2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13-立体几何-)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13-立体几何-)2018 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何 ）一、选择题1．（2018北京文、理）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．41．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -， 在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =， 2CD =，1AB =，由勾股定理可知，22PA =，22PC =，3PB =，5BC =，则在四棱锥中，直角三角形有， PAD △，PCD △，PAB △共三个，故选C ．2．（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．83.答案：C解答：该几何体的立体图形为四棱柱， (12)2262V +⨯=⨯=.3 （2018上海）《九章算术》中，称底侧视图俯视图正视图2211所以231θθθ≤≤.5．（2018全国新课标Ⅰ文）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．217 B ．25 C ．3 D ．25. 答案：B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图， 将侧面展开，最短路径为,M N 连线的距离， 所以224225MN =+=，所以选B.6．（2018全国新课标Ⅰ文）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62 C ．82 D ．836. 答案：C 解答：连接1AC 和1BC ，∵1AC 与平面11BB C C 所成角为30，∴130AC B ∠=，∴11tan 30,23ABBC BC ==，∴122CC =，∴222282V =⨯⨯=，∴选C.7．（2018全国新课标Ⅰ理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．33 B ．23 C ．324 D ．327. 答案：A解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平 面α中存在平面与平面11AB D 平行（如图），而在与 平面11AB D 平行的所有平面中，面积最大的为由各 棱的中点构成的截面EFGHMN ，而平面EFGHMN的面积12233362S =⨯⨯⨯⨯=.8．（2018全国新课标Ⅰ文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π8. 答案：B解答：截面面积为8，所以高22h =，底面半径2r =，所以表面积为2(2)2222212S πππ=⋅⋅+⋅⋅=.9．（2018全国新课标Ⅰ理）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．172B ．52C ．3D ．29. 答案：B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开， 最短路径为,M N 连线的距离， 所以224225MN =+=，所以选B.10．（2018全国新课标Ⅱ文）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．710．【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan BE a EAB AB ∠===．故选C ．11．（2018全国新课标Ⅱ理）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15B ．5C ．5D ．211．【答案】C【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()11,1,3B ，()10,0,3D ，()11,0,3AD ∴=-，()11,1,3DB =，1111115cos<,>25AD DB AD DB AD DB ⋅===⨯，∴异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5，故选C ．12．（2018全国新课标Ⅲ文、理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）12.答案：A解答：根据题意，A 选项符号题意；13．（2018全国新课标Ⅲ文、理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．54313．答案：B解答：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的重心，由93ABCS ∆=，得6AB =，取BC 的中点H ，∴sin 6033AH AB =⋅︒=，∴2233AG AH ==，∴球心O 到面ABC 的距离为224(23)2d =-=，∴三棱锥D ABC -体积最大值193(24)1833D ABCV -=⨯⨯+=.二、填空1．（2018江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．1．【答案】43【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为()21421233⨯⨯⨯=．2．（2018天津文）如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱柱A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．2．【答案】13【解析】如图所示，连结11A C ，交11B D 于点O ，很明显11A C ⊥平面11BDD B ，则1A O 是四棱锥的高，且2211111211222A O A C ==+=，111212BDD B S BD DD =⨯四边形，结合四棱锥体积公式可得其体积为11212333V Sh ===．3． （2018天津理）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .3．【答案】112【解析】由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为22的正方形， 其面积2212EFGHS ==⎝⎭，顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =， 由四棱锥的体积公式可得111132212M EFGHV-=⨯⨯=．4．（2018全国新课标Ⅱ文）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．4．【答案】8π【解析】如下图所示，30SAO ∠=︒，90ASB ∠=︒，又211822SABS SA SB SA =⋅==△， 解得4SA =，所以122SO SA ==，2223AO SA SO =-=，所以该圆锥的体积为2183V OA SO =⋅π⋅⋅=π．5．（2018全国新课标Ⅱ理）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________． 5．【答案】402π【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB 15，因为SAB △的面积为515，设母线长为l ，所以21155152l⨯=，280l ∴=，因SA 与圆锥底面所成角为45︒，所以底面半径为2cos 4l π=，因此圆锥的侧面积为22402rl l π=π．三、解答题1．（2018北京文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点． （1）求证：PE BC ⊥；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PCD ．1．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）PA PD =，且E 为AD 的中点， PE AD ∴⊥，底面ABCD 为矩形，BC AD ∴∥，PE BC ∴⊥． （2）底面ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥．又PA PD ⊥，PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ． （3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．F ，G 分别为PB 和PC 的中点，FG BC ∴∥，且12FG BC =， 四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，ED BC ∴∥，12DE BC =， ED FG∴∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， EF GD ∴∥，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， EF ∴∥平面PCD ． 2． （2018北京理）如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC =5，AC =1AA =2．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求二面角B−CD −C 1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．2．【答案】（1）证明见解析（2）1B CDC --的余弦值为21-；（3）证明过程见解析． 【解析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， AC EF ∴⊥，AB BC =，AC BE ∴⊥， AC ∴⊥平面BEF ．（2）由（1）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1EF CC ∥． 又1CC ⊥平面ABC ，EF ∴⊥平面ABC ． BE ⊂平面ABC ，EF BE ∴⊥．如图建立空间直角坐称系E xyz -．由题意得()0,2,0B ，()1,0,0C -，()1,0,1D ，()0,0,2F ，()0,2,1G ， ()=2,01CD ∴,，()=1,2,0CB ，设平面BCD 的法向量为(),a b c =,n ， 0CD CB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩n n ，20 20a c ab +=⎧∴⎨+=⎩， 令2a =，则1b =-，4c =-，∴平面BCD 的法向量()，又平面1CDC 的法向量为()=0,2,0EB ，21cos =EB EB EB⋅∴<⋅>=-n n n ．由图可得二面角1B CDC --为钝角，所以二面角1B CDC --的余弦值为21-．（3）平面BCD 的法向量为()2,1,4=--n ，()0,2,1G ，()0,0,2F ， ()=02,1GF ∴-,，2GF ∴⋅=-n ，∴n 与GF 不垂直，GF ∴与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，GF ∴与平面BCD 相交．3.（2018上海）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径， 且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.4．（2018江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．4．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB A B ∥．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ． （2）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形． 又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此11AB A B ⊥．又因为111AB B C ⊥，11BC B C ∥，所以1AB BC ⊥． 又因为1A B BC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ， 所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．5．（2018江苏）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．5．【答案】（1）310；（2）5．【解析】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，设AC ，11A C 的中点分别为O ，1O ，则OB OC ⊥，1OO OC ⊥，1OO OB ⊥，以{}1,,OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为12AB AA ==， 所以()01,0A -,，()3,0,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2A -，()13,0,2B ，()10,1,2C ．（1）因为P 为11A B 的中点，所以31,,222P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而31,,222BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,2AC =， 故11114310cos ,522BP AC BP AC BP AC ⋅-+<>===⨯⋅． 因此，异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值为31020． （2）因为Q 为BC 的中点，所以31,,022Q ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭， 因此33,,02AQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,2AC =，()10,0,2CC =．设(),,x y z =n 为平面1AQC 的一个法向量，则100AQ AC ⎧=⋅=⎨⎪⋅⎪⎩n n 即33022220x y y z ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，不妨取()3,1,1=-n ，设直线1CC 与平面1AQC 所成角为θ，则1115sin cos ,52CC CC CC θ⋅=<>===⨯⋅n n n， 所以直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值为55．6．（2018浙江）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2． （Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．6．答案：（1）略；（2）3913 解答：（1）∵12AB B B ==，且1B B ⊥平面ABC ，∴1B B AB ⊥，∴122AB =.同理，222211(23)113AC AC C C =+=+=.过点1C 作1B B 的垂线段交1B B 于点G ，则12C G BC == 且11B G =，∴115B C =.在11AB C ∆中，2221111AB B C AC +=， ∴111AB B C ⊥，①过点1B 作1A A 的垂线段交1A A 于点H . 则12B H AB ==，12A H =，∴1122A B =. 在11A B A ∆中，2221111AA AB A B =+，∴111AB A B ⊥，②综合①②，∵11111A B B C B ⋂=，11A B ⊂平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ，∴1AB ⊥平面111A B C . （2）过点B 作AB 的垂线段交AC 于点I ，以B 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以BI 所在直线为y 轴，以1B B 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(2,0,0)A -，1(0,0,2)B ，1(1,3,1)C ， 设平面1ABB 的一个法向量(,,)n a b c =， 则102020n AB a c n BB ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，令1b =，则(0,1,0)n =， 又∵1(3,3,1)AC =，1339cos ,13113n AC <>==⨯.由图形可知，直线1AC 与平面1ABB 所成角为锐角， 设1AC 与平面1ABB 夹角为α.∴39sin 13α=.7．（2018天津文）如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．7．【答案】（1）证明见解析；（2）1326；（3）34． 【解析】（1）由平面ABC ⊥平面ABD ， 平面ABC 平面ABD AB =，AD AB ⊥， 可得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥． （2）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN BC ∥．所以DMN ∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt DAM △中，1AM =，故2213DM AD AM =+=． 因为AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥．在Rt DAN △中，1AN =，故2213DN AD AN =+=．在等腰三角形DMN中，1MN=，可得1132cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为13．（3）连接CM，因为ABC△为等边三角形，M为边AB的中点，故CM AB⊥，3CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，CDM∠为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt CAD△中，224CD AC AD=+=．在Rt CMD△中，3sinCMCDMCD∠==．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3．8．（2018天津理）如图，AD BC∥且AD=2BC，AD CD⊥,EG AD∥且EG=AD，CD FG∥且CD=2FG，DG ABCD⊥平面，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN CDE∥平面；（II）求二面角E BC F--的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.8．【答案】（1）证明见解析；（210；（33．【解析】依题意，可以建立以D为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0D ，()2,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,2E ，()0,1,2F ，()0,0,2G ，30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,2N ． （1）依题意()0,2,0DC =，()2,0,2DE =．设()0,,x y z =n 为平面CDE 的法向量，则000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20220y x z =+=⎧⎨⎩， 不妨令–1z =，可得()01,0,1=-n ．又31,,12MN ⎛⎫=⎪⎝⎭-，可得00MN ⋅=n ， 又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）依题意，可得()–1,0,0BC =，()1,2,2BE =-，()0,1,2CF =-．设(),,x y z =n 为平面BCE 的法向量，则0BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0220x x y z -=-+=⎧⎨⎩， 不妨令1z =，可得()0,1,1=n ．设(),,x y z =m 为平面BCF 的法向量，则0BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即020x y z -=-+=⎧⎨⎩， 不妨令1z =，可得()0,2,1=m ．因此有310cos ,⋅<>==m n m n m n ，于是10sin ,m n <>=． 所以，二面角––E BC F 10．（3）设线段DP 的长为[]()0,2h h ∈，则点P 的坐标为()0,0,h ，可得()1,2,BP h =--．易知，()0,2,0DC =为平面ADGE 的一个法向量，故2cos 5BP DC BP DC BP DCh ⋅<⋅>==+ 23sin 605h =︒=+，解得[]30,2h ．所以线段DP 3．9．（2018全国新课标Ⅰ文）如图，在平行四边形ABCM中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．9. 答案：（1）见解析（2）1 解答：（1）证明：∵ABCM 为平行四边形且90ACM ∠=,∴AB AC ⊥,又∵AB DA ⊥,∴AB ⊥平面ACD ,∵AB ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ACD . （2）过点Q 作QH AC ⊥,交AC 于点H ，∵AB ⊥平面ACD ，∴AB CD ⊥,又∵CD AC ⊥,∴CD ⊥平面ABC ,∴13HQ AQ CD AD ==,∴1HQ =,∵32,32BC BC AM AD ====,∴22BP =,又∵ABC ∆为等腰直角三角形，∴12322322ABP S ∆=⋅⋅⋅=，∴1131133Q ABD ABD V S HQ -∆=⋅⋅=⨯⨯=.10．（2018全国新课标Ⅰ理）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.10.答案：（1）略；（2）34. 解答：（1）,E F 分别为,AD BC 的中点，则//EF AB ，∴EF BF ⊥， 又PF BF ⊥，EF PF F ⋂=，∴BF ⊥平面PEF ， BE ⊂平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）PF BF ⊥，//BF ED ，∴PF ED ⊥，又PF PD ⊥，ED DP D ⋂=，∴PF ⊥平面PED ，∴PF PE ⊥， 设4AB =，则4EF =，2PF =，∴23PE =， 过P 作PH EF ⊥交EF 于H 点， 由平面PEF ⊥平面ABFD ，∴PH ⊥平面ABFD ，连结DH ，则PDH ∠即为直线DP 与平面ABFD 所成的角，由PE PF EF PH ⋅=⋅，∴2323PH ⋅==，而4PD =，∴3sin PH PDH PD ∠==， ∴DP 与平面ABFD 所成角的正弦值3.11．（2018全国新课标Ⅱ文）P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．11．【答案】（1）见解析；（2）455．【解析】（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =．连结OB ．因为2AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥．由OP OB ⊥，OP AC ⊥知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH OM ⊥，垂足为H ．又由（1）可得OP CH ⊥，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知122OC AC ==，2423BC CM ==，45ACB ∠=︒． 所以25OM =sin 45C OC MC A M H CB O ⋅⋅∠==．所以点C 到平面POM 的45． 12．（2018全国新课标Ⅱ理）如图，在三棱锥P ABC -22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．12．【答案】（1）见解析；（234． 【解析】（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点， 所以OP AC ⊥，且23OP =连结OB ．因为2AB BC AC ==，所以ABC △为等腰 直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==， 由222OPOB PB +=知PO OB ⊥， 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．PA OCBM（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得()0,0,0O ，()2,0,0B ，()0,2,0A -，()0,2,0C ，()0,0,23P ，()0,2,23AP =，取平面PAC 的法向量()2,0,0OB =，设()(),2,002M a a a -<≤，则(),4,0AM a a =-，设平面PAM 的法向量为(),,x y z =n ．由0AP ⋅=n ，0AM ⋅=n ， 得()223040y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取()()34,3,a a a =--n ， ()()222234cos ,2343a OB a a a -∴<>=-++n ，由已知得3cos ,OB <>=n ，()22223432343a a a a -∴=-++，解得4a =-（舍去），43a =， 83434,,3⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭n ，又()0,2,23PC =-，所以3cos ,PC <>=n ．所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3．13．（2018全国新课标Ⅲ文）如图，矩形所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．13.答案：见解答 解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，∴AD⊥半圆面CMD，∴AD⊥平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴AD CM⊥，又∵M是半圆弧CD上异于,C D的点，∴CM MD⊥.又∵AD DM D =，∴CM⊥平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM⊥平面ADM.（2）线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：连接,BD AC交于点O，连接,,PD PB PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是AM的中点；∴//OP MC，∵OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，∴//.MC平面PDB14．（2018全国新课标Ⅲ理）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M ABC-体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．14．答案：见解答解答：（1）∵正方形ABCD⊥半圆面CMD，∴AD⊥半圆面CMD，∴AD⊥平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴AD CM⊥，又∵M是半圆弧CD上异于,C D的点，∴CM MD⊥.又∵AD DM D=，∴CM⊥平面ADM，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .（2）如图建立坐标系： ∵ABCS ∆面积恒定， ∴MO CD ⊥，M ABCV -最大.(0,0,1)M ，(2,1,0)A -，(2,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -,设面MAB 的法向量为111(,,)m x y z =，设面MCD 的法向量为222(,,)n x y z =，(2,1,1)MA =--，(2,1,1)MB =-， (0,1,1)MC =-，(0,1,1)MD =--， 11111120(1,0,2)20x y z m x y z --=⎧⇒=⎨+-=⎩， 同理(1,0,0)n =，，∴5cos 5θ==，∴ 25sin θ=.。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)
可得
3a1
13d
16
，从而
a1
1，
d
1 ，故
an
n
，所以，
Sn
nn 1
2
．
第 5页 （共 7页）
（2）由（1），有 T1 T2 Tn
21 23 2n
2 1 2n n =
1 2
n 2n 1 n 2 ，由
Sn
T1
T2
Tn
an
4bn
可得
nn 1
2
2n1
n
2
n
2n1 ，
二、填空 1．（2018 北京理）设 an 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 an 的通项公式为__________．
1．【答案】 an 6n 3
【解析】 Q a1 3 ， 3 d 3 4d 36 ， d 6 ，an 3 6n 1 6n 3 ．
2．（2018 江苏）已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A B 的所有元素从 小到大依次排列构成一个数列{an} ．记 Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则使得 Sn 12an1 成立的 n 的 最小值为 ▲ ．
7 21
11 22
4n 5 2n2
，
错位相减得
bn
b1
14
4n 3 2n2
，
所以 bn
15
4n 3 2n2
.
5．（2018 天津文）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其 前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求 Sn 和 Tn； （Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10平面向量)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．假设非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 知足b 2−4e ·b +3=0，那么|a −b |的最小值是（ ）A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−31.答案：A解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如下图，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min131a bCD -=-=-.（其中CD OA ⊥.）2．（2018天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）02．【答案】C【解析】如下图，连结MN ，由2BM MA =，2CN NA = 可知点M ，N 别离为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，那么()33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-， 结合数量积的运算法那么可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-．故选C ．3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 假设点E 为边CD 上的动点，那么⋅AE BE 的最小值为 （ ）(A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 33．【答案】A【解析】成立如下图的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，3,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，那么()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，那么：333,,222x y λ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即332232x y λλ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩， 据此可得333,222E λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且3331,2222AE λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，333,22BE λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由数量积的坐标运算法那么可得：3333313222222AE BE λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，应选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4．答案：A解答：由题可知11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-.5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a ，b 知足||1=a ，1⋅=-a b ，那么(2)⋅-=a a b （ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．【答案】B 【解析】因为()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ，因此选B ．二、填空1．（2018北京文）设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，那么m =_________． 1．【答案】1-【解析】()10=,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ， 由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．2. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y轴上的两个动点，且|EF |=2，那么AE ·BF 的最小值为______3．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．假设0AB CD ⋅=，那么点A 的横坐标为 ▲ ．3．【答案】3【解析】设()(),20A a a a >，那么由圆心C 为AB 中点得5,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭， 易患()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1D x =，因此()1,2D ．因此()5,2AB a a =--，51,22a CD a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()5512202a a a a +⎛⎫--+--= ⎪⎝⎭，2230a a --=，3a =或1a =-，因为0a >，因此3a =．4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，那么λ=________． 4．答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.三、解答题。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1. （2018上海）设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） （A（B）2（C）3（D ）2．（2018浙江）函数y =||2x sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2.答案：D解答：令||()2sin 2x y f x x ==，||||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x --=-=-=-，所以()f x 为奇函数①；当(0,)x p Î时，||20x >，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①②可知，选D.3．（2018天津文）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>3．【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<，11031110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >，综上可得：c a b >>．故选D ．4．（2018天津理）已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） (A) a b c >>(B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >>4．【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln 20,1log e b ==∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．5．（2018全国新课标Ⅰ文）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，5.答案：D解答：取12x =-，则化为1()(1)2f f <-，满足，排除,A B ； 取1x =-，则化为(0)(2)f f <-，满足，排除C ，故选D .6．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）6. 答案：C解答：∵()()g x f x x a =++存在2个零点，即()y f x =与y x a =--有两个交点，)(x f 的图象如下：要使得y x a =--与)(x f 有两个交点，则有1a -≤即1a ≥-，∴选C.7．（2018全国新课标Ⅱ文、理）函数()2e e x xf x x --=的图像大致为（ ）7．【答案】B【解析】0x ≠，()()2e e x xf x f x x ---==-，()f x ∴为奇函数，舍去A ，()11e e 0f -=->，∴舍去D ；()()()()()243ee e e 22e 2e xx x x x xx xx x f x xx---+---++='=，2x ∴>，()0f x '>，所以舍去C ；因此选B ．8．（2018全国新课标Ⅲ文）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+8.答案：B解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B.9．（2018全国新课标Ⅲ文、理）函数422y x x =-++的图像大致为（ ）9．答案：D解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；又因为3424(22y x x x x x '=-+=-+-，则()0f x '>的解集为(,)(0,)22-∞-U ，()f x 单调递增区间为(,)2-∞-，(0,2；()0f x '<的解集为(,)22-+∞U ，()f x单调递减区间为(2-，()2+∞.结合图象，可知D 选项正确.10．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=（ ）10．【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，()()()311f x f x f x ∴+=-+=-，4T ∴=，因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦， 因为()()31f f =-，()()42f f =-，所以()()()()12340f f f f +++=，()()()222f f f =-=-，()20f ∴=，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==，选C ．11．（2018全国新课标Ⅲ理）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+11．答案：B解答：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，∴0.31log 0.2a =，0.31log 2b =， ∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab+<<， 又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，故选B.二、填空:1．（2018北京理）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 1．【答案】sin y x =（答案不唯一） 【解析】令()(]00402x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．又如，令()sin f x x =，则()00f =，()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，但()f x 在[]0,2上不是增函数．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全数列
全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全数列 2018 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 一、选择题 1．（2018 北京文、理）“十二均匀律”是通用的乐律系统，明朝朱载堉最早用数学方法计算出半 音比率，为这个理论的发展做出了重要贡献． 十二均匀律将一个纯八度音程分红十二份， 挨次获得
十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频次与它的前一个单音的频次的比都等于 12 2 ．若第
一个单音的频次 f ，则第八个单音频次为（ ）
A． 3 2 f B ． 3 22 f C ． 12 25 f D ． 12 27 f
【答案】 D 【分析】由于每一个单音与前一个单音频次比为 12 2 ， an 12 2an 1 n 2， n N ， 7 7 7 又 a1 f ，则 a8 a1q 12 2 12 f 2 f ，应选 D．
2．（ 2018 浙江）已知 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列，且 a1 a2 a3 a4 ln( a1 a2 a3 ) ．若 a
1 1
，则（ ）
A． a1 a3 , a2 a4 B a4 C ． a1 a3 ,a2 a4 D ． a
1 a3 , a2 a
4
． a1 a3 , a
2
答案： B
解答：∵ ln x x 1
，∴
a
1 a2 a3 a4 ln( a1 a2 a3 ) a1 a2 a
3 1
，
得 a4 1，即 a1q3 1，∴ q 0 . 若 q 1 ，则 a
1 a2 a3 a4 a1 (1 q)(1 q2 )
0
，
a1 a2 a3 a1 (1 q q2 ) a1 1 ，矛盾.∴ 1 q 0 ，则 a1 a3 a1 (1 q2 ) 0 ， a2 a4 a1q(1 q2 ) 0 . ∴ a1 a3 ， a2 a4 . 3．（ 2018 全国新课标Ⅰ理） 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和 . 若 3S3 S2 S4 ，a1 2 ，则 a
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1. （2018上海）设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） （A ）3（B ）32（C ）33（D ）02．（2018浙江）函数y =||2x sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2.答案：D解答：令||()2sin 2x y f x x ==，||||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x --=-=-=-，所以()f x 为奇函数①；当(0,)x p Î时，||20x >，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①②可知，选D.3．（2018天津文）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>3．【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<，11031110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >，综上可得：c a b >>．故选D ．4．（2018天津理）已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） (A) a b c >>(B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >>4．【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln 20,1log e b ==∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．5．（2018全国新课标Ⅰ文）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，5.答案：D解答：取12x =-，则化为1()(1)2f f <-，满足，排除,A B ； 取1x =-，则化为(0)(2)f f <-，满足，排除C ，故选D .6．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）6. 答案：C解答：∵()()g x f x x a =++存在2个零点，即()y f x =与y x a =--有两个交点，)(x f 的图象如下：要使得y x a =--与)(x f 有两个交点，则有1a -≤即1a ≥-，∴选C.7．（2018全国新课标Ⅱ文、理）函数()2e e x xf x x --=的图像大致为（ ）7．【答案】B【解析】0x ≠Q ，()()2ee x xf x f x x ---==-，()f x ∴为奇函数，舍去A ，()11e e 0f -=->Q ， ∴舍去D ；()()()()()243ee e e 22e 2e xx x x x xx xx x f x xx---+---++='=Q ，2x ∴>，()0f x '>，所以舍去C ；因此选B ．8．（2018全国新课标Ⅲ文）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+8.答案：B解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B.9．（2018全国新课标Ⅲ文、理）函数422y x x =-++的图像大致为（ ）9．答案：D解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；又因为322424(y x x x x x '=-+=-+，则()0f x '>的解集为22(,)(0,)22-∞-U ，()f x 单调递增区间为2(,)2-∞-，2(0,2；()0f x '<的解集为22(,)22-+∞U ，()f x 单调递减区间为2(2-，2()2+∞.结合图象， 可知D 选项正确.10．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=L （ ）10．【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，()()()311f x f x f x ∴+=-+=-，4T ∴=，因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦L ， 因为()()31f f =-，()()42f f =-，所以()()()()12340f f f f +++=，()()()222f f f =-=-Q ，()20f ∴=，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L ，选C ．11．（2018全国新课标Ⅲ理）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+11．答案：B解答：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，∴0.31log 0.2a =，0.31log 2b =， ∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab+<<， 又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，故选B.二、填空:1．（2018北京理）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 1．【答案】sin y x =（答案不唯一） 【解析】令()(]00402x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．又如，令()sin f x x =，则()00f =，()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，但()f x 在[]0,2上不是增函数．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
2018年高考数学全国卷试题答案解析(6套)
中，最短路径的长度为
5
A. 【答案】B
B.
C.
D. 2
【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点 M 和点 N 在圆柱上所处的位置，点 M 在上底面上，点 N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点 M、N 在其四分之一的 矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的 长方形的对角线的端点处， 所以所求的最短路径的长度为 ，故选 B.
【答案】B 【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为 ，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 详解：根据题意有 所以函数 且最大值为 的最小正周期为 ，故选 B. ， ，
点睛： 该题考查的是有关化简三角函数解析式， 并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的 性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 9. 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上的点 在正视图上的对 应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径
2018 年高考全国卷数学试题答案解析
目录
文科 全国一卷 全国二卷 全国三卷 2-18 19-35 36-47
理科 全国一卷 全国二卷 全国三卷 48-66 67-80 81-96
1
全国卷 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ科数学试题解析
1. 已知集合 A. 【答案】A 【解析】 分析： 利用集合的交集中元素的特征， 结合题中所给的集合中的元素， 求得集合 中的元素，最后求得结果. 详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得 2. 设 A. 0 B. ，则 C. D. ，故选 A. B. ， C. D. ，则
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数 三角恒等变换)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭Q 对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>Q ，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan 5α=±；当tan 5α=时，可得15a =，25b =，即5a =，5b =，此时5a b -=；当tan 5α=-时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案： 解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________．5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=Q ，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。