．若恒成立，则的最大值为（）A．B．1C．D．二、双空题(★★) 11. 已知函数，则 _____ ，有极 __________ （填大或小）值．(★★) 12. 已知实数，比较大小： __________ ； __________ （填“ ”、“ ”或“ ”）．(★★) 13. 的展开式中的系数为 ______ ，常数项为 __________ ．(★★★) 14. 函数的图像在点处的切线为，则实数的值为 ______ ，切点的坐标为 __________ ．三、填空题(★★) 15. 由1，2，3，4，5，6组成的无重复数字的三位数中，奇数必须排在百位或个位上的数共有 __________ 个．(★★) 16. 已知实数，若函数的极小值大于0，则实数的取值范围是 __________ ．(★★★★★) 17. 已知函数，满足恒成立的最大整数为__________ ．四、解答题(★★) 18. 4位同学报名参加2022年杭州亚运会6个不同的项目（记为，，，，，）的志愿者活动．假设每位同学恰报1个项目，且报名各项目是等可能的．（1）求4位同学报了4个不同的项目的概率；（2）求1位同学报了项目，剩余3位同学都报了项目的概率．(★★★) 19. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和．(★★★) 20. 已知正数列满足．（1）求，，的值；（2）试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．(★★★) 21. 已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．(★★★★) 22. 已知实数，函数．（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；（2）若函数有唯一的零点，求证：．（参考数据，）。
2021-2022学年上海交大附中高二(上)期末数学试题及答案
交大附中高二期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 复数()1i i +的实部为_________．2. 已知等差数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =−∈N ，那么它的前n 项和n S =___________.3. 已知集合{}02Ax x =<≤，集合{}12B x x =−<<，则A B ∪=__________. 4. 过点()23A ，，且垂直于O A 的直线方程为_______________. 5. 设()2sin 23f x x π=−，x ∈R ，若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位能使其图像与原图像重合，则正实数a 的最小值为___________.6. 函数y=的定义域为___________.7. 曲线)0y x ≤的长度为____________.8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为__________.9. 圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，则实数m 的值是__________. 10. 若函数()y f x =的解析式()2xxf x x e e−=++，则使得()()21f x f x >−成立的x 的取值范围是___________.11. 若实数x 、y 满足221x xy y ++=，则22x xy y −+的取值范围为___________.12. 如图，AD 与BC 是三棱锥A BCD −中互相垂直的棱，2BC =，2AD c =（c 为常数）.若2AB BD AC CD a +=+=，则实数a 的取值范围为__________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知1l 、2l 是平面直角坐标系上的直线，“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件14. 己知直线l 过点()2,1−−，当直线l 与圆2220x y y =++有两个不同的交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）A. B. ( C. ()1,1− D. ()3,3−15. 已知(2,3),(4,7)a b − ，则a 在b方向上的投影为（ ）A.B.C.D.16. 已知椭圆221169x y +=及以下3个函数：①()f x x =；②()sin f x x =；③()sin f x x x =，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中，2AB = ，14AC AA == ，90ABC ∠= ． （1）求三棱柱111ABC A B C −的表面积S ；（2）求异面直线1A B 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2,m b c a =−，()cos ,cos n A C =−, 且m n ⊥u v v.（1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.19. 已知函数()10y x x=≠的图像为曲线C ，点1F 、(2F .（1）设点()00,P x y 为曲线C 上在第一象限内的任意一点，求线段1PF 的长（用0x 表示）； （2）设点Q 为曲线C 上任意一点，求证：12QF QF −为常数；（3）由（2）可知，曲线C 为双曲线，请研究双曲线C 的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.20. 己知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点坐标为()1,0，离心率e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为-1，求线段AB 的长；（3）如图，设椭圆上一点R 的横坐标为1（R 在第一象限），过R 作两条不重合直线分别与椭圆C 交于P 、Q 两点、若直线PR 与QR 的倾斜角互补，求直线PQ 的斜率的所有可能值组成的集合.21. 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面Γ，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为A ′、A .己知该冷却通风塔的最窄处是圆O ，其半径为1；上口为圆1Ω，其半径为54；下口为圆2Ω，其半径为135；高（即圆1Ω与2Ω所在平面间的距离）为6320.（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x 轴、y 轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆1Ω上任取一点()111,,P x y z ，在下口圆2Ω上任取一点()222,,Q x y z .请给出1y 、2y 的值，并求出2211x z +与2222x z +的值；（3）在（2）的条件下，是否存在点P 、Q ，使得P 、A 、Q 三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 、Q 的坐标，并证明此时线段PQ 上任意一点都在曲面Γ上.交大附中高二期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 复数()1i i +的实部为_________． 【答案】1− 【解析】【详解】复数(1)11i i i i +=−=−+，其实部为1−. 考点：复数的乘法运算、实部.2. 已知等差数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =−∈N ，那么它的前n 项和n S =___________.【答案】2n 【解析】【分析】由题意知等差数列{}n a 的通项公式，即可求出首项1a ，再利用等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =−∈N ，11a ∴=.21((121)22)n n n a a n n S n ++−===.故答案为：2n .3. 已知集合{}02Ax x =<≤，集合{}12B x x =−<<，则A B ∪=__________. 【答案】{|12}x x −<≤##（-1,2] 【解析】【分析】根据两集合的并集的含义，即可得答案.【详解】因为集合{}02Ax x =<≤，集合{}12B x x =−<<，所以1|}2{A Bx x =−<≤ , 故答案为：{|12}x x −<≤4. 过点()23A ，，且垂直于O A 的直线方程为_______________. 【答案】23130x y +−=． 【解析】【分析】求出32OA k =，可得垂直于O A 的直线的斜率为23−，再利用点斜式可得结果. 【详解】因为()23A ，，所以32OA k =， 所以垂直于O A 的直线的斜率为23−，垂直于O A 的直线方程为()2323y x −=−−， 化为23130x y +−=，故答案为23130x y +−=. 【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔=；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=−，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.5. 设()2sin 23f x x π=−，x ∈R ，若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位能使其图像与原图像重合，则正实数a 的最小值为___________. 【答案】π 【解析】【分析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题. 【详解】解：由题意得：函数()y f x =的图像向左平移a 个单位后得：()22sin 2()sin(22)33f x x a x a ππ=+−=+−该函数与原函数图像重合故22sin(22)sin(2)33x a x ππ+−=− 可知2222()33a k k Z πππ−=−∈，即()a k k Z π=∈ 故当1k =时，a π=为最小正实数.故答案为：π6. 函数y=的定义域为___________.【答案】[)3,+∞ 【解析】【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.【详解】解：220log (2)0x x −>−≥ ,解得3x ≥,故函数的定义域为:[)3,+∞. 故答案为：[)3,+∞.7.曲线)0y x ≤的长度为____________. 【答案】2π 【解析】【分析】曲线)0y x ≤的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.【详解】解：由y ()2240x x y +≤，所以曲线y 0x ≤）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，∴曲线y 0x ≤）的长度是1422ππ×=， 故答案为：2π.8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为__________.【解析】【分析】过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，则1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，4,AB BC ==可知点H 为中点，由1BB ⊥平面11A C ，可得11C H BB ⊥，又1111D B BB B ∩=所以1C H ⊥平面11BB D D ， 则1C BH ∠即为所求角， 因为4AB BC ==，12AA =，所以111sin C H C BH BC ∠=，9. 圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，则实数m 的值是__________. 【答案】43【解析】【分析】根据圆锥曲线焦点在x 轴上且离心率小于1，确定a ,b 求解即可. 【详解】因为圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12， 所以曲线为椭圆，且2211,a b m==， 所以2222221114c a b e a a m −===−=，解得43m =， 故答案为：4310. 若函数()y f x =的解析式()2xxf x x e e −=++，则使得()()21f x f x >−成立的x 的取值范围是___________. 【答案】1{|1}3x x << 【解析】【分析】由题意先判断函数为偶函数，再利用()f x 的导函数判断()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据偶函数的对称性得(,0)−∞上单调递减. 要使()()21f x f x >−成立，即|||21|x x >−，解不等式即可得到答案. 【详解】()2xxf x x e e−=++ ，()()f x f x ∴=−，()y f x =为偶函数，当0x >时，2'()1()220x xxxe f x x e ex e−−=+−=+>，故函数在(0,)+∞上单调递增. ()y f x = 为偶函数，()f x ∴在(,0)−∞上单调递减. 要使()()21f x f x >−成立，即|||21|x x >−221(21)13x x x ⇒>−⇒<<. 故答案为：113x <<.11. 若实数x 、y 满足221x xy y ++=，则22x xy y −+的取值范围为___________. 【答案】1,33【解析】【分析】直接利用换元法以及基本不等式，求出结果．【详解】解：设22x xy y m −+=， 由于221x xy y ++=， 所以12m xy −=， 由于222||x y xy +…，(当且仅当||||x y =时取等号) 所以12xy xy −+…(当且仅当x y =−时取等号)，12xy xy +…(当且仅当x y =时取等号)， 故113xy −剟， 2223xy−剟，所以2213m −−剟， 整理得：133m 剟． 故22x xy y −+的取值范围为22x xy y −+的取值范围1,33．故答案为：1,33．12. 如图，AD 与BC 是三棱锥A BCD −中互相垂直的棱，2BC =，2AD c =（c 为常数）.若2AB BD AC CD a +=+=，则实数a 的取值范围为__________.【答案】)+∞ 【解析】【分析】分析得,B C 都在以,A D 为焦点的椭球上，再利用椭球的性质得到22b >，化简即得解. 【详解】解：因为2AB BD AC CD a +=+=， 所以,B C 都在以,A D 为焦点的椭球上，由椭球的性质得，BC 是垂直椭球焦点所在直线的弦，BC 的最大值为2b ,此时ABCD 共面且BC 过AD 中点，即22222,1,1,1,b b b a c a >∴>∴>∴−>∴>故实数a 的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知1l 、2l 是平面直角坐标系上的直线，“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：1l 与2l 的斜率相等”，“1l 与2l 可能重合，故前者不可以推出后者， 若1l 与2l 平行，1l 与2l 的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者， 故前者是后者的既非充分条件也非必要条件， 故选：D .14. 己知直线l 过点()2,1−−，当直线l 与圆2220x y y =++有两个不同的交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）A.B. (C. ()1,1−D. ()3,3−【答案】A 【解析】【分析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围. 【详解】如下图：设直线l 的方程为(1)((2))−−=−−y k x 即21−+−kx y k 2220++= x y y ()2211∴++=x y∴ 圆心为()01-， ，半径是1又 直线与圆有两个不同的交点1<<k 故选：A15. 已知(2,3),(4,7)a b − ，则a 在b方向上的投影为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用向量数量积的几何意义即得．【详解】(2,3),(4,7)a b −,故a 在b方向上的投影为：a b b ⋅=故选：C ．16. 已知椭圆221169x y +=及以下3个函数：①()f x x =；②()sin f x x =；③()sin f x x x =，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的几何性质可得椭圆221169x y +=的图像关于原点对称，因为函数()f x x =,函数()sin f x x =为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意, 对于函数()sin f x x x =在y 轴右侧()0,x π∈时，()0f x >，只有(),4x π∈时，()0f x <，即函数()sin f x x x =在y 轴右侧的图像显然不能等分椭圆在y 轴右侧的图像的面积,又函数()sin f x x x =为偶函数, 其图像关于y 轴对称，则函数()sin f x x x =在y 轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在y 轴左侧的图像的面积,即函数()sin f x x x =的图像不能等分该椭圆面积，得解.【详解】解：因为椭圆221169x y +=的图像关于原点对称，对于①，函数()f x x =为奇函数，其图像关于原点对称，即可知()f x x =的图象能等分该椭圆面积； 对于②，函数()sin f x x =为奇函数，其图像关于原点对称，即可知()f x x =的图象能等分该椭圆面积； 对于③，对于函数()sin f x x x =在y 轴右侧()0,x π∈时，()0f x >，只有(),4x π∈时，()0f x <，即函数()sin f x x x =在y 轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在y 轴右侧的图像的面积,又函数()sin f x x x =为偶函数, 其图像关于y 轴对称，则函数()sin f x x x =在y 轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在y 轴左侧的图像的面积,即函数()sin f x x x =的图像不能等分该椭圆面积， 即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个， 故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中，2AB = ，14AC AA == ，90ABC ∠= ． （1）求三棱柱111ABC A B C −的表面积S ；（2）求异面直线1A B 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）利用S ＝2S △ABC +S 侧，可得三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积S ；（2）连接BC 1，确定∠BA 1C 1就是异面直线A 1B 与AC 所成的角（或其补角），在△A 1BC 1中，利用余弦定理可求结论．【详解】（1）在△ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝4，∠ABC＝90°，所以BC ＝．S △ABC ＝AB×BC ＝．所以S ＝2S △ABC +S 侧＝+（+4）×4＝（2）连接BC 1，因为AC∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1就是异面直线A 1B 与AC 所成的角（或其补角）．在△A 1BC 1中，A 1B ＝2，BC 1＝2，A 1C 1＝4，由余弦定理可得cos∠BA 1C 1，所以∠BA 1C 1＝A 1B 与AC 所成角的大小为 ．【点睛】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2,m b c a =−，()cos ,cos n A C =−, 且m n ⊥u v v.（1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由. 【答案】（1）3π；（2）ABC ∆为等边三角形．【解析】【分析】（1）由（2b ﹣c ）cosA ﹣acosC ＝0及正弦定理，得sinB （2cosA ﹣1）＝0，从而得角A ； （2）由S △ABC ＝12bcsinA，可得bc ＝3，①；再由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA 可得b 2+c 2＝6，②；联立①②可求得b ＝c的形状．【详解】（1）由（2b ﹣c ）cosA ﹣acosC ＝0及正弦定理，得（2sinB ﹣sinC ）cosA ﹣sinAcosC ＝0， ∴2sinBcosA﹣sin （A+C ）＝0，sinB （2cosA ﹣1）＝0． ∵0＜B ＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝12．∵0＜A ＜π， ∴A＝3π． （2）△ABC 为等边三角形，∵S △ABC ＝12bcsinA， 即12bcsin 3π，∴bc＝3，① ∵a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，A ＝3π，a2+c 2＝6，② 由①②得b ＝c，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．19. 已知函数()10y x x=≠的图像为曲线C，点1F、(2F .（1）设点()00,P x y 为曲线C 上在第一象限内的任意一点，求线段1PF 的长（用0x 表示）； （2）设点Q 为曲线C 上任意一点，求证：12QF QF −为常数；（3）由（2）可知，曲线C 为双曲线，请研究双曲线C 的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.【答案】（1）1001||||PF x x =+； （2）具体见解析； （3）具体见解析. 【解析】【分析】（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；（2）求出12||,||QF QF ，进而讨论0,0x x ><两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；（3）根据12,F F为双曲线C的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质. 【小问1详解】由题意，1||PF=1||xx===+.【小问2详解】设(),Q x y，由（1）11||||QF xx=+−，2||QF=1|xx==+.若x>0，则12xx+≥=，当且仅当1x=时取“=”，则11||QF xx=+21||QF xx=++ 12QF QF−=.若x<0，则112x xx x+=−−+≤−=−−，当且仅当1x=−时取“=”，则11||QF xx=−+，21||QF xx=−+，所以12QF QF−=.综上：12QF QF−=，为常数.【小问3详解】易知曲线C：()10y xx=≠为奇函数，则其图象关于原点对称.由（2）可知，曲线C为双曲线，12,F F为双曲线C的焦点，则它关于直线12F Fl对称，还关于与12F Fl垂直且过原点的直线l对称.121F Fk==−，则(12:F Fl y x y x=−⇒=，易得:l y x=−.综上：双曲线C关于原点（0,0）对称，且关于直线,y x y x==−对称.容易知道，直线0,0y x==是双曲线C的渐近线.易知线段12F F 是双曲线的实轴，将y x =代入双曲线C 解得顶点：()()121,1,1,1A A −−.于是实轴长为12||A A =焦距为12||4F F =，则离心率e =20. 己知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点坐标为()1,0，离心率e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为-1，求线段AB 的长；（3）如图，设椭圆上一点R 的横坐标为1（R 在第一象限），过R 作两条不重合直线分别与椭圆C 交于P 、Q 两点、若直线PR 与QR 的倾斜角互补，求直线PQ 的斜率的所有可能值组成的集合.【答案】（1）2212x y +=；（2；（3）. 【解析】【分析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a 即可计算得解.(2)将1y kx =+代入椭圆C 的方程，再结合给定条件求出k 值即可计算出AB 的长. (3)设出直线PR 的方程，再与椭圆C 的方程联立求出点P 坐标，同理可得点Q 坐标，计算PQ 的斜率即可作答.【小问1详解】依题意，椭圆C 的半焦距c =1，而ce a ==，解得a =2221b a c =−=，所以椭圆C 的方程是：2212x y +=.【小问2详解】 由22122y kx x y =++=消去y 并整理得：22(21)40k x kx ++=，解得10x =，22421k x k =−+， 于是得线段AB 的中点2221(,)2121k M k k −++，直线OM 斜率为112k −=−，解得12k =，因此，212142||||12()12AB x x ×=−==×+， 所以线段AB【小问3详解】 由(1)知，点R ，依题意，设直线PR 的斜率为(0)t t ≠，直线PR方程为：(1)y t x =−，由22(22y tx t x y =− +=消去y并整理得，222(21)4(210t x t t x t +−+−−=， 设点(,)P P P x y，则有P x =QR 的斜率为-t ，设点(,)Q Q Q x y，同理有Q x =， 于是得直线PQ的斜率(1)(1)P Q P Q PQ P Q P Q y y t x t x k x x x x −−+−===−−， 所以直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合. 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2a ，2b 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ； 若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论.21. 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面Γ，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为A ′、A .己知该冷却通风塔的最窄处是圆O ，其半径为1；上口为圆1Ω，其半径为54；下口为圆2Ω，其半径为135；高（即圆1Ω与2Ω所在平面间的距离）为6320.（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x 轴、y 轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆1Ω上任取一点()111,,P x y z ，在下口圆2Ω上任取一点()222,,Q x y z .请给出1y 、2y 的值，并求出2211x z +与2222x z +的值；（3）在（2）的条件下，是否存在点P 、Q ，使得P 、A 、Q 三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 、Q 的坐标，并证明此时线段PQ 上任意一点都在曲面Γ上. 【答案】（1）221x y −=； （2）134y =，2125y =−，22112516x z +=，222216925x z +=；（3）存在，3312121,,,1,,4455P Q−−或3312121,,,1,,4455P Q−−，证明见解析. 【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，易知1a =，设113,5B y ，25,4C y ，代入求解即可；（2）分析圆1Ω，圆2Ω的方程即可求解； （3）利用圆的参数方程，设55cos sin 443,,4P θθ，,,131213cos sin 555Q ϕϕ−，利用//AP AQ u u u r u u u r ，即可求解，再利用线段PQ 上任意一点的特征证明点在曲面上；【小问1详解】 设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，由题意知1a =， 点B ，C 的横坐标分别为135，54， 则设点B ，C 的坐标为113,5y ，25,4y ，1(0y <，20)y >， ∴21222216912525116y b y b−= −= ，解得1125y b =−，234y b =， 又 塔高6320米，216320y y ∴−=，解得1b =， 故所求的双曲线的方程为221x y −=．【小问2详解】点()111,,P x y z 在圆1Ω上，134y =；点()222,,Q x y z 在圆2Ω上，2125y =−； 圆1Ω，其半径为54，22112516x z =∴+；圆2Ω，其半径为135，222216925x z =∴+ 【小问3详解】存在点P 、Q ，使得P 、A 、Q 三点共线. 由点P 在半径为54的圆1Ω上，55cos sin 443,,4P θθ ∴ （θ为参数）； 点Q 在半径为135的圆2Ω上，,,131213cos sin 555Q ϕϕ − ∴（ϕ为参数）； 由已知得//AP AQ u u u r u u u r ，55cos 1sin 44131312cos 1si 354n 55165θθϕϕ−=−−∴==− 整理得20cos 13cos 2120cos 2113cos 20sin 13sin 020sin 13sin θϕθϕθϕθϕ+==− ⇒ +==− 两式平方求和得5cos 13ϕ=，4cos 5θ= 则312sin ,sin 513θϕ==−或312sin ,sin 513θϕ=−= 当312sin ,sin 513θϕ==−时，3312121,,,1,,4455P Q −−，当312sin ,sin 513θϕ=−=时，3312121,,,1,,4455P Q −−证明：3312121,,,1,,4455P Q −−，则63630,,2020PQ =−− u u u r ， 利用PM PQ λ=u u u r u u u r ，()001,,M y y ∴，其中0633204y λ=−+ 又曲面Γ上的每一点可以是圆与旋转任意坐标系上的双曲线的交点， 旋转直角坐标系，保持原点和y 轴不变，点()001,,M y y 所在的轴为x ′轴，此时0M y，满足2201y −=，即221x y −=即点M 是曲面Γ上的点.。
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四川省中等职业学校2021-2022学年高二上学期期末数学试
题(wd无答案)
一、单选题
(★) 1. 直线 x－ y＝0 的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90
°
(★) 2. 抛掷一颗骰子，出现的点数是3的概率为（ ）
A． B． C． D
．
(★) 3. 已知平面上两点 ， ，则线段 MN的中点 R的坐标为（ ）
A． B． C． D
．
(★) 4. 过点 和 的直线斜率为（ ）
A． B． C．3 D．-3
(★)
5. 如图，在正方体 ABCD﹣ A
1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AC与 A 1 D 1
所成的角是
A．30° B．45° C．60° D．90
°
(★) 6. 直线 与直线 的交点坐标是（ ）
A． B． C． D
．
(★★) 7. 直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
(★★) 8. 如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（ ）
A．是相交直线 B．是异面直线 C．是共面直线 D
．一定不平行
(★)
9. 某高职院校对 年单招参考的
名学生数学成绩进行统计，得到样本频率分布直方
图（如图），则数学成绩在 分以下的学生人数是（ ）
A． B． C． D
．
(★) 10. 已知圆的一般方程为 ，其圆心坐标是（ ）
A． B． C． D
．
(★★) 11. 经过点 ，且斜率为3的直线方程为（ ）
A． B
．
C． D
．
(★)
12. 某中职学校高一年级共有1000人，其中计算机专业有400人，旅游专业320
人，汽车
与维修专业280人，用分层抽样的方法从中抽取100人，则计算机专业抽取的人数为（ ）
A．32 B．40 C．28 D．10
(★★) 13. 设直线 ，直线 在 内，则（ ）
A． B
．与相交
C．与异面 D
．与平行或异面
(★★) 14. 如图所示，在正方体 中，下列结论不成立的是（ ）
A． B
．
C． D
．平面
(★)
15. 已知圆 ： 与直线 交于 A， B两点，若 ，则
的值为（ ）
A．-30 B．-20 C．-10 D．10
二、填空题
(★)
16. 加工一个工艺品零件，分为三个步骤：第一个步骤有4道不同的工序，第二个步骤有5
道不同的工序，第三个步骤有6道不同的工序，则加工这个工艺品零件共有 ___________ 道不
同的工序
.
(★) 17. 直线在 轴上的截距为5，斜率为2，则该直线方程为 ___________ .
(★) 18. 若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是 ____ .
(★★) 19. 已知点 到直线 ： 的距离为1，则 ___________ .
(★★) 20. 已知直线 与圆 相交于 两点，则 ______ .
三、解答题
(★) 21. 求过点 且与直线 垂直的直线方程.
(★★★) 22. 求圆心为 且与直线 ： 相切的圆的标准方程.
(★) 23. 如图所示， 在平面 内， 且 于 ，求证： .
(★★)
24. 甲､乙两台数控机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测5
个，它们
的尺寸分别为（单位： ）：
甲
10.4 10.1 9.7 10 9.8
乙
10.3 10.3 9.6 9.7 10.1
分别计算上面两个样本的平均数与方差.如果图纸上的设计尺寸为10 ，从计算结果看，用哪
台机床加工这种零件较合适？
(★★★) 25. 在正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若正方体棱长为1，求三棱锥 的体积.
(★★★) 26. 已知圆 经过点 ， 两点，且圆心 在直线 ： 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过点 且倾斜角为 的直线 与圆 相交于 ， 两点，求四边形 的面积.