河北省唐山市2015届高考数学三模试卷(文科)
2015届河北唐山市高三上学期期末考试文科数学试卷(带解析)
试卷第1页，共6页绝密★启用前2015届河北唐山市高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：200分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设函数，若对于任意都有，则实数a的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．2、椭圆C ：的左焦点为F ，若F 关于直线的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第2页，共6页3、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）A ．B ．C ．1D ．4、执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）A ．1B ．C ．D ．25、已知的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6、抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知，，则（ ） A ．B ．C ．D ．试卷第3页，共6页8、在等比数列中，，则（ ） A ．1 B ．4 C ．2 D ．9、设变量x 、y 满足，则目标函数的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．22D ．2310、函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．11、函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．12、“”是“方程表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件试卷第4页，共6页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、过点的直线与圆C ：相切于点B ，则.14、设等差数列的前n 项和为，，则.15、若复数z 满足（i 为虚数单位），则.16、在三棱锥中，，G 为的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 .三、解答题（题型注释）17、（本小题满分12分）已知函数，，直线与曲线切于点且与曲线切于点.（1）求a ，b 的值和直线的方程； （2）证明：除切点外，曲线、位于直线的两侧.18、为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m 名学生进行体育测试. 根据体育测试得到了这m 名学生各项平均成绩（满分100分），按照以下区间分为七组：，，并得到频率分布直方图（如图），已知测试平均成绩在区间有20人.试卷第5页，共6页（1）求m 的值及中位数n ；（2）若该校学生测试平均成绩小于n ，则学校应适当增加体育活动时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？19、（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，底面ABCD ，，.（1）求证：；（2）点E 是棱PC 的中点，求点B 到平面EAD 的距离.20、（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且.（1）求b ；（2）若的面积为，求c.21、（本小题满分12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，.试卷第6页，共6页（1）求抛物线的方程；（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线的方程.22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABDC 内接于圆，，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E点.（1）求证：； （2）若，，，求AB 的长.23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同. 已知曲线C 的极坐标方程为，斜率为的直线交y轴于点.（1）求C 的直角坐标方程，的参数方程； （2）直线与曲线C 交于A 、B 两点，求.24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数的最小值为a.（1）求a ；（2）已知两个正数m ，n 满足，求的最小值.参考答案1、C2、D3、A4、A5、C6、B7、A8、C9、A10、A11、D12、B13、514、3015、16、817、（1）a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1；（2）证明详见解析.18、（1）m＝200；n＝74.5；（2）学校应该适当增加体育活动时间.19、（1）证明详见解析；（2）.20、（1）；（2）.21、（1）y2＝4x；（2），或.22、（1）证明详见解析；（2）.23、（1）(x－1) 2＋(y－1) 2＝2；；（2）.24、（1）a＝1；（2）.【解析】1、试题分析：∵，∴，当时，，在上单调递减，不符合题意；当时，，在上单调递减，符合题意；当时，，∴或，当时，即，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，∴；当时，即时，在上单调递减，符合题意；综上可得：.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.2、试题分析：设，则，解得，代入椭圆C中，有，∴，∴，∴，∴，∴，∴.考点：椭圆的标准方程、椭圆的离心率.3、试题分析：由三视图知几何体是直三棱柱截去一个三棱锥的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，∴. 考点：三视图.4、试题分析：，，；，，；，，，故输出.考点：程序框图．【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.5、试题分析：要是函数的值域为R ，需使，∴，∴，故选C.考点：函数图象、函数值域、不等式组的解法.6、试题分析：抛掷两颗筛子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3，6；6,3共6种情况，所以向上的点数之差的绝对值为3的概率为，故选B.考点：随机事件的概率.7、试题分析：∵，∴，∴，∴，故选A.考点：函数值、函数的奇偶性.8、试题分析：由于数列为等比数列，∴，∴，故选C.考点：等比数列的性质.9、试题分析：变量x、y满足的区域如图所示：目标函数在点处取得最小值7，故选A.考点：线性规划、直线的平移.10、试题分析：∵，∴，故选A.考点：倍角公式、三角函数的周期.11、试题分析：要保证函数式有意义，需使，∴，∴，∴函数的定义域为，故选D.考点：函数的定义域、不等式组的解法.12、试题分析：∵方程为双曲线，∴，∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故选B.考点：双曲线的标准方程、充分必要条件.13、试题分析：由已知，可知圆心，，∴，∴，∴，∴.考点：两点间距离公式、圆的标准方程、向量的数量积.14、试题分析：∵数列为等差数列，，∴，∴，∴.考点：等差数列的前n项和公式.15、试题分析：∵，∴，∴，故填.考点：复数的运算.16、试题分析：过点G作交PA、PC于点E、F，过E、F分别作、分别交AB、BC于点N、M，连结MN，所以EFMN是平行四边形，∴，即，，即，所以截面的周长. 考点：线线平行、截面的周长.17、试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 第一问，先求出f¢(x)、g¢(x)，由题意可求出、、、，所以可得到的切线方程和的切线方程，而这两个切线是同一切线，即可得到a、b的值，即得到切线的方程；第二问，除切点外，曲线C1，C2位于直线l的两侧，所以只需证明，且即可，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，求出最值，进行验证即可.试题解析：（Ⅰ）f¢(x)＝ae x＋2x，g¢(x)＝cosx＋b，f(0)＝a，f¢(0)＝a，，，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，曲线y＝g(x)在点(，))处的切线为y＝b(x－)＋1＋b，即y＝bx＋1．依题意，有a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝e x＋x2，g(x)＝sinx＋x．…5分设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝e x＋x2－x－1，则F¢(x)＝e x＋2x－1，当x∈(－∞，0)时，F¢(x)＜F¢(0)＝0；当x∈(0，＋∞)时，F¢(x)＞F¢(0)＝0．F(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，故F(x)≥F(0)＝0．…8分设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sinx，则G(x)≥0，当且仅当x＝2kp＋（k∈Z）时等号成立．…10分综上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)＞g(x)．所以：除切点外，曲线C1，C2位于直线l的两侧．…12分考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.18、试题分析：本题主要考查频率分布直方图、中位数、频率、频数、平均数等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、读图能力、运算求解能力. 第一问，先由频率分布直方图读出前三组的频率，再利用“频数÷样本总数=频率”计算出m的值，由直方图观察出中位数的位置，再列式计算n；第二问，由频率分布直方图计算出每组的频数，计算出该校学生测试的平均成绩与n作比较，来确定是否应增加体育活动时间. 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02，0.02和0.06，则m×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m＝200．由直方图可知，中位数n位于[70，80)，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n－70)＝0.5，解得n＝74.5．…4分（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别为p i和x i，由图知，p1＝0.02，p2＝0.02，p3＝0.06，p4＝0.22，p5＝0.40，p6＝0.18，p7＝0.10，则由x i＝200×p i，可得x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20，…8分故该校学生测试平均成绩是，…11分所以学校应该适当增加体育活动时间．…12分考点：频率分布直方图、中位数、频率、频数、平均数.19、试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、点到面的距离等基础知识，同时考查分析问题解决问题的能力、推理论证能力、运算求解能力. 第一问，利用线面垂直“PA⊥底面ABCD”的性质可得PA⊥CD，而PC⊥CD，则利用线面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，所以CD垂直于面PAC内的线；第二问，由于为等腰三角形，所以AE⊥PC，且，利用第一问中的结论，可知AE⊥CD，利用线面垂直的判定得AE⊥平面PCD，作辅助线CF⊥DE，则可得CF⊥平面EAD，从而可判定CF即为点C 到面EAD的距离，在中解出CF的长即可.试题解析：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为∠PCD＝90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC．…4分（Ⅱ）因为PA＝AB＝AC＝2，E为PC的中点，所以AE⊥PC，．由（Ⅰ）知AE⊥CD，所以AE⊥平面PCD．作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，则CF⊥平面EAD．因为BC∥AD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，CF即为点C到平面EAD的距离．…8分在Rt△ECD中，．所以，点B到平面EAD的距离为．…12分考点：线线垂直、线面垂直、点到面的距离.20、试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，又，所以，．因为，所以．…6分（Ⅱ）因为，，所以．据余弦定理可得，所以．…12分考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.21、试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（*）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋8＝0．y1＋y2＝4m，y1y2＝8．…6分设AB的中点为M，则|AB|＝2x m＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又，②由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，解得m2＝3，．所以，直线l的方程为，或．…12分考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.22、试题分析：本题主要考查圆内接四边形中的边角关系、切割线定理等基础知识，同时考查考生的读图能力、推理论证能力、运算求解能力. 第一问，由于CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD，而BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD，从而∠ECD＝∠BCD，所以可得到结论；第二问，因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，可得AC＝AB，所以得知AC ＝EC，利用切割线定理得EC2＝AE•BE，再转化可解出AB的长.试题解析：（Ⅰ）证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD．所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD．因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD．…5分（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．由切割线定理得EC2＝AE•BE，即AB2＝AE•( AE－AB)，即AB2＋2 AB－4＝0，解得．…10分考点：圆内接四边形中的边角关系、切割线定理23、试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，同时考查运算求解能力和转化能力. 第一问，在ρ＝2(cosθ＋sinθ)两边同时乘以，利用，，转化极坐标方程；第二问，利用第一问的结论，将两方程联立，解出参数t，代入|EA|＋|EB|＝| t1|＋| t2|中即可.试题解析：（Ⅰ）由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1) 2＋(y－1) 2＝2．l的参数方程为（t为参数, t∈R）…5分（Ⅱ）将，代入(x－1) 2＋(y－1) 2＝2得t2－t－1＝0，解得，，则|EA|＋|EB|＝| t1|＋| t2|＝|t1－t2|＝．…10分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.24、试题分析：本题主要考查分段函数、函数最值、均值定理等基础知识，同时考查分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，先利用零点分段法去掉绝对值符号，使之转化为分段函数，再根据函数的单调性确定最小值的位置，解出a的值；第二问，利用第一问的结论，两次利用均值不等式计算的最小值.试题解析：（Ⅰ），当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以当x＝0时，f(x)的最小值a＝1．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得，则，当且仅当时取等号．所以的最小值为．…10分考点：分段函数、函数最值、均值定理.。
河北省唐山市2015届高三第一次模拟考试(全科6套)(扫描
唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABAB BDCACDC B 卷：CABCC BDCABDA 二、填空题：（13）5；（14）6； （15）16π； （16）[4，12]． 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1．当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得 a n ＝qa n －1，又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q， 化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8．故a 2，a 8，a 5成等差数列． …12分（18）解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，P (A )＝C 12× 1 3× 2 3＝ 4 9． …4分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20． P (X ＝0)＝ ( 2 3)2× 2 3＝827， P (X ＝5)＝C 12× 1 3×( 2 3)2＝827， P (X ＝10)＝( 1 3)2× 2 3＋( 2 3)2× 1 3＝627， P (X ＝15)＝C 12×( 1 3)2× 2 3＝427， P (X ＝20)＝( 1 3)3＝127． …10分 X 的分布列： E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203． …12分（19）解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …6分 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AC →＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)． …8分 设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)． …10分 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角， 所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105． …12分 （20）解：（Ⅰ）设AB 的中点为M ，切点为N ，连OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A '，连A 'B ，故|A 'B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4．所以点B 的轨迹是以A '，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1． …5分 （Ⅱ）因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →．设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 02＝0． …7分又x 024＋y 02＝1 解得x 0＝23，y 0＝±23． 则k OB ＝±22，k AB ＝错误！未找到引用源。
河北省唐山市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试文科数学试题(含详细答案)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
(13)Sn为等比数列{an}的前n项和，满足Sn=2an-1，则{an}的公比q=。
(14)已知向量a，b满足a·(a-b)=2，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角等于．
即AD＝AC＝2，故S△ACD＝1．…12分
（18）解：
（Ⅰ）茎叶图如下：
测试成绩（单位：次／分钟）如下表：
( I)在答题卡上补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数：
( II)试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析.
(19)（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，
∠BAD= ，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的
(8)在区间[一1,1]上随机取一个数x，使cos x≥ 的概率为
(A) (B) (C) (D)
(9)若x，y满足不等式组 则 的最大值是
(A) (B) 1
(C)2 (D)3
(10)某几何体的三视图如右图所示，则其体积为
(A) 8 (B)
(C) 9 (D)
(11) 为双曲线 =1（a>0，b>0）的右焦点，若 上存在一点P使得△OPF
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半
圆C(圆心为点C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈( ， )．
(I)求半圆C的参数方程：
(II)直线，与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A(O，-2)，点D在半圆C上，
且直线CD的倾斜角是直线，倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．
2015年河北省唐山市高考数学三模试卷(理科)
2015年河北省唐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．集合{}1,0,1,2,3,A =-，{}2,1,0,1B =--，则图中阴影部分表示的集合为_____. IBA A ．{}1,0,1-B ．{}2,3C ．{}2,2,3-D ．{}1,0,1,2,3-考点：Veen 图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有分析：由图象可知阴影部分对应的集合为()A C B ，然后根据集合的基本运算求解即可．解答：解：由Veen 图可知阴影部分对应的集合为()A C B ，{}1,0,1,2,3A =- ，{}2,1,0,1B =--，{}2,1,0,1C B x x x x x ∴=≠-≠-≠≠ ，即(){}2,3A C B = ，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，根据图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础． 2．i 为虚数单位，()()21i 1i z =- +，则z =______.答案：DA ．1B ．2CD ．考点： 复数求模．菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数． 分析： 通过设i z a b =+，可得i z a b =- ，利用()()21i 1i z =- +，可得1i z =-- ，进而可得结论．解答： 解：设i z a b =+，则i z a b =- ， ()()21i 1i z =- +，()()()()22221i 2i 1i 12i i 2i 2i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 11z --------∴=======---- ++++++， 1i z ∴=-+，∴=，故选：C ．点评： 本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．3．已知随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，若()30.023P ξ>=，则()13P ξ<=≤______.A ．0.046B ．0.623C ．0.977D ．0.954答案：D考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，得到曲线关于2x =对称，根据曲线的对称性得到()()13123P P ξξ<=->≤，从而得到所求．解答：解：随机变量ξ服从正态分布()2,3N ，∴曲线关于2x =对称，()()131230.954P P ξξ∴=->=≤≤，故选：D ．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．4..执行如图所示的程序框图，结果是_____.A ．6581B ．1927C ．59D ．13答案：A考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，a ，S 的值，当i 4=时满足条件i 3>，退出循环，输出S 的值为6581． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 0S =，i 0=i 1=13a =，13S =， 不满足条件i 3>，i 2=，29a =，59S =不满足条件i 3>，i 3=，427a =，1927S = 不满足条件i 3>，i 4=，881a =，6581S = 满足条件i 3>，退出循环，输出S 的值为6581． 故选：A ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a ，S 的值是解题的关键，属于基础题．5．等差数列{}n a 中，35a =，4822a a =+，则的前20项和为____.A ．400B ．410C ．420D ．430答案：A考点：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合4822a a =+求得6a ，再结合35a =求得公差，进一步求得首项，代入等差数列的前n 项和公式得答案．解答：解：在等差数列{}n a 中，由4822a a =+，得6222a =，611a ∴=，又35a =，则631152633a a d --===-， 1325221a a d ∴=-=-⨯=． 则20201922014002S ⨯⨯=⨯=+． 故选：A ．点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题．6．M 为抛物线28y x =上一点，F 为抛物线的焦点，120MFO ∠=︒（O 为坐标原点），()2,0N -，则直线MN 的斜率为______.A ．13±B ．12± C ． D ． 答案：C考点：抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用cos120FM FO FM FO ⋅∴︒= 计算可得(6,M ±，进而可得结论． 解答： 解：设21,8M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题可知()2,0F ， 21,8FM y y ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()2,0FO =- ，221414cos120=12228y FM FO FM FO y -⋅∴︒==-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+，解得y =±(6,M ∴±，又()2,0N - ，MN k ∴== 故选：C ．点评：本题考查抛物线中直线的斜率，注意解题方法的积累，属于中档题．7．已知函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()sin2g x x =，将函数()f x 的图象经过下列哪种可以与()g x 的图象重合______. A ．向左平移π12个单位 B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位 D ．向右平移π6个单位 答案：C考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位， 可得函数()πππcos 2cos 2sin 21232y x x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 故选：C ．点评：本题主要考查()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.俯视图侧视图正视图A ．()2π13+B ．()4π13+C ．41π32⎛⎫ ⎪⎝⎭+ D ．21π32⎛⎫ ⎪⎝⎭+ 答案：A考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体为半球与四棱锥的组合体，利用体积公式，即可求出几何体的体积．解：几何体为半球与四棱锥的组合体，由题意，体积为()214112π12211=π123323⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++． 故选：A ．点评：本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．9．实数x ，y 满足10330390x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩+≥+≥+≤，若z ax y =+的最大值为23a +，则a 的取值范围是______.A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．(],1-∞D ．[)3,∞+答案：B考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由10390x y x y -=⎧⎨-=⎩++，解得23x y =⎧⎨=⎩， 即()2,3A ，若z ax y =+的最大值为23a +，即A 是函数取得最大值的最优解，由z ax y =+得y ax z =-+，即目标函数的斜率k a =-，要使是函数取得最大值的最优解，若0a =，y z =，满足条件，若0a ->，则满足1a -≤，即0a <，且1a -≤，此时10a -<≤，若0a ->，则满足3a --≥，即0a <，且3a ≤，此时03a <≤，综上13a -≤≤，故选：B ．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．异面直线l 与m 所成的角为π3，异面直线l 与n 所成的角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是_____. A ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B异面直线及其所成的角．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，把直线m ，n 分别平移，可得异面直线m 与n 所成角的范围．解答：解：如图所示，把直线m ，n 分别平移，可得异面直线m 与n 所成角的范围是：ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：B ．点评：本题考查了异面直线的夹角、平移法，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．11．函数()e x f x a -=+，()ln g x x =，若1x ，2x 都满足()()f x g x =，则_____.A ．12e x x ⋅>B ．121e x x <⋅<C ．1120e x x -<⋅<D ．112e 1x x -<⋅<答案：D考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：画出图象得出()()11f x g x =，()()22f x g x =，11x >，201x <<，利用图象得出范围12121e e ln 0x x x x ---<-=<，求解即可得出112e 1x x -<<．解答：解： 函数()e x f x a -=+，()ln g x x =，()()11f x g x = ，()()22f x g x =，11x >，201x <<11e ln x a x -∴=+，22e ln x a x -=-+，即12121e e ln 0x x x x ---<-=<，112e 1x x -<<，故选：D ．点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的求解，学生运用函数图象解决问题的能力，观察变化的能力，属于中档题．12．关于曲线2233:1C x y =+，给出下列四个命题：A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 有且只有两条对称轴C ．曲线C 的周长1满足1≥．曲线C 上的点到原点的距离的最小值为12上述命题中，真命题的个数是______..A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点：曲线与方程．菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用；推理和证明．分析：利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．解答：解：把曲线C 中的(),x y 同时换成(),x y --，方程不变，∴曲线C 关于原点对称，即A 正确； 曲线方程为22331x y =+，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，∴曲线C 关于直线y x =对称，同理，y x =-，x ，y 轴是曲线的对称轴，即B 不正确；在第一象限内，因为点,⎝⎭在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方，且为凹函数如图： 由以上分析可知曲线C 周长1满足1≥ 曲线C上的点到原点的距离的最小值为,⎝⎭到原点的距离，为，即D 不正确． 故选：B ．点评：本题主要考查曲线方程的性质的判断和推理，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强难度较大．二、填空题13．设*n ∈N ，()3nx +展开式的所有项系数和为256，则其二项式系数的最大值为_____．（用数字作答） 答案：6考点：二项式系数的性质．菁优网版权所有专题：二项式定理．分析：由题意求得n ，再由二项式系数的性质求得其二项式系数的最大值．解答：解：由()3nx +展开式的所有项系数和为256，得4256n =，即4n =． ()()433n x x ∴=++，其展开式中有5项，其中二项式系数最大的是第3项，二项式系数的最大值为246C =．故答案为：6．点评：本题考查二项式系数的性质，考查了二项展开式的二项式系数和项的系数，是基础题． 14．向量a ，b 满足21a a b a b === ++，则b = ______.考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析： 将已知等式平方，展开变形得到32a b ⋅=- ，22b a b =-⋅ ． 解答： 解：因为21a a b a b === ++，所以22221a a b a b === ++，展开整理得到32a b ⋅=- ，22b a b =-⋅ ，所以b点评：本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及向量模的求法；属于基础题．15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，145m S -=，93m S =，1189m S -=，则m =_______．答案：5考点：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和1m m m a S S -=-求出公比q ，利用等比数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，求出m 的值． 解答：解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，因为145m S -=,93m S =,1189m S =+，所以148m m m a S S -=-=，1196m m m a S S =-=++， 则12m ma q a ==+， 所以()1111248124512m m a a --⎧⋅=⎪⎨-=⎪⎩-，解得5m =， 故答案为：5．点评：本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式的应用，以及方程思想，属于基础题．16．F 是双曲线22:14y x Γ-=的右焦点，Γ的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ= ，则λ=______．答案：4 考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设(),P m n ，0m >，代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得P 的坐标，再设Q 的坐标，由三点共线斜率相等，可得Q 的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求．解答：解：设(),P m n ，0m >， 则2214n m -=， 双曲线的渐近线方程为2y x =±，设P 到直线2y x =的距离为2，2=， 由于P 在直线的下方，则2m n -=解得m =，n =即P ⎝⎭， 设(),2Q s s -，由)0F， 由于F ，P ，Q 共线，可得则FP FQ k k =，解得s =，即有,Q ⎝，,FP ⎛= ⎝⎭，PQ ⎛= ⎝⎭ ， 由于FP PQ λ= ，则=4λ．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：17．在ABC △中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22222c a b -=．（I ）证明2cos 2cosC A a b -=（Ⅱ）若1a =,1tan 3A =，求ABC △的面积s ． 考点：余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理把cos A 和cos C 的表达式代入等号左边整理，结合已知条件证明出结论．（Ⅱ）利用正弦定理把（Ⅰ）中的结论中边转化成角的正弦整理可求得tan C ，进而求得C ，再利用正弦定理求得c ，利用余弦定理求得b ，最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．解答：（Ⅰ）证明：因为22222c a b -=， 所以2222222222cos 2cosC 2c 22222b c a a b c a b c c A A a a bc ab ab----=⋅-⋅-⋅+++ 2222222222=b c a a b c c a b b b b----==++． （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及()sin sin B A C =+得2sin cos 2sinAcosC sinAcosC C A -=，即sin cos =3sin cos C A A C ，又sin cosC 0A ≠，所以tan 3tan 1C A ==，故45C =︒．再由正弦定理及sin A =sin sin a C c A= 于是()22228b c a =-=，b =， 从而1sin 12S ab C ==．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．熟练综合运用正弦定理和余弦定理公式是解决三角形问题的关键．18．某项比赛规则是：先进行个人赛，每支参赛队的成绩前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同队员之间进行且三场比赛同时进行．根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场获胜的概率为23，负的概率为13，且各场比赛互不影响．已知甲乙队各5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示：（I ）计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；（Ⅱ）求甲队在团体赛中至少2名队员获胜的概率．332906488635乙对甲对考点：众数、中位数、平均数；茎叶图；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据平均数和方差的公式计算即可；（Ⅱ）根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果．解答：解：（Ⅰ）由茎叶图可知， 8583869690==885x 甲++++，8884839293==885x 乙++++；()()()()()2222221=8588838886889688908821.25S ⎡⎤-----=⎣⎦甲++++， ()()()()()2222221=8888848883889288938816.45S ⎡⎤-----=⎣⎦乙++++． （Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A 、B 、C ，由题意可知()23P A =，()()13P B P C ==，且A 、B 、C 相互独立， 设甲队至少2名队员获胜的事件为E ，则()()()()E ABC ABC ABC ABC = ． ()21121121211111113333333333327P E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯--⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++． 点评：本题茎叶图，平均数，方差，互斥事件、相互独立事件的概率计算，互斥事件一般涉及分类讨论，注意要全面分析，做到不重不漏，属于中档题．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是矩形，截面1A BC 是等边三角形．（I ）求证：AB=AC ；（Ⅱ）若AB AC ⊥，平面1A BC ⊥底面ABC ，求二面角11B B C A --的余弦值．C'CB'B A'A考点：二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I ）取BC 中点O ，连OA ，1OA ．证明：BC ⊥平面1AOA ，可得BC OA ⊥，即可证明AB AC =； （Ⅱ）分别以OA ，OB ，1OA 为正方向建立空间直角坐标系O xOy -，求出平面1BB C 的法向量、平面11A B C 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角11B B C A --的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，1OA ．因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥，1BC AA ⊥，因为截面1A BC 是等边三角形，所以1BC OA ⊥，于是BC ⊥平面1AOA ，BC OA ⊥，因此：AB AC =．… （Ⅱ）解：设2BC =，则1OA AB AC ⊥，AB AC =得1OA =．因为平面1A BC ⊥底面ABC ，1OA BC ⊥，所以1OA ⊥底面ABC ．如图，分别以OA ，OB ，1OA 为正方向建立空间直角坐标系O xOy -． ()1,0,0A ，()0,1,0B，(10,0,A ，()0,1,0C -，()0,2,0CB =，(111,0,BB AA ==-，(10,1,CA = ，()111,1,0A B AB ==- ．设平面1BB C 的法向量()π,,x y z = ，则200y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取)π=0,1 ．同理可得平面111A B C的法向量()1n =- ．cos π,n ∴= 11B B C A --的余弦值为． …C'点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的余弦值，考查向量法的运用，正确运用向量法是关键． 20．已知椭圆 ()2222:10y x C a b a b=>>+，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，为坐标原点），当点M坐标为12⎫⎪⎭时，l240y -=+． （I ）求椭圆C 方程；（Ⅱ）设直线l 的斜率为K ，M 在椭圆C 上移动时，作OH l ⊥于H （O 为坐标原点），求HOM ∠最大时k 的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）将M 点坐标代入椭圆方程，同时联立直线l 与椭圆方程，计算即得结论；（ II ）通过设直线l 并与椭圆方程联立，利用=0△，进而可得2OM 、2OH 的表达式，化简即得结论． 解答：解：（Ⅰ）由题意可得：223114a b =+，（*）240y -=+代入椭圆C ，有：()2222222341640a b x x a a b --=++，令=0△得：223416a b =+，（**）联立（*）、（**），解得：24a =，21b =，∴椭圆C 的方程为：2214x y =+； （ II ）设直线:l y kx m =+，()00,M x y ．将直线l 的方程代入椭圆C 得：()222148440k x kmx m -=+++，令=0△，得2241m k =+，且22024414m x k -=+， 22211614k OM k∴=++， 又222221411m k OH k k ==+++，()()()()2222214cos 1161k HOM k k ⎛⎫ ⎪∴∠= ⎪⎝⎭+++， ()()()()22222252025141164444k k k k = ++++≤， ()()()22221416251161k k ∴+≥++，等号当且仅当214k =时成立， HOM ∴∠取最大时12k =±． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知()2e x f x x b =-+，曲线()y f x =与直线1y ax =+相切于点()()1,1f（I ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()e 2e 13cos 4sin 0x x x x ⎡⎤--->⎣⎦++．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a ，b 的值；（ II ）由（Ⅰ）得，()2e x f x x =-，首先证明：当0x >时，()()e 2f x x -≥+1．运用导数和单调性可证；因0x >，则()e 2e 1x x x x --+≥（当且仅当1x =时等号成立）．再证明：当0x >时，4sin 3cos x x x>+．通过令()4sin 3cos x p x x x=-+，求出导数，判断单调性，即可得证． 解答：解：（Ⅰ）()'e 2x f x x =-．由题设得()'1e 2a f ==-，()11e a f a b ==-++．故e 2a =-，0b =．（ II ）由（Ⅰ）得，()2e x f x x =-，下面证明：当0x >时，()()e 21f x x -≥+．设()()()e 21g x f x x =---，0x >．则()()'e 2e 2x g x x =---，设()()'h x g x =，则()'e 2x h x =-，当()0,ln2x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，当()ln2,x ∈∞+时，()'0h x >，()h x 单调递增．又()03e 0h =->，()10h =，0ln 21<<，()ln20h <，所以()00,1x ∃∈,()00h x =，所以当()00,x x ∈或()1,x ∈∞+时，()g'0x >；当()0,1x x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()00,x 和()1,∞+单调递增，在()0,1x 单调递减，又()()010g g ==，所以()()2e e 210x g x x x =----≥．因0x >，则()e 2e 1x x x x--+≥（当且仅当1x =时等号成立）．①，以下证明：当0x >时，4sin 3cos x x x>+． 令()4sin 3cos x p x x x =-+，则()()()()()()43cos 1cos 1cos 5'103cos 23cos 2x x x p x x x --=-=+≥++， （当且仅当2πx k =,Z k ∈时等号成立）．所以()p x 在()0,∞+单调递增，当0x >时，()()4sin 003cos x p x x p x =->=+ =0， 即4sin 3cos x x x>+．② 由①②得当0x >时，()e 2e 14sin 3cos x x x x x-->++， 又()3cos 0x x >+，故()()e 2e 13cos 4sin 0x x x x x ⎡⎤--->⎣⎦++．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查单调性的运用，同时考查不等式的证明，注意运用构造函数的方法，属于中档题．22．如图，C 是圆O 的直径AB 上一点，CD AB ⊥，与圆O 相交于点D ，与弦AF 交于点E ，与BF 的延长线相交于点G ．GT 与圆相切于点T ．（I ）证明：2CD CE CG =⋅；（Ⅱ）若1AC CO ==，3CD CE =，求GT ．G考点：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有专题：综合题；推理和证明．分析：（I ）延长DC 与圆O 交于点M ，利用相交弦定理，三角形相似的性质，即可证明：2CD CE CG =⋅； （Ⅱ）由（Ⅰ）得3CG CD =，利用切割线定理求GT ．解答：（Ⅰ）证明：延长DC 与圆O 交于点M ，因为CD AB ⊥，所以2CD CD CM AC BC =⋅=⋅， 因为Rt Rt ACE GBC △∽△，所以AC CG CE BC=， 即AC BC CE CG ⋅=⋅，故2CD CE CG =⋅．…（Ⅱ）解：因为1AC CO ==，所以23CD AC BC =⋅=，又3CD CE =，由（Ⅰ）得3CG CD =，()()()()2222824GT GM GD CG CM CG CD CG CD CG CD CG CD CD =⋅=⋅-=⋅-=-==++ ，故GT =…SGBA点评：本题考查相交弦定理，三角形相似的性质，考查切割线定理，考查相似分析解决问题的能力，属于中档题．23．已知半圆()()22:24C x y y 0-=+≥，直线:220l x y --=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）写出C 与l 的极坐标方程；（Ⅱ）记A 为C 直径的右端点，C 与l 交于点M ，且M 为圆弧AB 的中点，求OB ．考点：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有专题：三角函数的求值；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）将x xos ρθ=,sin y ρθ=分别代入半圆C 与直线l 的方程中，整理得出它们的极坐标方程； （Ⅱ）由题意求出点B 的极角α的正切值tan α，利用三角函数的关系求出cos α，即可计算OB 的值． 解答：解：（Ⅰ）将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入半圆()()22:240C x y y -=+≥中， ()()22cos 2sin 4ρθρθ-=+，化简得C 的极坐标方程为π:4cos 02C x θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤； 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入直线l :220x y --=中，得l 的极坐标方程为l :cos 2sin 20ρθρθ--=；…（Ⅱ）根据题意，1经过半圆C 的圆心()2,0C ，设点B 的极角为α，则1tan 2α=， sin 1cos 2αα∴=， 即1sin cos 2αα=， 2221215sin cos cos cos cos 144ααααα∴===++， 24cos 5α∴=； 又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos α∴ ∴由C 的极坐标方程得4cos 4OB ρα==== … 点评：本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化和应用问题，也考查了三角函数的求值问题，是综合性题目．24．设()12f x ax x =-++,()0a >． （I ）若1a =，时，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若()2f x ≥，求a 的最小值．考点：绝对值三角不等式．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分类讨论化简()f x 的解析式，由()f x 的单调性及()()325f f -==，得()5f x ≤ 的解集．（Ⅱ）由()()()()11,2113,2111,a x x f x a x x a a x x a ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩+≤+++≤的单调性，以及()f x 的图象连续不断，可得要是()2f x ≥，当且仅当()22f -≥，且12f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，由此求得a 的最小值． 解答：解：（Ⅰ）若1a =，()21,23,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤+，由()f x 的单调性及()()325f f -==，得()5f x ≤ 的解集为{}32x x -≤≤．（Ⅱ）()()()()11,2113,2111,a x x f x a x x a a x x a ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩+≤+++≤， 当(],2x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当1,x a ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭+时，()f x 单调递增， 又()f x 的图象连续不断，所以()2f x ≥，当且仅当()2212f a -=+≥，且1122f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭+≥， 求得12a ≥，故a 的最小值为12． 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的单调性的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河北唐山市2015届高三数学摸底考试试题 文
河北省唐山市2015届高三摸底考试数学〔文〕试题说明：1．本试卷分为第1卷和第2卷，第1卷为选择题，第2卷为非选择题，分为必考和选考两个局部.2．答题前请仔细阅读答题卡上的“须知事项〞，按照“须知事项〞的规定答题.3．做选择题时，每一小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4．考试完毕后，将本试卷与原答题卡一并交回.第1卷一、选择题(本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、集合M ＝{x |x ≥－1}，N ＝{x |2－x 2≥0}，如此M ∪N ＝( )A .[，＋∞)B .[－1]C .[－1，＋∞)D .(]∪[－1，＋∞)2、复数z ＝1312i i-+，如此( )A .|z |＝2B .z 的实部为1C .z 的虚部为－iD .z 的共轭复数为－1＋i3、函数f 王(x )＝222x x--是( )A .偶函数，在(0，＋∞)是增函数B .奇函数，在(0，＋∞)是增函数C .偶函数，在(0，＋∞)是减函数D .奇函数，在(0，＋∞)是减函数4、抛物线y ＝2x 2的准线方程是( )A .x ＝－12B .x ＝12C .y ＝－18D .y ＝185、1sin()44x π-=，如此sin 2x 的值为( ) A .1516B .916C .78D .1516±6、甲、乙、丙三人站成一排，如此甲、乙相邻的概率是( )A .23B .13C .12D .567、执行如下列图的程序框图，如此输出的a ＝( )A .54B .14-C .5D .457、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，如此|a －tb |(t ∈R )的最小值为( )A .2B .12C .1D .329、将函数()sin()6f x x πω=+的图象关于x ＝6π对称，如此ω的值可能是( ) A .12B .32C .5D .2 10、某几何体的三视图如下列图，如此该几何体的外表积为( )A .43B .5＋6C .5＋5D .3＋511、a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，如此a ＝( )A .14B .12C .1D .212、a ＞0，且a ≠1，如此函数f (x )＝a x＋(x －1)2－2a 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .与a 有关第2卷二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分 13、函数f (x )＝log 2(2x －1)的定义域为________________.14、实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，如此3x＋9y的最小值是________________.15、双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线l ：30x y +=垂直，C 的一个焦点到l 的距离为1，如此C 的方程为__________________. 16、在△ABC 中，2AB =，点D 在边BC 上，2BD DC =，310cos 10DAC ∠=，25cos 5C ∠=，如此AC ＋BC ＝_________________.三、解答题：本大题共70分，其中(17)－(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本小题总分为12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝kn (n ＋1)－n (k ∈R )，公差d 为2. (1)求a n 与k ；(2)假设数列{b n }满足12b =，12n an n b b --=(n ≥2)，求b n .18(本小题总分为12分)某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助.随机抽取局部工人调查其高温室外连续工作时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40.60)，[60，80)，[80，100].(1)求频率分布直方图中x 的值；(2)根据频率分布直方图估计样本学数据的中位数；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？19(本小题总分为12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点. (1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)假设AB ＝AC ，BC ＝AA 1＝2，求点A 1到平面ADC 1的距离.20(本小题总分为12分) 函数f (x )＝2e x－ax －2(a ∈R ) (1)讨论函数的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围.21(本小题总分为12分)椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为35，P (m ，0)为C 的长轴上的一个动点，过P 点斜率为45的直线l 交C 于A 、B 两点.当m ＝0时，412PA PB ⋅=- (1)求C 的方程；(2)求证：22||||PA PB +为定值.请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22(本小题总分为10分)选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 过平行四边形ABCT 的三个顶点B ，C ，T ，且与AT 相切，交AB 的延长线于点D . (1)求证：AT 2＝BT ·AD ；(2)E 、F 是BC 的三等分点，且DE ＝DF ，求∠A .23(本小题总分为10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：2sin 2cos a ρθθ=(a＞0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为222242x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，l 与C 分别交于M ，N . (1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)假设|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值.24(本小题总分为10分)选修4－5：不等式选讲 设函数4()||||f x x x m m=-++(m ＞0) (1)证明：f (x )≥4；(2)假设f (2)＞5，求m 的取值范围.唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CDBCA BCDCD BAB 卷：ADBCC ACDDC BB二、填空题：〔13〕〔 12，＋∞〕〔14〕6 〔15〕x 2－y 23＝1〔16〕3＋三、解答题：〔17〕〔本小题总分为12分〕解：〔Ⅰ〕由题设得a 1＝S 1＝2k －1，a 2＝S 2－S 1＝4k －1，由a 2－a 1＝2得k ＝1，如此a 1＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.…4分〔Ⅱ〕b n ＝b n －1＋2a n ＝b n －2＋2a n －1＋2a n ＝b 1＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1＋2a n ． 由〔Ⅰ〕知2a n ＝22n －1，又因为b 1＝2，所以b n ＝21＋23＋25＋…＋22n －3＋22n －1＝2(1－4n )1－4＝2(4n－1)3．明显，n ＝1时，也成立．综上所述，b n ＝2(4n－1)3．…12分〔18〕〔本小题总分为12分〕解：〔Ⅰ〕由直方图可得：20×(x ＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1， 解得x ＝0.0125．…4分 〔Ⅱ〕设中位数为t ，如此20×0.0125＋(t －20)×0.0250＝0.5，得t ＝30. 样本数据的中位数估计为30分钟．…8分〔Ⅲ〕享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%． 因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人， 抽取不享受补助人员25×88%＝22人．…12分〔19〕〔本小题总分为12分〕解：〔Ⅰ〕连接A 1C ，交AC 1于点E ， 如此点E 是A 1C 与AC 1的中点．连接DE ，如此DE ∥A 1B ．因为DE ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1．…4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知A 1B ∥平面ADC 1，如此点A 1与B 到与平面ADC 1的距离相等，又点D 是BC 的中点，点C 与B 到与平面ADC 1的距离相等，如此C 到与平面ADC 1的距离即为所求．…6分因为AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥A 1A ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1．作于CF ⊥DC 1于F ，如此CF ⊥平面ADC 1，CF 即为所求距离．…10分 在Rt △DCC 1中，CF ＝DC ×CC 1 DC 1＝ 2 55． 所以A 1到与平面ADC 1的距离为 2 55．…12分〔20〕〔本小题总分为12分〕解：〔Ⅰ〕f '(x )＝2e x－a ．假设a ≤0，如此f '(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 假设a ＞0，如此当x ∈(－∞，ln a2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(ln a2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．…5分〔Ⅱ〕注意到f (0)＝0．假设a ≤0，如此当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．假设ln a2≤0，即0＜a ≤2，如此当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．A 1B 1C 1ABCDEF假设ln a 2＞0，即a ＞2，如此当x ∈(0，ln a2)时，f (x )单调递减，f (x )＜0，不合题意．综上所述，a 的取值范围是(－∞，2]．…12分 〔21〕〔本小题总分为12分〕解：〔Ⅰ〕因为离心率为 3 5，所以b a ＝ 45．当m ＝0时，l 的方程为y ＝45x ， 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1并整理得x 2＝ a 22．…2分设A (x 0，y 0)，如此B (－x 0，－y 0)，PA →·PB →＝－x 02－y 02＝－ 41 25x 02＝－ 41 25· a 22．又因为PA →·PB →＝－412，所以a 2＝25，b 2＝16，椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1．…5分〔Ⅱ〕l 的方程为x ＝ 5 4y ＋m ，代入x 225＋y216＝1并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如此|PA |2＝(x 1－m )2＋y 12＝4116y 12，同理|PB |2＝4116y 22．…8分如此|PA |2＋|PB |2＝4116( y 12＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝4116[(－ 4m 5)2－16(m 2－25)25]＝41． 所以，|PA |2＋|PB |2是定值．…12分〔22〕〔本小题总分为10分〕选修4-1：几何证明选讲解： 〔Ⅰ〕证明：因为∠A ＝∠TCB ，∠ATB ＝∠TCB ， 所以∠A ＝∠ATB ，所以AB ＝BT . 又AT 2＝AB ⋅AD ，所以AT 2＝BT ⋅AD ．…4分〔Ⅱ〕取BC 中点M ，连接DM ，TM ． 由〔Ⅰ〕知TC ＝TB ，所以TM ⊥BC ．因为DE ＝DF ，M 为EF 的中点，所以DM ⊥BC ． 所以O ，D ，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径． 所以∠ABT ＝∠DBT ＝90︒. 所以∠A ＝∠ATB ＝45︒.…10分〔23〕〔本小题总分为10分〕选修4-4：坐标系与参数方程解：〔Ⅰ〕曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax 〔a ＞0〕； 直线l 的普通方程为x －y －2＝0．…4分〔Ⅱ〕将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得t 2－2(4＋a )2t ＋8(4＋a )＝0 〔*〕△＝8a (4＋a )＞0．设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根． 如此|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|． 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|． 由〔*〕得t 1＋t 2＝2(4＋a )2，t 1t 2＝8(4＋a )＞0，如此有 (4＋a )2－5(4＋a )＝0，得a ＝1，或a ＝－4． 因为a ＞0，所以a ＝1．…10分〔24〕〔本小题总分为10分〕选修4-5：不等式选讲解：〔Ⅰ〕由m ＞0，有f (x )＝|x －4m |＋|x ＋m |≥|－(x －4m )＋x ＋m |＝4m＋m ≥4，当且仅当4m ＝m ，即m ＝2时取“＝〞．所以f (x )≥4．…4分 〔Ⅱ〕f (2)＝|2－4m|＋|2＋m |．当4m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m －4m ＋4，由f (2)＞5，得m ＞1＋172．当4m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝4m＋m ，由f (2)＞5，0＜m ＜1．综上，m 的取值范围是(0，1)∪(1＋172，＋∞)．…10分。
河北省唐山市2015-2016学年高三第二次模拟考试文科数学试题 Word版含答案资料
试卷类型：A唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试文科数学说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，则A ∪B ＝（A ）(－2，1) （B ）(－1，1) （C ）(－2，2)（D ）(－1，2)（2）设复数z 满足(1＋z )(1＋2i)＝i ，则复平面内表示复数z 的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知α为实数，则“α＝2k π＋4（k ∈Z ）”是“tan α＝1”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件（4）大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为 （A ） 1 3（B ）12（C ） 5 6（D ） 2 3（5）执行右侧的程序框图，若输入M 的值为1，则输出的S ＝（A ）6 （B ）12 （C ）14（D ）20（6）已知a ＝log 34，b ＝log π3，c ＝50.5，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜c ＜a（D ）b ＜a ＜c（7）若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤6，2x －y ≤2，则z ＝3x ＋4y 的最大值是（A ）3 （B ）8 （C ）14（D ）15（8）函数f (x )＝cos (x ＋2π5)＋2sin π 5sin (x ＋ π5)的最大值是 （A ）1（B ）sin π5（C ）2sinπ5（D ）5（9）椭圆y 2＋x 2m2＝1（0＜m ＜1）上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是（A ）[22，1) （B ）(0，22] （C ）[ 12，1) （D ）(0，12] （10）在 ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则BD →·AE →＝（A ）－12 （B ）12 （C ）－6（D ）6（11）在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ．该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （A ） 1 2（B ） 13 （C ） 1 4（D ）15（12）已知函数f (x )＝x x －1＋sin πx 在上的最小值为n ，则m ＋n ＝ （A ）－2 （B ）－1 （C ）1（D ）2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程是y ＝±2x ，则C 的离心率e ＝____． （14）已知△ABC 的三边长分别为2，3，7，则△ABC 的面积S ＝_____． （15）已知函数f (x )＝e x －ax －1，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a ＝____．（16）已知AB 是球O 的直径，C 、D 为球面上两动点，AB ⊥CD ，若四面体ABCD 体积的最大值为9，则球O 的表面积为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－7，S 8＝0． （Ⅰ）求{a n }的前n 项和为S n ；（Ⅱ）数列{b n }满足b 1＝ 1 16，b n b n ＋1＝2a n ，求数列{b n }的通项公式．（18）（本小题满分12分）正视图侧视图俯视图二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，E 为边AD 的中点，分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 折叠，使平面ABE 和平面DCE 均与平面BCE 垂直． （Ⅰ）证明：AD ∥平面BEC ； （Ⅱ）求点E 到平面ABCD 的距离．（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过点(4，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M (－4，0)，O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：k AM ＋k BM ＝0；（Ⅱ）若直线l 的斜率为k （k ＜0），求k k AM ·k BM的最小值．（21）（本小题满分12分）设函数f (x )＝x 22＋(1－k )x －k ln x ．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若k 为正数，且存在x 0使得f (x 0)＜32－k 2，求k 的取值范围． ACDBBC EEAD请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 与BD 相交于点F ，AE 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线相交于点E ，∠ADE ＝∠BDC ． （Ⅰ）证明：A 、E 、D 、F 四点共圆； （Ⅱ）证明：AB ∥EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C 2与曲线C 1关于原点对称．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 3的极坐标方程是ρ＝2（0＜θ＜π）．过极点O 的直线l 分别与曲线C 1，C 2，C 3相交于点A ，B ，C ． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程； （Ⅱ）求|AC |·|BC |的取值范围．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|＋m |x －1|．（Ⅰ）当m ＝2时，求不等式f (x )＜4的解集； （Ⅱ）若m ＜0，f (x )≥2m ，求m 的最小值．唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一、选择题A 卷：CBADB DCABA BD B 卷：CCADB DDABA BC 二、填空题（13） 5 （14）332（15）1（16）36π三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由S 8＝0得a 1＋a 8＝－7＋a 8＝0， ∴a 8＝7，d ＝a 8－a 18－1＝2， …3分所以{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－7n ＋n (n －1) ＝n 2－8n ． …6分（Ⅱ）由题设得b n b n ＋1＝2an ，b n ＋1b n ＋2＝2an ＋1， 两式相除得b n ＋2＝4b n ， …8分又b 1b 2＝2a1＝1 128，b 1＝ 1 16，所以b 2＝ 18＝2b 1， 所以b n ＋1＝2b n ，即{b n }是以 116为首项，以2为公比的等比数列， 故b n ＝2n －5．…12分（18）解：（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5i ＝1∑x i y i ＝242，5i ＝1∑x 2i ＝220，^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45，a ˆ＝y -－^b x -＝18.7；…6分所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5＝－0.05(x－3)2＋1.95，所以预测当x＝3时，销售利润z取得最大值．…12分（19）解：（Ⅰ）分别取BE，CE中点M，N，连接AM，MN，DN，由已知可得△ABE，△DCE均为腰长为4的等腰直角三角形，所以AM⊥BE，且AM＝22．又∵平面ABE⊥平面BCE，且交线为BE，∴AM⊥平面BEC，同理可得：DN⊥平面BEC，且DN＝22．∴AM∥DN，且AM＝DN，∴四边形AMND为平行四边形．∴AD∥MN，又∵MN平面BEC，AD/平面BEC，∴AD∥平面BEC．…6分（Ⅱ）点E到平面ABC的距离，也就是三棱锥E－ABC的高h．连接AC，MC，在Rt△EMC中有MC＝EM2＋EC2＝210，在Rt△AMC中有AC＝AM2＋MC2＝43．可得AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC是直角三角形．由V E—ABC＝V A—BEC得 13·12AB·AC·h＝13·12BE·EC·AM，可知h＝463．∴点E到平面ABC的距离为463．…12分（20）解：ACDB B CEE A DM NB CEA DM（Ⅰ）设l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将x＝my＋4代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－16．…3分k AM ＝y1x1＋4＝4y1y21＋16＝4y1y21－y1y2＝4y1－y2，同理k BM＝4y2－y1，所以k AM＋k BM＝0．…6分（Ⅱ）kk AM ·k BM＝(y1－y2)2－16m＝16m2＋64－16m＝－m＋4－m≥4，当且仅当m＝－2时等号成立，故kkAM·k BM的最小值为4．…12分（21）解：（Ⅰ）f'(x)＝x＋1－k－kx＝x2＋(1－k)x－kx＝(x＋1)(x－k)x,（ⅰ）k≤0时，f'(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；（ⅱ）k＞0时，x∈(0，k)，f'(x)＜0；x∈(k，＋∞)，f'(x)＞0，所以f(x)在(0，k)上单调递减，f(x)在(k，＋∞)上单调递增．…5分（Ⅱ）因k＞0，由（Ⅰ）知f(x)＋k2－ 32的最小值为f(k)＋k2－32＝k22＋k－k ln k－32，由题意得k22＋k－k ln k－32＜0，即k2＋1－ln k－32k＜0．…8分令g(k)＝k2＋1－ln k－32k，则g'(k)＝12－1k＋32k2＝k2－2k＋32k2＞0，所以g(k)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以k∈(0，1)时，g(k)＜0，于是k22＋k－k ln k－32＜0；k∈(1，＋∞)时，g(k)＞0，于是k22＋k－k ln k－32＞0．故k的取值范围为0＜k＜1．…12分（22）解：（Ⅰ）因为AE 与圆O 相切于点A ，所以∠CAE ＝∠CBA ； 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠CBA ＝∠ADE ； 又已知∠ADE ＝∠BDC ，所以∠BDC ＝∠CAE ， 故A ，E ，D ，F 四点共圆．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ADE ＝∠AFE ＝∠BDC ， 又∠BDC ＝∠BAC （同弧所对的圆周角相等）， 所以∠AFE ＝∠BAC ，故AB ∥EF ． …10分（23）解：（Ⅰ）由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ．（φ为参数，0＜φ＜π）得(x －1)2＋y 2＝1（0＜y ≤1），所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0＜θ＜π2）． …5分（Ⅱ）由题意可设A (ρ1，θ)，C (2，θ)（0＜θ＜π2），则|AC |＝2－ρ1＝2－2cos θ，|BC |＝2＋ρ1＝2＋2cos θ， 所以|AC |·|BC |＝4sin 2θ∈(0，4)． …10分（24）解：（Ⅰ）当m ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (53)＝f (－1)＝4，得f (x )＜4的解集为{x |－1＜x ＜53}．…5分（Ⅱ）由f (x )≥2m 得|x ＋1|≥m (2－|x －1|)，因为m ＜0， 所以－1m|x ＋1|≥|x －1|－2，在同一直角坐标系中画出y ＝|x －1|－2及y ＝－1m|x ＋1|的图像，根据图像性质可得－1m≥1，即－1≤m＜0，故m的最小值为－1．…10分- 11 -。
河北省唐山市高三数学第一次模拟考试试题 文(扫描版)
唐山市2015—2016学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABBD A BACA DCB 卷：BABCD A BACA CD 二、填空题：（13）2 （14）2π3（15）(x －1)2＋(y －1)2＝1（16）8π三、解答题： （17）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝6， 所以BC ＝6．…4分（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，则sin ∠ABC ＝22，又0°＜∠ABC ＜120°，所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30°，所以△ACD 为等腰三角形， 即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD ＝1． …12分 （18）解：（Ⅰ）茎叶图如下：…4分 乙队测试成绩的中位数为72，众数为75．…6分（Ⅱ）－x 甲＝63＋66＋72＋73＋76＋826＝72，s 2甲＝16[(63－72)2＋(66－72) 2＋(72－72) 2＋(73－72) 2＋(76－72) 2＋(82－72) 2]＝39；－x 乙＝62＋68＋69＋75＋75＋836＝72，s 2乙＝16[(62－72)2＋(68－72) 2＋(69－72) 2＋(75－72) 2＋(75－72) 2＋(83－72) 2]＝44，…10分因为－x 甲＝－x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲乙两队水平相当，但甲队发挥较稳定． …12分（19）解：（Ⅰ）连接AO 1，BD在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，∵ 四边形ABCD 是边长为2的菱形， ∴ AC ⊥BD ，又∵ BD ∩BB 1＝B ， ∴ AC ⊥平面DBB 1D 1， 又∵ O 1M ⊂平面DBB 1D 1， ∴ AC ⊥O 1M ．∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD ＝ π3，M 为BB 1的中点，∴ BD ＝2，AC ＝23，B 1M ＝BM ＝1，∴ O 1M 2＝O 1B 12＋B 1M 2＝2，AM 2＝AB 2＋BM 2＝5，O 1A 2＝O 1A 12＋A 1A 2＝7，∴ O 1M 2＋AM 2＝O 1A 2， ∴ O 1M ⊥AM ．又∵ AC ∩AM ＝A ， ∴ O 1M ⊥平面ACM ．…6分（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥平面ACM ，即C 1到平面ACM 的距离等于O 1到平面ACM 的距离， 由（Ⅰ）得O 1M ⊥平面ACM ，且O 1M ＝2，即点C 1到平面ACM 的距离为2． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意可得c ＝2，左焦点F 1(－2，0)，|PF |＝63， 所以|PF 1|＝|PF |2＋4c 2＝563，即2a ＝|PF |＋|PF 1|＝26， 即a 2＝6，b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1． …5分（Ⅱ）显然直线l 与x 轴不垂直，设l ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将l 的方程代入C 得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以AB 的中点N (6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)，即M (－12k 21＋3k 2，4k1＋3k 2)．由点M 在C 上，可得15k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝ 15或－ 13（舍），即k ＝±55． 故直线l 的方程为y ＝±55(x －2)．…12分（21）解：（Ⅰ）解：f '(x )＝acos 2x－e x，所以f '(0)＝a －1，又f (0)＝a －1，所以a －1＝a －40－2，解得a ＝2．…4分（Ⅱ）由f (x )≥0得a ≥ex tan x ＋1，ABCDMC 1B 1 D 1A 1O 1令g (x )＝e x tan x ＋1，则g '(x )＝e xtan x (1－tan x )( tan x ＋1)2， x ∈(0， π 4)，g '(x )＞0；x ∈( π 4， π2)，g '(x )＜0，所以g (x )的最大值为g ( π4)＝e π 42，故所求a 的取值范围是a ≥e π 42．…12分（22）解：（Ⅰ）因为BF ∥CD ，所以∠EDC ＝∠BFD ， 又∠EBC ＝∠EDC ，所以∠EBC ＝∠BFD ，又∠BCE ＝∠BDF ，所以△BCE ∽△FDB . …4分（Ⅱ）因为∠EBF ＝∠CBD ，所以∠EBC ＝∠FBD ， 由（Ⅰ）得∠EBC ＝∠BFD ，所以∠FBD ＝∠BFD ， 又因为BE 为圆O 的直径，所以△FDB 为等腰直角三角形，BD ＝22BF ＝2，因为AB 与圆O 相切于B ，所以EB ⊥AB ，即AD ·ED ＝BD 2＝2． …10分（23）解：（Ⅰ）半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1（y ＞1），它的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ，φ为参数且φ∈(0，π)．…4分（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的方程为y ＝x tan α－2，D (cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB |＝2sin α，点D 到直线l 的距离为|sin αcos2α－cos αsin2α－3cos α|＝|3cos α－sin αcos2α＋cos αsin2α|＝3cos α＋sin α，由△ABD 的面积为4得tan α＝1，得α＝ π4，故点D 为(0，2)．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－43)＝f (2)＝5， 得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－ 43，或x ＞2}．…5分（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥|x＋1||x－1|＋|x＋3|，由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|得|x＋1||x－1|＋|x＋3|≤12，得a≥12．（当且仅当x≥1或x≤－3时等号成立）故a的最小值为12．…10分。
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河北省唐山市 2017 届高考第三次模拟考试数学试题( 文) 含答案唐山市 2016-2017 学年度高三年级第三次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 A x 0 x 2 ， B x x2 1 ，则A B （）A. 0,1B. 1,2C. 1,1D. ,12,2. 已知 i 为虚数单位，z 1 i 1 i ，则复数 z 的共轭复数为（）A. iB. iC. 2iD. 2i3.某校有高级教师 90 人，一级教师 120 人，二级教师 75 人，现按职称用分层抽样的方法抽取 38 人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（）A.10B.12C.16D.18x y 1 04. 若变量x, y满足约束条件2x y 1 0 ，则目标函数z 2x y 的最小值为（）x y 1 0A.4B. 1C. 2D. 35. 执行下图程序框图，若输出y 2 ，则输入的 x 为（）A. 1 或 2B. 1C.1或 2D. 1或 26. 已知平面平面，则“直线 m 平面”是“直线 m ∥平面”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 等差数列a n的前11项和S11 88 ，则 a3 a6 a9 （）A.18B.24C.30D.328. 函数 f x cos x（0 ）的最小正周期为，则 f x 满足（）6A.在 0, 上单调递增B. 图象关于直线 x 对称3 6C. f3 5时有最小值 1 2D. 当 x3 129. 函数 f x2）x ln x 的图象大致为（A B C D10. 某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A.4B.8C. 4D.8 3 311. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O的方程为 x2 y2 4 ，直线 l 的方程为y k x 2 ，若在圆 O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是（）A.3B.3 3C.1 1D.1 0,3, ,20,3 3 2 212. 已知函数3 2bx 有两个极值点 x1, x2 ，且x1 x2，若 x1 x0 2 x2 ，函数f x x axg x f x f x0，则 g x （）A. 仅有一个零点B. 恰有两个零点C.恰有三个零点D.至少两个零点第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 a 4,x ， b 1,2 ，若 a b ，则x ．14. 已知双曲线过点2,3 ，且与双曲线x2 y2 1 有相同的渐近线，则双曲线的标准4方程为．15. 直线△ ABC 的三个顶点都在球O 的球面上， AB AC 2 ，若球 O 的表面积为 12 ，则球心 O 到平面 ABC 的距离等于．16. a n是公差不为0的等差数列，b n是公比为正数的等比数列，a1 b1 1 ， a4 b3，a8 b4，则数列a n b n 的前 n 项和等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在△ ABC 中，角A，B，C所对应的边分别为 a ，b， c ，a b bcos C .（1）求证：sin C tan B ；（2）若a 1，b 2 ，求c .18.某学校用简单随机抽样方法抽取了 30 名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30 小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900 名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的 7 名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各 1 人，参加读书日宣传活动.（i ）共有多少种不同的抽取方法？（ii ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过 2 小时的概率 .19. 如图，平行四边形 ABCD 中， BC 2 AB 4 ， ABC 60 ， PA 平面ABCD， PA 2 ，E， F 分别为BC， PE的中点.（1）求证：AF平面PED；（2）求点C到平面PED的距离 .20. 已知椭圆: x2 y21 a b 0经过点M1，且离心率为3.a 2 2 3,2b 2（1）求椭圆的方程；（2）设点M在 x 轴上的射影为点N ，过点 N 的直线 l 与椭圆相交于 A ， B 两点，且NB 3NA 0 ，求直线l的方程 .21. 已知函数 f x e x，g x ln x a .（1）设h x xf x ，求 h x 的最小值；（2）若曲线y f x 与 y g x 仅有一个交点P ，证明：曲线y f x 与 y g x 在点 P处有相同的切线，且 a 2,5 . 222. 点P是曲线 C1 : x 2 24 上的动点，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建y2立极坐标系，以极点 O 为中心，将点P逆时针旋转 90 得到点 Q ，设点 Q 的轨迹方程为曲线C2 .（1）求曲线 C1， C2的极坐标方程；（2）射线0 与曲线 C1， C2分别交于 A ， B 两点，定点M2,0，求△MAB的面3积.23. 已知函数f xx 2a x 1 .（1）若a 1 ，解不等式 f x 5 ；（2）当a 0 时，g a f 1 ，求满足 g a 4 的a的取值范围.a唐山市 2016— 2017 学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷： ABBDC DCADD CBB 卷： ADBBC DDACD CB二．填空题：（ 13）2 （14）y2 x2（16）n 21（15）1 n 1 2 1 8三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由 a b b cos C 根据正弦定理得 sin A sin B sin B cos C ，即 sin B C sinB sin B cosC ，sin B cos C cos B sin C sin B sin B cos C ，sin C cos B sin B ，得 sin C tan B ．（Ⅱ）由 a b b cosC ，且 a 1 ， b 2 ，得cosC 1 ，2由余弦定理， c2 a2 b2 2ab cosC 1 4 2 1 2 1 7 ，2所以 c 7 ．（18）解：（Ⅰ）设该校 900 名学生中“读书迷”有x 人，则7x ，解得 x 210 .30 900所以该校900 名学生中“读书迷”约有210 人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为a35， a38 ， a41 ，抽取的女“读书迷”为b34， b36， b38， b40 ( 其中下角标表示该生月平均课外阅读时间) ，则从 7 名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各 1 人的所有基本事件为：a35 , b34 ， a35 ,b36 ， a35 ,b38， a35 ,b40 ， a38 ,b34， a38 ,b36， a38 ,b38 ， a38 ,b40 ，a41 ,b34， a41 ,b36， a41 ,b38， a41,b40，所以共有12 种不同的抽取方法．（ⅱ）设 A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过则事件 A 包含a35 ,b34， a35 ,b36， a38 ,b36， a38, b38， a38 ,b40，2 小时”，a41,b406 个基本事件，所以所求概率P A6 1 ．12 2（19）解：（Ⅰ）连接AE ，在平行四边形ABCD 中，PFADB E CBC 2AB 4，ABC 60 ，∴AE 2，ED 2 3 ，从而有 AE2 ED 2 AD2，∴AE ED．∵ PA 平面 ABCD ，ED 平面 ABCD ，∴PA ED ，又∵ PA AE A，∴ED 平面 PAE ， AF 平面 PAE从而有 ED AF ．又∵ PA AE 2 ，F 为 PE的中点，∴ AF PE ，又∵PE ED E ，∴ AF 平面 PED ．（Ⅱ）设点 C 到平面PED的距离为 d ，在 Rt△ PED 中， PE 2 2，ED 2 3 ，∴ S△PED 2 6 ．在△ECD 中，EC CD 2 ，ECD 120 ，∴S△ECD3 ．由 V C PED V P ECD得，1S d 1 S PA ，3 △ PED 3△ECD∴ d S△ECD PA 2 ．S△PED 2所以点 C 到平面PED的距离为 2 ．2（20）解：（Ⅰ）由已知可得3 11 ，a2 b 2 32 ， b 1 ，2 2a，解得 aa 4b 2所以椭圆Γ的方程为x2 y2 1 ．4（Ⅱ）由已知N 的坐标为3,0 ，当直线 l 斜率为0 时，直线l为 x 轴，易知 NB 3 NA 0 不成立．当直线 l 斜率不为0 时，设直线l的方程为 x my 3 ，代入 x2 y2 1 ，整理得， 4 m2 y2 2 3my 1 0 ，4设 A x1 , y1， B x2 , y2 则 y1 y2 2 3m2，①y1 y2 1 ，②4 m 4 m2由 NB 3 NA 0 ，得 2 1，③y 3y由①②③解得m2．2所以直线 l 的方程为x 2 y 3 ，即 y 2 x 3 ．2（21）解：（Ⅰ） h ' x xx，1 e当 x 1 时， h' x 0 ， h x 单调递减；当 x 1 时， h' x 0 ， h x 单调递增，故 x 1 时， h x 取得最小值 1 ．e（Ⅱ）设 t x f x g x e x ln x a ，则t ' x e x 1 xe x 1 x 0 ，x x由（Ⅰ）得 T x xe x 1在0, 单调递增，又 T 1 0 ， T 1 0 ，2所以存在 x0 1x0 0 ，,1 使得T2所以当 x 0, x0 时， t ' x 0 ， t x 单调递减；当 x x0 , 时， t ' x 0 ， t x 单调递增，所以 t x )的最小值为 t x0xln x0 a 0 ，e 0由 T x0 0 得 e x0 1 ，所以曲线 y f x 与 y g x 在P点处有相同的切线，x0又 a e x0 ln x0，所以 a 1 x0，x0因为 x0 1 ,1 ，所以 a 2, 5 ．2 2（22）解：（Ⅰ）曲线 1的极坐标方程为4cos．C设 Q , ，则 P ,2 ，则有4cos24sin ．所以，曲线 C2 的极坐标方程为4sin ．（Ⅱ） M 到射线的距离为 d 2sin3 3 ，3AB B A 4 sin3 cos32 3 1 ，则 S 1AB d 3 3 ．2（23）解：（Ⅰ） f x x 2 x 1 ,所以表示数轴上的点x 到 2 和1的距离之和，因为 x 3 或2时f x 5 ，依据绝对值的几何意义可得 f x 5 的解集为 x 3 x 2 ．（Ⅱ） g a 12a11 ，a a当 a 0 时，g a 22a 1 5 ，等号当且仅当 a 1 时成立，所以g a 4 无解；a当 0 a 1 时，g a 22a 1，a由 g a 4 得2a 2 5a 2 0 ，解得1a 2 ，又因为0 a 1，所以1a 1；2 2当 a 1 时，g a 2a 1 4，解得1 a 3 ，2综上， a 的取值范围是 1 , 3 ．2 2。
河北省唐山市2015届高三年级第一次模拟考试——数学文
河北省唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项）1．已知全集2．A．—2i B．-4i C．2i D．4i3．已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是4．命题，函数的图像过点（2，0），则A．p 假q 真C．p 假q 假B．p 真q 假D．p 真q5．执行右边的程序框图，则输出的A是6．设x，y满足约束条件的最大值为A．8 B．9 C．28 D．297．在直角梯形ABCD中，AB//CD，8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．已知10．函数的值域为11．F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若则C的离心率是12．直线分别与曲线交于A，B，则|AB|的最小值为二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．）13．已知14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为由以上信息，得到下表中 c 的值为．15．在半径为5的球面上有不同的四点A，B，C，D，若则平面BCD 被球所截得图形的面积为．16．已知的取值范围为。
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）18．（本小题满分12 分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放 1 个．（1）若小王发放5 元的红包2 个，求甲恰得1 个的概率；（2）若小王发放3 个红包，其中5 元的2 个，10 元的1 个．记乙所得红包的总钱数X为，求X的分布列和期望．19．（本小题满分12 分）如图，在斜三棱柱中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，（I）求证：（II）若求二项角C—AB1—A1的余弦值。
20．（本小题满分12 分）已知圆，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为．（I）求曲线的方程；（II）直线AB交圆O于C，D 两点，当B为CD 的中点时，求直线AB的方程．21．（本小题满分12 分）已知函数（I）（II）的取值范围；22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆周角的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F。
河北省唐山市高三数学第三次模拟考试试题理(扫描版)
唐山市2015—2016学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一、选择题A 卷：BCAADB CCBB AD B 卷：BCAAD B BCDC AD 二、填空题 （13）4 （14）43π（15）－1（16）(－3，0)三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为2a ＋b cos B ＝－c cos C ，所以由正弦定理可得：2sin A ＋sin B cos B ＝－sin Ccos C，所以2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋sin C cos B )＝－sin A ．因为sin A ≠0，所以cos C ＝－ 12．又0＜C ＜π，故C ＝ 2π3．…5分（Ⅱ）sin A sin B ＝sin A sin ( π 3－A )＝sin A (32cos A － 12sin A )＝34sin 2A － 1 2sin 2A ＝34sin 2A －1－cos 2A 4＝ 1 2sin (2A ＋ π 6)－ 14． 因为0＜A ＜ π 3，所以当A ＝ π 6时，sin A sin B 有最大值为 1 4． (12)分（18）解：（Ⅰ）该组数据的中位数为87，众数为92，打印的15件产品中，合格品有10件，由此可估计该打印机打出的产品为合格品的概率为 23． …5分（Ⅱ）随机变量X 可以取－54，18，90，162，P (X ＝－54)＝C 03×(1－2 3)3＝ 1 27， P (X ＝18)＝C 13× 2 3×(1－ 2 3)2＝ 2 9， P (X ＝90)＝C 23×( 2 3)2×(1－ 2 3)1＝ 4 9， P (X ＝162)＝C 33×( 2 3)3＝ 8 27，X 的分布列为X －54 18 90 162P 1 27 2 9 4 9 8 27∴随机变量X 的期望E (X )＝(－54)× 1 27＋18× 2 9＋90× 4 9＋162× 827＝90．…12分（19）解：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AE ， 又∵PB ⊥AE ，PB ∩PA ＝P ，∴AE ⊥平面PAB ，又∵AB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥AB ．又∵PA ⊥AB ，PA ∩AE ＝A ， ∴AB ⊥平面PAE ， 又∵PE ⊂平面PAE ，∴AB ⊥PE ． …6分 （Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (23，0，0)， P (0，0，2)，C (－3，3，0)，D (－3，1，0)，∴BC →＝(－33，3，0)，PC →＝(－3，3，－2)，DC →＝(0，2，0). 设平面PBC 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·BC →＝0，m ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－33x ＋3y ＝0，－3x ＋3y －2z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，3，3)．同理可求平面PCD 的一个法向量n ＝(2，0，－3)．∴cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m ||n |＝－17·7＝－ 17．∵二面角B -PC -D 为钝二面角， ∴二面角B -PC -D 的余弦值为－ 17．…12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），由已知可得：⎩⎨⎧2b2a＝3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2．解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3．故所求椭圆C 的方程为 x 24＋ y23＝1．…4分（Ⅱ）假设存在满足条件的点T (t ，0)，D C B EP A x yz当直线AB 斜率不为0时，可设直线AB 为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将x ＝my ＋1代入C 得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，显然Δ＞0，且y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，x 1＋x 2＝84＋3m 2，x 1x 2＝4－12m24＋3m2．所以TA →·TB →＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y2＝(6t －15)m 2－94＋3m2＋t 2－2t ＋1， 要使TA →·TB →为定值须有6t －153＝－94，得t ＝118，此时T (118，0)，TA →·TB →为定值－ 135 64．当直线AB 斜率为0时，TA →·TB →＝－ 13564．故存在点T (118，0)满足题设.…12分（21）解：（Ⅰ）m ＝1时，f (x )＝e x －ln x －2，f '(x )＝e x－ 1 x，x ＞0．显然f '(x )在(0，＋∞)上单调递增，又f '( 12)＜0，f '(1)＞0，故存在唯一实数t ∈( 12，1)，使得f '(t )＝0．…4分（Ⅱ）f '(x )＝m e mx － 1 x ＝m (e mx－1mx)，由0＜m ＜1得f '(x )在(0，＋∞)上单调递增， 由（Ⅰ）得mx 0＝t 时，f '(x 0)＝0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 即f (x )的最小值为f (x 0)＝f (t m)＝e t－ln t ＋ln m －2， ∵e t － 1 t ＝0，∴e t＝ 1 t，t ＝－ln t ．于是f (x 0)＝f (t m)＝ 1 t＋t ＋ln m －2，所以当ln m ＞2－( 1t＋t )时，f (x )＞0．取k ＝2－( 1 t＋t )＜0，故m ∈(e k，1)时成立． (12)分（22）解：（Ⅰ）证明：连接CQ ，BC ，AB ，因为PQ 是圆O 的切线，所以∠PQC ＝∠CBD ，Q因为B 为AC ⌒的中点，所以∠CQB ＝∠ACB ， 所以∠PQC ＋∠CQB ＝∠CBD ＋∠ACB ， 即∠PQD ＝∠CDQ ，故△DPQ 为等腰三角形. …5分 （Ⅱ）设CD ＝t ，则PD ＝PQ ＝1＋t ，PA ＝2＋2t ，由PQ 2＝PC ·PA 得t ＝1，所以CD ＝1，AD ＝PD ＝2， 所以BD ·QD ＝CD ·AD ＝2. …10分（23）解：（Ⅰ）设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x B ＝ρcos (θ＋ π 3)＝ 1 2x －32y ；y B ＝ρsin (θ＋ π 3)＝32x ＋ 12y ，故B (12x －32y ，32x ＋ 12y )． 由|BM |2＝1得(12x －32y ＋2)2＋(32x ＋ 1 2y )2＝1， 整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． …5分（Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数），则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．…10分（24）解：（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2，由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2， 故a ＋d ＞b ＋c ．…5分（Ⅱ）a a b b c d d ca b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c)c －d，由（Ⅰ）得a －b ＞c －d ，又 a b ＞1，所以( a b )a －b ＞( ab)c －d，即( a b )a －b ( d c )c －d ＞( a b )c －d ( dc )c －d＝(ad bc )c －d ＝1， 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d．…10分。
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河北省唐山市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，0，1} B．{2，3} C．{﹣2，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）sinx为奇函数B．f（x）+cosx为偶函数C．g（x）sinx为为偶函数D．g（x）+cosx为偶函数3．（5分）i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1B．2C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，结果是（）A．B．C．D．5．（5分）设a=logπ3，b=log3π，c=lnπ，则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c6．（5分）在等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{}的前20项和为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=cos（2x﹣），g（x）=sin2x，将函数f（x）的图象经过下列哪种可以与g（x）的图象重合（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．（π+1）B．（π+1）C．（π+）D．（π+）9．（5分）向量、满足||=|+|=|2+|=1，则||=（）A．1B．C．D．210．向量、满足：||=|+|=|2+|=1，则与的夹角为（）A．150°B．60°C．30°D．45°11．（5分）实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．B．C．12．（5分）异面直线l与m成60°，异面直线l与n成45°，则异面直线m与n成角范围是（）A．B．C．D．13．（5分）函数f（x）=e﹣x+a，g（x）=|lnx|，若x1，x2都满足f（x）=g（x），则（）A．x1•x2＞e B．1＜x1•x2＜e C．0＜x1•x2＜e﹣1D．e﹣1＜x1•x2＜1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）14．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，公比q=2，S5=93，则a4=．15．（5分）已知F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的点且|MF|=3，N（﹣2，0），则直线MN的斜率为．16．（5分）已知a＞1，则的最小值为．17．（5分）等边三角形ABC的顶点A，B在圆O：x2+y2=1上，则|OC|的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c．2c2﹣2a2=b2．（Ⅰ）证明：2ccosA﹣2acosC=b；（Ⅱ）若tanA=，求角C的大小．19．（12分）某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试，随机抽取15名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图：（Ⅰ）依据上述数据，估计甲校此次的体育平均成绩；（Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生的平均成绩为，求|﹣|≤1的概率．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，截面A1BC是等边三角形．（Ⅰ）求证：AB=AC；（Ⅱ）若AB⊥AC，三棱柱的高为1，求C1点到截面A1BC的距离．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，当点M 的坐标为（，）时，l的方程为x+2y﹣4=0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（O为坐标原点），当|OH|=|OM|（Ⅱ）设直线l的斜率为k，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H，时，求k的值．22．（12分）已知f（x）=e x（x﹣a﹣1）﹣x2+ax，a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈（0，1）时，f（x）＜﹣a﹣1，求a的取值范围．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．23．（10分）如图，C是⊙O的直径AB上一点，CD⊥AB，与⊙O相交于点D，与弦AF交于点E，与BF的延长线交于点G，GT与⊙O相切于点T．（Ⅰ）证明：CE•CG=CD2；（Ⅱ）若AC=CO=1，CD=3CE，求GT．24．已知半圆C：（x﹣2）2+y2=4（y≥0），直线l：x﹣2y﹣2=0．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出C与l的极坐标方程；（Ⅱ）记A为C直径的右端点，C与l交于点M，且M为圆弧AB的中点，求|OB|．25．设f（x）=|ax﹣1|+|x+2|，（a＞0）．（I）若a=1，时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若f（x）≥2，求a的最小值．河北省唐山市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，0，1} B．{2，3} C．{﹣2，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：Venn图表达集合的关系及运算．分析：由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），然后根据集合的基本运算求解即可．解答：解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵A={﹣1，0，1，2，3}，B={﹣2，﹣1，0，1}，∴∁U B={x|x≠﹣2，x≠﹣1，x≠0，x≠1}，即A∩（∁U B）={2，3}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，根据图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）sinx为奇函数B．f（x）+cosx为偶函数C．g（x）sinx为为偶函数D．g（x）+cosx为偶函数考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，两个偶函数的和还是偶函数，两个奇函数的和是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）∵sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，∴f（x）si nx为偶函数；g（x）sinx为奇函数；f（x）+cosx不是奇函数，也不是偶函数；g（x）+cosx为偶函数，故选：D点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．3．（5分）i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1B．2C．D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：通过设z=a+bi，可得=a﹣bi，利用（1+i）=（1﹣i）2，可得=﹣1﹣i，进而可得结论．解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵（1+i）=（1﹣i）2，∴=======﹣1﹣i，∴z=﹣1+i，∴|z|==，故选：C．点评：本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，a，S的值，当i=4时满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=0i=1a=，S=，不满足条件i＞3，i=2，a=，S=不满足条件i＞3，i=3，a=，S=不满足条件i＞3，i=4，a=，S=满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，a，S的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）设a=logπ3，b=log3π，c=lnπ，则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：由利用三个数与1的大小关系，以及对数的运算性质，能够比较a，b，c的大小．解答：解：∵a=logπ3＜log33=1，b=log3π＞log33=1，c=lnπ=log eπ＞log3π=b，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．6．（5分）在等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{}的前20项和为（）A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知列式求出等差数列的首项和公差，得到等差数列的通项公式，再由裂项相消法求得{}的前20项和．解答：解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11．又a3=5，得d=，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．{}的前20项和为：==．故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．7．（5分）已知函数f（x）=cos（2x﹣），g（x）=sin2x，将函数f（x）的图象经过下列哪种可以与g（x）的图象重合（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数f（x）=cos（2x﹣）的图象向右平移个单位，可得函数y=cos=cos（2x﹣）=sin2x=g（x）的图象，故选：C．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．（π+1）B．（π+1）C．（π+）D．（π+）考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体为组合体，上部为半球，半径为1；下部为正四棱锥，底面正方形的边长为，高为1；从而求体积．解答：解：由三视图可知，该几何体为组合体，上部为半球，半径为1；下部为正四棱锥，底面正方形的边长为，高为1；故其体积V=××π×13+××1=（π+1）；故选B．点评：本题考查了学生的空间想象力及计算能力，属于基础题．9．（5分）向量、满足||=|+|=|2+|=1，则||=（）A．1B．C．D．2考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得和||2的方程组，解方程组可得．解答：解：∵向量、满足||=|+|=|2+|=1，∴|+|2=1，|2+|2=1，∴1+2+||2=1，4+4+||2=1，两式相减可得2=﹣3，代入1+2+||2=1可得||2=3，∴||=，故选：C．点评：本题考查向量的模长，涉及数量积的运算和方程组的解法，属基础题．10．向量、满足：||=|+|=|2+|=1，则与的夹角为（）A．150°B．60°C．30°D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将已知等式平方得到向量的模与数量积的等式，根据数量积公式得到所求．解答：解：由已知||=|+|=|2+|=1，得到：||2=|+|2=|2+|2=1，所以，，所以，所以与的夹角为150°；故选：A．点评：本题考查了平面向量的夹角，运用了数量积公式以及向量的平方等于模的平方．11．（5分）实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．B．C．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步分目标函数z=ax+y的最大值为a+3，构造一个关于a 的不等式，解不等式即可求出a的范围．解答：解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：∵z=ax+y，A（0，1），∴z A=1；解方程组，得B（2，3），∴z B=2a+3；C（3，0），∴z C=3a．∵线性目标函数z=ax+y的最大值为2a+3，∴，解得﹣1≤a≤3．故选：B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．12．（5分）异面直线l与m成60°，异面直线l与n成45°，则异面直线m与n成角范围是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由题意画出图形，通过直线的平移，可得过直线l上的任意一点作m，n的平行线，若m，n的平行线与l共面，可得异面直线m与n成角最小为15°；否则，可得到m，n能够构成两条异面直线所成的最大角90°．解答：解：如图，在直线l任取一点O，过O作m′∥m，作n′∥n，当m′、n′、l三线共面时，m′与n′所成角最小为15°，即异面直线m 与n成角最小为15°；当n′不在l与m′所确定的平面α内时，过O作平面β，使m′⊥β，则l为平面β的一条斜线，在β内存在与l成45°角的直线n′，∴m′与n′所成角最大为90°，即异面直线m与n成角最小为90°．故选：A．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的空间想象能力和思维能力，属中档题．13．（5分）函数f（x）=e﹣x+a，g（x）=|lnx|，若x1，x2都满足f（x）=g（x），则（）A．x1•x2＞e B．1＜x1•x2＜e C．0＜x1•x2＜e﹣1D．e﹣1＜x1•x2＜1考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：画出图象得出f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），x1＞1，0＜x2＜1，利用图象得出范围﹣1＜e=lnx1x2＜0，求解即可得出e﹣1＜x1x2＜1．解答：解：∵函数f（x）=e﹣x+a，g（x）=|lnx|，∵f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），x1＞1，0＜x2＜1∴e+a=lnx1，e+a=﹣lnx2，即﹣1＜e=lnx1x2＜0，e﹣1＜x1x2＜1，故选：D．点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的求解，学生运用函数图象解决问题的能力，观察变化的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）14．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，公比q=2，S5=93，则a4=24．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等比数列的前n项和公式列出方程求出a1，再由等比数列的通项公式求出a4．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，因为公比q=2，S5=93，所以，解得a1=3，所以a4=3×23=24，故答案为：24．点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．15．（5分）已知F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的点且|MF|=3，N（﹣2，0），则直线MN的斜率为±．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用|MF|=3，计算可得M（1，±2），进而可得结论．解答：解：设M（，y），由题可知F（2，0），∵|MF|==+2，∴|MF|=3=+2，解得：y=±2，∴M（1，±2），又∵N（﹣2，0），∴k MN==±，故答案为：±．点评：本题考查抛物线中直线的斜率，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（5分）已知a＞1，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞1，则==a﹣1++2+2=4，当且仅当a=2时取等号．∴则的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．17．（5分）等边三角形ABC的顶点A，B在圆O：x2+y2=1上，则|OC|的最大值为2．考点：圆的标准方程．专题：数形结合法；导数的概念及应用；直线与圆．分析：根据题意画出图形，利用圆与等边三角形的对称性得出|OC|取最大值时，OC过AB 的中点M，设|AB|=x，表示出|OC|的大小，借助于导数求出|OC|的最大值．解答：解：等边三角形AB C的顶点A，B在圆O：x2+y2=1上，如图所示；⊥根据圆与等边三角形的对称性知，当|OC|取最大值时，OC过AB的中点M，设|AB|=x，则|CM|=x，|OM|==，∴|OC|=|OM|+|CM|=+x=（+x），0＜x≤2；设y=+x，（0＜x≤2），∴y′=••（﹣2x）+=，令y′=0，得﹣x+•=0，解得x=±，应取x=；当x∈（0，）时，y′＞0，y是增函数，当x∈（，2]时，y′＜0，y是减函数，∴当x=时，y取得最大值为y max=+×=4，∴|OC|的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，考查了利用导数求函数最值的应用问题，是综合性题目．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c．2c2﹣2a2=b2．（Ⅰ）证明：2ccosA﹣2acosC=b；（Ⅱ）若tanA=，求角C的大小．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理把等号左边进行整理，把cosA和cosC代入．（Ⅱ）利用正弦定理把（Ⅰ）结论中边转化成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理，可求得sinCcosA=3sinAcosC，进而求得tanC和tanA的关系，求得tanC，则C可得．解答：（Ⅰ）证明：因为2c2﹣2a2=b2，所以2ccosA﹣2acosC=2c•﹣2a•=﹣==b．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB=sin（A+C）得2sinCcosA﹣2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，即sinCcosA=3sinAcosC，又cosAcosC≠0，所以tanC=3tanA=1，故C=45°．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键是对正弦定理和余弦定理能熟练灵活的运用．19．（12分）某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试，随机抽取15名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图：（Ⅰ）依据上述数据，估计甲校此次的体育平均成绩；（Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生的平均成绩为，求|﹣|≤1的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）读取茎叶图数据，求得平均数（Ⅱ）列举从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件个数，满足|﹣|≤1的结果个数得出结果．解答：解：（Ⅰ）==77．…（5分）（Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件：{75，77}，{75，73}，{75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10个；其中满足|﹣|≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6个．所以满足|﹣|≤1的概率P==．…（12分）点评：本题主要考查茎叶图的读法和古典概型的求法，属于容易题型．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，截面A1BC是等边三角形．（Ⅰ）求证：AB=AC；（Ⅱ）若AB⊥AC，三棱柱的高为1，求C1点到截面A1BC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）取BC中点O，连OA，OA1．证明BC⊥平面A1OA，即可证明：AB=AC；（Ⅱ）利用等体积法，即可求C1点到截面A1BC的距离．解答：（Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA1．因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，BC⊥AA1，因为截面A1BC是等边三角形，所以BC⊥OA1，所以BC⊥平面A1OA，BC⊥OA，因此，AB=AC．…（5分）（Ⅱ）解：设点A到截面A1BC的距离为d，由V A﹣A1BC=V A1﹣ABC得S△A1BC×d=S△ABC×1，得BC×OA1×d=BC×OA×1，得d=．由AB⊥AC，AB=AC得OA=BC，又OA1=BC，故d=．因为点A与点C1到截面A1BC的距离相等，所以点C1到截面A1BC的距离为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，当点M 的坐标为（，）时，l的方程为x+2y﹣4=0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（O为坐标原点），当|OH|=|OM|（Ⅱ）设直线l的斜率为k，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H，时，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）将M点坐标代入椭圆方程，同时联立直线l与椭圆方程，计算即得结论；（II）通过设直线l并与椭圆方程联立，利用△=0，进而可得|OM|2、|OH|2的表达式，利用|OH|=|OM|化简即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题意可得：+=1，（*）将x+2y﹣4=0代入椭圆C，有：（3a2+4b2）x2﹣8a2x+16a2﹣4a2b2=0，令△=0得：3a2+4b2=16，（**）联立（*）、（**），解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（II）设直线l：y=kx+m，M（x0，y0）．将直线l的方程代入椭圆C得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，令△=0，得m2=4k2+1，且=，∴|OM|2=，又|OH|2==，又∵|OH|=|OM|，∴联立整理可得：16k4﹣8k2+1=0，解得：k=±．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（12分）已知f（x）=e x（x﹣a﹣1）﹣x2+ax，a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈（0，1）时，f（x）＜﹣a﹣1，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，根据导导函数和0的关系由此可得f（x）的单调性；（Ⅱ）需要分类讨论，根据函数的单调求出函数的最值，即可求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e x（x﹣a）﹣x+a=（x﹣a）（e x﹣1），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单增；当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单增．所以，f（x）在（﹣∞，0）和（a，+∞）分别单调递增；在（0，a）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a≥1时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）＜f（0）=﹣a﹣1．当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）单调递减；在（a，1）单调递增，则f（x）＜﹣a﹣1当且仅当f（1）=﹣ae+a﹣≤﹣a﹣1，解得：≤a＜1．综上：a的取值范围是24．已知半圆C：（x﹣2）2+y2=4（y≥0），直线l：x﹣2y﹣2=0．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出C与l的极坐标方程；（Ⅱ）记A为C直径的右端点，C与l交于点M，且M为圆弧AB的中点，求|OB|．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：三角函数的求值；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）将x=ρcosθ，y=ρsinθ分别代入半圆C与直线l的方程中，整理得出它们的极坐标方程；（Ⅱ）由题意求出点B的极角α的正切值tanα，利用三角函数的关系求出cosα，即可计算|OB|的值．解答：解：（Ⅰ）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入半圆C：（x﹣2）2+y2=4（y≥0）中，（ρcosθ﹣2）2+（ρsinθ）2=4，化简得C的极坐标方程为C：ρ=4cosθ（0≤θ≤）；将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直线l：x﹣2y﹣2=0中，得l的极坐标方程为l：ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0；…（4分）（Ⅱ）根据题意，l经过半圆C的圆心C（2，0），设点B的极角为α，则tanα=，∴=，即sinα=cosα，∴sin2α+cos2α=cos2α+cos2α=cos2α=1，∴cos2α=；又α∈，∴cosα=；…（6分）∴由C的极坐标方程得|OB|=ρ=4cosα=4×=．…（10分）点评：本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化和应用问题，也考查了三角函数的求值问题，是综合性题目．25．设f（x）=|ax﹣1|+|x+2|，（a＞0）．（I）若a=1，时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若f（x）≥2，求a的最小值．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分类讨论化简f（x）的解析式，由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集．（Ⅱ）由f（x）=的单调性，以及f（x）的图象连续不断，可得要是f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）≥2，且f（）≥2，由此求得a的最小值．解答：解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=，由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集为{x|﹣3≤x≤2}．（Ⅱ）f（x）=，当x∈（﹣∞，﹣2]时，f（x）单调递减；当x∈[，+∞）时，f（x）单调递增，又f（x）的图象连续不断，所以f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）=2a+1≥2，且f（）=+2≥2，求得a≥，故a的最小值为．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的单调性的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。