初中数学知识点总结(精华)-人教版九年级数学总复习

初中数学知识点总结（精华）

第一章 有理数

1、有理数的分类: ① ???

?

?????

????负分数负整数负有理数零正分数正整数

正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 . 4、.绝对值：

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2) 绝对值可表示为：?????<-=>=)

0a (a )0a (0)

0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a

a ；绝对值的问题经常分类讨论；

5、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a

1

；若ab=1? a 、b 互为倒数

6、有理数的四则运算：（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；0与任何数相加都等于任何数 （2）有理数减法法则：:减去一个数等于加上这个数的相反数

（3）有理数的乘法法则：①两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 0乘以任何一个数都等于0；

②多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时，积为正数，负因数有奇数个时，积为负数，再把各个因数的绝对值相乘

（4）有理数的除法法则①两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数都得0；

②除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 7、有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ； （2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .

8、比较两个数的大小：（1）负数< 0 < 正数，任何一个正数都大于一切负数 （2）数轴上的点表示的有理数，左边的数总比右边的数小

（3）两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小 （4）两数相乘（或相除），同号得正 > 0，异号得负 < 0 9、有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .

10、科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

11、非负数的性质：若02=++c b a ，则000===c b a 且且 第二章 整式的加减

1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式.

4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。 5、整式：单项式和多项式统称整式

6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

7、合并同类项的法则：将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变。 8、去括号法则：去括号，看符号；是“+”号，不变号；是“－”号，全变号 第三章 一元一次方程

1、等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 2．一元一次方程的一般式：ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是常数，且a ≠0）.

3．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… 得到方程的解. 4．列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题： 距离=速度·时间 时间距离速度=

速度

距离

时间=； （2）工程问题： 工作量=工效·工时 工时工作量工效=

工效工作量

工时=； （3）比率问题： 部分=全体·比率 全体部分比率= 比率部分

全体=；

（4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题： 售价=定价·折·

10

1

，利润=售价-成本， %100?-=成本成本售价利润率；

（6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，

S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=3

1

πR 2h.

第四章 图形的认识初步 1、直线公理：两点确定一条直线 2、线段公理：两点之间，线段最短

3、两点之间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离

4、'

601=；'

''

601=；1周角=0

360；1平角=0

180

5、两个角的和等于直角，这两个角互余；两个角的和等于平角，这两个角互补

6、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 第五章 相交线与平行线

1、命题：判断一件事情的语句叫命题。命题是由题设和结论两部分构成的，它可以改写成“如果……那么……”的形式。

2、垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

3、.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。

5、平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角互补，两直线平行。

6、平移的性质：平移前后的图形全等 第六章 实数 1、实数的分类

??????

??????????????????????????

????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数自然数整数有理数实数0、??????????????

???????????????负无理数负分数负整数负有理数负实数正无理数正分数正整数正有理数正实数实数0

2.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作

。0的算术平方根为0。即)0(≥a a 。

3.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。

4.平方根的性质：正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。

5、立方根定义：如果a x =3

，那么3a x =

6、立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数

7、实数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0

8、实数和数轴上的点一一对应；有序实数对与平面内的点成一一对应关系 第七章 平面直角坐标系

1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

2、（1）将点（x ，y)向右（或左）平移a 个单位长度，可以得到对应的点（x ±a ，y)； （2）将点（x ，y)向上（或左下）平移a 个单位长度，可以得到对应的点（x ，y ±b) (3)平移的口诀是：左减右加，上加下减

3、坐标平面内的点与有序实数堆成一一对应的关系 第八章 二元一次方程组

1、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。

2、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

3、解二元一次方程组的基本思想：消元思想：基本方法是：代入消元法和加减消元法

4、解三元一次方程的基本方法是：一元二元（消元）三元（消元）

→→ 第九章 不等式与不等式组

1、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

2、定理与性质

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3、不等式的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

4、解不等式组的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 第十章 数据的收集、整理与描述 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

3.总体：要考察的全体对象称为总体。

4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。（不带单位）

7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

8.频率：频数与数据总数的比为频率。即：数据总数频数频率=

，频率

频数

数据总数=，

频率数据总数频数?=

第十一章 三角形

1、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

2、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

3、公式与性质（1）三角形的内角和：三角形的内角和为180° （2）三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （3）多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°

l

B

A （4）多边形的外角和：多边形的外角和为360°。

（5）多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 ②n 边形共有

2

3)

-n(n 条对角线。 第十二章 全等三角形

1、全等三角形：两个三角形的形状、大小都一样时称为全等三角形。一个图形经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）后得到另一个图形，变换前后的图形全等。 2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 3、三角形全等的判定公理及推论有：

（1）“边角边”简称“SAS ” ：（2）“角边角”简称“ASA ” ：（3）“边边边”简称“SSS ” （4）“角角边”简称“AAS ” ：（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL ）。 4、（1）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等

（2）角平分线推论（或称判定）：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 第十三章 轴对称

1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）角平分线上的点到角两边距离相等。

（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 （4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）

4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

5.等腰三角形的判定：等角对等边。

6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，

7.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形：（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形：（3） 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

10、最短路径为题：如图1，已知点A 、B 在直线l 的同侧，现在l 上求一点C ，使CA ＋CB 最小，作法如下：

作点B （或点A ）关于l 的对称点B 1，连接AB 1，交l 于C ，则点C 就可使AC+BC 最短。 第十四章 整式的乘除与分解因式 1.同底数幂的乘法法则: n

m n

m

a

a a +=?(m,n 都是正数)

2.幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)

3.积的乘方法则：

n

n n b a ab =)（(m,n 都是正数) 4. 整式的乘法

（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

mc mb ma c b a m ++=++)(

（3）．多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。：

bn bm an am n m b a +++=++))(（

5．乘法的平方差公式: 2

2

))((b a b a b a -=-+

6．乘法的完全平方公式: 2

222)(b ab a b a +±=±

7. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n

m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,

且m>n).

在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即

)0(10

≠=a a ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 次幂的倒数,即p p

a

a 1

=

-( a ≠0,p 是正整数),

8．整式的除法

（1）单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

（2）多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.c b a m cm bm am ++=÷++)（ 9.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变

形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式

分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法 分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;

(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 10、因式分解公式：平方差公式))((2

2

b a b a b a -+=-；

完全平方公式2

22)2b a b ab a ±=

+±（ 11、特别记住：完全平方式有两个：

22222-2b ab a b ab a +++和

第十五章 分式 1.分式：形如B

A

，A 、B 是整式，且B 中含字母叫做分式。 2.（1）分式

B A 有意义的条件：0≠B ；（2）当???≠=0

0B A 时，B A

的值是0 3、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：C

B C

A C

B

C A B A ÷÷=??=（A,B,C 为整式，且C ≠0）

4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式或整式 。

7.分式的四则运算：（1）同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字

母表示为：

c

b

a c

b

c ±=

±a （2）异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：

bd

bc

ad d c b ±=

±a （3）分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：

bd

ac

d c b =

?a （4）分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：.

c

d b a d c b ?=÷a 8.分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

9.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).：使最简公分母为零的整式方程的根不是原方程的根（是增根），使最简公分母不为零的整式方程的根是原方程的根。（简称：一化二解三检验）

第十六章 二次根式

1、二次根式：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。当a ＞0时，a 表示a 的算术平方根,其中0=0

2、 理解并掌握下列结论：

（1）)0(≥a a 是非负数（双重非负性）； （2）

)0()2≥=a a a （； （3）???≤->=???<-≥=??

???<-=>==)0()0()0()0()0()0(0)

0(2

a a a a a a a a a a a a a a a ；

口诀：平方再开方，出来带“框框” 3、二次根式的乘法：)0,0(≥≥=?b a ab b a ，反之亦成立

4、二次根式的除法：

)0,0(>≥=b a b a b

a ，反之亦成立

5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。

A

D 6、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是

同类二次根式。

第十七章勾股定理

1.（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，

那么a2＋b2=c2。

（2）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这

个三角形是直角三角形。

2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫

做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

第十八章四边形

1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相

平分；平行四边形是中心对成图形，对角线的交点是对称中心。

3.平行四边形的判定：○1.两组对边分别相等的四边形是平行四边

形

○2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；○3.两组对

角分别相等的四边形是平行四边形；

○4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

注：平行四边形定义也是一种判定方法

4.三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

7.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且

相等；矩形是轴对有两称图形，即经过对边中点的两条直线是对称

轴。（也是中心对称图形）8.矩形判定

定理：○1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。○2.对角线相等的平行四边形是矩形。○3.有

三个角是直角的四边形是矩形。

()()()

32100

0.0k ??

?

??<=>

3210

00.0k ??

?

??<=>>b b b 9.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。

10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是对称轴。（也是中心对称图形） 11.菱形的判定定理：○1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。

○2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ○3.四条边相等的四边形是菱形。 12.ab S 2

1

=

菱形（a 、b 为两条对角线）=底×高 13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，

又是菱形。

15.正方形判定定理： （1）邻边相等的矩形是正方形。 （2）有一个角是直角的菱形是正方形。

或者先证一个四边形是矩形，再证一个四边形是菱形。反过来证也行

16、（1)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的中点四边形是矩形；（2）顺次连接对角线互相等的四边形四边中点所得的中点四边形是菱形。 第十九章 一次函数

1.一次函数：若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)。特别地,当b=0时,称y 是x 的正比例函数。

2.正比例函数一般式：y=kx （k 是常数且k ≠0）。

3.正比例函数的图像和性质：正比例函数y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线。（1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，（2）在一次函数y=kx+b 中:当k>0时,y 随x 的增大而增大；当k<0时,y 随x 的增大而减小。

4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法。解题步骤是：（1）设解析式，（2）由题意列出方程（或方程组），（3)解这个方程（或方程组），（4）写出函数的解析式

(1)

(2) (3)

(1) (3)

(2)

5、当21k k =时，直线11b x k y +=和直线22b x k y +=平行

6、两条直线11b x k y +=和22b x k y +=的交点坐标就是方程组?

??+=+=221

1b x k y b x k y 的解

第二十章 数据的分析 1.加权平均数：加权平均数的计算公式：n

n

n f f f f x f x f x x +???+++???++=

212211（n f f f ???21、叫对应的

221x x x ???、的权）。 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3. 众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 4、方差公式：[]

222212

)()()(1

x x x x x x n

s n -+???+-+-=

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 第二十一章 一元二次方程

1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）

3、运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为

q p x =+2

)（的形式，如果q ≥0，方程的根是q p x ±-=；如果q ＜0,方程无实根．

5、一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0），当b 2

-4ac ≥0时，求

根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

6、一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-，则有下列性质：

①0?>?方程有两个不相等的实数根：1,2

x ．

②0?=?方程有两个相等的实数根：122b x x a

==-

．

2

2

24()(0)

24b ac b y ax bx c a x a a a

-=++=-+≠③0?

7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有a b x x -=+21，a

c

x x =?21（注意：运用根与系数的关系的前提是b 2-4ac ≥0）

第二十二章 二次函数

1.二次函数：一般地，函数y 和x 自变量之间存在如下关系：一般式： y=ax 2 +bx+c(a ≠0)（a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

2.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 ：

对称轴：a

b

x 2-=， 顶点坐标：24(,)24b ac b a a --， 与y 轴交点坐标（0，c ）

（2）顶点式 ： 2

()y a x h k =-+ ，对称轴：h x =，顶点：

),k h （ （3）交点式（或双根式）： 12()()y a x x x x =--， 其中抛物线与x 轴的交点是（1x ，0）与（2x ，0） 对称轴：2

2

1x x x +=

3、增减性：当a>0时，对称轴左侧，y 随x 增大而减小；对称轴右侧，y 随x 增大而增大

当a<0时，对称轴左侧，y 随x 增大而增大；对称轴右侧，y 随x 增大而减小

4、勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点

5、.图像平移步骤

（1）配方 2

()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）

（2）对x 轴 左加右减（括号内）；对y 轴 上加下减（括号外） 6、二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为1x 、2x 其对应的纵坐标相等，那么对称轴

12

2

x x x +=

7.根据图像判断a,b,c 的符号

（1）a ——确定图像的形状和开口方向

（2）b ——与a 共同决定对称轴 ：左同右异，当b=0时对称轴是y 轴 （3）c ——图像与y 轴交于（0，c)，即c 决定图像与y 轴的交点的位置 8.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标1x 、2x 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。 抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0

（1）当2

4b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； （2）当24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； （3）当24b ac -<0时，一元二次方程无实根，二次函数图像与x 轴没有交点

9、最值：对于抛物线y=ax 2

+bx+c(a ≠0)，若a>0，当a

b

x 2-=时，a b ac y 442-=最小值；若a<0，当

a

b

x 2-

=时，a b ac y 442-=最大值 第二十三章 旋转

1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

3、旋转的三要素：旋转的中心、旋转角、旋转的方向。 4．中心对称图形与中心对称：（是一种特殊的旋转）

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 5、.中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中

心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

6、(1)点P（x，y)关于x轴对称点的坐标是（x，－y)

(2)点P（x，y)关于y轴对称点的坐标是（－x，y)

(3)点P（x，y)关于原点对称点的坐标是（－x，－y)

(4)口诀：关于横轴对称“横”不变，关于纵轴对称“纵”不变，关于原点对称“都”要变

第二十四章圆

1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

3.内心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等（等于半径）。

3、外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心，三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等（等于半径）。

5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

7.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离是PO，（1）P在⊙O外?PO ＞r；（2）P在⊙O上?PO＝r；（3）P在⊙O内?PO＜r。

8.直线与圆有3种位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线 的距离为d,(1)直线 与⊙O相离?d>r；（2）直线 与⊙O相切?d=r；（3）直线 与⊙O相交?d

9.两圆之间有5种位置关系：两圆圆心之间的距离d叫做圆心距,两圆的半径分别为R和r，且R≥r：（1）外离?d＞R+r；（2）外切?d=R+r；（3）相交?R-r＜d＜R+r；（4）内切?d=R-r(R>r）；（5）内含?d＜R-r(R>r）。

10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

11.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

12、切线长定理：从园外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

13.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 14.有关定理：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（3）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （4） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （5）园内接四边形对角互补

14、（1）正n 边形的中心角=n 3600；（2）正n 边形的中心角=它的一个外角=n

3600

15、圆的计算公式： （1）圆的周长d 2ππ==R C ；（2）圆的面积2

R S π=；（3）扇形弧

长180

R

n π= ；（4）扇形面积R R S 21360n 2==π；（5）圆锥侧面积母侧 R S π=；（6）圆锥表面积母圆锥全 r r S ππ+=2；

（7）rh S π2=圆柱侧；（8）2

2r 2r h S ππ+=圆柱全 第二十五章概率初步

1、确定事件：（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 3、（1)统计概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率m

n

会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

（2）古典概型概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n

m 4、概率的取值范围：1)(0≤≤A P 。 （1）当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1 （2）当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=0

5、 求概率的方法：（1）列表法：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。(也可采用画树状图法）。

（2)画树状图法:

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

第二十六章 反比例函数 1.反比例函数：形如y ＝

x

k

（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k ；1

-=kx y ； y

k x =

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和

x -=y 。对称中心是：原点

3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

第二十七章 相似

1.相似三角形：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫做相似三角形。对应边的比叫做相似比。

2.相似三角形的判定方法:

根据相似图形的特征来判断。（对应边的比相等，对应角相等）

○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；（预备定理）

○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；（“角角”）

○3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；（“边比角边比”）

○

4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；（“边边边比”） 3.直角三角形相似判定定理:

○

1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。（“斜边直角边比”）

○

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 4.相似三角形的性质:

○

1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

○

2.相似三角形周长的比等于相似比。 ○

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、（1）位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（2）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 第二十八章 锐角三角函数 1.Rt △ABC 中

(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝

∠A 的对边

斜边

(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边

斜边

(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边

∠A 的邻边

2.特殊值的三角函数：

α

αsin αcos

αtan

30°

12 32 33 45°

22 22 1

60°

32

12

3

3、解直角三角形时，所用关系：

（1)边的关系：2

22c b a =+ （2)角的关系：0

90=∠+∠B A （3）边角关系：c A a sin =

，c b A =cos ，b A a tan =，c b B =sin ，c a cosB =，a

tan b B = 第二十九章投影与视图

1、中心投影:从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影

2、（1）平行投影:平行光线所形成的投影称为平行投影。（2）正投影:当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。

3、三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。