抽样技术第6章 不等概率抽样

第6章 不等概率抽样1 不等概率抽样原理等概率抽样通常容易设计和解释，但并不总是如不等概率抽样一样的可行、实用、有效。

因为等概率抽样(psu’s)可能导致方差很大（尤其是对于无偏估计量）、管理困难以及成本难以控制。

而不等概率抽样的特点是以不等概率抽取psu’s 、m i 的数目相同，因此不等概率抽样使得每一个样本被抽取的概率相等、调查成本可控、每一个初级样本单元（psu ）的样本数相等、方差急剧减小。

当采用不等概率抽样时，我们可以自由的调整选择不同初级样本单元（psu’s ）作为样本的概率，并在估计中补充合适的权重。

核心是选择一个给定单元的概率已知： πi =P(psu i), ψi = P(psu i on first sample)， ωi =1/πi1.1 抽取一个初级样本单元假定我们只要抽取N 个初级样本单元（psu ）中的一个作为样本（n=1）。

初级样本单元i 的总值用t i 表示，我们需要估计总体总值t.用抽取一个初级样本单元的简单例子来说明不等概率抽样的思想。

先来考虑一个所有总体已知的情形。

一个城镇拥有四个超市，从100平方米到1000平方米按面积大小排列。

通过抽取一个超市，来估计四个超市上个月的总营业收入。

你可能预期大超市比小超市的营业收入多而且大超市的收入波动性也明显大于小超市。

因为仅抽取一个超市,所以在第一个回合中一个超市被抽取的概率 ψi 等于这个超市包含在样本中的概率πi 。

即，πi = ψi =P(超市i 被选取),此概率与超市的面积成比例。

超市A 占四个超市总面积的1/16,则它被抽取的概率为1/16。

为了说明性目的，假定我们已知总体的所有总值t i ：我们可以以以上给定的概率选择一个容量为1的概率样本，通过洗散16张卡片并从中选择1张。

如果卡片数字为1，则选择超市A;如果卡片数字为2或3，则选择超市B;…… 在估计量中，我们通过使用 ψi 补充选取的不等概率权重。

如果超市面积与超市营业收入近似成比例，那么超市A 的营业收入在总收入的1/16,则可用超市A 的营业收入的16倍来估计四个超市的总收入。

同理，单元i 的抽样权重是选择概率的倒数： ωi =1P(unit i in sample)=1ψi这样，容量为1的不等概率抽样的总体总值估计量为：t ψ=∑ωi t i i∈S =∑tiψii∈S 。

四个容量为1的样本来自于这个简单总体：根据定义，E[t ψ]=∑P(S)possible samples S t ψs=116(176)+216(160)+316(128)+1016(392)=300当然，t ψ是无偏的，因为一般地，E[t ψ]=∑ ψit i ψiN i=1=t 。

t ψ的方差：V[t ψ]=E[(t ̂ψ−t)2]= ∑P(S)possible samples S (t ̂ψ−t)2=∑ ψi (t iψi−t)2N i=1。

对于这个例子，V[t ψ]=14248。

比较容量为1的简单随机抽样的结果，因为 ψi =1/4,所以1ψi=4=N 。

同理，t SRS 也是无偏的，但是这个例子中SRS 方差远远大于不等概率抽样的方差。

因为我们认为超市面积与超市营业收入相关联，在抽样设计中，我们使用了这个辅助信息。

抽取一个样本单元与我们想象的有些不同。

许多大型，复杂调查分层很细以致于每一个层仅包括少量psu’s 。

分许多层有利于提高调查估计的精确性。

在这样一个调查中，从每一层中选择一个初级样本单元非常合理。

但是，仅仅选择一个初级样本单元，我们则没有在每一层内估计psu’s 之间的变动性。

当大型调查组织仅从每层中抽取一个初级样本单元时，他们经常用其他方法分开被选初级样本单元来估计层内方差。

2 有放回不等概率抽样2.1 一阶段有放回抽样在一阶段有放回抽样中，每一个样本单元以相同概率独立的被抽取，相同的单元拥有相同的总体数目（以被抽取的次数作为权重），每一个单元用于估计总体然后取平均值。

现在假定n>1,采用有放回抽样。

有放回抽样意味着在抽取第一个单元之后，选择概率不会发生变化。

令 ψi=P(select unit i on the first draw)。

如果我们采用有放回抽样，那么 ψi等于单元i在第二回被抽取的概率，或者第三回被抽取的概率……单元i在至少一次在样本中的总概率为πi=1−P(unit i is not in sample)=1−(1− ψi)n若n=1,则πi= ψi。

这样，不等概率抽样思想变得非常简单。

有放回抽取n个psu’s。

然后估计总体总值，使用前部分的估计量，独立的抽取每一个初级样本单元（psu）。

有些psu’s可能被抽取多次，使用一个给定psu计算的总体总值包括的次数跟psu被抽取的次数一样多。

因为psu’s被有放回地抽取，所以我们可得到n个独立的总体总值估计值。

则我们去这n个值的平均来估计t。

估计方差是这n个独立估计的样本方差的平均值。

2.1.1 选取初级样本单元（psu’s）2.1.1.1 累积量法我们拥有许多以不等概率抽取psu’s的方法。

所有方法都要求你对总体中所有psu’s的容量已知。

累积量法拓展了先前的方法：产生一些随机数，psu’s对应这些随机数被包括在样本中。

对于超市的例子，我们从标记1到16的卡片中抽取。

如果抽到1，则选择超市A;……采用有放回抽样，抽取一个psu后，放回卡片，继续抽取。

当然，当 ψi’s与 M i’s不成比例，我们可以采用不得概率抽样：简单的从累积 ψi区间，抽取0到1之间的均匀随机数。

系统抽样常用于比较大型、复杂的样本中，选择psu’s，但不是有放回的产生随机数。

系统抽样无放回的抽取一个样本，但是在大型总体中，有放回抽样和无放回抽样非常相似，因为一个单元被抽到两次的概率很小。

为系统的抽取psu’s，在样本中为第一个psu排列总体元素，接着排列第二个psu的元素……然后提取一个元素。

被选取的psu’s是至少有一个元素在系统的所有元素中。

Psu越大，它被选取的概率就越大。

假如某统计班总共有647个学生。

采取一个系统抽样，从1到129之间抽取一个随机数k，分别选择学生k、（k+129）、（k+2∗129）、（k+3∗129）、（k+4∗129）所对应的班级。

假定我们选择的开始值为112.那么系统抽样选择的psu’s如下：越大的班级（psu中。

系统抽样不能给我们一个真实的有放回随机抽样，因为对于只有129名学生或更少的班级不可能出现两次，而多于129名的班级被抽中的概率为1.然而，在许多总体中，系统抽样比其他给出随机数的方法更容易执行。

如果psu’s地理上的安排，系统抽样可能要求被选择的psu’s在许多地区摊开并且可能比有放回的随机抽样给出更好的结果。

2.1.1.2 Lahiri（拉希里）方法当psu’s 的数目很大时，拉希里方法比累积量法更加实用。

它是一种拒绝性的方法，因为你产生一些随机数以选择psu’s ，并且如果psu 容量很小时，拒绝其中一些数字。

令N=总体中psu’s 的数目且max {M i }=最大psu 容量。

拉希里方法可以产生一个被要求概率的有放回抽样。

拉希里方法的步骤如下：①抽取一个属于1到N 之间的随机数。

这个数确定你将考虑的psu 。

②抽取一个属于1到max {M i }之间随机数；如果随机数小于或等于M i ，那么把psu i 作为样本；否则，回到第一步。

③重复直到得到满意的样本容量。

2.1.2 估计理论因为采用有放回抽样，样本可能多次包括相同的单元。

为了知道某个psu’s 在样本中出现的次数，定义随机变量Q i :Q i =number of times unit i occurs in the sample那么，t ψ是作为样本的单元的所有ti ψi 的平均值：t ψ=1n ∑Q i t iψiNi=1 (1)如果一个单元在样本中出现k 次，在估计量中它也被计算k 次。

假定∑Q i N i=1=n 且E [Q i ]=n ψi ,所以t ψ是t 的无偏估计量。

为了计算方差，假定（1）式中的估计量是n 个独立观测值的平均，每一个的方差为∑ ψi （t i ψi−t ）2N i=1,所以，V[t ψ]=1n ∑ ψi （t iψi−t ）2Ni=1 (2)为了估计样本的V[t ψ]，不能使用（2）式。

（2）式包含（t iψi−t ）2的加权平均值，以选取的不等概率加权。

但是在选取样本时，我们已经使用不等概率，它们已出现在公式（1）随机变量Q i 。

如果在估计方差时，继续把 ψi `s 包括多次，我们将两次使用不等概率。

替代的，为估计方差，使用V ̂[t ψ]=1n ∑Q i （t iψi −t ψ）2n −1N i=1 (3)假定（3）式正好是描述统计中公式s 2/n 的一个变形：这个和式就是被抽取psu’s 的tiψi的样本方差。

（3）式是（2）式方差的无偏估计，即E [V̂[t ψ]]=V[t ψ]。

采用有放回抽样，所以单元i 在样本中出现的次数近似为n ψi 。

注意的是，如果N 非常小或者 ψi `s 比较大，某个psu 可能被n 次抽到。

在这个情况下，估计方差为零；这时，最好使用无放回抽样。

2.1.3 设计抽样概率我们期望选择 ψi`s，以使得估计方差越小越好。

理想情况下，我们将用 ψi=t it(这样，tψ=t且V[tψ]=0)，所以如果t i为家庭i的年收入，则 ψi为家庭i收入占所有家庭的收入的比率。

但是 t i`s是未知的，直到样本被抽取，即使收入在被调查前是已知的，我们常常感兴趣的不仅仅为一个数量；为设计抽样概率而使用收入可能无法最好的估计其他数量。

因为一个psu中许多总体与一个psu中元素的个数相关，我们常常把 ψi作为psu i中相关元素的比值或相关容量。

这样，一个大容量psu比小容量psu有更大的概率成为样本。

令M i为第i个psu中元素个数，K为总体中元素个数，则 ψi=M i/K。

有了概率 ψi，我们得到probability proportional to size(pps)抽样。

对于一阶段pps抽样，t iψi=Ky i̅，所以，tψ=Kn∑Q i y i̅Ni=1y̅̂ψ=1n∑Q i y i̅Ni=1V̂(tψ)=1n∑Q i（t iψi−tψ）2n−1Ni=1=K2n∑Q iNi=1(y i̅−y̅̂ψ)2n−1 V̂(y̅̂ψ)=1n∑Q iNi=1(y i̅−y̅̂ψ)2n−1方差估计中的这个和式是psu均值y i̅的样本方差。

Pps抽样中的所有工作已经在抽样设计中自行完成。

Pps估计可通过把y i̅‘s当作独立观测值来计算，并且可以找到它们的均值和方差。

然而，在实际中，存在许多来自严格pps设计的变形，所以应该使用（1）式和（2）式来估计总体总值和它的估计方差。