不等式及其解集·要点详析
《不等式及其解集》
教育资源的分配和教育机会的获取在不同地区和 不同社会群体之间也存在不等式问题，这种不等 式会影响个人的发展和社会进步。
03 健康状况不等式
不同社会群体之间的健康状况也存在不等式问题 ，比如贫困地区和富裕地区之间的健康指标差距 就可以用不等式来描述。
工程技术中的不等式问题
资源分配不等式
应用
一元二次不等式在实际问题中也有广泛的应用，如最大利润、最小成本等问题，可以通过 列出一元二次不等式来解决。
分式不等式
定义
分母中含有未知数的不等式称为分式 不等式。
解法
分式不等式的解法通常是将分式不等 式转化为整式不等式来求解。具体方 法是将分式不等式的分子、分母分别 乘以同一个正数，使分母变为正数， 然后去掉分母，将分式不等式转化为 整式不等式求解。需要注意的是，在 乘以正数的过程中，不等号的方向可 能会发生变化。
注意事项
在使用数轴表示法时，要注意选择合适的刻度和单位长度，使得表示更加准确和清晰。同时，对于复杂 的不等式解集，可以结合代数方法和图形方法进行求解和表示。
04
不等式的应用举例
生活中的不等式问题
01 收入分配不等式
在国家和地区中，不同人群之间的收入分配往往 是不均等的，可以用不等式来描述和度量这种不 均等程度。
《不等式及其解集》
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目录
• 不等式的基本概念 • 不等式的分类与解法 • 不等式的解集及其表示方法 • 不等式的应用举例
01
不等式的基本概念
不等式的定义
定义
不等式是用不等号连接两个表达式的数学语句，表示它 们之间的大小关系不确定或不满足等式关系。
常见不等号
大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小 于等于号（≤）等。
不等式及其解集
不等式及其解集1. 不等式的概念和表示不等式是数学中一种表达式，它使用不等号（<，>，≤或≥）来表示两个数或两个代数式之间的大小关系。
不等式可以包含一个或多个未知数，并且可以包含常数和其他数学运算。
不等式的一般形式如下：p(x) < q(x)其中p(x)和q(x)是多项式函数，表示式子的左侧和右侧。
不等式的解集是满足不等式的x的值的集合。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为一次的不等式。
例如：ax + b < 0其中a和b是常数。
要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax + b = 02.求解这个等式的解x_0。
3.根据x_0的位置确定不等式的解集。
假设x_0表示等式的解。
•如果a > 0，则解集为(x, −∞)•如果a < 0，则解集为(−∞, x)3. 一元二次不等式一元二次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为二次的不等式。
例如：ax^2 + bx + c > 0其中a，b和c是常数。
要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax^2 + bx + c = 02.求解这个等式的解集{x_1, x_2}。
3.根据x_1和x_2的位置确定不等式的解集。
假设x_1和x_2表示等式的解。
•如果a > 0，则解集为(−∞, x_1) ∪ (x_2, +∞)•如果a < 0，则解集为(x_1, x_2)4. 多元不等式多元不等式是指含有多个未知数的不等式。
解决多元不等式的方法通常是通过图形、代数方法或数值方法。
例如：考虑以下两个不等式：ax + by ≥ cdx + ey < f可以使用图形方法将它们表示在坐标系中，并找到满足这两个不等式的区域。
通过确定这些区域的交集，可以获得满足所有条件的解集。
5. 不等式解集的表示和性质不等式解集通常用集合表示法来表示，例如：S = {x | p(x) < q(x)}其中，S表示满足不等式的x的集合，p(x)和q(x)分别代表不等式的左侧和右侧。
不等式的解集知识点总结
不等式的解集知识点总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。
在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。
下面是一些常见的不等式的解集知识点总结：一、一元一次不等式形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。
2. 根据 a 的正负情况讨论解集：- 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a；- 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a；- 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a；- 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。
二、二次函数不等式形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。
2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况：- 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂；- 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁；- 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集；- 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集；- 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。
不等式及其解集课件.ppt
生活中，你见过这些现象吗？
如图在所现示实，你生知活道中苹，果既的有相等如果关母系亲又放存开在手着，大你
重量量的a与不砝等码关重系量。b的人关们常用长说与会出短现，怎高样与的矮结，果
系轻吗与？重，大与小来描述不等呢关？你系能。解释这种现
那么a=在b 数学中，我们又象用吗什？么来描述不等
4、图中红色部分所表示的是哪些数？你能用不等式 表示这个区域吗？
-１ ０ １
X＜１
5、请说出一个不等式，使得3是它的一个解，而4不 是它的解。
6、请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示。
（1） 2x＜８
（2）x-2＞0
问题的深入
问题1：一辆匀速行驶的汽车在11： 20距离仙居50千米，要在12：00之前 到达仙居，问车速应满足什么条件？
3
不是不等式 2 x 50 的解
3
至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？
2
X>50
3
虽然这个不等式明确表示了车速应满足的条件， 但我们希望更明确得出x应取哪些值．
你认为车速可以是６０千米/小时吗？可以是７５ 千米/小时吗？可以是８０千米/小时吗？你是怎样思 考的？
与方程类似，我们把使不等式成立的未知数 的值叫做不等式的解．
在这里，80是不等式 2 x 50 的解，60和75
50 2 x3
时间=路速程度
2
X>50
3
50 2 x3
虽然这些不等式明确表示了车速应满足的条件， 但我们希望更明确得出x应取哪些值．
你认为车速可以是６０千米/小时吗？可以是７５ 千米/小时吗？可以是８０千米/小时吗？你是怎样思 考的？
与方程类似，我们把使不等式成立的未知数 的值叫做不等式的解．
2014..9.1.1.不等式及其解集
比较等式与不等式的性质
等式的基本性质1
等式两边加（或 减）同一个数或式 子，结果仍相等。 等式的基本性质2 不等式的性质1 不等式两边加（或减） 同一个数（或式子），不 等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以） 等式两边乘同一个 正数 同一个正数，不等号的方 数，或除以同一个 不变 向不变。 不为零的数，结果 不等式的性质3 仍相等. 不等式的两边乘（或除以）同 一个负数，不等号的方向改变 负数 改变.
达标检测
1、已知a>b,下列不等式不成立的是（ B）
A: a-3>b-3 B:-2a>-2b C: D: -a<-b 2、由m>n到km<kn成立的条件是（ B ） A: k>0 B :k<0 C: k≥0 D: k≤0 3、已知a>b，用“<”或“>”填空： > －3 < －3b (1) a－3____b (2) －3a____ > < －3b (4) a－b____0 (3) 3－3a____3 <-2，依据____________. 不等式的性质3 4、若-2x>4，则x___ 若m-2>3，则m___ _________. 1 >5 ，依据不等式的性质
正数：7×3
7 ×2 7 ×1 零： 7× 0
> > >
4×3
4× 2 4× 1
负数：7×（-1）
7 ×（-2） 7 × （-3）
< 4 × （-1） < 4 × （-2） <
4 × （-3）
＝ 4× 0
发现:同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一
个 负数不等号方向改变,同乘以0的时候相等.
不等式及其解集说课课件
课程目标
掌握不等式的性质 、基本不等式和不 等式的解法。
培养学生的数学思 维和逻辑推理能力 。
能够运用不等式解 决实际问题，如最 值问题、不等式证 明等。
课程大纲
• 第一部分：不等式的性质 • 不等式的定义与性质 • 不等式的运算规则与基本不等式 • 第二部分：不等式的解法 • 一元一次不等式的解法 • 一元二次不等式的解法 • 高次不等式的解法 • 第三部分：实际应用 • 最值问题中的不等式应用 • 不等式证明中的实际应用 • 不等式在经济、生活和其他领域中的应用
教师自我总结与提升建议
在教学过程中，应更加注重学生的个体差异，针对不 同层次的学生制定不同的教学策略。
在解集的求解中，应更加注重规范和检验，避免学生 出现错误和不合理的解法。
在讲解不等式的性质和应用时，应更加注重实例的引 入和讲解，帮助学生更好地理解和掌握。
在面对复杂的不等式问题时，应更加注重思路和技巧 的指导，帮助学生掌握解题的规律和方法。
2
教师对学生的回答或表现进行评价，以鼓励和 肯定为主，同时提出建设性的意见和建议。
3
可以采用小组评价、个人评价、教师评价等多 种评价方式，以全面了解学生的学习情况和表 现。
06
教学反思与总结
教学效果评估
01
学生对不等式的概念和性质有了的概念和求法有了初步掌握，能够正确求解简单的
《不等式及其解集说课课件》
xx年xx月xx日
contents
目录
• 课程背景 • 不等式概述 • 不等式解法 • 例题解析 • 课堂互动与讨论 • 教学反思与总结
01
课程背景
课程简介
《不等式及其解集》是高中数学课程中的重要内容，主要涉 及不等式的性质、解法及其应用。
专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)
专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小 一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。
人教版七年级数学下册第九章《 9.1.1 不等式及其解集》公开课课件(共39张PPT)
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
不等式知识点及其解题技巧
不等式知识点及其解题技巧不等式知识点及其解题技巧不等式的性质：1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。
例如，若a>b,c>d，则a+c>b+d（若a>b,cb-d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。
例如，若a>b>0,c>d>0，则ac>bd（若a>b>0,0<c<d，则ab<cd）；3.左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。
例如，若a>b>0，则a>b或ad>0，则c>d或c<d；4.若a>b>0,c>d>0，则a+c>b+d；若a>b>0,0b-d；5.若ab或ab；6.若ab；若a<b<0，则a<b；7.若c>a>b>d，则c-d>a-b；若a>b,0b。
例如：1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若ac>bc，则a>b；③若ab>c；④若a<b<c，则a<c；⑤若ab；⑥若ab；⑦若c>a>b>d，则c-d>a-b；⑧若a>b,0b。
其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。
2.已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7.3.已知a>b>c，且a+b+c=1，则$\frac{c-2a}{2a}$的取值范围是$(-2,-1)$。
不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幂的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。
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不等式及其解集·要点详析
重点
1．不等式的概念
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
例如：x－1＜2，3－4＜0，3－4≠4－3，a＞0，a＜0，a2≥0等都是不等式．
五种不等号的读法及意义
（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大
哪个小；
（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大；
（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小；
（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边“不小于”右边；
（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边“不大于”右边．
2．不等式成立与不等式不成立的意义
对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号
所表示的大小关系，我们就说，不等式成立；当未知数取某些数值时，不等式的左、右两边
不符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式不成立．
3．不等式的解与不等式的解集
（1）不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集 一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等
式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
（3）不等式的解与解集的区别与联系
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知
数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解
组成了不等式的解集，解集中包括了每一个解．
难点
1．不等式的解及解集．
2．不等式的解集在数轴表示的方法．