概率论与数理统计第三版__课后复习题答案.

习题一

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω；

(3) 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；

(4) ()}{

;51,4≤≤=Ωj i j i π

(5) 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；

(6) 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{

216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；

(7) 解：}{

207ππx x =Ω；

(8) 解：()}{

l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2

(1) C AB ；(2))(C B A ? (3)C B A ??(4)C B A C B A C B A ?? (5)BC AC AB ?? (6)C B C A B A ??(7)ABC (8)C AB C B A BC A ??

1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{

6.18.0≤=x x B π

具体写出下列各事件：(1)AB }{18.0≤=x x π；(2) B A -=}{

8.05.0≤≤x x ； (3)

B A -=}{28.05.00≤?≤≤x x x π; (4) B A ?=}{26.15.00≤?≤≤x x x π

1.6 解：由于),(,B A A A AB ???故)()()(B A P A P AB P ?≤≤，而由加法公式，有：

)()()(B P A P B A P +≤?

1.7 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

175.0)()()()(=-+=?WE P E P W P E W P

(2)由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=?-=E W P E W P .

1.8 解：(1) 由于B AB A AB ??,，故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ?时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于)()()()(B A P B P A P AB P ?-+=。显然当1)(=?B A P 时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：

7.0)()()()()()()()(=+---++=??ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P

1.10 解(1)通过作图，可以知道，

3.0)()()(=-?=B P B A P B A P (2)6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P

7

.0)(1)()()()(1))

()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=?-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于

1.11 解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有

44464??=种，每种放法等可能。

对事件1A ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故8

3

)(1=A P (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件3A ：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故161)(3=

A P 。16

9

161831)(2=-

-=A P 1.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为

18

1

。 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是

9

1,121。 (1) 1.13 解：从10个数中任取三个数，共有1203

10=C 种取法，亦即基本事件总数为120。

(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有6

2

4=C 种，故所求概率为

20

1

。(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有102

5=C 种，故所求概率为12

1。

1.14 解：分别用321,,A A A 表示事件：(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球,

一只黄球.则,11

1

666)(,33146628)(2122

42212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P 。

1.15 解：)

())

()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ?=??=

?由于0)(=B B P ，故

5.0)

()

()()()())((=-==

?B P B A P A P B P AB P B B A P

1.16解：（1）;8.05.04.01)()(1)()()()(=?-=-=-+=?B A P B P AB P B P A P B A P

（2）;6.05.04.01)()(1)()()()(=?-=-=-+=?B A P B P B A P B P A P B A P

注意：因为5.0)(=B A P ，所以5.0)(1)(=-=B A P B A P 。

1.17 解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（3,2,1=i ），则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”（3,2,1=i ）。11212115331421

(),()()()20441938

P A P A A P A P A A =

===?=

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

3125()18

P A A A =

。

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为

1231213121514535()()()()201918228

P A A A P A P A A P A A A ==

??= （3）事件“第三次取到次品”的概率为：

4

1 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（2,1=i ），

则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：2

1

)()()(12121=

=A A P A P A A P 。区别是显然的。 1.18。解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”。用B 表示事件“从第

二箱中取到的是次品”。则2112121222012222

14141466241

(),(),(),919191

C C C C P A P A P A C C C ?====== 01()12P B A =

，12()12P B A =，2

3

()12P B A =，

根据全概率公式，有：283

)()()()()()()(221100=

++=A B P A P A B P A P A B P A P B P

1.19解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”，B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =，2()0.15P B A =，

3()0.1P B A =，根据全概率公式，有：

4705.0)()()()()()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P

1.20 解：用B 表示色盲，A 表示男性，则A 表示女性，由已知条件，显然有：

,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

151

102

)()()()()()()()()()()()(=

+=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.21 解：用B 表示对试验呈阳性反应，A 表示癌症患者，则A 表示非癌症患者，显然有：

,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

294

95

)()()()()()()()()()()()(=

+=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.22 解：设，},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B

}{产品为合格品=A ，则(1)根据全概率公式，

94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ，该批产品的合格率为0.94.(2)根据贝

叶斯公式，94

19

)()()()()()()()()(332211111=++=

B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P

同理可以求得47

24

)(,9427)(32=

=

A B P A B P ，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：47

24

,9427,9419。

1.23解：记A ={目标被击中}，则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P

1.24 解：记4A ={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，4A ={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而5904.0)(4=A P ，因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P 。所以

2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P 三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：

384.064.02.03))(1)((213=??=-A P A P C 。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：

第二章 随机变量

2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36

1/18

1/12

1/9

5/36

1/6

5/36

1/9

1/12

1/18

1/36

2.2解：根据

1)(0

==∑∞

=k k X P ，得10

=∑∞

=-k k

ae

，即

111

1

=---e ae 。 故 1-=e a 2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4)

(1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

1

1

2

2

020*********

2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

1

2

2

1

110220022011222222

0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?= 2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

1232

1515155

++= (2) P{0.5

12115155

+= (3) 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()]

14

41314

k k lim →∞-=-

（2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244

-

-= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2

12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719

???= 1123412342341234{1}{}{}{}{}

2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795

P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???=