变量间的相关关系与统计案例

第三节变量间的相关关系与统计案例

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之

间的相关关系．

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公

式建立线性回归方程．

3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方

法及其简单应用．

4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

高考对本节内容的考查主要是线

性回归分析和独立性检验的统计

分析方法，三种题型都有可能出

现，难度中档，如2012年湖南T4，

辽宁T19等.

[归纳·知识整合]

1．两个变量的线性相关

(1)正相关：

在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)负相关：

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

[探究]相关关系和函数关系有何异同点？

提示：(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．

(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．回归方程

(1)最小二乘法：

求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：

方程y ^＝b ^x ＋a ^

是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^

是待定参数．

?????

b ^＝

∑i ＝1

n (x i －x －)(y i －y －

)

∑i ＝1

n

(x i －x －)2

＝

∑i ＝1n

x i y i －n x －y

－

∑i ＝1

n

x 2i －n x －

2

，a ^＝y －－b ^x －.

3．残差分析

(1)残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1,2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1,2，…，n ，e ^

i 称为相应于点(x i ，y i )的残差．

(2)相关指数R 2＝1－

∑i ＝1

n

(y i －y ^

i )2

∑i ＝1

n

(y i －y －

)2

， R 2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R 2越接近于1，表示回归的效果越好．

4．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表：

K 2＝

n (ad －bc )(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )

(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)，则利用独立性检验判

断表来判断“X 与Y 的关系”．

[自测·牛刀小试]

1．下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；

③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④

D ．①②③④

解析：选C 由回归分析的方法及概念判断．

2．已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )

A.3.25 C ．2.2 D ．0

解析：选B x ＝2，y ＝4.5，因为回归方程经过点(x ，y )，所以a ＝4.5－0.95×2

＝2.6.

3．工人月工资y (元)关于劳动生产率x (千元)的回归方程为y ＝650＋80x ，下列说法中正确的个数是( )

①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选C 将数据代入方程计算可判断①②④正确．

4．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^

＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )

A ．身高一定是145.83 cm

B ．身高在145.83 cm 以上

C ．身高在145.83 cm 左右

D ．身高在145.83 cm 以下

^＝7.19x＋73.93，只能作预测，其结果不一定是一个确定值．解析：选C用回归模型y

5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()

A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确

解析：选C根据独立性检验的思想知．

相关关系的判断

[例1]在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：身高(cm)143156159172165

体重(kg)4149617968

身高(cm)171177161164160

体重(kg)6974696854

[自主解答]以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示．

由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．

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利用散点图判断相关关系的技巧

(1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量间的关系，即变量之间具有函数关系．

(2)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．

(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

1．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )

A ．r 2＜r 1＜0

B ．0＜r 2＜r 1

C ．r 2＜0＜r 1

D ．r 2＝r 1

解析：选C 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0

线性回归方程及其应用

[例2] 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)

90

84

83

80

75

68

(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20， a ＝y －－b x －；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

[自主解答] (1)由于x ＝1

6(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，

y ＝1

6

(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.

所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^

＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20???

?x －33

42＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

———————————————————

求回归直线方程时的注意点

求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的回归方程才有意义．

2．某种产品的广告费支出x与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x 24568

y 3040506070

如果y与x之间具有线性相关关系．

(1)作出这些数据的散点图；

(2)求这些数据的线性回归方程；

(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额．

解：(1)

(2)x＝5，y＝50，∑

i＝1

5

x i y i＝1 390，∑

i＝1

5

x2i＝145，

b

^＝

∑

i＝1

5

x i y i－5x·y

∑

i＝1

5

x2i－5x

－

2

＝7, a^＝y－－b^x－＝15，

∴线性回归方程为y^＝7x＋15.

(3)当x＝9时，y

^＝78.

即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．

独立性检验的基本思想及其应用

[例3](2012·湖南衡阳第二次联考)衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩

后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为3

11

.

优秀 非优秀

合计 甲班 10 乙班 30 合计

110

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； 参考公式与临界值表：K 2＝

n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

P (K 2≥k 0)

0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

[自主解答] (1)列联表如下：

优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计

30

80

110

(2)根据列联表中的数据，得到

K 2＝

110×(10×30－20×50)2

60×50×30×80≈7.486＜10.828.

因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”． —————

——————————————

独立性检验的步骤

(1)根据样本数据制成2×2列联表． (2)根据公式

K 2＝

n (ad －bc )2

(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )

计算K 2的观测值．

(3)比较K 2与临界值的大小关系作统计推断．

3．地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视，某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名同

学进行紧急避险常识知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．

(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)；

(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？

成绩小于60分人数

成绩不小于60分人数

合计 七年级 八年级 合计

附：K 2＝

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

.临界值表：

P (K 2≥k )

0.10 0.05 0.010 k

2.706

3.841

6.635

解：(1)七年级学生竞赛平均成绩为

(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56， 八年级学生竞赛平均成绩为

(45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60. (2)2×2列联表如下：

成绩小于60分人数

成绩不小于60分人数

合计 七年级 70 30 100 八年级 50 50 100 合计 120

80

200

∴K 2＝

200×(50×70－50×30)2

100×100×120×80

≈8.333>6.635.

∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”．

1种求法——相关关系的判定和线性回归方程的求法

(1)函数关系一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．

(2)如果两个变量不具有线性相关关系，即使求出回归直线方程也毫无意义，而且用其进行估计和预测也是不可信的．

(3)回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体．样本的取值范围一般不超过回归直线方程的适用范围，否则就没有实用价值．

1个难点——独立性检验思想的理解

独立性检验的思想类似于反证法，即要确定“两个变量X和Y有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，即它们之间没关系，也就是它们是相互独立的，利用概率

的乘法公式可推知，(ad－bc)接近于零，也就是随机变量K2＝n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

应该很小，如果计算出的K2的观测值k不是很小，通过查表P(K2≥k0)的概率很小．又根据小概率事件不可能发生，由此判断假设不成立，从而可以肯定地断言X与Y之间有关系.

答题模板——概率与统计的综合问题

[典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

附K 2＝

n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，

[快速规范审题]

第(1)问

1．审条件，挖解题信息

观察条件：100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷，女体育迷10名―――――――→借助直方图可确定

非体育迷及体育迷人数 2．审结论，明确解题方向

观察所求结论：完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性――――→需要

确定a ，b ，c ，d 及K 2的值

3．建联系，找解题突破口

由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→计算K 2可判断结论 第(2)问

1．审条件，挖解题信息

观察条件：―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷”―――――――→由频率分布直方图 确定“超级体育迷”的人数

2．审结论，明确解题方向

观察结论：―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率―――――→分类分析

1名女性观众或两名女性观众

3．建联系，找解题突破口

由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数―――――――→列举法列举出

所有基本事件并计数为n

和至少有1名女性的基本事件，计数为m m P n

=

????

→代入求概率 [准确规范答题]

(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：

?(3将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝

100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝100

33≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．?(6分)

(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.?(9分)

由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A 为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，

?(11分)

由7个基本事件组成，因而P

(A )＝7

10.?(12分)

[答题模板速成]

解决概率与统计的综合问题的一般步骤：

?

?

?

?

步步步

理清题

意，理解

问题中

的条件

和结

论．尤其

是直方

图中给

定的信

息，找关

键量

由直

方图

确定

所需

的数

据，

列出

2×2

列联

表

利用

独立

性检

验的

步骤

进行

判断

确定

基本

事件

总数

及所

求事

件所

含基

本事

件的

个数

利用概

率公式

求事件

的概率

反思回

顾、检查

关键点易

错点及答

题规范

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．下列关系中，是相关关系的为()

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；

②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；

③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；

④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．

A．①②B．①③

C．②③D．②④

解析：选A①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性是相关关系．②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系．③④都不具备相关关系．2．(2012·新课标全国卷)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝

1

2x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()

A．－1 B．0

C.

1

2D．1

解析：选D 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.

3．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( ) A.y ^

＝1.23x ＋4 B.y ^

＝1.23x ＋5 C.y ^

＝1.23x ＋0.08

D.y ^

＝0.08x ＋1.23

解析：选C 因回归直线方程必过样本点的中心(x ，y )，将点(4,5)代入A 、B 、C 检验可知．

4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋1

2

x

D ．y ＝176 解析：选C 设y 对x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ， 因为b ＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22

＝1

2，

a ＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝1

2

x ＋88.

5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：

A ．99%

B ．97.5%

C ．95%

D ．90%

解析：选A 可计算K 2≈11.377>6.635.

6．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：

由K 2

＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，

算得K 2＝

110×(40×30－20×20)2

60×50×60×50

≈7.8.

附表：

A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”

B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”

C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”

D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 解析：选A ∵K 2＝110×(40×30－20×20)2

60×50×60×50≈7.8>6.635，∴有99%以上的把握认为“选

择过马路的方式与性别有关”．

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ^

＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析：x 变为x ＋1，y ^

＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．

答案：0.245

8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：

小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

解析：平均命中率y ＝1

5

×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；而x ＝3，∑i ＝1

5 (x i －x )(y i －y )＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，∑i ＝1

5

(x i －x )2＝(－2)2＋(－1)2

＋02＋12＋22＝10，于是b ^

＝0.01，a ^

＝

y －b ^ x ＝0.47，故y ^ ＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ^

＝

0.53.

答案：0.5 0.53

9．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P 根据表中数据，得到

K 2＝

50×(13×20－10×7)2

23×27×20×30

≈4.844.则认为选修文科与性别有关系

出错的可能性为________．

解析：k ≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.

答案：5%

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知x ，y 的一组数据如下表：

(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋1

2，试利用

“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．

解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝9

25

.

(2)用y ＝1

3

x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 1＝????43－12

＋(2－2)2＋(3－3)2＋????103－42＋????113－52＝7

3.

用y ＝12x ＋1

2作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋(2

－2)2＋????72－32＋(4－4)2＋????92－52＝12

. ∵S 2

2

的拟合程度更好．

11．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩.

(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．(其中，数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的线性回归方程为y ^＝b ^x

＋a ^，b ^＝

∑i ＝1

n

(x i －x －)(y i －y －

)

∑i ＝1

n

(x i －x －

)2

，a ^＝y －－b ^x －)

解：(1)∵x －

＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，

y －

＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67

＝100，

∴s 2数学＝

9947＝142.∴s 2物理＝250

7

， ∵s 2

数学>s 2物理，∴该生的物理成绩更稳定．

(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，

∴b ^＝

i ＝1

7x i y i －7

x － y

－

i ＝1

7x 2i －7x

－2

＝497

994

＝0.5， a ^＝y －－b ^x －

＝100－0.5×100＝50.

∴线性回归方程为y ^

＝0.5x ＋50.当y ＝115时，x ＝130. 建议：

进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，这将有助于物理成绩的进一步提高． 12．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．

附：K 2＝

n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，

解：(1)

(2)根据列联表中的数据，得到

K 2＝105×(10×30－20×45)2

55×50×30×75≈6.109>3.841，

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．

(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．

事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，

∴P(A)＝8

36＝2 9.

1．观察下列各图形：

其中两个变量x、y具有相关关系的图是()

A．①②B．①④

C．③④D．②③

解析：选C相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①②是不相关的，而③④是相关的．

2．考察黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系．调查了457株黄烟，得到下表中数据：

培养液处理未处理合计

青花病25210235

无青花病80142222

合计105352457

A．40.682 B．31.64

C．45.331 D．41.61

解析：选D代入K2公式得K2≈41.61.

3．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：

推销员编号1234 5

工作年限x/年35679

推销金额y/万元2334 5

(1)

(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；

(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．

解：(1)依题意，画出散点图如图所示，

(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y

^＝b^x＋a

^

.

则b^＝

∑

i＝1

5

(x i－x)(y i－y

－

)

∑

i＝1

5

(x i－x)2

＝10

20

＝0.5，a^＝y－b^x－＝0.4，

∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为

y

^＝0.5x＋0.4.

(3)由(2)可知，当x＝11时，

y

^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．

∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．

4．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：

杂质高杂质低

旧设备37121

新设备22202

解：由已知数据得到如下2×2列联表：

杂质高杂质低合计

旧设备37121158

新设备22202224

合计59323382

由公式K 2＝382×(37×202－121×22)2

158×224×59×323

≈13.11，

由于13.11>10.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的．