【成才之路】2014高中数学 1-3-1-2 函数的最值能力强化提升 新人教A版必修1

【成才之路】2014高中数学 1-3-1-2 函数的最值能力强化提升
新人教A 版必修1
一、选择题
1．若函数f (x )＝|x |，则( ) A ．f (x )的最大值为0，无最小值 B ．f (x )无最大值，最小值为0 C ．f (x )的最大值为＋∞，最小值为0 D ．f (x )的最大值为0，最小值为－∞ [答案] B
2．函数f (x )＝1
x
在[1，＋∞)上( )
A ．有最大值无最小值
B ．有最小值无最大值
C ．有最大值也有最小值
D ．无最大值也无最小值
[答案] A
3．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )
A ．3,0
B ．3,1
C ．3，无最小值
D ．3，－2
[答案] C
4．(2012～2013石家庄高一检测)若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D ．0
[答案] C
[解析] 当a ＝0时，不满足题意；当a >0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为增函数，∴2a ＋1
－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为减函数，∴a ＋1－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2，故a ＝±2.
5．若f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋6 x ∈[1，2]
x ＋7 x ∈[－1，1，则f (x )的最大值、最小值分别为( )
A ．10、6
B ．10、8
C ．8、6
D ．8、8
[答案] A
[解析] f (x )＝2x ＋6，x ∈[1,2]最大值为10，最小值为8，f (x )＝x ＋7，x ∈[－1,1)
最大值为8，最小值6.因此f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋61≤x ≤2x ＋7－1≤x ＜1最大值为10，最小值为6，故选
A.
6．函数f (x )＝x 2
－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2
[答案] C
[解析] f (x )＝x 2
－4x ＋3的对称轴为x ＝2，所以最大值为f (4)＝42
－4×4＋3＝3. 7．函数f (x )＝2x －1＋x 的值域是( ) A ．[1
2，＋∞)
B ．(－∞，1
2]
C ．(0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵y ＝2x －1和y ＝x 在[12，＋∞)上都是增函数，∴f (x )在[1
2，＋∞)上是单
调增函数．
∴f (x )≥f (x )min ＝f (12)＝1
2
.
8．若0<t ≤14，则1
t －t 的最小值是( )
A ．－2 B.15
4
C ．2
D ．0
[答案] B
[解析] y ＝1t －t 在(0，14]上为减函数，当t ＝14时y 有最小值15
4，故选B.
二、填空题
9．函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
－2x －2≤x ≤0
x 0<x ≤2，则f (x )的最大值及最小值分别是________．
[答案] 2,0
[解析] f (x )＝－x 2
－2x 的对称轴x ＝－1，∴f (x )在[－2,0]上最大值为f (0)＝f (－2)＝0，最小值f (－1)＝1；f (x )＝x 在(0,2]上的最大值为2，所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝0.
10．函数y ＝6
x 2
＋x ＋1
的最大值为________．
[答案] 8 [解析] y ＝6x 2
＋x ＋1的最大值即t ＝x 2
＋x ＋1的最小值，t min ＝4－14＝34，y max ＝6×43
＝
8.
11．已知f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[1,5]上的最小值为f (5)，则a 的取值范围是________．
[答案] a ≤－4
[解析] 对称轴方程为x ＝1－a ，∵f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (5)，∴1－a ≥5，得a ≤－4.
12．给出一个函数y ＝f (x )，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质，甲：对于x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )；乙：在(－∞，0]上函数递减；丙：在(0，＋∞)上函数递增；丁：f (0)不是函数的最小值，如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数________．
[答案] f (x )＝(x －1)2
[解析] 给出的函数为f (x )＝(x －1)2
，有甲、乙、丁三人说的正确． 三、解答题
13．求函数f (x )＝－x 2
＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值． [解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．
①∵f (x )＝－x 2
＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋x x ≥0－x 2
－x x ＜0
即f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－x －12
2
＋1
4
x ≥0－x ＋1
2
2
＋14
x ＜0
作出其在[－1,2]上的图象如图所示
由图象可知，f (x )的递增区间为(－∞，－12)和[0，12]，递减区间为[－12，0]和[1
2，＋
∞)．
②由图象知：当x ＝－12或12时，f (x )max ＝1
4，当x ＝2时，f (x )min ＝－2.
14．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)函数y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2
－2x ＋2＝(x －1)2
＋1. ∵x ∈[－5,5]，∴f (x )min ＝f (1)＝1；
f (x )max ＝f (－5)＝37.
(2)∵f (x )＝(x ＋a )2
＋2－a 2
， ∴函数的对称轴为直线x ＝－a . ∵函数f (x )在[－5,5]上是单调的， ∴－a ≤－5或－a ≥5， 即a ≥5或a ≤－5.
∴实数a 的取值范围是{a |a ≥5或a ≤－5}．
15．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3
x
(x ∈[2，＋∞))．
(1)证明函数f (x )为增函数． (2)求f (x )的最小值．
[解析] 将函数式化为：f (x )＝x ＋3
x
＋2.
(1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1＜x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－
3
x 1x 2
)．
∵x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，
又∵x 1≥2，x 2＞2，∴x 1x 2＞4,1－
3
x 1x 2
＞0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即：f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数． (2)当x ＝2时，f (x )有最小值11
2
.
16．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式． (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本价)?
[分析] 本题属于函数建模应用题，解决此类问题的关键在于读懂题，恰当设出未知量，列出函数关系．
[解析] (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则
x 0＝100＋
60－51
0.02
＝550. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60. 当100<x <550时，
P ＝60－0.02(x －100)＝62－x
50
.
当x ≥550时，P ＝51.
所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
60，0<x ≤100
62－x
50，100<x <550，x ∈N
51，x ≥550.
(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则
L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
20x ，0<x ≤10022x －x
2
50
，100<x <550，x ∈N 11x ，x ≥550.
当x ＝500时，L ＝6 000； 当x ＝1 000时，L ＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．。