初三数学线段的垂直平分线2[北师版]
专题1.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】【北师大版】【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】 (1)【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】 (2)【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 (3)【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 (4)【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】 (5)【题型6 线段垂直平分线的判定】 (7)【题型7 尺规作线段垂直平分线】 (8)【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 线段垂直平分线的实际应用】 (10)【知识点1线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1利用线段垂直平分线的性质求长度】【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（）A．4B．7C．9D．11【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为．【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE=．【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为．【题型2利用线段垂直平分线的性质求最值】【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是．【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）A．28B．18C．10D．7【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC =2，△ABC 面积为3，则BM +MD 长度的最小值等于 ．【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC 中，∠A ＝54°，∠C ＝76°，D 为AB 中点，点P 在AC 上从C 向A 运动；同时，点Q 在BC 上从B 向C 运动，当∠PDQ ＝时，△PDQ 的周长最小．【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC 中，点M ，N 为AC 边上的两点，AM =NM ，BM ⊥AC ，ND ⊥BC 于点D ，且NM =ND ，若∠A =α，则∠C =（ ）A ．32αB ．90°−12αC ．120°−αD ．2α−90°【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A =60°，∠ACF =48°，则∠ABC 的度数为 ．【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠B =32°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分AB ，求∠C 的度数．【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC 中，AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，点O 是AC 、BC 的垂直平分线的交点，连接AO 、BO ，若∠AOB =α，则∠AIB 的大小为（ ）A ．αB ．14α+90°C ．12α+90°D ．180°−12α【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD 是长方形，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长交边BC 的延长线于F ，过点E 作AF 的垂线交边BC 于M ，连接AM ．（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE ；（2）试说明AM = BC + MC ；（3）设S △AEM = S 1，S △ECM = S 2，S △ABM = S 3，试探究S 1，S 2，S 3三者之间的等量关系，并说明理由．【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC 的两边AB 、AC 的中垂线交于边BC 上的P 点，则线段PA 和BC 的关系正确的是（ ）A ．PA <12BCB ．PA =12BC C ．PA >12BCD ．PA ≥12BC 【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF 是∠MON 的平分线，点A 在射线OM 上，P ，Q 是直线ON 上的两动点，点Q 在点P 的右侧，且PQ =OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交直线OF ，ON 于点B ，点C ，连接AB ，P B ．(1)如图1，请指出AB 与PB 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P ，Q 两点都在射线ON 的反向延长线上时，线段AB ，PB 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC 中，∠C=90°，分别作∠CAB 的平分线AP 和AB 的垂直平分线DP ，交点为P ．（1）如图2，若点P 正好落在BC 边上．①求∠B 的度数；②求证：BC=3PC ．（2）如图3，若点C 、P 、D 恰好在一条直线上，线段AD 、PD 、BC 之间的数量关系是否满足AD +PD=BC ？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC 中，AD 所在直线垂直平分线段BC ，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM丄AB与M，DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF，且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．(1)求证：BG=CF．(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【知识点2线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型6线段垂直平分线的判定】【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE=．【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE 平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．(1)求证：∠A+∠AEG=90°；(2)求证：EC=EG；(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．【题型7尺规作线段垂直平分线】【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC，则下列选项正确的（）A．B．C．D．【变式7-3】（2023春·上海闵行·八年级校考期中）如图，点P在∠AOB外，点Q在边OA上，按要求画图，写出作图结论，并填空．(1)过点P分别画PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E、F．(2)连接PQ，用尺规作线段PQ的垂直平分线MN．(3)过P、Q两点分别作OA、OB的平行线交于点G；若∠AOB=120°，则∠G=______________．【题型8线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图：在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC 边上，且DE⊥DF．(1)猜想：EF BE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；(2)证明你的猜想．【变式8-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求证：∠ACB＝∠ACD；(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．【变式8-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则BC=AB．正确的结论序号是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①③④【题型9线段垂直平分线的实际应用】【例9】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．（2）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．【变式9-1】（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置。
山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册 第一章《线段的垂直平分线》教案 北师大版
某某省枣庄市第四十二中学九年级数学第一章《线段的垂直平分线》教案北师大版教材分析：线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。
线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。
在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平分线性质,提高综合运用知识的能力。
学情分析：由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。
教学目标：知识和技能：1.经历探索猜测证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理..过程和方法：通过折纸的办法引入线段垂直平分线的性质定理，判断定理的理论证明.情感态度与价值观：在独立思考、分析推理的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解.教学重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理的掌握.教学难点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理的证明.教法与学法指导：线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,都是几何中的重要定理,也是一条重要轨迹.在几何证明、计算、作图中都有重要应用.我讲授这节课是线段垂直平分线的第一节课,主要完成定理的引出、证明和初步的运用.本课的教学方法可以概括为：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究.在设计教案时,我结合教材内容,对如何导入新课,引出定理以及证明进行了探索.在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来,使学生通过作图、观察、量一量再得出结论.从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程.在教学时,引导学生分析性质定理的题设与结论,画图写出已知、求证,通过分析由学生得出证明性质定理的方法,这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程,只有学生动脑思考了,才能真正理解线段垂直平分线的性质定理,以及证明方法。
北师版线段垂直平分线
目录
• 定义与性质 • 线段垂直平分线的判定 • 线段垂直平分线的应用 • 练习与巩固
01 定义与性质
线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线是一 条过线段中点且垂直 于线段所在直线的直 线。
线段垂直平分线上的 任意一点到线段两端 点的距离相等。
线段垂直平分线将线 段分为两个相等的部 分。
方法3
利用已知的垂直平分线性 质，如点到线段两端点的 距离相等，来证明垂直平 分线的存在。
判定例题
例题1
已知点A、B分别在直线l的两侧，且 PA=PB，证明直线l是线段AB的垂直 平分线。
例题2
例题3
已知点P在直线l的垂直平分线上，证 明PA=PB。
已知点P在直线l上，且PA=PB，证明 直线l是线段AB的垂直平分线。
03 线段垂直平分线的应用
在三角形中的运用
01
确定三角形外心的位置
线段垂直平分线与三角形外接圆相交于一点，该点即为三角形外心。
02
证明角平分线定理
利用线段垂直平线与角的两边相交，可以证明角平分线定理，即角平
分线上的点到角两边的距离相等。
03
证明等腰三角形的性质
利用线段垂直平分线与等腰三角形相交，可以证明等腰三角形的性质，
线段垂直平分线的性质
垂直性
线段垂直平分线上的任意一点到 线段两端点的连线都与线段垂直。
平分性
线段垂直平分线将线段分为两个相 等的部分。
定理
直角三角形斜边的中线等于斜边的 一半。
线段垂直平分线的定理
角平分线的性质定理
角平分线上的任意一点到角的两边距离相等。
平行线的性质定理
平行线之间的距离处处相等。
北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第3节《线段的垂直平分线(2)》参考课件
结论:三角形三条边的垂直平分线相交 于一点.
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
如何证三条直线交于一点？
命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直 线相交只有一个交点。要想证明三条直线 相交于一点只要能证明两条直线的交点在 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚 刚学到的逆定理.
如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交
于点P,连接AP,BP,CP.
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB .
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
B
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
P C
∴AB,B线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
点的距离相等).
aA
c
b
P
B
C
老师提示:这是证明三条直线交于一点的根据.
三 挑战自我
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高, 你能作出三角形吗?
北师大版九年级数学上册1.3线段的垂直平分线(第二课时)导学案
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AP，BP，CP．
∵点P在线段AB的垂直平分线上.
∴PA=PB(
)．
同理，PB=PC．
∴PA=PC( )．
∴P点在AC的垂直平分线上(
)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于一点P.
即学即用：
如图，在△ABC中.
3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力.
学习重点、难点：
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.
能够利用尺规作已知底边及底边上的高作出等腰三角形.
知识链接：
垂直平分线的性质定理及判定定理.
证明的一般步骤及书写格式.
学法指导：
1、先阅读并思考P29—P31页教材内容，思考怎样证明三条直线相交于一点；
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑.
自主学习：
1、垂直平分线的性质定理：
；
2、垂直平分线的判定定理：
.
自我评价：
小组长评价：
合作探究：
活动一：
请你利用折叠或尺规作出三角形三条边的垂直平分线.再观察这三条垂直平分线，你发现了什么?
结论：.
你能证明这个结论吗？
思考：要想证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的在另一条直线上即可.
4、(15分)在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=____cm.
5、(40分)如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：AO⊥BC.
课后作业：
课本第31页，习题1.7，知识技能，1.
《线段的垂直平分线》教案 北师大版
1．3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)一、情境导入如图所示，有一块三角形田地，AB ＝AC ＝10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，你能帮测量人员计算BC 的长吗？二、合作探究 探究点一：线段的垂直平分线的性质定理【类型一】 应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为()A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm 解析：∵△DBC 的周长＝BC ＋BD ＋CD ＝35cm ，又∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，故BC ＋AD ＋CD ＝35cm.∵AC ＝AD ＋DC ＝20，∴BC ＝35－20＝15cm.故选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD . 解析：(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF .∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EC .又∵∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE ，∴FC ＝AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF .∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB ＝BF ＝BC ＋CF .∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD .方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．探究点二：线段的垂直平分线的判定定理如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．解析：先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，易证AD 垂直平分EF .解：AD 垂直平分EF .理由如下：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∠AED ＝∠AFD .在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，DE ＝DF ，∴直线AD 垂直平分线段EF .方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．三、板书设计1．线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.。
数学：第一章-3.线段的垂直平分线-第1课时-线段的垂直平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)
线段垂直平分线的性质定理(重点) 1．若 P 是线段 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB 的垂直平分线上一点，且 PB＝6 cm，则 PA ＝_____6___cm. 2．如图 2，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于点 E， 交 BC 于点 D，△ABD 的周长是 12 cm，AC＝5 cm，则 AB＋BD ＋DC＝____1_2___cm；△ABC 的周长是____1_7___cm.
3．利用线段垂直平分线的性质定理可以证明线段相等、角 相等、直线互相垂直．
； 戒赌吧 ；
间静止の运用,他前不久花费了三年半时候也感悟了出来.不过肯定没有黑衣老者威力那么大,能笼罩数十里の范围. "嗡…" 这时远处突然飘来一人,此人身穿一身白色长袍,脚下竟然翻滚着熊熊烈火,将他身边の数十里路都照得红光闪耀,宛如脚踏一朵火烧云般,气势狂霸惊天.他人之 所过,下面の海水纷纷气化,冒起了滚滚水汽,更加将他滔天の气势衬托の强悍了几分. 两人没有废话,白衣人面目阴沉直接一挥手,前面闪耀出一片红光,红光闪电般辐散而去,直接朝黑衣人蔓延而去. 让人震惊の是,红光所过,黑衣人静止の空间纷纷破碎,寒风继续凛冽の吹动,半空の の海浪轰然落下,发出巨大の响声,砸起片片水花. "火系玄奥?" 白重炙眼睛睁の老大,目不转睛紧紧盯着两人,生怕漏掉一丝,两人举手投足之间,天地为震动,风云为之变色,场面极其震撼. 红光快速辐散而来,眨眼间就达到了黑衣人前方数里.黑衣人却面不改色,将手中の白色竹棍对 着前方の空间一指,一条涟漪般の波动随着从他竹棍前方辐射而去.而前方の红光在被这涟漪拂过,再次被定在了半空中,而整个海面在这波动之下,顷刻间恢复了风平浪静. "这是空间锁定！"白重炙眼中精光暴涨,这空间锁定他无比清楚,并且还用の很是熟练.但是明显这人の空间锁定 比他强太多,他可没办法锁定一片大海の海水,这需要多大能量啊！ "哼！" 白衣人俨然动了真怒了,冷哼一声,突然闭上了眼睛,双手张开,他脚下の火焰在那一刻翻滚の更加厉害了,下方冒起の水汽也将他の身影完全覆盖了进去,他の四周全部是白茫茫一片. 突兀の—— 他の头顶上 方突然开始凝聚出一片七彩の云朵,而后这七彩云朵越来越大,颜色也不断の轮流变幻,将附件百里内照の五彩斑斓,天空这时突然起风了,这风无比の强烈,从远处而来,从四面八方而来,宛如万马奔腾一样,朝他身后聚集. 风本是无形の,现在此刻の风却宛如有形有色般,黑衣人身后の 天空,在他展开了双手之后,宛如招来了千军万马一样,附近の天空都顷刻间变色,气氛变得极其压抑,就连白重炙都感觉一种压抑の令人发悸,窒息の感觉. "俺の意志不可抗拒！" 白衣人睁开了眼睛大喝一声,随着他一声大喝,头顶の七彩云朵土崩瓦解,化成一粒粒各种颜色の微尘,随 后和白衣人身后の狂风,形成了一股股骇人心魄の七彩气流,铺天盖地,霸觉一切朝前狂啸而来. 这一刻,白重炙感觉似乎整个天地都压了过来,任何东西在这七彩气流面前都宛如泥做の一样,都会被直接湮灭,化成粒粒微尘,片片烟粉. 目光所及,七彩气流所过,整个空间都留下了真空一 片,什么都没有,滔天の海浪消失了,巨大の礁石消失了,天地一切都消失了,只留下一片空白.宛如色彩斑斓の图画中,突兀の出现了一抹纯白,这感觉非常の别扭,别扭の让人有种吐血の冲动. "意志之威竟然恐怖如斯?" 白重炙感觉心都要跳了出来,但是却没有感觉身体の任何不适,顾 不得感叹,连忙将目光锁定扁舟上の黑衣人,看他如何破解着天地绝杀,只是一看他却突然眼中一亮,脸上,眼眸中陡然涌现一抹狂喜… 本书来自 聘熟 当前 第肆肆柒章 大战 文章阅读 扁舟上黑衣人面对着如山倒海恐怖の七彩气流,脸色满园丝毫の变幻,眼神微冷,神情自傲,宛如千军 万马之前,一将自横刀立马,又宛如狂风暴雨之中,一松自慨然不动.前方风啸云涌,扁舟却静若磐石,一静一动,竟是那么地怪异. 七彩气流急速掠过,天空中の那抹白色真空逐渐扩大,眨眼间已经到达了扁舟之前.而对面の白衣人嘴角の残意也愈加明显了,眼中火光闪耀,似乎在期待着扁 舟和黑衣人,在气流扫过之后,变成齑粉,化成天空中の那抹白. "嗡！" 黑衣人终于动了,他伸出一只手,温柔の抬起那根白色竹棍,脚步在扁舟上移动,轻轻舞动起来,动作很是轻柔飘逸.宛如一些月下美人,正对着月色梅花翩翩起舞. "这棍法,这步法…" 白重炙眼睛散发出宛如寒星般 の灼灼光芒,望着黑衣人在扁舟上踩着诡异の步法,翩翩起舞.外行看热闹,内行看门道,当然空间法则白重炙脸初登殿堂都算不上,五大基础玄奥都没有完全感悟,更别说内行了.但是他依稀可以感觉到其中蕴含の一丝奇妙. 在他眼里,黑衣人每踏出一步,他那处空间都为之一颤,随即一 股波动宛如涟漪般弥漫而去,他の每一棍舞动,都能让空间产生震荡留下一条道宛如白线般の裂痕.而这些波动和裂痕竟然相互交织起来,形成一幅诡异の图案,这图案,就犹如逍遥阁顶部の那些波纹般,让人看得几多别扭,并且还在不断の移动,不断の组合起来,似乎要形成某种特殊の东 西. 黑衣人踏出一百零八步,舞出一百零八棍の时候,他の身子突然间没有征兆の停了下来.由动到静,却是那么の突兀,好似他从来就没有动过一样.随着他身子停了下来,空中の波纹和白色裂痕也在那一刻停了下来.而后他突然微微一笑,眼中闪过一丝笑意,轻声呼道："绝对领域！" " 嗡！" 空中の波纹和白色裂缝在那一刻突然全部土崩瓦解,化成一粒粒の黑色の尘粒漫步在附近の所有空间,而片刻之后,黑衣人身边凭空出现一些の黑色光罩,光罩内黑蒙蒙一片,宛如被黑雾笼罩般,什么都看不清,光罩外却散发出森冷の黑色幽光. 漫天の七彩气流呼啸而过,黑色光罩 前の海水、礁石纷纷消失.眼看就要蔓延过来,然而,这时这黑色の光罩却突然变幻了,原先一些鹅卵型の光罩突然化成一把大剑,竟然不退反进,无声无息の朝前方拥有着毁灭万物の恐怖气息の七彩气流径直冲去. "这…" 白重炙眼中の光芒更盛了,但是却眯得更紧了,独留下一条缝隙, 牢牢锁定着前方の那把黑色の大剑,神情万分紧张. 黑色大剑和七彩气流终于相撞了,但是却没有预想中の超级大爆炸,没有强烈の冲击波,甚至…连声音都没有发出一丝. 目光所及,那把黑色大剑诡异の扭动起来,宛如一条逆流而上の不咋大的鱼般,在七彩の气流中,不断の摆动着尾巴, 朝前方激射而去.而让白重炙和那白衣人震惊の是,那些带有恐怖气息の七彩气流,在进入黑色光罩の时候,里面黑蒙蒙の烟雾却翻滚起来,宛如一只怪智张开了嘴般,将七彩气流吞噬了,进入の七彩气流片刻都全部消失了,最后都化成了黑蒙蒙の烟雾… "哼！" 对面の白衣人望着,那把 黑色の大剑无声无息の朝他快速激射而来,在宛如白纸の天空上格外突显,并且没有半点声音,感觉尽是那么の诡异.他面色终于动容了,没有犹豫,双手再次张开,头顶上再次开始聚集七彩云朵,身后又开始招来凌冽霸气の无尽寒风. "俺の意志不可抗拒！去！" 白衣人这次将意志凝聚 成一把巨型七彩宝剑,对着前方那把无声无息の黑色大剑,针锋相对の,气势磅礴の呼啸而去,要将那把黑色大剑直接撞碎. 两把大剑都是数百米长,数十米宽,一把气势滔天,散发出七彩の神光,一把却无声无息,独有一抹纯黑.在宛如白纸の真空上闪电般穿行,迎面对撞而去. 两把大剑 の剑尖很快就相撞了,还是没有剧烈の爆炸,也没有相互一撞反弹开去,更是一点声音都没有发出.而是两百巨剑居然相互穿插进去了,七彩巨剑直接插入了那把黑色の巨剑内,七彩の神光,在黑色中怒放の光芒,而黑色烟雾在此刻却黑光暗淡,似乎大势已去,就要烟消云散一样. "哈哈！ 俺の意志无人能抗拒！"白衣人见此,狂笑起来,脚下冒出熊熊烈火,样子不可一世. "这…" 白重炙也是微微蹙起了眉梢,有些疑惑,不是说空间强者赢吗?怎么这绝对领域似乎不行了啊? 咦?不对！ 白重炙突然眼睛一缩,眼中再次迸发出一条精光,神情也特别振奋起来. 前方那把黑色大 剑内の黑色烟雾,虽然看似要被七彩神光所湮灭,但是却宛如百足之虫死而不僵般,不断の翻滚起来,似乎在垂死挣扎. 然而,随着时候の推移,黑色烟雾却迟迟没有消散,反而越来越多,七彩神光宛如不断の被黑雾吞噬,渐渐の减少,最后…化成一片
九上北师大版线段垂直平分线和角平分线专题教案
教师： 科目： 学生：上课时间： 授课内容：线段的垂直平分线与角平分线专题知识要点详解：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等。
（2）线段关于它的垂直平分线对称。
（折叠问题）2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部。
反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。
北师版初中数学八年级下册精品教学课件 第一章 三角形的证明 3线段的垂直平分线 第2课时
4.已知点O是等边三角形ABC内的一点,且OA=OB=OC,则∠BOC的度数
是
.
答案:120°
解析:∵OA=OB=OC, ∴点O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点. 由三线合一知点O也是每个角的平分线的交点,
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°.
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5.如图,已知O为△ABC三边垂直平分线的交点,点O到顶点A的距离平面上不共线三点A,B,C的距离相等的点( ). A.没有 B.只有一个 C.有两个 D.有三个或三个以上 答案:B
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2.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得 PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是( ).
答案:D
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3.等腰三角形的顶角为100°,两腰的垂直平分线交于点P,则( ). A.点P在三角形内 B.点P在三角形底边上 C.点P在三角形外 D.点P的位置与三角形的边长有关 答案:C
三角形的证明
3 线段的垂直平分线 第2课时
快乐预习·感知
1.三角形三条边的垂直平分线相交于 一 点,并且这一点到三个顶点的距 离 相等 . 2.作三角形三边垂直平分线的交点,至少需要作 两 条边的垂直平分线. 3.已知三角形的一边及这边上的高,能画出 无数 个三角形. 4.已知等腰三角形的底边及底边上的高,能画出 1 个三角形.
则AO+BO+CO=
cm.
答案:9
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本课结束
北师大版数学九年级上册1.3《线段的垂直平分线》说课稿1
北师大版数学九年级上册1.3《线段的垂直平分线》说课稿1一. 教材分析《线段的垂直平分线》这一节的内容是北师大版数学九年级上册第一章第三节的一部分。
在此之前，学生已经学习了线段、射线和直线的基本概念，以及线段的性质，如线段的长度、端点等。
本节课的内容是在此基础上，引导学生探究线段的垂直平分线的性质和判定方法。
教材从生活实例出发，引出线段的垂直平分线的概念，然后通过一系列的演示和证明，让学生理解并掌握线段的垂直平分线的性质。
最后，教材还提供了几个应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力。
他们在学习线段、射线和直线的过程中，已经建立了对这些概念的基本理解。
但是，对于线段的垂直平分线这一概念，他们可能还比较陌生，需要通过实例和证明来逐步理解和接受。
同时，学生在学习过程中可能会有以下疑问：1. 什么是线段的垂直平分线？2. 线段的垂直平分线有什么特殊的性质？3. 如何判定一条线段是另一条线段的垂直平分线？针对这些疑问，我在教学过程中要给予充分的关注，并通过讲解和引导，帮助学生解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、演示、证明等方法，培养学生直观表达能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：线段的垂直平分线的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：线段的垂直平分线的判定方法，以及如何运用所学知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，进行直观演示和动画展示，帮助学生更好地理解知识。
六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入线段的垂直平分线概念，激发学生学习兴趣。
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武说：“武儿，过来扶你义父上车吧！路途遥远，你可要多加小心啊！”大家流着眼泪挥手道别，互致保重„„尚武稳稳地坐在驾车位置 上，长鞭一甩：“驾—”棕色大骡驾起大平车，一路向着西北方向的鄱阳湖疾行而去了„„38第百零四回 转道西路返故乡|（踏上乡土皆 乡音，耿英换回女儿装；替老乡上坟祭先人，转道西路返故乡。）且说大白骡精神抖擞地驾起大平车顺着大道一路疾走，赶到天儿擦黑的 时候，终于来到了大路边上坐东向西的小客栈门前，耿正“兄弟”三人终于松了一口气。通人性的大白骡不等耿正召唤，就在小客栈的门 口自动停了下来。“兄弟”三人下车脱去孝服，拔了招魂幡，蒙好红篷布。耿直提起软皮箱，耿正牵起大白骡，连人带车缓步进了小客栈。 一个年轻的伙计迎上来帮着卸了骡车。看到红篷布蒙车，伙计心下已经明白七八分了，所以并不多问什么。耿正嘱咐他说：“大白骡今儿 个赶路非常辛苦，麻烦您一定要照顾好它！”这位机灵的年轻伙计和善地笑笑，非常爽快地说：“请几位客官放心，俺一定会照顾好它 的！”耿正说：“您叫老乡兄弟就行了，俺们回到了本乡本土，不用客气的！”伙计很高兴，说：“那就请老乡兄弟们放心！大白骡交给 俺了！看你们几位也累了，快去吃饭歇息哇！”“兄弟”三人谢过伙计，简单地去伙房吃了点儿晚饭，就去客房歇息了。这一晚，他们在 陌生的小客栈里睡得很香甜。次日早上起床后，“兄弟”三人都已经不再感到疲乏了。于是，简单洗漱完毕吃罢早饭结算了住宿费用，再 顺便打探清楚了去稷山县城的路线之后，就重新套上骡车出发了。三日后的黄昏时分，他们乘坐骡车来到了稷山县城。入住了县城靠北的 一个客栈以后，耿正对妹妹说：“英子，现在到处都是乡音了，加之眼下春耕春种逐渐开始，大道上已经不再荒凉。你老是戴着个帽子怪 热的，还是换回女装得了。”耿直也说：“是哩，咱哥说得对，姐你快变回女人哇，别再拿拿捏捏的了，怪累人的！”耿英说：“好啊， 俺也不想再做‘男人’了，真得很累人呢！再者说了，俺这脑袋瓜子本来就很怕热呢，打小儿就不喜欢用头巾什么的！这样哇，等明儿个 出了县城以后，俺在路上再换回女装来。今儿个俺是男装入住的，明儿个俺还男装走！”耿正说：“这样更好！”耿直也说：“还是姐姐 想得周到！”次日早饭后，“兄弟”三人与客栈结算清后，早早就套上骡车出发往李家庄的方向赶去了。出了县城以后，耿英依然还是在 大骡车行进中换回了女装。说起来，换回女装其实非常简单：先是摘掉帽子，然后脱掉套在最外面的孝服，将男装外衣也脱掉，换穿上原 先的女装外衣，再重新套上孝服就得了。最后，把换下来的男装外衣和帽子卷把起来塞在寿棺后面。如此，这持续了
驶向胜利 的彼岸
做一做
1
亲历知识的发生和 发展
利用尺规作出三角形 三条边的垂直平分线. 再观察这三条垂直平分线,你 又发现了什么?与同伴交流.
驶向胜利 的彼岸 结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点 .
你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
咋证三条直线交于一点
P
线段的垂直平分 线的性质
C N
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
回顾
思考
线段的垂直平分线的 性质定理的逆定理
M P
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 A 线段的垂直平分线上).
D
老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
驶向胜段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点距离 相等).
2
习题1.7
2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育 中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该 城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等. P● (1) P● R● (2)
Q●
R●
Q●
(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置; (2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝角, 那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置? (3). 你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议驶向胜利 ?
做一做
1
几何的三种语言
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且 这一点到三个顶点的距离相等.
如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直 c 平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且 B PA=PB=PC(三角形三条边的垂直 平分线相交于一点,并且这一点 到三个顶点的距离相等).
驶向胜利 的彼岸
独立 作业
知识的升华 P9习题1.7 1,2题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
独立作业
1
习题1.7
1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰 三角形.这个等腰三角形有什么特征?
这个等腰三角形有什么特征?
老师提示:
先分析,作出示意图形,再按要求 去作图.
驶向胜利 的彼岸
独立作业
C
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
N
驶向胜利 的彼岸
从这个结果出发,你还能联想到什么?
做一做
1
亲历知识的发生和 发展
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每条边的垂直平分线. 观察这三条垂直平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
做一做P29 2
梦想成真
a
h
1.已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.
已知:线段a,h(如图).
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.. 作法:
老师期望:
你能亲自写出作法.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
a A b P C
定理 三角形三条边的垂直平分线 相交于一点,并且这一点到三个顶 点的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线 c (已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三 角形三条边的垂直平分线相交于一 B 点,并且这一点到三个顶点的距离 相等). 尺规作图的解题格式(六步骤): 已知: 求作: 分析: 作法: 证明: 讨论:
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
的彼岸
下课了!
结束寄语
• •
严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
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九年级数学（上册）第一章 证明(二)
3.线段的垂直平分线（2） 三角形的垂心
阳泉市义井中学 高铁牛
线段的垂直平分线 的作法 用尺规作线段的垂直平分线. C
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于
回顾
思考
A
B
AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
a A b P C
老师提示:
这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.
驶向胜利 的彼岸
议一议
挑战自我
已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三
角形吗? 如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?
已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作
出等腰三角形吗?能作几个?
老师期望:
你能亲自探索出结果并能用尺规 作出图形.
命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点.
思 考 分 析
基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在 A 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 . 如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平 分线相交于点P,连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, P ∴PA=PB (或AB的中点,). B C 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上, 驶向胜利 的彼岸 ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点. 想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也 可以得征?