【小数除法】教材分析

《小数除法》教材分析

省诸暨市实验小学教育集团菊娣（初稿）

省诸暨市浣东街道五一小学傅建勇（修改）

省诸暨市教育局教研室汤骥（统稿）

本单元的主要容有：除数是整数的小数除法、一个数除以小数、商的近似数、循环小数、用计算器探索规律、解决问题等。

小数除法分两种情况教学：除数是整数的小数除法、一个数除以小数。由于除数是小数的除法要通过商不变的性质转化为除数是整数的小数除法来计算，所以除数是整数的小数除法是小数除法计算的基础。除数是整数的小数除法安排了3个例题。例1和例2是两种基本情况：例1是除到被除数的末尾没有余数，能除尽；例2是除到被除数的末尾还有余数，添0继续除。例3是特殊情况：被除数的整数部分不够除，要先商0。小数除法教学的重点在于把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。在一个数除以小数部分，根据除数和被除数小数位数的情况，安排了2个例题。一个是被除数和除法的小数位数相同，一个是被除数比除数的小数位数少。还有被除数比除数的小数位数多的情况（编排在练习中）。

小数除法经常会出现除不尽的情况，或者商的小数位数较多的情况。但是在实际工作和生活中，并不总是需要求出很多位小数的商，而往往只要求出商的近似数就可以了。如在计算钱数时，一般只精确到角或分，这样就涉及求计算结果的近似数。可以说，“求商的近似数”“循环小数”都是关于“商”的进一步研究。通过“求商的近似数”的学习，掌握用“四舍五入”法求商的近似数的方法，通过“循环小数”的学习，理解除法计算中产生循环小数的原因，掌握“循环小数”“有限小数”“无限小数”的概念。最终形成灵活处理“商”的意识和能力。

“用计算器探索规律”的学习，一方面，使学生熟练计算器的运用；另一方面，培养学生观察、比较、归纳、推理的思维能力。

“解决问题”让学生结合具体情境体会“进一法”“去尾法”取商的近似数的应用。

一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学五年级》，下同）的主要区别

（一）小数除以整数中不再单独设置例题教学计算方法和验算，而是分散到前面的例2和例3的教学中。如在例2中出示对话框“计算除数是整数的小数除法要注意什么？”，可引导学生总结：第一，按照整数除法的方法去除，商的小数点和被除数的小数点对齐；第二，除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾添0继续除。在例3中设置“怎样验算呢？自己试一试！”，引导学生在自主探究验算方法的同时及时总结验算的方法。

（二）除数是整数的小数除法例题调整为：例1，整数部分够商1，能除尽；例2，除到被除数的末尾还有余数，添0继续除；例3，被除数的整数部分不够除，先商0。

（三）引导学生概括总结小数除法的计算法则，例5完成后增加概括总结法则的活动。数学与数学学习都不可能“去结论化”。强调“数学活动”，突出“思维过程”“探究过程”，重视学生的个性化表现，这些与抽象概括结论、结语并不矛盾。因此，教材将原来不出结语或通过学生对话形式将计算法则分解呈现的方式，改为在引导学生自主探究算法、概括算法之后，给出计算法则的结语。适当的结语是掌握算法、指导计算操作所必需的。同时，让学生在概括方法的过程中体会怎样表达更准确、更完整，这本身就是一种思维活动、一种学习过程。

（四）增加循环节的认识。

（五）解决问题中不出双归一的类型，数量关系在前面已学，直接在练习中应用。删除原教材的例11，即应用两次归一解决问题的教学，直接编排在练习中，如练习九中的第1题、第3题。这样的编排主要是基于以下考虑：一是学生已经掌握解决问题的基本数量

关系，二是强调解决问题是要引导学生用数量关系来描述解题思路，如练习九中的第1题，引导学生先求出“每台抽水机3小时浇地多少公顷”，再求出“每台抽水机每小时浇地的公顷数”，而不是停留在“先用1.2除以2，再除以3”这样的描述。

二、教材例题分析

（一）除数是整数的小数除法

1．例1：整数部分够商1，能除尽

重点说明商的小数点要和被除数的小数点对齐。教材呈现了两种方法，一种是将千米数转化为米数，把小数除以整数的除法转化成整数除法来做；另一种是一般的小数除以整数的方法。重点放在第二种方法的理解上，着重说明除数是整数的小数除法的计算步骤与整数除法基本相同，唯一不同的是确定小数点的位置问题。结合数的含义，帮助学生理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的道理。这里24表示24个十分之一，除得的结果是6个十分之一，所以小数点要和被除数的小数点对齐。

为了帮助学生理解算理，教学例1前，可以先复习整数除法（如224÷4）。让学生明确每次除的被除数和商是多少个十或多少个一，为后面理解算理做好准备。

2．例2：除到被除数的小数末尾还有余数，添0继续除

除到被除数的末尾还有余数，要在后面添0继续除。同样也是结合数的含义理解。学习完例1、例2后，小精灵提示学生总结除数是整数的小数除法的方法，教材这里虽然没有给出法则，但是因为这是小数除法的基础，应该让学生在理解算理的基础上掌握算法。引导学生回顾总结小数除以整数的计算步骤以及要注意

的问题，可以总结成：①按照整数除法的方法去除，商的小数点和被除数的小数点对齐。②如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾添0再继续除。

3．例3：被除数的整数部分不够除１，要商0；提出验算要求

教学被除数比除数小，整数部分不够除1，商0，点上小数点再除。事实上，和整数除法相同，除到被除数的哪一位，商0，就在那一位写0，不同的是整数除法最高位上的0不写，而小数除法如果商的最高位是个位则要商0，要用0占位。教材没有特别说明验算的方法，让学生用已学的知识自己思考如何验算。

（二）一个数除以小数

1．例4：一个数除以小数，且被除数的小数位数和除数小数位数相同

突出转化思想。主要体现在：突出基本方法是“把除数转化成整数”；用虚线框的图示呈现了根据商不变性质，把除数和被除数同时扩大到原来的100倍，使除数变成整数的过程。之后出示简便的写法。教学前可先复习商不变性质，帮助学生理解算理。

2．例5：被除数的小数位数比除数少，被除数的位数不够，用0补足；在此基础上概括总结小数除法的计算法则

（1）用学生提问“被除数位数不够怎么办？”引起思考。

（2）通过虚线框里的图示说明把除数变成整数小数点要向右移动两位，根据商不变性质，被除数的小数点也要右移两位，而12.6只有一位小数，所以要在末尾用“0”补足。

（3）至此，小数除法计算的各种情况均已涉及，通过小精灵的话引导学生对小数除法的计算方法进行总结。在学生概括的基础上，教师加以提炼和完善。还可以总结成三个步骤：一看：看清除数有几位小数；二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数。当被除数的位数不足时，在末尾用“0”补足；三算：按照除数是整数的小数除法的方法计算。

（三）商的近似数

例6：商的近似数，体会必要性，掌握方法；取商的近似数

（1）体会取商的近似数的必要性。小数除法中取近似数有两种情况，一种是除不尽的时候，一种是除得尽，但是小数位数比较多，根据实际需要不用这么多。为了让学生体会，教材不再提示用计算器计算，而是在笔算过程中感受除不尽的时候，根据实际需要取近似数。

（2）掌握取商的近似数的方法。小精灵给出求商的近似数的一般方法。在学生熟练后，还可以介绍一种简便的方法，即除到要保留的小数位数后，不用再继续除，只要把余数同除数作比较，若余数比除数的一半小，就说明求出下一位的商小于5，直接舍去；若余数等于或大于除数的一半，就说明求出下一位的商等于或大于5，就在已经求得的商的末位上加1。

（四）循环小数

1．例7：认识循环小数，提供感性材料

教学商从某一位起，一个数字重复出现的情况。为认识循环小数提供感性材料。

2．例8：认识循环小数、循环节、循环小数的写法；认识有限小数、无限小数

通过计算两道除法习题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复出现某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环节和循环小数的简便记法。教学中注意引导学生探究商循环出现的原因。结合学生发现的规律，理解商出现循环的原因，是余数的重复出现。

3．有限小数和无限小数

组织学生结合具体计算，讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？”，由商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数。学习了循环小数以后，小数概念的涵进一步扩展了，循环小数就是一种无限小数。

（五）用计算器探索规律

例9：用计算器探索规律

编排分三个层次：用计算器计算—观察发现规律—用规律写商。教材给出一组算式，让学生用计算器计算出结果，然后寻找商的规律：都是循环小数；循环节都是被除数的9倍。最后根据发现的规律直接写出后面算式的商，从而培养学生归纳、推理的能力。

（六）解决问题

例10：根据实际情况用“进一法”和“去尾法”取商的近似数的实际问题

根据实际情况用“进一法”和“去尾法”取商的近似数。前面介绍了用“四舍五入”法求商的近似数，但实际应用中还会用到其他的方法（比如进一法和去尾法）。教材安排了例10，强调“在解决实际问题时，要根据实际情况选择适当的方法取商的近似数”。安排了两道小题，分别教学：在解决问题时，需要根据实际用“进一法”（第1小题）和“去尾法”（第2小题）取商的近似数。两题算出的结果都是小数，由于要求的瓶子数和礼品盒数都必须是整数，因此都要取计算结果的近似值。教学中让学生明确：在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入”法，而要根据具体情况确定是“舍”还是“入”。

本单元的教学重点是掌握小数除法的计算方法；教学难点是如何正确灵活地计算小数除法。