【数学】吉林省长春市九台区2019-2020学年高二下学期期中考试(理)
吉林省长春市九台区师范高中实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 含解析
九台区师范高中、实验高中2018-2019学年度第二学期期中考试高二理科数学试题注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.全部答案在答题卡上完成，否则无效.交卷时只交答题卡.3.答题时间为120分钟；试卷满分为150分.第Ⅰ卷(选择题）一、选择（每小题5分，共60分） 1.下列导数运算正确的是（ ） A. ()121xx'- B. 1(2)2x x x '-=C. cos sin x x '=（）D. 1(ln )1x x x'+=+【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，可得对于A 中，121x x '=-﹣（），所以不正确； 对于B 中，x x l 22n 2'（）＝，所以不正确； 对于C 中，cosx sinx '=-（），所以不正确； 对于D 中，1lnx x (ln x)x 1x''+'=+=+（），所以是正确的，故选D ． 【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式表以及导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础． 2.204x dx -=⎰（ ）A. πB. 2πC. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】 根据定积分204x dx -ò表示直线0,2,0x x y ===与曲线24y x =-即可求【详解】因为定积分204x dx -ò表示直线0,2,0x x y ===与曲线24y x =-围成的图像面积， 又24y x =-224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分204x dx -ò表示圆224x y +=的14，其中0,02y x ≥≤≤， 故2201424x dx ππ-=⋅⋅=⎰.故选A【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型.3.“指数函数(0)x y a a =>是减函数，2x y =是指数函数，所以2xy =是减函数”上述推理（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 以上都不是【答案】A 【解析】 【分析】根据底数情况即可判断大前提为错误. 【详解】指数函数的单调性由底数a 决定: 当1a >时, 指数函数xy a =为增函数,当01a << 时指数函数x y a =为减函数,所以大前提错误. 所以选A 【点睛】本题考查了演绎推理的定义及形式,属于基础题.4.用反证法证明命题：“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”，其反设正确的是（ ）A. a ，b 至少有一个为0B. a ，b 至少有一个不为0C. a ，b 全不为0D. a ，b 全为0【答案】B 【解析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立即可.【详解】因为命题“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”的否定为“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 至少有一个不为0”；因此，用反证法证明命题：“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”，其反设为“a ，b 至少有一个不为0”.故选B【点睛】本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型.5.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A. 20 B. 30 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】 【分析】由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出2个进行排列，即可得出结果.【详解】由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾只能是2、4、6中的一个， 再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可，因此，偶数的个数为123560C A =.故选C【点睛】本题主要考查排列组合问题，根据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础题型.6.6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( ) A. 18 B. 72C. 36D. 144【答案】D 【解析】 【分析】甲、乙、丙三人相邻，用捆绑法分析，把三个元素看做一个元素同其他两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、甲、乙、丙三人必须站在一起，将三人看做一个元素，考虑其顺序有A 33＝6种情况， ②、将这个元素与剩余的三个人进行全排列，有A 44＝24种情况， 则不同的排列种数为6×24＝144种； 故选：D ．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素.7.若复数2(3)z i i =+，则z 的共轭复数z =（ ） A. 6-2i B. -2-6iC. -26i +D. -62i +【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数的运算，化简复数为代数形式，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由2(3)26z i i i =+=-+，由共轭复数的概念，可得26z i =--，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的应用，其中解答中熟记复数的运算，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A. 46801010100C C C B. 64801010100C C C C. 46802010100C C C D. 64802010100C C C 【答案】D 【解析】本题是一个古典概型， ∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有10100C 种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有648020C C 种取法，由古典概型公式得到P= 64802010100C C C ⋅，本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.9.点P 的直角坐标为(3)-，则点P 的极坐标可以为（ ） A. 223,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 523,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 23,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到结论． 【详解】∵点P 的直角坐标为(3-， ∴2222(3)(3)23x y ρ=+=-+=33y tan x θ==-． ∵点P 在第二象限， ∴取θ56π=． ∴点P 的极坐标方程为（2356π）． 故选：B ．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，确定角的时候，要注意点所在的象限，，属于基础题．10.若圆的方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，直线的方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( ) A. 相离B. 相交C. 相切D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆和直线的普通方程，再判断直线与圆的位置关系得解.【详解】由题得圆的方程为22+4x y =，它表示圆心为原点，半径为1的圆. 直线的方程为x-y-2=0, 所以圆心到直线的距离22221(1)d ==<+-，所以直线和圆相交， 故选：B【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( ) A.15B.13C. 38D.37【答案】B 【解析】设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则()63n A =，()21n AB = ，故 ()1(|)()3n AB P B A n A ==． 故选：B点睛：点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝()()P AB P A ,求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝()()n AB n A .12.设函数()f x '是奇函数()(0)f x x ≠的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的的取值范围是（ ） A. (2,0)(0,2)-UB. (20)-,C. (0,2)D.(2,0)(2,)-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】 先令()()f x g x x=，对()g x 求导，根据题中条件，判断函数()g x 单调性与奇偶性，作出()g x 的图像，结合图像，即可求出结果.【详解】令()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=， 因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以2()()()0xf x f x g x x '-'=>， 即()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增；又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因此()()()()f x f x g x g x x x--===-， 故()()f x g x x =为偶函数，所以()()f x g x x=在(,0)-∞上单调递减；因为(2)0f -=，所以(2)0g -=，故(2)0=g ； 作出()()f x g x x=简图如下：由图像可得， ()0f x >的解集为(2,0)(2,)-⋃+∞. 故选D【点睛】本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题(每小题5分，共20分)13.在7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为_____. 【答案】-84 【解析】 【分析】根据二项式展开式公式得到()()7271431771221rrr rr rr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，进而得到当=5r 时得到项1x，代入求解即可. 【详解】7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为：()()7271431771221rr r r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 当=5r 时得到项1x，代入得到系数为()55272184.C -=- 故答案为：-84.【点睛】这个题目考查了二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1C k n k kk n T a b -+=的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围(0,1,2,,k n =⋅⋅⋅). ①第m 项：此时1k m +=,直接代入通项；②常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.14.设随机变量X 的分布列()2i kP X i ==(1,2,3)i =,则(2)P X ≥= _______ 【答案】37。
吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文(含解析)-吉林省长春市
吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一、选择题（每题5分，共60分） 1.复数34i -的虚部是 A. 4 B. 4-C. 4iD. 4i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合复数虚部的定义求解虚部即可.【详解】由复数虚部的定义可知复数34i -的虚部为4-. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查虚部的定义，属于基础题目.2.已知两点A （﹣1，2），B （3，4），则直线AB 的斜率为（ ） A. 2 B. 12-C.12D. ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】由112212(,),(,),A x y B x y x x ≠，则过,A B 两点的直线的斜率为1212y y k x x -=-，将题设中数据代入运算即可得解.【详解】解：由过两点的直线的斜率公式可得：过,A B 两点的直线的斜率为241132k -==--，故选：C.【点睛】本题考查了过两点的直线的斜率公式，重点考查了运算能力，属基础题. 3.圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A. (1,1)-B. 1(,1)2-C. (1,2)-D.1(,1)2--【解析】 【分析】将222100x y x y +++-=化为圆的标准方程可看出圆心坐标.【详解】将222100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得()2211451110244x y ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭, 即可看出圆的圆心为1(,1)2--. 故选：D.【点睛】本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题. 4.复数()12i i -=( ) A. 2i + B. 2i -+ C. 2i - D. 2i --【答案】A 【解析】 【分析】按多项式的乘法法则进行运算, 把2i 换成1-，得到结果. 【详解】()21222i i i i i -=-=+故选：A【点睛】复数的乘法(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i 看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i 的幂写成简单的形式；(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．5.圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ） A. 22(2)1x y ++= B. 22(2)1x y +-= C. 22(1)(3)1x y -+-=D. 22(3)1x y +-=【解析】∵圆心在y 轴上，C 项圆心为(1,3)不合要求，排除选项C ，又∵圆过点(1,2)，可排除选项A ，D ，只有B 项符合题意，故选B ．6.已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（ ） A. 1213-B. 513- C. 513D.1213【答案】A 【解析】cosα＝±21sin α-＝±1213，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－1213.7.将极坐标22,3π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为（ ）A. (1,3)-B. (1,3)-C. (3,1)-D. (3,1)-【答案】B 【解析】 【分析】 利用cos sin x y ρθρθ⎧⎨⎩＝＝可将极坐标化为直角坐标，即可得出结果．【详解】由题意可知，22cos 1322sin 33x y ππ⎧==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， ∴直角坐标为(1,3)-． 故选：B ．【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．8.圆1O ：2220x y x +-=与圆2O ：2240x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】B 【解析】利用配方法，得出圆心和半径，求出圆心距，与两半径之和、两半径差的绝对值作比较，即可判断圆与圆的位置关系．【详解】两圆的标准方程为：()2211x y -+=，()2224x y +-=，对应圆心坐标为()11,0O ，半径为11r =，和圆心坐标()20,2O ，半径为22r =， 则圆心距离()()221210025O O =-+-=，123r r +=，121r r -=121212r r OO r r -<<+，即两圆相交. 故选：B ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出圆的标准方程，用圆心距和两圆半径之和、两半径差的绝对值作比较是常用的方法，考查运算求解能力，是基础题. 9.设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则（ ） A. T π=,1A = B. 2T π=,1A = C. T π=,2A = D. 2T π=,2A =【答案】A 【解析】试题分析：由于三角函数的最小正周期，最大值为：Ａ＋Ｂ；所以函数2sin 21y x =-的最小正周期，最大值：Ａ＝2－1＝1；故选Ａ．考点：三角函数的周期与最值． 10.不等式25x +≤的解集是（ ） A. {}12x x x ≤≥或B. {}73x x -≤≤C. {}37x x -≤≤D.{}59x x -≤≤【答案】B 【解析】直接利用绝对值不等式的公式求解即可. 【详解】解：因为25x +≤，525x ∴-≤+≤，解得73x -≤≤， 故选：B.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，利用绝对值不等式的公式,(0)ax b c c c ax b c +<>⇒-<+<直接去绝对值即可，是基础题.11.直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A .125B.1255 C.955D.9105【答案】B 【解析】【详解】把直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9，5t 2＋8t －4＝0， |t 1－t 2|＝22121281612()4()555t t t t +-=-+=， 所以弦长1212555t t -=. 点睛：过点00(,)P x y 的直线l 的参数方程00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），只要满足221a b +=且0b >，由此参数方程为直线的标准参数方程，其参数t 具有几何意义，设直线上任一点M 对应的参数为t ，则PM t =，这是标准参数方程的几何意义． 12.将函数2()2cos 14g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 当x ∈R 时，函数()f x 为奇函数 C. x π=是函数()f x 的一条对称轴 D. 函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先用二倍角公式转化()g x ，再利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，求得()f x 的解析式，再利用余弦函数的图像和性质，判断各个选项是否正确. 【详解】将函数2()2cos 1cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度， 纵坐标不变，可得cos 2cos 242y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()cos f x x =， 则函数()f x 的最小正周期221T ππ==，故A 选项错误； 当x ∈R 时，函数()cos f x x =为偶函数，故B 选项错误； 函数()cos f x x =的对称轴为()x k k Z π=∈，故C 选项正确； 函数()cos f x x =在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，故D 选项错误； 故选：C【点睛】本题考查了函数()sin y A ωx φ=+图像变换规律以及三角函数的性质和图像，属于一般题.二、填空题（每题5分，共20分）13.已知01x <<,则()1x x -的最大值为______． 【答案】14【解析】 【分析】利用配方法，结合二次函数性质，求得()1x x -的最大值.【详解】由于()2211124x x x x x ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭，故当12x =时，()1x x -取得最大值为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭. 故填：14. 【点睛】本小题主要考查二次函数求最大值的方法，属于基础题.14.已知直线1:4230l x y -+=与直线2:210l ax y ++=垂直，则a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】若直线110A x B y C ++=与直线220A x B y D ++=垂直,则12120A A B B +=,进而求解. 【详解】由题,因为两直线垂直, 所以4220a -⨯=, 所以1a =, 故答案为:1【点睛】本题考查由两直线垂直求参数,属于基础题.15.已知圆22:4C x y +=，则过点(1,3)A 且与圆C 相切的直线方程为_____． 【答案】340x y +-= 【解析】 【分析】先判断点A 在圆上，再根据过圆上的点的切线方程的方法求出切线方程. 【详解】由22134+=，则点A 在圆上，3OAk =，所以切线斜率为13k =-，因此切线方程为()1313y x -=--，整理得340x y ∴+-=.故答案为：340x y +-=【点睛】本题考查了过圆上的点的求圆的切线方程，属于容易题.16.函数sin 3cos y x x =-的图象可由函数sin 3cos y x x =+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 【答案】23π 【解析】试题分析：sin 3cos 2sin(),sin 3cos 2sin()33y x x x y x x x ππ=-=-=+=+,故应至少向右平移23π个单位. 考点：1、三角恒等变换；2、图象的平移.三、解答题（17--21每题13分共65分，两问的题第一问6分，第二问7分） 17.已知复数22(56)(215)z m m m m i =+++--（m R ∈），试问m 为何值时， （1）z 为实数（2）z 所对应的点落在第三象限【答案】（1）3m =-或5m =；（2）32m -<<-. 【解析】【详解】试题分析：(1)z 为实数，则虚部为0，解方程可得3m =-或5m =； (2)由题意可得实部虚部均小于零，求解不等式组可得32m -<<-. 试题解析：（1）z 为实数，则虚部为0，即22150m m --=， 解得3m =-或5m =（2）要使复数z 所对应的点落在第三象限，则22560{2150m m m m ++<--<解得：32{35m m -<<--<<，即32m -<<-.18.已知两条直线1:240l x y -+= 与2:20l x y +-=的交点为P ，直线3l 的方程为：3450x y -+=（1）求过点P 且与3l 平行的直线方程； （2）求过点P 且与3l 垂直的直线方程．【答案】（1）3480x y -+=；（2）4360x y +-=． 【解析】 【分析】先联立方程组，求出交点坐标.(1)根据平行关系得所求直线斜率，再求出直线方程； (2)根据垂直关系得所求直线斜率，再求出直线方程【详解】解：（1）由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得02x y =⎧⎨=⎩, ∴(0,2)P ，∵334l k =，∴过点P 且与3l 平行的直线方程为：32(0)4y x -=-， 即3480x y -+= （2）∵(0,2)P ，334l k =， 过点P 且与3l 垂直的直线方程为：42(0)3y x -=-- 即4360x y +-=【点睛】本题考查了求两直线的交点，两直线平行与垂直关系，点斜式求直线方程，属于容易题.19.已知直线：20mx y --=与圆C ：22(1)(2)1x y ++-=， （1）若直线与圆C 相切，求m 的值． （2）若2m =-，求圆C 截直线所得的弦长． 【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：本题第（1）问，由于直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即有2411m m --=+，只要解出m 即可；第（2）问，先求出圆心到直线的距离25d =，由于原的半径为1，则由勾股定理可求出弦长． 解：（1）直线l 与圆O 相切，∴圆心(1,2)O -到直线l 的距离2411m m --=+，解得158m =-(2)当2m =-时，直线l 的方程为220x y ++=，圆心(1,2)O -到直线l 的距离25d =， ∴弦长22221()555L =-=考点：直线与圆的位置关系．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练运用此性质是解本题的关键．20.已知直线352:{132x t l y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值. 试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，②（2）将352132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②得253180t t ++=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.21.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲线222:12x C y .（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若射线((0)6πθρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .【答案】（1）2cos ρθ=，()222cos 2sin 2ρθθ+=；（2）21035. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C ，2C 的极坐标方程； （2）分别求得点,A B 对应的的极径21253,10p ，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)可化为普通方程：()2211x y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 曲线222:12x C y 的极坐标方程为()222cos 2sin 2ρθθ+=.（2）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为1236cos， 射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足22126sin ，解得22105， 所以1221035AB. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 延展题：22.关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④. 【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确；对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确. 故答案：①③.【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题.。
2019-2020学年长春外国语学校高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年长春外国语学校高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.已知复数z满足z(1+i)=i，则复数z为()A. B. C. 1+I D. 1−i3.已知函数，若对任意 2，都有<0成立，则的取值范围是()A. (0,]B. (，1)C. (1,2)D. (−1,2)4.给出下列命题：①函数f(x)=4cos(2x+π3)+1的一个对称中心为(−5π12,0)；②函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于x=0对称；③命题“∀x>0，x2+2x−3>0”的否定是“∃x≤0，x2+2x−3≤0”；④若α，β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ，其中正确命题的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.函数f(x)=lg(sinx+a)的定义域为R，且存在零点，则实数a的取值范围是()A. [1,2]B. (1,2]C. [2,3)D. [2,3]6. 2.在平均变化率的定义中，自变量在处的增量应满足A. B. C. D.7.执行如图的程序框图，输入x=−2，ℎ=1，那么输出的各个数的和等于()A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知直线是圆 的对称轴，过点A(−4,a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则 =( )A. 2B.C. 6D.9. 己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A. B.C.D. 2 10. 已知直线y =k(x +1)与抛物线C:y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k =( )A. ±B. ±C. ±D. 11. 已知函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=x 2+2x ，则f(1)=( )A. 1B. −1C. 3D. −312. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +2)=2+√f(x)，则f(2021)=( )A. 1B. 2C. 4D. 8二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 1关于右顶点A 的对称点为P ，若右焦点F 2恰好是线段AP 的中点，则双曲线的离心率是______．14. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3，则z =y+1x 的最小值是______ ．三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）)对任意的实数x 15.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,φ<0)的最小正周期为π，且f(x)≥f(π3都成立，则ω的值为(1)；φ的最大值为(2)．16.在空间中，两个不同平面把空间最少可分成部分，最多可分成部分．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．(1)若c=√6，A=45°，a=2，求C、b；(2)若4a2=b2+c2+2bc，sin2A=sinB⋅sinC，试判断△ABC的形状．18.S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a4=−10，S8=−64．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．19.如图ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．(1)PA||平面BDE；(2)证明：DE⊥面PBC．20. 已知圆C ：x 2+(y +√3)2=16，点A(0,√3)，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ，直线l ：y =kx +m 与y 轴交于点D ，与曲线E 交于M ，N 两个相异点，且MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)若MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m 2的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 2+ax +b ，g(x)=e x (cx +d)，若曲线y =f(x)和曲线y =g(x)都过点P(0,2)，且在点P 处有相同的切线y =4x +2．(Ⅰ)求a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)若x ≥−2时，f(x)≤kg(x)，求k 的取值范围．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点Q(−1,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x =−4于点E ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ .判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．23. 已知函数f(x)=13x 3−a+12x 2+bx +a(a,b ∈R)，其导函数f′(x)的图象过原点．(1)当a =1时，求函数f(x)的图象在x =3处的切线方程；(2)若存在x <0，使得f′(x)=−9，求a 的最大值；(3)当a >−1时，确定函数f(x)的零点个数．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：试题分析：依题意，由．考点：复数的概念与运算3.答案：A解析：解：由f(x1)−f(x2)x1−x2<0可知函数单调递减，则满足，即，∴，故选A．4.答案：D解析：解：①∵y=cosx的对称中心为：(kπ+π2,0)(k∈z)∴2x+π3=kπ+π2得：x=kπ2+π12(k∈z)当k=−1时，x=−5π12∴函数f(x)=4cos(2x+π3)+1的一个对称中心(−5π12,0)，故正确．②函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于x=0对称，正确；③命题“∀x>0，x2+2x−3>0”的否定是“∃x≤0，x2+2x−3≤0”，根据命题的否定的写法，可知正确；④若α，β均为第一象限角，且α>β，则sinα<sinβ.显然不正确如α=390°，β=30°，显然α>β，但是sinα=sinβ故选：D．①利用y=cosx的对称中心为：(kπ+π2,0)(k∈z)，可得函数f(x)=4cos(2x+π3)+1的一个对称中心为(−5π12,0)；②利用图象变换，可得函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于x=0对称；③根据命题的否定的写法，可知正确；④如α=390°，β=30°，显然α>β，但是sinα=sinβ．本题考查余弦函数的对称性，以及余弦函数的图象、命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，本题为中档题．5.答案：B解析：f(x)的定义域为R，即sinx+a>0恒成立，根据函数存在零点，可得lg(sinx+a)=0有解，由此能求出实数a的取值范围．本题考查对数函数的性质和应用，以及三角函数的有界性，解题时要认真审题，仔细解答，属中档题．解：f(x)的定义域为R，即sinx+a>0恒成立，∴a>1，∵函数f(x)=lg(sinx+a)存在零点，即lg(sinx+a)=0有解，∴sinx+a=1有解，解得0≤a≤2∴1<a≤2．故选B．6.答案：D解析：此题考查平均变化率的定义；平均变化率的表达式是，所以7.答案：C解析：解：：第1步：y=0，x=−1；第2步：y=0，x=0；第3步：y=0，x=1；第4步：y=1，x=2；第5步：y=1，退出循环，输出各数和为：1+1=2，故选：C．结合框图，写出前几次循环得到结果，直到x的值大于等于2，退出循环，将各步的y值加起来即为输出的各个数的和．本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环得到的结果，从中找到规律，属于基础题．8.答案：C解析：本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay−1=0经过圆C的圆心(2,1)，求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值，属于基础题．解：∵圆C：x2+y2−4x−2y+1=0，即(x−2)2+(y−1)2=4，表示以C(2,1)为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay−1=0经过圆C的圆心(2,1)，故有2+a−1=0，∴a=−1，点A(−4,−1)．∵AC=√(−4−2)2+(−1−1)2=2√10，CB=R=2，∴切线的长|AB|=√AC2−CB 2=√40−4=6．故选C．9.答案：D解析：试题分析：该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，半圆柱的底面为半径为的半圆，高为；三棱柱的底面为边长为的正三角形，高为，所以体积为．考点：三视图，柱的体积公式10.答案：A解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线y=k(x+1)过定点E(−1,0)，根据抛物线的定义可知B为AE的中点，所以x2=，y2=，由得所以直线斜率k===±．11.答案：A解析：解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(1)=−f(−1)，∵当x<0时，f(x)=x2+2x，∴f(1)=−f(−1)=−(1−2)=1．故选A．利用函数的奇偶性将f(1)转化为f(1)=−f(−1)，然后直接代入已知的解析式即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f(1)转化到已知条件上是解决本题的关键． 12.答案：C解析：解：根据题意，定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +2)=2+√f(x)，则有f(−x +2)=2+√f(−x)=2+√f(x)，则有f(x +2)=f(−x +2)，变形可得f(x)=f(4−x)，则有f(x +4)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2021)=f(1+2020)=f(1)，在f(x +2)=2+√f(x)中，令x =−1可得：f(1)=2+√f(−1)，即f(1)=2+√f(1)， 解可得：f(1)=4或−1(舍)，则f(2021)=4；故选：C ．根据题意，利用偶函数的性质可得f(x +2)=f(−x +2)，变形可得f(x +4)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可得f(2021)=f(1+2020)=f(1)，在f(x +2)=2+√f(x)中，令x =−1可得f(1)的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于中档题．13.答案：3解析：解：易知F 1(−c,0)，A(a,0)，故P(c +2a,0)，又2c =a +c +2a ，即c =3a ，所以离心率是3．故答案为：3．利用已知条件推出A ，C 的关系，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.答案：1解析：解：画出{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3的可行域，如图：z =y+1x 的几何意义是可行域内的点M 与(0,−1)连线的斜率，{x +y =32x −y =3的交点M(2,1)处，目标函数z最小值为1故答案为：1．由线性约束条件画出可行域，确定目标函数的几何意义，然后求出目标函数的最大值．本题只是直接考查线性规划问题，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．15.答案：2− 5π解析：解：∵函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,φ<0)的最小正周期为2πω=π，∴ω=2．∵f(x)≥f(π3)对任意的实数x都成立，∴cos(ωx+φ)≥cos(2π3+φ)恒成立，故cos(2π3+φ)=−1，故2π3+φ=2kπ+π，k∈Z，∴φ=π3+2kπ，故φ的最大值为−5π3，故答案为：2；−5π3．由题意可得余弦函数的最小正周期为为2πω=π，可得ω的值；再根据题意，cos(2π3+φ)=−1，结合φ<0求得φ的最大值．本题主要考查余弦函数的周期性和最小值，函数的恒成立问题，属于基础题．16.答案：34解析：本题考查的知识要点：平面的定义和性质，平面间的位置关系，主要考查学生对定义的理解和应用，属于基础题．直接利用平面间的位置关系的应用求出结果．解：当两个平面互相平行时，可以把空间分成三部分，当两个平面相交时，可以把空间分成四部分．故答案为：三；四．17.答案：解：(1)△ABC中，由正弦定理可得：√22=√6sinC，∴sinC=√32，∴C=60°或120°，当C=60°时，B=75°，∴sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6+√24．再由正弦定理可得√22=bsin75°=√6+√24，∴b=√3+1；当C=120°时，B=15°，∴sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，再由正弦定理可得√22=bsin15°=√6−√24，∴b=√3−1；(2)∵sin2A=sinB⋅sinC，∴a2=bc，又4a2=b2+c2+2bc=4bc，∴(b−c)2=0，∴b=c，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．解析：本题考查正弦定理的应用，两角和差的正弦公式，判断三角形形状的方法，是一道中档题．(1)△ABC中，由正弦定理求出sin C的值，可得C的值，由三角形内角和公式可得到B的值，利用两角和差的正弦求出sin B的值，再由正弦定理求出b．(2)由sin2A=sinB⋅sinC可得a2=bc，根据4a2=b2+c2+2bc可得b=c，故有a=b=c，△ABC 为等边三角形．18.答案：解：(1)由a4=−10，S8=−64，可得{a1+3d=−108a1+8×72d=−64，解得a1=−22，d=4，∴a n=−22+4(n−1)=4n−26；(2)S n =−22n +n(n−1)2×4=2n 2−24n ，其对称轴为n =6，故当n =6时，S n 的最小值为−72．解析：(1)根据题意可得{a 1+3d =−108a 1+8×72d =−64，解得a 1=−22，d =4，即可求出通项公式； (2)根据前n 项和公式即可求出，根据二次函数的性质即可求出．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用方程思想，考查数列的求和方法，属于基础题． 19.答案：证明：(1)连结AC 交BD 于F ，连结EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴F 是AC 的中点，又E 是PC 的中点，∴EF//PA ，又EF ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA//平面BDE ．(2)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又BC ⊥CD ，PD ∩CD =D ，∴BC ⊥平面PCD ，又DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PD =CD ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC ，又PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，PC ∩BC =C ，∴DE ⊥平面PBC ．解析：(1)连结AC 交BD 于F ，连结EF ，由中位线定理可得EF//PA ，故而得出结论；(2)先证BC ⊥平面PCD 得出BC ⊥DE ，结合DE ⊥PC 得出结论．本题考查了线面平行，线面垂直的判定，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)如图，由题意可得：|QA|=|QP|，则|QA|+|QC|=|PC|=4>2√3，∴点Q 的轨迹曲线E 是以A ，C 为焦点的椭圆，其中2a =4，a =2，c =√3，则b =1．∴曲线E 的方程为y 24+x 2=1；(Ⅱ)联立{y =kx +m y 24+x 2=1，可得(k 2+4)x 2+2kmx +m 2−4=0． 由△=4k 2m 2−4(k 2+4)(m 2−4)>0，得k 2−m 2+4>0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).则x 1+x 2=−2km k 2+4，①x 1x 2=m 2−4k 2+4，②∵D(0,m)，∴MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,m −y 1)，DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−m)， 由MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(−x 1,m −y 1)=(3x 2,3y 2−3m)， 则−x 1=3x 2，③联立①③，得x 1=−3km k 2+4，x 2=km k 2+4，代入②，得−3k 2m 2=(k 2+4)(m 2−4)，即k 2m 2−k 2+m 2−4=0，得k 2=4−m 2m 2−1， 代入k 2−m 2+4>0，得4−m 2m 2−1−m 2+4>0， 即m 2(m 2−4)m 2−1<0，解得1<m 2<4．∴m 2的取值范围是(1,4)．解析：(Ⅰ)由题意画出图形，可得|QA|+|QC|=|PC|=4>2√3，得到点Q 的轨迹曲线E 是以A ，C 为焦点的椭圆，求得a 与c ，进一步得到b ，则曲线E 的方程可求；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，可得(k 2+4)x 2+2kmx +m 2−4=0.由判别式大于0得k 2−m 2+4>0.再由向量等式可得k 2=4−m 2m 2−1，代入k 2−m 2+4>0，即可求得m 2的取值范围． 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 21.答案：解：(Ⅰ)由题意知f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4，而f′(x)=2x +a ，g′(x)=e x (cx +d +c)，故b =2，d =2，a =4，d +c =4，从而a =4，b =2，c =2，d =2；(Ⅱ)由(I)知，f(x)=x 2+4x +2，g(x)=2e x (x +1)设F(x)=kg(x)−f(x)=2ke x (x +1)−x 2−4x −2，则F′(x)=2ke x (x +2)−2x −4=2(x +2)(ke x −1)，由题设得F(0)≥0，即k ≥1，令F′(x)=0，得x 1=−lnk ，x 2=−2，①若1≤k <e 2，则−2<x 1≤0，从而当x ∈(−2,x 1)时，F′(x)<0，当x ∈(x 1,+∞)时，F′(x)>0， 即F(x)在(−2,x 1)上减，在(x 1,+∞)上是增，故F (x)在[−2,+∞)上的最小值为F(x 1)，而F(x 1)=−x 1(x 1+2)≥0，x ≥−2时F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k =e 2，则F′(x)=2e 2(x +2)(e x −e −2)，从而当x ∈(−2,+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在(−2,+∞)上是增，而F(−2)=0，故当x ≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立． ③若k >e 2时，F′(x)>2e 2(x +2)(e x −e −2)，而F(−2)=−2ke −2+2<0，所以当x >−2时，f(x)≤kg(x)不恒成立，综上，k 的取值范围是[1,e 2].解析：(Ⅰ)对f(x)，g(x)进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y =f(x)和曲线y =g(x)都过点P(0,2)，从而解出a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)由(I)得出f(x)，g(x)的解析式，再求出F(x)及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出F(x)的最值，从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立，从而求出k 的范围．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．22.答案：解：(1)由题意可得{2b 2a =12b =a ，解得{a =2b =1， ∴椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)易知直线l 斜率存在，令l ：y =k(x +1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，E(−4,y 0).联立{y =k(x +1)x 2+4y 2=4，化为(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0， △>0．x 1+x 2=−8k 21+4k ，x 1x 2=4k 2−41+4k ，(∗)∵AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(−1−x 1,−y 1)=λ(x 2+1,y 2)，可得−(x 1+1)=λ(x 2+1)． 得λ=−x 1+1x 2+1．由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(−4−x 1,y 0−y 1)=μ(x 2+4,y 2−y 0)，可得−(x 1+4)=μ(x 1+4)， 得μ=−x 1+4x 2+4．∴λ+μ=−(x 1+1)(x 2+4)+(x 1+4)(x 2+1)(x 2+1)(x 2+4)=−2x 1x 2+5(x 1+x 2)+8(x 2+1)(x 2+4)， 把(∗)代入分子=8k 2−81+4k 2−40k 21+4k 2+8=0， ∴λ+μ=0．解析：(1)由题意可得{2b 2a =12b =a ，解得即可．(2)易知直线l 斜率存在，令l ：y =k(x +1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，E(−4,y 0).与椭圆的方程联立化为(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0，可得根与系数的关系，由AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ .利用向量的线性运算即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23.答案：解：(1)∵f(x)=13x 3−a+12x 2+bx +a ，∴f′(x)=x 2−(a +1)x +b ，∵导函数f′(x)的图象过原点，∴f′(0)=0，∴b =0，a =1时，f′(x)=x 2−2x ，∴f′(3)=3，∵f(3)=1，∴切线方程为3x −y −8=0； (2)存在x <0，使得f′(x)=x 2−(a +1)x =−9，∴a +1=x +9x ，∵x <0，∴x +9x ≤−6，∴a ≤−7，∴a 的最大值为−7；(3)f′(x)=x 2−(a +1)x =x[x −(a +1)]．−1<a <0时，f(0)=a <0，f(a +1)<0，∴零点1个；a =0时，f(a +1)<0，f(32)=0，f(3)>0，零点两个；a>0时，f(0)=a>0，f(a+1)<0，零点三个．解析：(1)先确定函数解析式，求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′(3)，即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可；(2)存在x<0，使得f′(x)=x2−(a+1)x=−9，可得a+1=x+9，即可求a的最大值；x(3)当a>−1时，分类讨论，确定函数的极大值与极小值，即可确定函数f(x)的零点个数．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查根的存在性及根的个数判断，考查分类讨论的数学思想，难度中等．。
吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题
吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.设函数()f x '是奇函数()(0)f x x ≠的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的的取值范围是（ ）A. (－2,0)∪(0,2)B. (－2,0)C. (0,2)D. (－2,0)∪(2,+∞)答案及解析：1.D 【分析】 先令()()f x g x x=，对()g x 求导，根据题中条件，判断函数()g x 单调性与奇偶性，作出()g x 的图像，结合图像，即可求出结果.【详解】令()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=， 因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以2()()()0xf x f x g x x'-'=>， 即()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增；又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因此()()()()f x f x g x g x x x--===-， 故()()f x g x x =为偶函数，所以()()f x g x x=在(,0)-∞上单调递减；因为(2)0f -=，所以(2)0g -=，故(2)0=g ；答案第2页，总16页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………作出()()f x g x x=简图如下：由图像可得， ()0f x >的解集为(2,0)(2,)-⋃+∞. 故选D【点睛】本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型. 2.若复数2(3)z i i =+，则z 的共轭复数z =（ ） A. 6-2iB. -2-6iC. -26i +D. -62i +答案及解析：2.B 【分析】直接利用复数的运算，化简复数为代数形式，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由2(3)26z i i i =+=-+，由共轭复数的概念，可得26z i =--，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的应用，其中解答中熟记复数的运算，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3.用反证法证明命题：“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”，其反设正确的是 （ ） A. a ，b 至少有一个为0 B. a ，b 至少有一个不为0 C. a ，b 全不为0D. a ，b 全为0答案及解析：3.B 【分析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立即可.【详解】因为命题“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”的否定为“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 至少有一个不为0”；因此，用反证法证明命题：“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”，其反设为“a ，b 至少有一个不为0”.故选B【点睛】本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型. 4.设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）A. 46801010100C C C B. 64801010100C C C C. 46802010100C C C D. 64802010100C C C 答案及解析：4.D本题是一个古典概型， ∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有10100C 种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有648020C C 种取法，由古典概型公式得到P= 64802010100C C C ⋅， 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 5.点P 的直角坐标为(-，则点P 的极坐标可以为（ ） A. 23π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 56π⎛⎫ ⎪⎝⎭答案第4页，总16页C. 56π⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭答案及解析：5.B 【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到结论． 【详解】∵点P 的直角坐标为(-， ∴ρ===3y tan x θ==-． ∵点P 在第二象限， ∴取θ56π=． ∴点P 的极坐标方程为（56π）． 故选：B ．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，确定角的时候，要注意点所在的象限，属于基础题． 6.下列导数运算正确的是（ ） A. ()121xx '- B. 1(2)2x x x '-= C. cos sin x x '=（）D. 1(ln )1x x x'+=+答案及解析：6.D 【分析】根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，可得对于A 中，121x x '=-﹣（），所以不正确； 对于B 中，x x l 22n 2'（）＝，所以不正确；对于C 中，cosx sinx '=-（），所以不正确； 对于D 中，1lnx x (ln x)x 1x''+'=+=+（），所以是正确的，故选D ． 【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式表以及导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础． 7.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A. 20B. 30C. 60D. 120答案及解析：7.C 【分析】由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出2个进行排列，即可得出结果.【详解】由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾只能是2、4、6中的一个， 再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可，因此，偶数的个数为123560C A =.故选C【点睛】本题主要考查排列组合问题，根据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础题型. 8.若圆的方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，直线的方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( ) A. 相离B. 相交C. 相切D. 不能确定答案及解析：8.B 【分析】先求出圆和直线的普通方程，再判断直线与圆的位置关系得解.【详解】由题得圆的方程为22+4x y =，它表示圆心为原点，半径为1的圆. 直线的方程为x-y-2=0,答案第6页，总16页所以圆心到直线的距离2d ==<，所以直线和圆相交， 故选：B【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( )A. 15B.13C.38D.37答案及解析：9.B设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则()63n A =，()21n AB = ，故 ()1(|)()3n AB P B A n A ==． 故选：B点睛：点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝()()P AB P A ,求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝()()n AB n A .10.6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( ) A. 18B. 72C. 36D. 144答案及解析：10.D 【分析】甲、乙、丙三人相邻，用捆绑法分析，把三个元素看做一个元素同其他两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、甲、乙、丙三人必须站在一起，将三人看做一个元素，考虑其顺序有A 33＝6种情况， ②、将这个元素与剩余的三个人进行全排列，有A 44＝24种情况， 则不同的排列种数为6×24＝144种； 故选：D ．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素. 11.=⎰（ ）A. πB. 2πC. 2D. 1答案及解析：11.A 【分析】 根据定积分0⎰表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =围成的图像面积，即可求出结果.【详解】因为定积分0⎰表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =围成的图像面积，又y =224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分0⎰表示圆224x y +=的14，其中0,02y x ≥≤≤， 故20124ππ=⋅⋅=⎰.故选A【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型. 12.“指数函数(0)x y a a =>是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ） A. 大前提错误 B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 以上都不是答案及解析：12.A答案第8页，总16页【分析】根据底数情况即可判断大前提为错误. 【详解】指数函数的单调性由底数a 决定: 当1a >时, 指数函数xy a =为增函数, 当01a << 时指数函数xy a =为减函数, 所以大前提错误. 所以选A【点睛】本题考查了演绎推理的定义及形式,属于基础题. 一、填空题 本大题共4道小题。
吉林省通化市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷
吉林省通化市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）（i-i-1)3的虚部为（）A . 8iB . -8iC . 8D . -82. （2分）命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .3. （2分）设实数a，b，c满足a+b+c=6，则a，b，c中（）A . 至多有一个不大于2B . 至少有一个不小于2C . 至多有两个不小于2D . 至少有两个不小于24. （2分） (2017高一上·黑龙江期末) 若非零向量，满足| |= | |，且（﹣）⊥（3 +2 ），则与的夹角为（）A .B .C .D . π5. （2分） (2015高二下·永昌期中) 若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A . a=﹣1，b=﹣1B . a=﹣1，b=1C . a=1，b=﹣1D . a=1，b=16. （2分）(2017·大理模拟) 2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A . 80B . 100C . 120D . 2007. （2分）将一个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A . 420B . 340C . 260D . 1208. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·凉山模拟) 已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（）A . 或2B . 或C .D .10. （2分） (2019高二上·安徽月考) 把边长为2的正沿边上的高线折成直二面角，则点到的距离是（）A . 1B .C .D .11. （2分） (2020高二下·顺德期中) 的展开式中，各项系数之和为（）A . -32B . 32C . 256D . -25612. （2分）已知定义在R上的函数，其导函数的图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为________．14. （1分） (2017高二下·蕲春期中) 将三项式（x2+x+1）n展开，当n=1，2，3，…时，得到如下所示的展开式，如图所示的广义杨辉三角形：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角形构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（a+x）（x2+x+1）4的展开式中，x6项的系数为46，则实数a的值为________．15. （1分）设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D存在唯一的y∈D，使=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知四个函数：①f（x）=x3（x∈R）；②f（x）=（）x（x∈R）；③f（x）=lnx（x∈（0，+∞））④f（x）=2sinx（x∈R）上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是________ ．（填入所有满足条件函数的序号）16. （1分） (2016高二上·温州期中) 如果M是函数y=f（x）图象上的点，N是函数y=g（x）图象上的点，且M，N两点之间的距离|MN|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数f（x）= 和g（x）= 之间的距离是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高三上·襄阳期中) 设p：实数x满足：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：实数x满足：x=（）m﹣1 ，m∈（1，2）．（1）若a= ，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2） q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （5分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值4．（I）求实数a，b的值；（Ⅱ）当a＞0时，求曲线y=f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程．19. （10分） (2016高一下·高淳期末) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．20. （5分）(2017·成都模拟) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．21. （10分）(2017·白山模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．（1）当a=2时，求函数f（x）的最值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1 ， l2 ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜．22. （10分） (2018高二上·武邑月考) 已知椭圆方程为，射线（x≥0）与椭圆的交点为M ，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求△AMB面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
吉林省实验中学2020年春高二数学(理)下学期期中试卷附答案解析
ab
12．直线 3x 4 y 12 与椭圆 x2 y2 1相交于 A ，B 两点，该椭圆上点 P 使得 △PAB 的 16 9
面积等于 4 ，这样的点 P 共有（ ）
A．1个
B． 2 个
【答案】B
C． 3 个
D． 4 个
【解析】联立直线与椭圆方程，得 A(4, 0) 、 B(0,3) ，得| AB | 5 ，结合 △PAB 的面积等
吉林省实验中学 2020 年春高二数学（理）下学期期中试卷
一、单选题 1． 已知 i 为虚数单位，设复数 z 满足 z+i=3，则|z|=
A．3
B． 10
C．4
D．10
2．点 M 的直角坐标是 1, 3 ，则点 M 的极坐标为（
）
A．
2,
π 3
B．
2,
π 3
C．
2,
2π 3
D．
2,
时即可输出 s 的值．
解：∵S1=0，i1=1；
S2=1，i2=2；
S3=5，i3=3；
S4=14，i4=4；
S5=30，i=5＞4
退出循环，
故答案为 C．
点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判
断结果，属于基础题．
5．用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是
π 3
B．
2,
π 3
C．
2,
2π 3
D．
2,
2kπ
π 3
k Z
【答案】C
【解析】分析：利用 cos x ， sin y ， 2 x2 y2 ，先将点 M 的直角坐标是
吉林省高二下学期数学期中考试试卷
吉林省高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）(2017·广东模拟) 设i为虚数单位，若复数的实部为a，复数（1+i）2的虚部为b，则复数z=a﹣bi在复平面内的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）复数（i为虚数单位）等于（）A . 1B . -1C . iD . -i3. （2分）设函数f(x)=sinx的导函数为f'(x)，则等于（）A . 2B . 1C . 0D . －14. （2分） (2019高二下·余姚期中) 已知函数，则的值为（）A .C .D .5. （2分）(2020·江西模拟) 若复数在复平面内对应的点在直线上，则（）A . 1B . -3C . -1D .6. （2分） (2019高二下·诸暨期末) 已知是虚数单位，，则计算的结果是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·上饶期中) 函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+6的解集为（）A . （﹣2，2）B . （﹣∞，﹣2）C . （﹣2，+∞）D . （﹣∞，+∞）8. （2分） (2018高二下·中山月考) 已知函数，则其导数（）A .B .D .9. （2分） (2019高一上·南通月考) 已知函数的定义域为R，其图象关于y轴对称，且当时，满足，则的大小关系为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2020高二下·静安期末) 的平方根为________．11. （1分） (2017高一上·马山月考) 计算：0-5=________．12. （1分）若一物体的运动方程如下：（t（单位：s）是时间，s（单位：m）是位移），则此物体在t=4时的瞬时速度为________ m/s．13. （1分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于________14. （1分） (2017高二上·莆田月考) 已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________.15. （1分） (2016高三上·宜春期中) 已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=________．三、解答题 (共5题；共42分)16. （10分） (2020高二下·河南月考) 已知复数，(其中为虚数单位)（1）当复数是纯虚数时，求实数的值；（2）若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围.17. （2分） (2018高二上·承德期末) 已知函数 .（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，计算的导数.18. （5分） (2018高二下·辽源月考) 设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．19. （10分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=xlnx﹣ x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2 ，求证： + ＞2ae．20. （15分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+ x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共42分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：考点：解析：。
2018-2019学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()121xx'- B ．1(2)2x x x '-= C ．cos sin x x '=（）D ．1(ln )1x x x'+=+【答案】D【解析】根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，可得对于A 中，121x x '=-﹣（），所以不正确； 对于B 中，x x l 22n2'（）＝，所以不正确； 对于C 中，cosx sinx '=-（），所以不正确； 对于D 中，1lnx x (ln x)x 1x''+'=+=+（），所以是正确的，故选D ． 【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式表以及导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础．2．=⎰（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A【解析】根据定积分⎰表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =围成的图像面积，即可求出结果. 【详解】因为定积分0⎰表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =面积，又y =224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分⎰表示圆224x y +=的14，其中0,02y x ≥≤≤，故20124ππ=⋅⋅=⎰.故选A 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型. 3．“指数函数(0)x y a a =>是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．以上都不是【答案】A【解析】根据底数情况即可判断大前提为错误. 【详解】指数函数的单调性由底数a 决定:当1a >时, 指数函数xy a =为增函数,当01a << 时指数函数xy a =为减函数,所以大前提错误. 所以选A 【点睛】本题考查了演绎推理的定义及形式,属于基础题.4．用反证法证明命题：“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”，其反设正确的是 （ ） A ．a ，b 至少有一个为0 B ．a ，b 至少有一个不为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 全为0【答案】B【解析】反证法证明命题时，首项需要反设，即是假设原命题的否定成立即可. 【详解】因为命题“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”的否定为“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 至少有一个不为0”；因此，用反证法证明命题：“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ，b 全为0”，其反设为“a ，b 至少有一个不为0”. 故选B【点睛】本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型.5．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A ．20 B ．30 C ．60 D ．120【答案】C【解析】由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出2个进行排列，即可得出结果. 【详解】由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾只能是2、4、6中的一个，再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可，因此，偶数的个数为123560C A =.故选C 【点睛】本题主要考查排列组合问题，根据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础题型. 6．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( ) A ．18 B ．72C ．36D ．144【答案】D【解析】甲、乙、丙三人相邻，用捆绑法分析，把三个元素看做一个元素同其他两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、甲、乙、丙三人必须站在一起，将三人看做一个元素，考虑其顺序有A 33＝6种情况，②、将这个元素与剩余的三个人进行全排列，有A 44＝24种情况， 则不同的排列种数为6×24＝144种； 故选：D ． 【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素. 7．若复数2(3)z i i =+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．6-2iB ．-2-6iC ．-26i +D ．-62i +【答案】B【解析】直接利用复数的运算，化简复数为代数形式，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由2(3)26z i i i =+=-+，由共轭复数的概念，可得26z i =--，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的应用，其中解答中熟记复数的运算，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．46801010100C C C B ．64801010100C C C C ．46802010100C C CD ．64802010100C C C 【答案】D【解析】本题是一个古典概型，∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有10100C 种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有648020C C 种取法，由古典概型公式得到P= 64802010100C C C ⋅， 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.9．点P的直角坐标为(-，则点P 的极坐标可以为（ ） A．23π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B．56π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C．56π⎛⎫- ⎪⎝⎭D．23π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到结论． 【详解】∵点P 的直角坐标为(-，∴ρ===3y tan x θ==-． ∵点P 在第二象限， ∴取θ56π=．∴点P 的极坐标方程为（56π）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，确定角的时候，要注意点所在的象限，，属于基础题． 10．若圆的方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，直线的方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不能确定【答案】B【解析】先求出圆和直线的普通方程，再判断直线与圆的位置关系得解. 【详解】由题得圆的方程为22+4x y =，它表示圆心为原点，半径为1的圆. 直线的方程为x-y-2=0,所以圆心到直线的距离2d ==<，所以直线和圆相交， 故选：B 【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．袋中有大小相同的3个红球， 7个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是 ( ) A ．15 B ．13 C ．38 D ．37【答案】B【解析】设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则()63n A =，()21n AB = ，故 ()()1(|)3n AB P B A n A ==．故选：B点睛：点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝()()P AB P A ,求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝()()n AB n A .12．设函数()f x '是奇函数()(0)f x x ≠的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的的取值范围是（ ）A ．(2,0)(0,2)-B ．(20)-,C ．(0,2)D ．(2,0)(2,)-⋃+∞【答案】D【解析】先令()()f x g x x=，对()g x 求导，根据题中条件，判断函数()g x 单调性与奇偶性，作出()g x 的图像，结合图像，即可求出结果. 【详解】 令()()f x g x x=，则2()()()xf x f x g x x '-'=， 因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以2()()()0xf x f x g x x '-'=>，即()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增； 又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因此()()()()f x f x g x g x x x--===-， 故()()f x g x x =为偶函数，所以()()f x g x x=在(,0)-∞上单调递减；因为(2)0f -=，所以(2)0g -=，故(2)0=g ； 作出()()f x g x x=简图如下：由图像可得， ()0f x >的解集为(2,0)(2,)-⋃+∞.故选D 【点睛】本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.二、填空题13．在7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为_____. 【答案】-84【解析】根据二项式展开式公式得到()()7271431771221rrr rr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，进而得到当=5r 时得到项1x，代入求解即可. 【详解】7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为：()()7271431771221rr r r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 当=5r 时得到项1x，代入得到系数为()55272184.C -=- 故答案为：-84. 【点睛】这个题目考查了二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1k n k kk n T C a b -+=的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围(0,1,2,,k n =⋅⋅⋅).①第m 项：此时1k m +=,直接代入通项；②常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解. 14．设随机变量X 的分布列()2i kP X i ==(1,2,3)i =,则(2)P X ≥= _______ 【答案】37。
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2
1
()ln
2
fxxx
吉林省长春市九台区2019-2020学年
高二下学期期中考试（理）
一、选择题（每题5分）
1.已知复数z满足iiz11(
i
为虚数单位)，则|z|等于（）
A.12B.1C.2D.
2
2.有一段演绎推理是这样的：“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的
所有直线”.已知直线//b平面，直线a平面，则直线//b直线
a
”．你认为这个推理
（）
A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误
3.
2
23
xaxxf
，若51f，则a的值等于（）
A.1B.2C.511D.3
4.若定义在R上的函数xfy在x=2处的切线方程是1xy，则22ff（）
A．2B．1C．0D．1
5.函数的单调递减区间为()
A．（-∞，0）B．(1，＋∞)C．(0，1)D．（0，＋∞）
6.下列计算错误
．．
的是（）
A.ππsin0xdxB.12014xdxC.1021dxD.
11
22
10
2xdxxdx
7.已知函数
32
()(6)3fxxaxax
有两个极值点，则实数a的取值范围是()
A．3,6B.,3(6,)C.3,6D.
,36,
8．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1
时不等式左端的变化是()．
A．增加了
12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和1
2k＋2
两项，同时减少了1k这一项
D．以上都不对
9.在二项式
4
2
x
a
x
的展开式中，其常数项是216，则a的值为（）
A.1B.2C.3D.4
10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次，
甲说“我不是第一名”；乙说“丁是第一名”；丙说“乙是第一名”；丁说“我不是第一名”。成绩
公布后，发现只有一位同学说的是正确的，则获得第一名的同学是（）
A.甲B.乙C.丙D.丁
11.有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）
A．24B．72C.144D．288
二、填空题（每题五分）
12.复数z满足：iiz3)2((i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z=
13.若函数的的导数为
xf
，且
2,22
3
fxxfxf则
14.若
2
2
0
(3)d10xkx
＋＝
，则
=k
15.在二项式
5
2
2
1
x
x
的展开式中，含2x的项的系数是
三、解答题(第16题10分，第17题11分，18、19题12分)
16.设复数
i
ii
z
2
131
2
，若ibazz12，求实数a、b的值．
17.用数学归纳法证明：n∈N*时，
12)12()12(1......53131
1
n
n
nn
18．将4个编号为1、2、3、4的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中．
(1)恰好有一个空盒，有多少种放法?
(2)每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法?
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法?
19.已知函数
cbxaxxxf
23
图象上的点1,1fp处的切线方程为
13xy
.
⑴若函数xf在x=-2处有极值，求xf的表达式；
⑵若函数xf在区间[-2,0]上单调递增，求实数b的取值范围.
参考答案
一、选择题
题号1234567891011
答案BBAABCBCCAC
二、填空题
12.【答案】1+i
13.【答案】-12
14.【答案】k=1
15.【答案】10
三、解答题
16.【解析】
2
(1)3(1)
2
ii
z
i
23(1)3
22
iii
ii
(3)(2)
1
(2)(2)
ii
i
ii
．
将z＝1-i代入21zazbi，得
2
(1)(1)1iaibi
，()(2)1abaii，
所以1(2)1aba，，解得
3
4
a
b
，
.
17.【解析】
（1）当n=1时，左边=311=31，右边=1121=31，左边=右边，所以等式成立．
（2）假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即有311+531+…+)12)(12(1kk=12kk，
则当n=k+1时，
311+53
1
+…+)12)(12(1kk+
)32)(12(
1
kk
=12kk+)32)(12(1kk=)32)(12(13)2(kkkk=)32)(12(1322kkkk=321kk=
1）1(2
1
k
k
，
所以当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切n∈N*等式都成立．
18.【解析】
(1)先将四个小球分成三组，有
2
2
11122
4
A
CCC
种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子中，有定种投放方法，由分步乘法计数原理知，共有1443422111224AACCC种方法．
(2)1个球的编号与盒子的编号相同的选法有
1
4
C
种，当1个球与1个盒子编号相同时，
其余3个球的投放方法有2种，故共有8214C种方法．
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，有
3
4
C
种选法，再从三个盒子中选出一个盒子放两
个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的，即没有顺序，由分步乘法计数原理知，共
有121334CC种方法．
19.【解析】
⑴∵点(1,(1))Pf在切线方程31yx上，∴12f'1233fab，
∵函数()fx在2x处有极值，∴'20f，可得：
2,4,3abc
∴
32
()243fxxxx
⑵由⑴可知：212babc，∴32()122bbfxxxbx，∴'23fxxbxb∵
函数()fx在区间[2,0]上单调递增，即0xf在区间[2,0]上恒成立，
∴''2000ff，解得：4b。