上海市高一(下)期末数学试卷八

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2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一(下)期末数学试卷

2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P （4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．2.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（2，3）， b ⃗⃗ =（3，2），则| a ⃗ −b ⃗⃗ |=___ ．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ．6.（填空题，4分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=1，则S 7=___ ．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB 的长度，工程人员测得隧道两端的A ，B 两点到C 点的距离分别为AC=3km ，BC=4km ，且∠ACB=60°，则隧道AB 长度为 ___ km ．8.（填空题，4分）若 π2 ≤α≤3π2 ，且sin （2 α+π6 ）= 12 ，则α=___ ．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．11.（填空题，4分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值组成的集合为 ___ ． 12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x 的解的集合是___ ．13.（填空题，4分）已知复数Z n =a n +b n i （a n 、b n ∈R ），满足Z 1=1，Z n+1= Z n +1+2i （n∈N*），其中i 为虚数单位， Z n 表示Z n 的共轭复数，则Z 100=___ ．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 15.（单选题，4分）设复数z=a+bi （其中a 、b∈R ，i 为虚数单位），则“a=0”是“z 为纯虚数”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，4分）已知单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √3 ，则 a ⃗ • b ⃗⃗ =（） A.- 12 B.-2 C. 12 D.217.（单选题，4分）设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=3+4i ，则z 1z 2=（） A.-25 B.25 C.7-24i D.-7-24i18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（） A.若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c （a ，b ，c 为常数）则数列{a n }为等差数列 B.若数列{a n }的前n 项和S n =2n+1-2，则数列{a n }为等差数列C.数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等差数列D.数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等比数列19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于 12的个数的最大值是（） A.0 B.1 C.2 D.320.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题，② 是假命题D. ① 是假命题，② 是真命题π，|a⃗|=1，|b⃗⃗|=2．21.（问答题，12分）已知向量a⃗、b⃗⃗的夹角为23（1）求a⃗• b⃗⃗的值（2）若2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，求实数t的值．．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；处取得最大值，且最大值为（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6a3，求函数f（x）的解析式．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P（4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- 35【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】：解：∵P（4，-3）是角α终边上一点，则x=4，y=-3，r=|OP|= √16+9 =5，∴sinα= yr = −35=- 35，故答案为：- 35．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则| a⃗−b⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据平面向量的坐标表示与模长公式，计算即可．【解答】：解：向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则a⃗−b⃗⃗ =（-1，1），所以| a⃗−b⃗⃗ |= √(−1)2+12 = √2．故答案为：√2．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与模长计算问题，是基础题．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．【正确答案】：[1]±3【解析】：直接利用等比中项的应用求出结果．【解答】：解：设1与9的等比中项为t ，所以t 2=9，解得t=±3．故答案为：±3【点评】：本题考查的知识要点：等比中项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：将z=a+bi ，代入方程z 2+4i=0，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2，再结合复数的模的公式，即可求解．【解答】：解：∵z=a+bi ，a ，b∈R ，z 2+4i=0， ∴a 2+2abi-b 2+4i=0，∴ {a 2−b 2=02ab +4=0 ，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2， ∴ |z |=√a 2+b 2=2 ．故答案为：2．【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：设z=a+bi ，a ，b∈R ，将z 代入方程中，可得 {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ，b =±3√32，再结合复数模的公式，即可求解．【解答】：解：设z=a+bi ，a ，b∈R ， ∵z 2-3z+9=0，∴a 2-b 2+2abi-3a-3bi+9=0，∴ {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ， b =±3√32 ， ∴ z =32±3√32， ∴ |z |=√(32)2+(±3√32)2=3 ．故答案为：3．【点评】：本题考查了复数模的求法，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（填空题，4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，则S7=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：先由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可．【解答】：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1+a7=2a4，则S7= a1+a72×7=7a4=7，故答案为7．【点评】：本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质应用，属于基础题．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC=3km，BC=4km，且∠ACB=60°，则隧道AB长度为___ km．【正确答案】：[1] √13【解析】：应用利用余弦定理求得AB的长度即可．【解答】：解：由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AC⋅AC⋅cosC=√9+16−2×3×4×12=√13 km．故答案为：√13．【点评】：本题主要考查余弦定理及其应用，属于基础题．8.（填空题，4分）若π2≤α≤3π2，且sin（2 α+π6）= 12，则α=___ ．【正确答案】：[1]π或4π3【解析】：由已知求解α的集合，再由α的范围得答案．【解答】：解：∵sin（2 α+π6）= 12，∴ 2α+π6=π6+2kπ或2α+π6=5π6+2kπ，k∈Z．则α=kπ或α=π3+kπ，k∈Z．又π2≤α≤3π2，∴α=π或α=4π3．故答案为：π或 4π3 ．【点评】：本题考查已知三角函数值求角，是基础的计算题．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】：解：由函数的图象可知，（x 0，y 0）与（x 0+ π4 ，-y 0），纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（x 0+ π4 -x 0）= π2 ，所以T= 2πω= π2，所以ω=4．故答案为：4．【点评】：本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力． 10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：画出图形，判断P 的位置，利用向量的坐标运算求解向量的数量积即可．【解答】：解：建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为2，则B （2，0），C （2，2），D （0，2），点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，所以P （2，1）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1）， PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，1），所以 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1．故答案为：-1．【点评】：本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．11.（填空题，4分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199=0，设b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1]{97，98，99，100}【解析】：根据{a n}是等差数列，a1+a2+a3+…+a199=0可得199a100=0，即a100=0，又a1＜0，所以{a n}满足：当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，从而数列{b n}满足：当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，所以S97=S98=S99=S100，所以{b n}的前n项和S n最小时，可知n的值组成的集合，【解答】：解：由{a n}是等差数列且a1+a2+a3+…+a199=0，得199a100=0，解得a100=0，又a1＜0，所以{a n}是首项小于零的递增数列，即当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，又b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），则当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，即S97=S98=S99=S100，所以当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为{97，98，99，100}．故答案为：{97，98，99，100}．【点评】：本题主要考查等差数列的性质与前n项和，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x的解的集合是___ ．【正确答案】：[1]{- 14，14}【解析】：讨论x＞0时，方程的右边的最值，再由二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，可得方程左边的最值，即可得到所求方程的解集．【解答】：解：当x＞0时，16x+ 1x ≥2 √16x•1x=8，当且仅当x= 14时，取得等号；而16sinπxcosπx=8sin2πx≤8，当且仅当2πx=2kπ+ π2，即x=k+ 14，k∈Z，于是，当x＞0时，有且只有一个实数解x= 14，由于y=16sinπxcosπx-16x- 1x为奇函数，可得x=- 14也是方程y=0的一个解，则原方程的解集为{- 14，14}，故答案为：{- 14，14}．【点评】：本题考查方程的解的集合，注意运用基本不等式和正弦函数的值域，考查函数的奇偶性的运用，考查运算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）已知复数Z n=a n+b n i（a n、b n∈R），满足Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，Z n表示Z n的共轭复数，则Z100=___ ．【正确答案】：[1]100+2i【解析】：先求出Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，结合Z n+1=a n+1+b n+1i，得到a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，由等差数列的定义和通项公式求出a n=n，由周期性求出b100，即可得到答案．【解答】：解：因为Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i，则Z2=a2+b2i= Z1+1+2i=2+2i，所以a1=1，a2=2，b1=0，b2=2，则Z n=a n−b n i，所以Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，又Z n=a n+b n i，则Z n+1=a n+1+b n+1i，所以a n+1=a n+1，b n+1=2-b n，故a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，则a n=n，故a 100=100，因为b 1=0，b 2=2，所以b 3=0，b 4=2，•••，b 100=2，则Z 100=a 100+b 100i=100+2i ．故答案为：100+2i ．【点评】：本题考查了复数与数列的综合应用，等差数列定义以及通项公式的运用，递推数列的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-7【解析】：建立坐标系，根据 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为（a ，-2），（-a ，2），将 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值．【解答】：解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系，则B （2，-2），C （2，2），∴2 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ） OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（2，-2）+（1-λ）（2，2）=（2，2-4λ），∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1-2λ）即P 点坐标为（1，1-2λ），设M （a ，-2），则N （-a ，2），-2≤a≤2， ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1，2λ-3）， PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-a-1，2λ+1） ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1）（-a-1）+（2λ-3）（2λ+1）=1-a 2+4λ2-4λ-3，当a=±2且λ=- −42×4 = 12 时， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值-7．故答案为：-7．【点评】：本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.（单选题，4分）设复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a=0”是“z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据复数的概念可得当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．【解答】：解：复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，则“a=0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，故选：B．【点评】：本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．16.（单选题，4分）已知单位向量a⃗，b⃗⃗满足| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，则a⃗• b⃗⃗ =（）A.- 12B.-2C. 12D.2【正确答案】：C【解析】：由已知结合向量数量积的性质即可直接求解．【解答】：解：因为| a⃗ |=| b⃗⃗ |=1，| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，两边同时平方得，b⃗⃗2+4a⃗2−4a⃗•b⃗⃗ =3，．故a⃗•b⃗⃗ = 12故选：C．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质，属于基础题．17.（单选题，4分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i，则z1z2=（）A.-25B.25C.7-24iD.-7-24i【正确答案】：A【解析】：由已知求得z2，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解z1z2的值．【解答】：解：由复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3+4i，得z2=-3+4i，∴z1z2=（3+4i）（-3+4i）=（4i）2-32=-16-9=-25．故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（）A.若数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{a n}为等差数列B.若数列{a n}的前n项和S n=2n+1-2，则数列{a n}为等差数列C.数列{a n}是等差数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等差数列D.数列{a n}是等比数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等比数列【正确答案】：C【解析】：A、B选项利用和与项之间的关系求出前3项，通过前3项的规律来判断；C、D选项为等差等比数列的片段和性质．也可以通过等差等比数列的前n项和的函数性质进行判断．【解答】：解：A选项，a1=S1=a+b+c，a2=S2-S1=3a+b，a3=S3-S2=5a+b，当c≠0时，a3-a2≠a2-a1，故A选项说法错误．B选项，a1=S1=2，a2=S2-S1=4，a3=S3-S2=8，a1，a2，a3不成等差数列，所以B选项说法错误．D选项，若a n=(−1)n，则当n为偶数时，S n=0，所以S n，S2n-S n，S3n-S2n，⋯不成等比数列，所以D选项说法错误．C选项，设数列{a n}的公差为d，则（S2n-S n）-S n=（a n+1+⋯+a2n）-（a1+⋯+a n）=（a n+1-a1）+⋯+（a2n-a n）=n2d，同理可得(S(k+1)n−S kn)−(S kn−S(k−1)n)=n2d，所以C选项说法正确．故选：C．【点评】：本题考查数列中和与项之间的关系和等差、等比数列的判断，属于中档题．19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：首先利用基本不等式确定sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα 的取值范围，确定个数的上限，然后利用特殊角确定满足题意的个数即可．【解答】：解：由基本不等式可得：sinαcosβ≤sin 2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2，三式相加，可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，很明显sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα 不可能均大于12．取α=30°，β=60°，γ=45°，则sinαcosβ=14＜12，sinβcosγ=√64＞12，sinγcosα=√64＞12，则三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．20.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题， ② 是假命题D. ① 是假命题， ② 是真命题【正确答案】：D【解析】：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，满足{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但是不满足c n =sinn 是递增数列，对于 ② 根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】：解：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，∴{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但c n =sinn 不是递增数列，故为假命题，对于 ② {a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，不妨设公差为分别为a ，b ，c ， ∴a n +b n -a n-1-b n-1=a ，b n +c n -b n-1-c n-1=b ，a n +c n -a n-1-c n-1=c ，设{a n }，{b n }、{c n }的公差为x ，y ，z ， ∴ {x +y =a y +z =b z +x =c 则x=a−b+c 2 ，y= a+b−c 2 ，z= b+c−a2，故若{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，则{a n }、{b n }、{c n }都是等差数列，故为真命题，故选：D ．【点评】：本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题． 21.（问答题，12分）已知向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 的夹角为 23π，|a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2 ．（1）求 a ⃗ • b⃗⃗ 的值（2）若 2a ⃗−b ⃗⃗ 和 ta ⃗+b ⃗⃗ 垂直，求实数t 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积公式直接求解得答案；（2）依题意， (2a ⃗−b ⃗⃗)(ta ⃗+b ⃗⃗)=0 ，展开即可求得实数t 的值．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗=|a⃗||b⃗⃗|cos2π3=1×2×(−12)=−1；（2）∵ 2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，∴ (2a⃗−b⃗⃗)•(ta⃗+b⃗⃗)=0，即2ta⃗2+(2−t)a⃗•b⃗⃗−b⃗⃗2=0，∴2t-（2-t）-4=0，∴t=2．【点评】：本题考查平面向量的数量积及两向量垂直的关系，属于基础题．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3= 133，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把x=π6代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】：解：（Ⅰ）由q=3，S3= 133得：a1(1−33)1−3= 133，解得a1= 13，所以a n= 13×3n-1=3n-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n-2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x= π6时，f（x）取得最大值，所以sin（2× π6+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ= π6．则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+ π6）．【点评】：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【正确答案】：【解析】：（1）首先由正弦定理求得正弦值，然后结合大边对大角即可确定∠ABC的大小；（2）首先利用（1）的结合结合同角三角函数基本关系求得cos∠ABC的大小，然后结合余弦定理即可求得甲乙两船之间的距离．【解答】：解：（1）根据题意知，AC=24，BC=31，∠CAD=20°+40°=60°，在△ABC中，由正弦定理得，24sin∠ABC =31sin60°．解得sin∠ABC=12√331，由AC＜BC，知∠ABC为锐角，则∠ABC=arcsin12√331．（2）cos∠ABC=√1−sin2∠ABC=2331，在△BCD中，由余弦定理得，CD=√312+202−2×31×20×2331=21（海里），所以，此时甲、乙两船之间的距为21海里．【点评】：本题主要考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，解三角形的实际应用等知识，属于中等题．24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．【正确答案】：【解析】：（1）由于z1，z2是方程3x2-2x+c=0的两个复数根故z1= z2，求出θ，再根据根与系数的关系可求出m，n．（2）直接求出|z1• z2 |的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可．【解答】：解：（1）复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根，所以z1= z2，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以{2cosθ=1 sinθ=sinθ，所以cosθ= 12．m=-z1-z2=-（z1+z2）=-2cosθ-1=-2．n=z1•z2=1+sin2θ= 74．（2）|z1• z2 |=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）| =|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|= √(1+3cos2θ)(1+sin2θ)= √2+2cos2θ+34sin22θ= √3+cos2θ+34−34cos22θ= √154+cos2θ−34cos22θ= √4912−34(cos2θ−13)2∈ [√2，7√36]．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的基本概念，三角函数的有界性，是综合试题．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．【正确答案】：【解析】：（1）当k=1时，a n-1+a n+1=2a n，数列{a n}为等差数列，根据条件，由等差数列前n项公式求得即可；（2）当k=2时，a n+2+a n-2=2a n，由条件得a5，a6，由数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式可得所求和；（3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合．【解答】：解：（1）若数列{a n}为1级等差数列，即为a n+1+a n-1=2a n对一切n∈N*，n＞1都成立．则数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1=1，a3=9，可得d= a3−a13−1 = 9−13−1=4，则S n=n+ 12n（n-1）•4=2n2-n；（2）数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，可得a n+2+a n-2=2a n对一切n∈N*，n＞2都成立．a5=2a3-a1=8-2=6，a6=2a4-a2=6-0=6，a7=2a5-a3=12-4=8，…，可得数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，则S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=2n+ 12 n（n-1）•2+ 12n（n-1）•3= 52 n2- 12n；（3）∵{a n}是3级等差数列，∴a n+3+a n-3=2a n，对一切n∈N*，n＞3都成立．即2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n-3）+sin（ωn-3ω）（n∈N*），∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn-3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．，（k∈Z），cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴ω= 2kπ3∴ω∈{ω|ω= 2kπ，k∈Z}∪{ω|ω=kπ，k∈Z}．3【点评】：本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目．。

2020-2021学年上海市静安区高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共3小题，共15.0分）1. 已知复数z 1、z 2，则“z 1z 2=0”是“z 1=0或z 2=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若0<α<2π，则使sinα<√32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( )A. (−π3,π3) B. (0,π3)C. (5π3,2π)D. (0,π3)∪(5π3,2π)3. 若e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是( )A. e 1−+e 2−和e 1−−e 2−B. 3e 1−−2e 2−和−6e 1−+4e 2−C. e 1−+3e 2−和3e 1−+e 2−D. e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 和e 2⃗⃗⃗二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）4. 函数y =x 2sin(x +π2)的奇偶性是______． 5. 已知tanα=−34，则tan(α+π4)=______．6. 复数z =(1−3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______ ．7. 已知平面向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,2)，设向量c ⃗ =a ⃗ +(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则c ⃗ = ______ ． 8. 设向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ =(2,1)，|b ⃗ | =2√5，且b ⃗ 与a ⃗ 的方向相反，则b ⃗ 的坐标为______ ． 9. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(0,−2)，若(2a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数m = ______ ． 10. 函数y =1−cosx sinx的最小正周期是______ ．11. 已知cosx =−35，x ∈[0,π]，则满足条件的x = ______ .(结果用反三角记号表示)12. 若α为第三象限的角，则√1−cos2αsinα−√1+cos2αcosα=______．13. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tanA−tanB tanA+tanB =c−b c，则cosA =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）14. 设z 是实系数一元二次方程x 2−2x +2=0的根．(1)求出所有z ；(2)选取(1)中求出的一个z 值，计算z 2−z+1z 2+z+1的值．15.用“五点法”作出函数y=1−sinx，x∈[0,2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2的x的取值范围．16.求函数y=2√3cos2x2+2sin x2cos x2−√3的值域与单调增区间．17.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅(4a⃗−3b⃗ )=−6．(1)求向量a⃗与b⃗ 的夹角大小；(2)求|a⃗−2b⃗ |．18.随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是：将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角．(1)请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；(2)为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设：假设1：家具呈长方体的形状：假设2：转角两侧的过道宽度相同：假设3：墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4：家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直：假设5：过道的转角为直角：假设6：忽略家具转动时家具与墙壁、地面的摩擦影响；等等．根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内答案和解析1.【答案】C【解析】解：①若z1=0或z2=0，则z1z2=0，②若z1z2=0，设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b，c，d∈R)，∴z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i=0，∴{ac−bd=0ad+bc=0，∴a2+b2=0或c2+d2=0，∴a=b=0或c=d=0，∴z1=0或z2=0，∴z1z2=0是z1=0或z2=0的充要条件，故选：C．利用复数的运算，结合充要条件的判断方法，即可得到答案．本题考查充要条件的判断，复数的运算法则，属于中档题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数的单调性，属于中档题．根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0<α<2π，满足已知条件α的范围，最后取交集即可．【解答】解：∵0<α<2π，sinα<√32，∴0<α<π3或2π3<α<2π，①∵0<α<2π，cosα>12，∴0<α<π3或5π3<α<2π，②由①②得0<α<π3或5π3<α<2π，故选：D．3.【答案】B【解析】解：选项A：不存在实数λ使得e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ =λ(e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )，故可以作为一组基底，故A错误，选项B：因为3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ =−12(−6e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ )，所以向量共线，不能作为一组基底，故B 正确，选项C与选项D，根据向量共线定理可得向量不共线，故可以作为一组基底，故C，D 错误，故选：B．根据向量共线定理对应各个选项逐个判断即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线定理的应用，属于基础题．4.【答案】偶函数【解析】解：根据题意，设f(x)=x2sin(x+π2)=x2cosx，其定义域为R，f(−x)=(−x)2cos(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，故答案为：偶函数．根据题意，将函数的解析式变形为f(x)=x2cosx，分析函数定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．5.【答案】17【解析】解：由tanα=−34，得tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11−(−34)×1=17．故答案为：17．故答案为：17．直接利用两角和的正切求解．本题考查两角和的正切，是基础的计算题．6.【答案】−6【解析】解：z=(1−3i)2=1−9−6i=−8−6i，则z的虚部为−6，故答案为：−6．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】(−4,16)【解析】解：∵a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,2)，∴c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ =(2,4)+(−2+8)(−1,2)= (−4,16)，故答案为：(−4,16)．由平面向量a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,2)代入c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ 计算即可．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．8.【答案】(−4,−2)⃗⃗⃗⃗⃗ =√22+12=√5【解析】解：∵a⃗=(2,1)，∴|a|⃗⃗⃗⃗⃗ ，且b⃗ 与a⃗的方向相反，又∵|b⃗ | =2√5=2|a|∴b⃗ =−2a⃗=−2(2,1)=(−4,−2)故答案为：(−4,−2)⃗⃗⃗⃗⃗ =√5，再根据b⃗ 与a⃗的方向相反且b⃗ 模是与a⃗模的2倍，所以由向量模的公式，计算出|a|b⃗ =−2a⃗，可得b⃗ 的坐标．本题给出向量a⃗的坐标，b⃗ 与a⃗的方向相反且长度是a⃗的2倍，求向量b⃗ 的坐标，着重考查了平面向量的模的公式和坐标的线性运算的知识，属于基础题．9.【答案】−1【解析】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(0,−2)，(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2×(0−2m)−4=0，求得m=−1，故答案为：−1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．10.【答案】2π【解析】解：y =1−cosx sinx=2sin 2x 22sin x 2cosx 2=tan x2∵此函数的最小正周期为π12=2π 故答案为2π先利用二倍角公式将已知函数化简为y =Atanωx 型函数，再利用y =Atanωx 型函数周期计算公式即可得函数的最小正周期本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y =Atanωx 型函数的图象和性质，属基础题11.【答案】π−arccos 35【解析】解：∵cosx =−35,x ∈[0,π]，满足条件的x 为钝角，∴x =arccos(−35)=π−arccos 35，故答案为：π−arccos 35．由题意利用反余弦函数的定义性质，得出结论．本题主要考查反余弦函数的定义性质，属于基础题．12.【答案】0【解析】解：由二倍角公式可得，1+cos2α=2cos 2α，1−cos2α=2sin 2α， ∵α为第三象限的角， ∴√1−cos2αsinα−√1+cos2αcosα=−√2sinαsinα−(−√2cosα)cosα=0．故答案为：0．根据已知条件，结合二倍角公式，即可求解．本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：因为tanA−tanBtanA+tanB =c−bc，所以可得2tanBtanA+tanB =bc，由正弦定理可得2tanBtanA+tanB=sinBsinC，则2sinBcosB ⋅sinC=(sinAcosA+sinBcosB)⋅sinB，又sinB≠0，整理可得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB，即2sinCcosA=sin(A+B)=sinC，因为sinC≠0，所以可得cosA=12．故答案为：12．利用三角函数恒等变换以及正弦定理化简已知等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．14.【答案】解：(1)x2−2x+2=0，可得(x−1)2=−1，解得z=1+i；z=1−i，(2)z=1+i时，原式z2−z+1z2+z+1=2i−1−i+12i+1+i+1=i(2−3i)(2+3i)(2−3i)=313+213i；z=1−i时，z2−z+1z2+z+1=−2i−1+i+1−2i+1−i+1=−i2−3i=−i(2+3i)(2−3i)(2+3i)=313−213i．【解析】(1)利用实系数方程求解复数根即可．(2)代入复数，化简求解即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，是基础题．15.【答案】解：用“五点法”作出函数y=1−2sinx，x∈[0,2π]的简图如下：列表为：描点连线，可得函数图象如下：观察函数图像，可得使得1≤y≤2的x的取值范围为：{0}∪[π,2π]．【解析】用五点作图法画出函数图象，观察图象，即可写出满足条件的x的区间．本题考查了正弦函数的图象，考查了五点作图法，数形结合思想是高中重要的一种思想，应熟练灵活掌握，属于基础题．16.【答案】解：函数y=2√3cos2x2+2sin x2cos x2−√3=√3(1+cosx)+sinx−√3=2sin(x+π3)，因为sin(x+π3)∈[−1,1]，所以y∈[−2,2]，故函数的值域为[−2,2]，令−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπk∈Z，故函数的增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z．【解析】先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由正弦函数的有界性以及单调性求解即可．本题考查了三角函数的图象和性质，二倍角公式以及辅助角公式，三角函数有界性以及单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅(4a⃗−3b⃗ )=−6．可得8a⃗2−2a⃗⋅b⃗ −3b⃗ 2=−6，8−2×1×2×cos<a⃗⋅b⃗ >−12=−6，即cos<a⃗,b⃗ >=12，所以向量a⃗与b⃗ 的夹角大小为：π3；(2)|a⃗−2b⃗ |=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√1−4×1×2×12+4×4=√13．【解析】(1)利用已知条件，结合向量的数量积，转化求解向量的夹角即可．(2)利用向量的模的运算法则，转化求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角以及向量的模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)提出的问题为：如下图，在不同的角度θ(∠DON)下，求l的最小值，这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长l与角度θ的函数关系式l=f(θ)，并对d=2，ℎ=1时，求这个函数l=f(θ)的最小值．(2)画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：右图可知，lcosθ+ℎsinθ=d+d−ℎcosθtanθ(0<θ<π2)，所以l=d−ℎsinθcosθ+d−ℎcosθsinθ(0<θ<π2)，故矩形的长l与角度θ的函数关系式为l=d−ℎsinθcosθ+d−ℎcosθsinθ(0<θ<π2)，当d=2，ℎ=1时，l=2−sinθcosθ+2−1cosθsinθ(0<θ<π2)，所以l′=−cosθcosθ−(−sinθ)(2−sinθ)cos2θ+sin2θ−cosθ(2−cosθ)sin2θ=2sinθ−1cos2θ+1−2cosθsin2θ=(2sinθ−1)sin2θ+(1−2cosθ)cos2θcos2θsin2θ=2(sin3θ−cos3θ)−(sin2θ−cos2θ)cos2θsin2θ=2(sinθ−cosθ)(1+sinθcosθ)−(sinθ−cosθ)(sinθ+cosθ)cos2θsin2θ=(sinθ−cosθ)(2sin2θ+2sinθcosθ+2cos2θ−sinθ−cosθ)cos2θsin2θ=(sinθ−cosθ)(2+2sinθcosθ−sinθ−cosθ)cos2θsin2θ，因为0<θ<π2，则0<sinθ<1，0<cosθ<1，所以2−sinθ−cosθ>0，sinθcosθ>0，故2+2sinθcosθ−sinθ−cosθcos2θsin2θ>0，由l′>0，即sinθ−cosθ>0，解得π4<θ<π2，由l′<0，即sinθ−cosθ<0，解得0<θ<π4，所以l在(0,π4)上单调递减，在(π4,π2)上单调递增，故当θ=π4时，l取得最小值为2−sinπ4cosπ4+2−cosπ4sinπ4=(2−√22)×√2(2−√22)√2=4√2−2，所以当d=2，ℎ=1时，函数ℎ=f(θ)的最小值为4√2−2．【解析】(1)作出图形，提出问题即可；(2)利用三角函数的知识结合题中的等量关系，求出矩形的长l与角度θ的函数关系式l= f(θ)，然后由导数求解函数的最值即可．本题考查了函数模型的旋转应用，开放性问题对学生的能力要求较高，涉及了三角函数的化简，三角恒等变换的应用，利用导数研究函数的单调性与最值问题，综合性强，考查了逻辑推理能力、化简运算能力，属于难题．第11页，共11页。

高一数学下学期期末练习试题沪教版试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校2021年复兴高级高一年级第二学期期末数学练习卷本试卷共有21道试题，总分值100分，考试时间90分钟。

一、填空题〔本大题总分值36分〕 1、函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 ________2、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，那么点P 的坐标是_______3、行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为__________4、假设行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，那么x 满足的条件是___________5、假设向量a b 、满足1,2,a b ==且a 与b 的夹角为3π，那么a b +＝____________ 6、函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值是______________7、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.假设当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，那么满足()0f x >的x 的取值范围是__________________8、方程210x-=的解可视为函数y x =+1y x=的图像交点的横坐标。

假设方程440xax +-=的各个实根12,,(4)k x x x k ≤所对应的点⎪⎪⎭⎫⎝⎛14,x x i 〔I=1,2,…，k 〕均在直线y x =的同侧，那么实数a 的取值范围是_________________9、当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，那么实数k 的取值范围是___________10、在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

2019-2020学年上海中学高一(下)期末数学试卷

2019-2020学年上海中学高一（下）期末数学试卷1.（填空题，3分）在数列{a n}中，若a1=1，a n+13=a n3+1，则a n=___ ．2.（填空题，3分）在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第___ 项．3.（填空题，3分）在等差数列{a n}中，前15项的和S15=90，则a8=___ ．4.（填空题，3分）等比数列{a n}满足a7a8a9=27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15=___ ．5.（填空题，3分）在等差数列{a n}中，a1＞0，S4=S9，则S n取最大值时，n=___ ．6.（填空题，3分）数列{a n}由a n= { n，n为奇数a n2，n为偶数（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第___ 项．7.（填空题，3分）已知方程cos2x+√3sin2x=k+1在区间[0，π2]内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是___ ．8.（填空题，3分）已知数列{a n}中a1=1且a n+1=a na n+1（n∈N），a n=___ ．9.（填空题，3分）计算n→∞[11×3+12×4+13×5+⋯+1n(n+2)] =___ ．10.（填空题，3分）数列{a n}中，当n为奇数时，a n=5n+1，当n为偶数时，a n= 2n2，则这个数列的前2n项的和S2n=___11.（填空题，3分）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是-x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n=___ ；若x=1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n=___ ．12.（填空题，3分）若数列{a n}，{b n}满足a1=1，b1=1，若对任意的n∈N*，都有a n+1=a n+b n+ √a n2+b n2，b n+1=a n+b n- √a n2+b n2，设c n= 13n (1a n+1b n)，则无穷数列{c n}的所有项的和为___ ．13.（单选题，3分）用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）”．从“n=k到n=k+1”左端需增乘的代数式为（）A.（2k+1）（2k+2）B.2（2k+1）C. 2k+1k+1D. 2k+3k+114.（单选题，3分）“b2=ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.既不充分也不必要D.充分必要15.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正是正整数，则q的值可以是（）有理数．若a1=d，b1=d2，且a12+a22+a32b1+b2+b3A. 17B. √26C. 13D. 1216.（单选题，3分）S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A.任一项均不为0B.必有一项为0C.至多有一项为0D.或无一项为0，或无穷多项为017.（问答）有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c-9依次成等差数列，求a，b，c．18.（问答）解下列三角方程：（1）4cos2x-4cosx+1=0；（2）sin2x+3sinxcosx+1=0；（3）sin2x-12（sinx-cosx）+12=0．19.（问答）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．（1）求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．（2）求数列{ a n2n−120.（问答）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n 是6和a n 的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；（2）若对任意的n∈N*，都有S n ∈[s ，t]，求t-s 的最小值．21.（问答）对于实数a ，将满足“0≤y ＜1且x-y 为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a ，无穷数列{a n }满足如下条件：a 1=||a||，a n+1= {||1a n ||，a n≠00，a n =0其中n=1，2，3，…（1）若a= √2 ，求数列{a n }；（2）当a ＞14 时，对任意的n∈N *，都有a n =a ，求符合要求的实数a 构成的集合A ．（3）若a 是有理数，设a= p q （p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有a n =0成立，并证明你的结论．。

【数学】上海市普陀区曹杨第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试试卷 (解析版)

上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一，填空题1．已知复数z＝1﹣i,则Im z＝．【结果】﹣1【思路】∵复数z＝1﹣i,∴Im z＝﹣1,故结果为：﹣1．2．已知复数z满足,且|z+i|＝1,则z＝．【结果】1﹣i【思路】设复数z＝a+bi（a,b∈R）,∵,∴a+bi+a﹣bi＝2,∴a＝1,∴z＝1+bi,∵|z+i|＝|1+（b+1）i|＝＝1,∴b＝﹣1,∴z＝1﹣i,故结果为：1﹣i．3．已知向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,则2﹣＝．【结果】（5,7）【思路】∵向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,∴2﹣＝2（2,4）﹣（﹣1,1）＝（5,7）．故结果为：（5,7）．4．若cos（θ+）＝1,则cosθ＝．【结果】【思路】因为cos（θ+）＝1,所以sin（θ+）＝0,所以cosθ＝cos[（θ+）﹣]＝cos（θ+）cos+sin（θ+）sin＝1×+0×＝．故结果为：．5．若向量,,,则＝．【结果】0【思路】向量,,,可得,所以1+2+4＝5,所以＝0．故结果为：0．6．已知{a n}为等差数列,{a n}地前5项和S5＝20,a5＝6,则a10＝．【结果】11【思路】∵{a n}为等差数列,∴S5＝5a3＝20,∴a3＝4,∵a5＝6,a3＝4,∴2d＝a5﹣a3＝6﹣4＝2,即d＝1,∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．故结果为：11．7．已知{a n}为等比数列,首项和公比均为,则{a n}前10项和为．【结果】【思路】依据题意,{a n}为等比数列,首项和公比均为,则S10＝＝。

故结果为：．8．设O为坐标原点,A（2,0）,B（﹣3,4）,则向量在上地投影为　﹣3　．【结果】-3【思路】因为A（2,0）,B（﹣3,4）,所以,所以在上地投影为．故结果为：﹣3．9．已知正方形ABCD地边长为3,点E,F分别在边BC,DC上,BC＝3BE,,若,则实数λ地值为．【结果】【思路】,,所以,解得．故结果为：．10．已知数列{a n}为等比数列,函数过定点（a1,a2）,设b n＝log2a n,数列{b n}地前n项和为S n,则S n地最大值为　1　．【结果】1【思路】函数过定点（a1,a2）,令x＝2＝0,解得x＝2,当x＝2时,y＝1,所以a1＝2,a2＝1,由于数列{a n}为等比数列,,所以公比q＝,所以,则b n＝log2a n＝2﹣n,由于b1＝1,b2＝0,b3＝﹣1,......,所以S n地最大值为：S2＝b1+b2＝1．故结果为：1．11．已知函数,则地值为．【结果】2020【思路】依据题意,函数,则f（1﹣x）＝（1﹣x﹣）3+1＝﹣（x﹣）3+1,故f（x）+f（1﹣x）＝2,则＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×1010＝2020。

〖精选3套试卷〗2020学年上海市静安区高一数学下学期期末考试试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，AB 是圆O 的直径，OC AB⊥，假设你往圆内随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．12πB．1πC．13πD．1π2．若变量x，y满足约束条件824x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x=-的最大值为a，最小值为b，则-a b的值是A．48B．30C．24D．163．已知平面四边形ABCD满足225AB AD-=，3BC=，1AC BD⋅=-，则CD的长为（）A．2 B ．6C．7D．224．一组数据0，1，2，3，4的方差是A．65B．2C．2 D．45．已知变量，满足约束条件则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．66．设函数()222646cosx x xf xx xπ⎛⎫-++⎪⎝⎭=+的最大值为M，最小值为m，则M与m满足的关系是（）A．2M m-=B．2M m+=C．4M m-=D．4M m+=7．在平行四边形ABCD中，24AB BC==，BAD3π∠=，E是CD的中点，则AC EB⋅=（）A．2 B．-3 C．4 D．68．已知A、B是球O的球面上的两点，AOB90∠=，点C为该球面上的动点，若三棱锥O ABC-体积的最大值为43，则球O的表面积为( )A ．16πB ．36πC ．64πD ．144π9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ︒=，3a =，2b =，则B =（）A ．75︒B ．30︒C ．45︒D ．135︒10．函数()323x f x x =+-的零点所在的区间是（）． A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（） A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知向量||||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b -=（） A ．3B ．2C ．3D ．1二、填空题：本题共4小题13．在ABC ∆中，3AC AB ==，30B =︒，则BC 的值为________14．若方程22224230x y mx y m ++-++=表示圆，则实数m 的取值范围是______.15．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111D C B A （含边界）内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海市同济大学第一附属中学2024届数学高一下期末联考试题含解析

上海市同济大学第一附属中学2024届数学高一下期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知向量1a =，2b =，a ，b 的夹角为45°，若c a b =+，则a c ⋅=（） A ．2B ．322C ．2D ．32．已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <3．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A ．12倍 B ．2倍 C ．24倍 D ．22倍 4．已知三条相交于一点的线段,,PA PB PC 两两垂直且,,A B C 在同一平面内，P 在平面ABC 外、PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心5．如图，在ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是A ．1144AD a b =+ B ．5144AD a b =+C ．3144AD a b =+ D ．5144AD a b =- 6．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于（） A ．55B ．255C ．55-D ．255-7．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有（） A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形8．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在[40,60)的有60人，则参赛学生的总人数为（）A ．100B ．120C ．150D ．2009．已知集{}1()22xA x =<，集合{}2B x x =<，则A B =A ．(-2,-1)B ．(-1,0)C ．(0,2)D ．(-1,2)10．已知函数257lg 66y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点是1tan x α=和2tan x β=（,αβ均为锐角），则αβ+=（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

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上海市南汇中学高一（下）期末数学试卷八

一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）
1．（3分）（2013春?浦东新区校级期末）若α=2013°，则与α具有相同终边的最小正角
为．

2．（3分）（2010春?闸北区期末）一个扇形的半径是2cm，弧长是4cm，则圆心角的弧度数
为．

3．（3分）（2013?虹口区一模）已知sinα=3cosα，则=．

4．（3分）（2013春?浦东新区校级期末）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第100个“金鱼”图需要火柴棒的根数为．

5．（3分）（2013春?浦东新区校级期末）已知△ABC的三边长成公比为
△ABC的最大内角的大小为（用反三角函数表示）

2的等比数列，则6．（3分）（2012?辽宁）已知等比数列{an}为递增数列，且a5=a10，2（an+an+2）
=5an+1，则
数列{an}的通项公式an=

7．（3分）（2013?杨浦区一模）设数列{an}（n∈N）是等差数列．若a2和a2012是方程4x
﹣8x+3=0的两根，则数列{an]的前2013项的和S2013=

8．（3分）（2013春?浦东新区校级期末）在△ABC中，A，B，C

成等差数列，则
=．

9．（3分）（2012?普陀区一模）给出问题：已知△ABC满足a?cosA=b?cosB，试判断△ABC的
形状，某学生的解答如下：
（i）a?
2222222*2?a（b+c﹣a）=b（a+c﹣b）?（a﹣b）?c=22222222222（a﹣b）（a+b）?c=a+b
故△ABC是直角三角形．
（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于
2RsinAcosA=2RsinBcosB?sin2A=cos2B?A=B
故△ABC是等腰三角形．
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