非线性动力学中分叉图的特性
非线性动力学中的分岔理论及应用
非线性动力学中的分岔理论及应用第一章前言非线性动力学是自然科学中一个重要的研究领域，其研究对象为非线性系统中存在的复杂现象及规律。
而分岔理论则是非线性动力学研究的重要分支，其研究的是非线性系统的稳定性及分岔现象。
分岔理论的研究及应用在自然科学及工程技术等领域都有广泛的应用，本文将重点介绍分岔理论的基本概念及其应用。
第二章分岔理论的基本概念1.稳定性稳定性是指系统从任何初始状态出发，其演化都会收敛至同一状态的性质。
当系统的某一初始状态发生微小变化时，系统最终演化的结果是否会发生变化，取决于系统的稳定性。
2.分岔点与分支分岔点是指系统参数变化时，系统稳定性产生转折的点。
在分岔点附近，系统的稳定性出现了剧烈变化，具体表现为单个平衡点变成多个平衡点或者周期解。
而这些由于参数变化引起的平衡点或周期解就称为分支。
3.双曲型分岔双曲型分岔是指当系统某一参数在达到阈值时，系统发生的非连续性质变化。
此时由单个平衡点变为两个平衡点，系统逐渐从一个平衡点吸引到另一个平衡点，这种分岔稳定性的变化称为双曲型分岔。
4.超分岔当系统参数发生变化时，如果发现有多个分支同时产生，其中一个分支继续从初始状态收敛至实际状态而其他分支则逐渐消失或变得不稳定，这种分岔称为超分岔。
第三章分岔理论在科学研究中的应用1.混沌现象及相关研究分岔理论在混沌现象及其相关研究中有很广泛的应用。
混沌系统因为其极其灵敏的初始条件，而表现出非常复杂、多样的行为。
分岔理论的模型可以帮助科学家更好地理解混沌现象的动力学特性。
2.电力系统的稳定性研究电力系统是典型的非线性系统，其稳定性对于发电、输电、配电等方面的问题都极为重要。
分岔理论可以帮助研究人员探索电力系统稳定性变化的原因，并提出相应的解决方案。
3.材料科学及工程中的应用分岔理论在材料科学及工程中也有广泛的应用。
例如合金的晶格相变、金属塑性变形等等。
分岔理论可以帮助科学家解决在材料科学及工程中的稳定性问题，提高材料的力学性能、抗拉强度等重要参数。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析混沌动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它揭示了许多复杂系统中的混沌现象。
其中一个重要的研究方向是分岔现象与稳定性分析，它们对于理解系统的演变和控制具有重要意义。
一、分岔现象的基本概念分岔现象是指系统在参数变化过程中，由于参数的微小变化，系统的行为发生了剧烈的变化。
简单来说，就是系统在某个特定参数值附近，出现了多个稳定状态或周期解。
这种现象在混沌动力学中被广泛研究。
分岔现象的典型例子是一维映射系统的Feigenbaum分岔图。
在这个图中，横轴表示参数的变化，纵轴表示系统状态的变化。
当参数在某个特定值附近变化时，系统的状态从一个稳定状态突然变为两个稳定状态，然后又变为四个、八个，以此类推。
这种分岔现象呈现出一种分形的结构，即在不同尺度上都有相似的形态。
二、分岔现象的机理分岔现象的机理可以通过动力学方程的稳定性分析来解释。
在分岔点附近，系统的稳定性发生了变化，从而导致了系统行为的剧烈变化。
稳定性分析是研究系统平衡点或周期解的稳定性的方法。
通过计算系统方程的雅可比矩阵的特征值，可以判断系统的稳定性。
当特征值的实部为负时，系统为稳定状态；当特征值的实部为正时，系统为不稳定状态；当特征值有一对纯虚数时，系统为周期解。
在分岔点附近，系统的雅可比矩阵的特征值发生了变化，从而导致了系统稳定性的改变。
当参数变化超过某个临界值时，特征值的实部从负数变为正数，系统从稳定状态变为不稳定状态，从而引发了分岔现象。
三、分岔现象的应用分岔现象在许多领域都有广泛的应用。
在自然科学中，分岔现象可以用来解释生物体的形态变化、气候系统的变化等。
在工程领域中，分岔现象可以用来设计新型的控制系统，实现系统的稳定性和可控性。
例如，在电力系统中，分岔现象可以用来研究电力系统的稳定性和可靠性。
通过对电力系统的分岔现象进行分析，可以找到系统的临界点，从而实现对系统的控制。
这对于提高电力系统的稳定性和可靠性具有重要意义。
非线性系统的分叉问题
概念：如果某个动力系统是结构不稳定的，则系统任 概念 意小的扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的变化， 我们称这种变化为分叉(bifurcation)。
对于含有参数的动力学系统
dx = f ( x, µ ) dt
其中，x是状态变量，µ是分叉参数，当参数µ连续变化 时，若系统的拓扑结构在µ0处发生突然变化，则称系 统在µ=µ0µ<0时，系统有唯一的奇点x=0，其导算子的特征 值是µ，该奇点是渐进稳定的。 当µ>0时，系统有三个平衡点， x1 = 0, x2,3 = ± µ ，其中 x=0是不稳定的，x= ± µ 是渐近稳定的。
x
x= µ
0
µ
x=- µ
图2. 叉形分叉
Hopf分叉 例2 考虑平面系统
• 2 2 x = − y + x[ µ − ( x + y )] • y = x + y[ µ − ( x 2 + y 2 )]
dx = f ( x, µ ) dt
从导算子的特征值的角度看，随着µ的变化，出现 Reλ=0的情况有三种。
Reλ
Reλ
Reλ
0 Imλ
0 Imλ
0 Imλ
图1.1叉形分叉
图1.2 Hopf分叉
图1.3 鞍结分叉
叉形分叉 例1 考虑一维系统
dx = µx − x 3 dt
2 其导算子 Dx f ( x, µ ) = µ − 3 x
µ 1 -1 µ
该体统只有一个奇点(0,0)，其导算子 的特征根 为 µ ± i ，显然µ由负变正时，奇点 (0,0)有稳定的焦 点变为不稳定焦点。
事实上，系统不只发生了奇点分叉，而且产生了 闭轨分叉。
令 x = r cos θ , y = r sin θ 原方程组写为
非线性动力学中分叉图的特性.ppt
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三、稳定状态(steady state)和稳定性（stability）
研究三个问题： 1、系统是否存在固定点(fixed point)？ 2、系统是否在固定点处存在局部稳定性？
局部稳定性(locally stable) 3、系统是否在固定点处存在全局稳定性？
全局稳定性(globally stable)
暂态（transient）: Behavior before the asymptotic dynamics is called transient
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3、固定点的全局稳定性 线性系统
A locally stable fixed point is also globally stable.
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1、固定点 (fixed point)：
x
t
f ( xt )
xt1 xt1
Rxt ( 1 xt
xt
)
x
t
xt
0 1
1 R
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2、固定点的局部稳定性 线性系统：
固定点 xt 0
R > 1: 不稳定
第一章 有限差分方程
一、线性有限差分方程: Nt1 RNt
几个概念： •方程（线性） •系统参数：R •初始条件：N0
N1 RN0 N2 RN1 R2 N0
Nt Rt N0
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1
N0=100 , R>0 衰减（decay）
R=0.9
递增（growth） R=1.08
周期2
非线性动力学中的分岔现象研究
非线性动力学中的分岔现象研究随着科学技术的不断发展，自然界和社会现象更加复杂多变，人们对这些问题的认识也日益深入。
分岔现象作为非线性动力学中的重要研究领域，吸引着众多学者和研究者的关注。
一、什么是分岔现象？分岔现象是指在非线性系统中，当参数或初始状态发生微小变化时，系统的行为会发生质的变化。
常见的分岔现象包括恰克诺夫分岔、亚谷分岔、亚哈分岔等。
分岔现象的研究不仅在理论上具有重要意义，而且在实践应用中也有广泛的应用。
二、恰克诺夫分岔恰克诺夫分岔是指在不连续的动态系统中，当参数值小范围地改变时，系统从周期运动向非周期运动转变的现象。
这种现象最早由俄罗斯数学家恰克诺夫在20世纪初提出，并被广泛应用于物理学、化学、天文学、生物学、经济学等领域的研究中。
三、亚谷分岔亚谷分岔是指在某些连续动态系统中，在参数值超过某一临界值时，系统从一个稳定的定态运动状态向另一个稳定状态转换的现象。
这种现象在生物学、医学、环境科学等领域的研究中具有重要意义。
四、亚哈分岔亚哈分岔是一种特殊的分岔现象，指的是在系统接受周期性外部激励时，当激励的频率和系统本身的特征频率发生某种比例关系时，系统状态将发生质的变化。
这种现象在通信领域中得到广泛的应用。
五、分岔现象的应用分岔理论的研究和应用在现代科学中具有重要的意义。
在物理学、化学和材料科学中，分岔理论被用于研究物质的相变和相转移过程。
在生物学和医学中，分岔理论可以用于研究生物系统的稳态和稳定性。
在经济学和金融学中，分岔理论可以用于预测市场和股票价格的变化。
此外，在控制工程、模式识别和计算机科学中，分岔理论也有着广泛的应用。
六、结论分岔现象作为非线性动力学研究领域的一个重要方向，在现代科学中具有广泛的应用和重要的意义。
未来，我们可以预见，随着科学技术的不断发展，分岔现象的研究将会得到更加深入和广泛的发展。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。
非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。
混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。
在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。
一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。
混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。
混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。
通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。
经典的三体问题就是一个混沌的例子。
对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。
这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。
在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。
此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。
混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。
混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。
二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。
发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。
分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。
分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。
分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。
此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。
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研究三个问题： 1、系统是否存在固定点(fixed point)？ 2、系统是否在固定点处存在局部稳定性？ 局部稳定性(locally stable) 3、系统是否在固定点处存在全局稳定性？ 全局稳定性(globally stable)
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• 局部稳定性 locally stable: If the initial condition happens to be near a fixed point, sequent iterates approach the fixed point, we say the fixed point is locally stable. ( locally asymptotic stability) • 全局稳定性 globally stable: If the fixed point is approached by all initial conditions, we say the fixed point is globally stable.
2012-10-28 28
Conclusion:（考虑周期n）
If there is stable cycle of period n, there must be at least n fixed points associated with the stable cycle, where the slope at each of the fixed points is equal and the absolute value of the slope a each of the fixed points is less than 1.
The period-doubling route to chaos
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混沌状况： 在周期2、在周期3 、在周期4的图中， 固定点斜率的绝对值均大于1 考虑一个极端的例子：
x t1 4 ( 1 x t ) x t
因此，进入混沌状态。
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五、混沌（chaos） • 混沌的定义： Be aperiodic bounded dynamics in a deterministic system with sensitive dependence on initial conditions. • 混沌系统的性质 Aperiodic Bounded Deterministic Sensitive dependence on initial condition
分叉点（bifurcation point）: 以某个参数值为分界，系统进入不同的状 态 R=1
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二、非线性的有限差分方程 1、Logistic Equation: x t 1 Rx t ( 1 x t ) 系统参数：R 初始条件： x0 固 定 点： （fixed point）
单调逼近固定点 x*=0.333 R=2.9 交替逼近固定点 x*=0.655 xt 1 1/R
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问题1： 1、 x0取不同值时，上述几种情况如何？ 2、x0=0.5, R分别为1.25, 2, 2.75， 画出轨线 t- xt
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第一章 有限差分方程
一、线性有限差分方程: N t 1 RN t
几个概念： •方程（线性） •系统参数：R •初始条件：N0
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N 1 RN N 2 RN
0
1
R N0
2
Nt R N0
t
1
N0=100 , R>0 衰减（decay） R=0.9
递增（growth） R=1.08
稳态（steady-state） R=1
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N0=100 , R<0 衰减（decay） R=-0.9
递增（growth） R=-1.08
稳态（steady-state） R=-1
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吸引子（attractor）: 随着时间的演化，系统的一种状态趋势 0<R<1: Nt 0 R>1: Nt
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吸引域（basin of attraction） The set of initial conditions that eventually leads to a fixed point is called basin of attraction 多稳定性（multi-stability） If multiple fixed points are locally stable we say there is multi-stability.
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一个例子：
• 非周期性：
x tn x t n
x t1 x t
1
(mod 1)
(mod 1)
• 有界性：
xt 0 , x t1 0 ,
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x t1
1
1/
1-1/
1
xt 1
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作业： 用计算机实现分叉图 ( bifurcation diagram ) （p31） • 计算Feigenhaum’s number • 进一步找到周期3的R值 • 研究自相似性
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小结： • 系统表现出的不同行为 稳定状态、周期、混沌 • 系统参数(R)的不同给系统带来的影响 • 初始状态( x0)的不同对系统的影响
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• 分叉图 ( bifurcation diagram )
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三、稳定状态(steady state)和稳定性（stability）
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四、周期的稳定性
xtn xt
以逻辑方程，R=3.3为例
x t 1 3 .3 ( 1 x t ) x t
2个固定点： 0， 0.697
x t 2 3 . 3 (1 x t 1 ) x t 1 f ( f ( x t ))
4个固定点： 0, 0.479, 0.697, 0.823
R=4
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对初始条件敏感
x t 1 4 x t (1 x t )
dot: x0=0.523423, circle: x0= 0.523424
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•
R>4 轨线最终逃逸（escape）到无穷。
问题2： 1. How many iterations dose it take for the trajectories to get with 0.001of the final value x=0.3333 for R=1.5? 2. What happens for R>4?
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• Feigenhaum’s number: 4.6692 定义：n the range of R values that give a period-n cycle.
n
lim
n 2n
4 . 6692
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• 分叉图 ( bifurcation diagram )
stable 单 调逼 近 固定 点 交 替逼 近 固定 点 unstable 单 调远 离 固定 点
0 m 1: 1 m 0: m 1: m 1: xt
m 1 : 交 替远 离 固定 点
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以逻辑方程为例分析： x t 1 Rx t ( 1 x t )
固定点
xt 0
R > 1:
不稳定
0 < R < 1: 稳定 R=0： 稳定 R=1： 稳定
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-1 < R < 0
R < -1
R=-1 不稳定
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非线性系统：
固定点 x t f ( x t )
m df dx t x
m 1:
xt
9
• 3<R<3.449 周期2 (period-2)
xt2 xt
R=3.3
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10
• 3.449 <R<3.5699 周期4 周期8 周期16……
R=3.52
周期倍增（period-doubling）
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11
•
3.5699 < R 4
R= 3.5699达到无穷周期 对大多数R产生混沌（chaos）
xt f ( xt ) x 0 1 x 1 R
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系统参数：R， 初始条件： x0 ，
取0< x0 <1， x0 =0.1（有生态学意义）
• 0<R1
xt 0
(attractor)
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• 1<R<3
R=1.5
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• • • • •
For 3.0000<R<3.4495, there is stable cycle of period 2 For 3.4495<R<3.5441, there is stable cycle of period 4 For 3.5441<R<3.5644, there is stable cycle of period 8 For 3.5644<R<3.5688, there is stable cycle of period 16 As R is increased closer to 3.570, there are stable cycles of period 2n, where the period of the cycles increases as 3.570 is approached • For values of R> 3.570, there are narrow ranges of periodic solutions as well as aperiodic behavior