高中数学函数最值的求解方法

函数最值的解法及其在生活中的应用

（渭南师范学院 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 11级2班）

摘要：函数最值问题是现在高中数学课程中的重要组成部分，也是高考考查的重要内容之一，在高考中占有比较重要的地位.但由于最值问题综合性较强.解法比较灵活.所以对各方面知识及选择何种解题方法方面都有较高的要求.本文主要对函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题.

关键词:函数;最值;解法

1绪论

函数是高中数学的主体内容，贯穿于整个高中阶段，而函数最值问题是函

数的重要内容之一．解决函数最值问题就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化的过程，虽然解决问题的具体方法不完全相同，但就其思维模式来说，一般是将待解决的问题进行一次次的转化，直至划为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．

函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中

有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，因此解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，选择合适的解题方法．

1.1函数最值的定义：

一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数()y f x =的定义域为T ，

T x ∈0，且在0x 处的函数值是()0f x

如果对于定义域T 内任意x ，不等式()()0f x f x ≥都成立，那么()0f x 叫做

函数()y f x =的最小值，记作()min 0y f x =；

如果对于定义域T 内任意x ，不等式()()0f x f x ≤都成立，那么()0f x 叫做

函数()y f x =的最大值，记作()max 0y f x =.

函数的最值一般有两种特殊情况：

（1）如果函数0()f x 在[,]a b 上单调增加(减少)， 则()f a 是()f x 在[,]a b 上的最小值(最大值)，()f b 是()f x 在[,]a b 上的最大值(最小值).

（2）如果连续函数0()f x 在区间(,)a b 内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[,]a b 上的最大(小)值.

2函数最值的求解方法探究

中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如定义法、导数法、配方法、消元法、数形结合法、以及不等式的证明等等，选择合适的方法才能让问题迎刃而解.

2.1定义法

利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用! 需要注意的是: 函数一定有值域，但不一定有最值.

例1设函数()x f 的定义域为R ，下列命题中正确的是:

（1）若存在常数P ，使得对任意R x ∈，有 ()P x f ≥，则P 是函数()x f 的最小值;

（2）若存在R x ∈0，使得对任意的R x ∈，有()()0x f x f ≥，则()0x f 是函数()x f 的最小值;

（3）若存在R x ∈0，使得对任意的R x ∈，且0x x ≠有()()0x f x f >，则()0x f 是函数()x f 的最小值;

解析 根据函数最小值的定义知，（1）是假命题: 虽然满足最小值定义中的任意性，但不满足存在性，故错误（2）（3）正确: 实质上，它们是等价命题，都满

足最值定义中的两个条件

2.2导数法

例2 求函数5156)(23+-+=x x x x f 在[]3,6-的最值.

解 ∵5156)(23+-+=x x x x f ,

∴15123)('2-+=x x x f

令15123)('2-+=x x x f =3)5)(1(+-x x =0

解得 5,121-==x x

()856=-f ，()1055=-f ，()31-=f ，()413=f

可知

()()3-11055-==极小值极大值，f f

比较得

()()3,105min max -==x f x f

故函数5156)(23+-+=x x x x f 在闭区间[]3,6-上的最大值是105,最小值是-3.

2.3单调性法

闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值,而极值又来源于0)('=x f 的根处的函数值.所以建议求可导函数在闭区间

[a,b]上的最值可分以下两步步骤进行:

1.求函数的导数;

2.求函数在[a,b]内令0)('=x f 的x 的值（称之为”驻点”);

3.判断驻点左右两侧)('x f 的正负,以此判断函数曲线的走向（0)('>x f 为上升,0)('

极小值;

4.如果函数驻点较多,分段讨论,并可以列表、画图表达;

5.求最大值,将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较,取最大的,则为最大值.最小值亦然。

2.4 判别式法

对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0?≥来求出()f x 的最值.

例3

2.5 配方法

如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用此法求解.

例3 求2()234x x f x +=-在区间[1,0]-内的最值.

解：配方得2224()2343(2)33

x x x f x +=-=--+ , 因为[1,0]x ∈-,所以1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3

x =，()f x 取得最大值43

；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1. 2.5 消元法

在求多元函数最值的条件中#若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法#把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的!

例4 已知x y x 3222=+，求x y x u -+=222的最大值

解：由已知得()

x x y 32122+-= ①

30,032≤≤∴≥+-x x x

将①代入x y x u -+=222化为一元函数，再用配方法即可求得。

2.6 数形结合求最值

数形结合法是一种重要的解题方法#其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决!此法直观性较强#易于理解#有一定的灵活性且常有化难为易的神奇效果。

例5 已知直线03=+-y x ,求函数22)1(y x S ++=+22)1(y x +-的最值.

解 此题的几何意义是在直线03=+-y x 上求一点M ,使得M 到点)0,1(-,)0,1(的距离之和最小.(如下图3—1）

设:点B A ,的坐标分别为)0,1(-,)0,1(,直线l 的方程为03=+-y x .由几何光学原理知当点光源从A 射出后,经镜面l 反射到点B ,这时NB BM AM =+就是所求的最小值.

设点B 关于光线l 的对称点为),(11y x N ,于是

min S =NB BM AM =+,由 ???????=+---=?+-0322111101111y x x y

化简得 ???=+-=++0

5011111y x y x

解得 2,311=-=y x

所以 min S N B B M A M =+= =22)02()13(-+-- =52 图3— 1

2.7 换元法求最值

换元变换是一种重要的数学变换#在数学中有着广泛的应用!正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易。

例6 设1222=++y xy x ,求22y x +的最值.

解 θcos r x =,θsin r y = (θ为参数),则

)sin sin cos (cos 22222θθθθ++=++r y xy x =12)2sin 2

11(2=+θr . 从而 )sin (cos 22222θθ+=+r y x =θ2sin 2

11122+=r . 因-112sin ≤≤θ,

当12sin =θ(即2==y x )时,故8)(min 22=+y x ;

当12sin -=θ(即32==y x )时,故24)(max 22=+y x .

2.8 最值不等式的证明

定理 设c bx ax x m m x f +++=2)((N m m a ∈>>,1,0)若非负整数k 满足:

(1) ,0)]2([log 2=-+-+++k b ak c bk ak m (2) ,2-∈++Z c bk ak

那么有

(I)满足条件(1)的k 值是唯一的;

(II)当k x =时,的最小值为c bk ak

k m m k f x f +++==2)()(min . 例7 证明 62223≥++x x ,(R x ∈).

证 令x x '=+3,那么 )(222296322x f x x x x x '=+=++'-'

'+,

这里

.9,6,1,2=-===c b a m 由条件(1)可得0)26(l

o g 9622=--++-k k k k

∵-∈Z k ,若方程0)26(log 9622=--++-k k k k 有解,必须满足)(226Z p k p ∈=-,

由此可知k 的取值只能是1,2.经过验证只有2=k 是方程0)26(l o g 9622=--++-k k k k 的解,且-∈=+?-=++Z c k ak 19262622,满足条件(2),故由结论(II),可得

622)2()(9262

2min 2=+=='+?-f x f , 即 62223≥++x x ,成立.

注 文中定理利用高等数学知识可推广为:

定理 设c bx ax x m m x f +++=2)((0,1>>a m ),若存在常数k 满足

0)]2([log 2=-+-+++k b ak c bk ak m

那么c bk ak k m m k f x f +++==2)()(min .

3求解函数最值时应注意的一些问题

3.1注意定义域

求最值问题的时候，在求解的过程当中，要注意观察定义域的变化情况，首先看到题目的时候，应该先把确定函数的定义域；在解题过程中，当函数变形时应注意定义域是否发生改变，如果引入新变量也应该确定新变量的取值范围，以免在后面的求解过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含在定义域的范围内

例 求函数12

x y x -=-的最值.

错解：将12

x y x -=-两边同时平方并去分母得2222(41)410y x y x y --+-=. 因为x R ?，所以2222(41)4(41)0y y y D=---?，化简得241y ￡. 所以1122y -＃，故min 12y =-，max 12

y =. 分析：这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了. 正解：将12

x y x -=-两边平方并去分母，得2222(41)410y x y x y --+-=. 因为x R ?，所以2222(41)4(41)0y y y D=---?，化简得241y ￡. 所以1122

y -＃，注意到原函数的定义域是1x ￡，则有10x -?，20x -<，于是必有0y ￡.

所以102y -＃，故min 12

y =-，max 0y =. 3.2注意值域

求函数的最值，不但对几种基本初等函数的值域要非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化.

参考文献

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[2]潘玉晓.关于函数最值问题的探讨[J].南阳师范学院学报，2005(9).

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[13]张维进.一类指数函数最小值的初等求法[J]. 电子学报,1999,(2).

Discussion on the function most value in the application of life

Yang Jing

(Weinan Teachers University , Shanxi Weinan)

Abstract: Application of mathematics is an important task in the teaching of mathematics. This paper will through the definition of the value function and the method of solving the most value, the value of the function and system, which is an important and basic properties and functions, which made people realize the function most value question has a close relationship with the actual the problem. Finally, the value function can use the knowledge, to solve the problems in real life.

Firstly, the value function and the value function of the definition of related theory. And given the value function and the relationship between the (lower) bound; secondly, gives some methods to solve the value function (such as the value of the derivative of general method, elimination method, combination method, substitution method, and to prove inequality etc.); and then

use these some of the problems in real life (for example, to solve the minimum cost maximum profit, the fastest speed, etc.) and the life of some of the most value of some phenomenon; the last is a summary of the value function of the actual life played a certain effect of the value function, and then the further development and research of the positive role.

This paper relates to the application can be divided into the following several points:

1 the value of application in real life;

2 the value of the application in Economics

Keywords: most value; application.