国防科技大学 国防科技大 2001年离散数学 考研真题及答案解析
2001年考研数学一试题答案与解析
2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ). (2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f +∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t 有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x x e e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可. 直接将arctan x展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑ =12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑. 六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==.于是由斯托克斯公式得 222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22333Sy z z x x y dS --+----⎰⎰ =(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dzdxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt =-将()V t 与()S t 的表达式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ① (0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-. 下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有 112211222132110,0,0,0.s s st k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ (*) 因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A EB E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。
2001考研数二真题及解析
2001考研数二真题及解析考研的小伙伴们，一提到数二真题，那可真是让人又爱又恨啊！今天咱们就来好好唠唠 2001 年考研数二的真题。
记得我当年考研的时候，数学一直是我心里的一块大石头。
特别是数二，那难度，真不是盖的！有一次，我在图书馆做一套模拟题，做得那叫一个抓耳挠腮，旁边的同学都投来了同情的目光。
咱们说回2001 年的数二真题。
先看看选择题，有些题目看似简单，可一不留神就容易掉进陷阱。
比如说有一道关于函数连续性的选择题，表面上是常见的概念，但它在细节处做了文章，需要我们对定义理解得特别透彻。
再说说填空题，那也是暗藏玄机。
有一题是关于曲线的渐近线，这可需要我们对各种曲线的性质了如指掌，一个小疏忽，答案就错了。
大题部分更是挑战满满。
像那道求极限的题目，需要我们灵活运用各种求极限的方法，什么洛必达法则、等价无穷小替换，一个都不能少。
我当时做这道题的时候，算了好几遍，草稿纸都快写满了，才得出正确答案。
还有一道关于积分的大题，综合性特别强，不仅考查了基本的积分公式，还涉及到换元法、分部积分法。
这就要求我们在平时的复习中，要把各种方法都练得滚瓜烂熟，才能在考场上应对自如。
解析这些真题的时候，会发现每一道题都有它的出题意图和考点。
通过仔细分析，我们能找到自己的薄弱环节，然后有针对性地进行复习。
比如说，如果在某一类题型上总是出错，那就得多找一些类似的题目来加强练习。
总之，2001 年考研数二真题是一份非常宝贵的复习资料。
通过认真研究这些真题，我们能够更好地了解考试的难度和题型，为自己的考研之路打下坚实的基础。
所以，小伙伴们，别害怕真题的挑战，勇敢地去面对它，相信自己一定能在数学的战场上取得胜利！就像我当年一样，虽然过程很艰辛，但坚持下来，总会有收获的！加油吧！。
2001年考研数学二试题[卷]及的答案解析
![2001年考研数学二试题[卷]及的答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/abbcb872852458fb770b56a1.png)
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）213lim21-++--→x x xx x ＝______．【答案】6-【考点】洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：2112(1)limlim 2(1)(2)x x x x x x x →→-=+--+112x x →=+6=- 方法二：使用洛必达法则计算21lim2x x x →+-12121321lim 1++---=→x x x x 623221221-=--=.（2）设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为______． 【答案】022=+-y x【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线 【难易度】★★ 【详解】解析：在等式2cos()1x yexy e +-=-两边对x 求导,得2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将1,0==y x 代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为11,2y x -=即 x −2y +2=0. （3）x x x x d cos )sin (22π2π23⎰-+＝_______．【答案】8π 【考点】定积分的换元法 【难易度】★★【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算. 在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故()()322322222222221sin cos cos sin cos sin 24x x xdx x x x x dx xdx ππππππ---+=+=⎰⎰⎰ 221(1cos 4)8x dx ππ-=-⎰.8π=（4）过点)0,21(且满足关系式11in arcs 2=-+'xyx y 的曲线方程为______． 【答案】1arcsin 2y x x =-【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:原方程'arcsin 1y x =可改写为()'arcsin 1,y x =两边直接积分,得arcsin y x x C =+ 又由1()0,2y =解得1.2C =- 故所求曲线方程为：1arcsin .2y x x =- 方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x=解得ln arcsin ln arcsin 1arcsin 1arcsin 1(),arcsin x x y e C e dx x e C e dx x C x x--⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰又由1()0,2y =解得1.2C =- 故曲线方程为：1arcsin .2y x x =-（5）设方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a ＝______．【答案】2-【考点】非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有2111112111011311201112a aA a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦()()()()1120113,001222a a a a a a -⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦可见,只有当a =−2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有21111(2)(1)0,11a a a a a=+-=解得2-=a 或1=a .由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当1=a 时,原方程无解,因此只能是2-=a .二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设⎩⎨⎧>≤=,1||,0,1||,1)(x x x f 则)]}([{x f f f 等于（ ） （A ）0．（B ）1．（C ）⎩⎨⎧>≤.1||,0,1||,1x x（D ）⎩⎨⎧>≤.1||,1,1||,0x x【答案】B 【考点】复合函数 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。
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2001考研数学一试题及答案解析2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设 y= e x (C1 sin x + C2 cos x) ( C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设 r= x 2 + y 2 + z 2 ,则 div(gradr)(1, ?2 , 2 )=_____________.(3)交换二次积分的积分次序: (4)设矩阵 A 满足 A (5) 设随机变量2∫0 ?1dy ∫1? y 2f ( x, y )dx ＝_____________.+ A ? 4 E = 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A ? E ) ?1 =_____________.X 的方差是 2 ,则根据切比雪夫不等式有估计yP{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤_____________. 二、选择题(本题共 5 小题每小题 3 分,满分 15 分.) 本题共小题,每小题满分 (1)设函数则yf ( x) 在定义域内可导, y = f ( x) 的图形如右图所示,Ox= f ′( x) 的图形为(2)设 (A)f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 f x′ (0,0) = 3, f y′ (0,0) = 1 ,则d z |(0,0) = 3dx + dy .(B) 曲面 z= f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为{3,1,1}.(C) 曲线 ?? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{1,0,3}. ? y=0 ? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{3,0,1}. ? y=0(D) 曲线 ?(3)设 (A)f (0) = 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为1 f (1 ? cosh) 存在. h →0 h2 1 (C) lim 2 f ( h ? sinh) 存在. h →0 h lim1 f (1 ? eh ) 存在. h →0 h 1 (D) lim [ f (2h) ? f (h)] 存在. h →0 h(B)lim?1 ?1 (4)设 A = ? ?1 ? ?11 1 1? ?4 ? ?0 1 1 1? ,B = ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?00 0 0? 0 0 0? ?,则 A与 B 0 0 0? ? 0 0 0?(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C)1 . 2(D) 1.三、(本题满分 6 分) 求arctan e x ∫ e 2 x dx .四、(本题满分 6 分) 设函数 z= f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) = 1 ,.?f ?f |(1,1) = 2 , |(1,1) = 3 , ? ( x) = f ( x, ?x ?y f ( x, x)) .求d 3 ? ( x) dxx =1五、(本题满分 8 分)∞ ? 1+ x arctan x, x ≠ 0, (?1) n 设 f (x ) = ? x 将 f (x ) 展开成 x 的幂级数,并求级数∑的和. 2 x = 0, 1, n =1 1 ? 4 n ?2六、(本题满分 7 分) 计算 I 面= ∫ ( y 2 ? z 2 )dx + (2 z 2 ? x 2 )dy + (3x 2 ? y 2 )dz ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱Lx + y = 1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向.七、(本题满分 7 分) 设f ( x) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ′′( x) ≠ 0 ,试证:(1)对于 (?1,1) 内的任一 x ≠ 0 ,存在惟一的θ ( x ) ∈ (0,1) ,使 f (x ) = f (0) + xf ′(θ ( x ) x ) 成立; (2) lim θ ( x ) =x →01 . 2八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t ) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z= h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) (设 h(t )长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分6 分) 设α 1 , α 2 , ? , α s 为线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, β1= t1α1 + t2α 2 , β 2 = t1α 2 + t2α 3 ,? ,β s = t1α s + t2α1 ,其中 t1 ,t 2 为实常数.试问 t1 ,t 2 满足什么条件时, β 1 , β 2 ,?, β s 也为 Ax = 0 的一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组x, Ax, A (1)记 P =（ x, Ax, A (2)计算行列式22x 线性无关,且满足 A3 x = 3 Ax ? 2 A 2 x .x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A = PBP ?1 ; A+ E .十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ ( λ > 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p ( 0 < p < 1 ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量( X , Y ) 的概率分布.十二、(本题满分 7 分) 设总体X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ( σ > 0 ), 从该总体中抽取简单随机样本n 1 2n ∑ X i ,求统计量 Y = ∑ ( X i + X n+i ? 2 X ) 2 的 2n i =1 i =1X 1 , X 2 , ? , X 2n ( n ≥ 2 ),其样本均值为 X =数学期望 E (Y ) .2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1 , r2= 1 ± i ,从而得知特征方程为(r ? r1 )(r ? r2 ) = r 2 ? (r1 + r2 )r + r1r2 = r 2 ? 2r + 2 = 0 .由此,所求微分方程为y '' ? 2 y ' + 2 y = 0 .(2)【分析】先求 grad gradr. gradr= grad ?? ?r ?r ?r ? ? x y z ? , , ? = ? , , ?. ? ?x ?y ?z ? ? r r r ?? x ? y ? z ( )+ ( )+ ( ) ?x r ?y r ?z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 + y 2 + z 2 2 ? 3 )+( ? 3 )+( ? 3) = ? = . r r r r r r r r3 r再求divgrad gradr= grad=(于是divgrad (1, ?2,2) = gradr| grad2 2 |(1,?2,2) = . r 3y ≤0时(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 ?1 ≤1 ? y ≤2 .由此看出二次积分∫ dy ∫?121? yf ( x, y )dx 是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为∫0 ?1dy ∫21? yf ( x, y )dx = ∫∫ f ( x, y )dxdy .D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D :?1 ≤ y ≤ 0,1 ? y ≤ x ≤ 2 .见图.现可交换积分次序原式= ?0 ?1 2 2 0 2 1? x∫dy ∫1? yf ( x, y )dx = ? ∫ dx ∫11? xf ( x, y )dy = ∫ dx ∫1f ( x, y )dy .(4)【分析】矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 因为故按定义知( A ? E )( A + 2 E ) ? 2 E = A2 + A ? 4 E = 0 , ( A ? E )( A + 2 E ) = 2 E ,即 ( A ? E ) ?1 = 1 ( A + 2E) . 2 ( A ? E) ? A + 2E = E. 2(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{ X ? E ( X ) ≥ε } ≤于是D( x)ε 2,P{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤D( x) 1 = . 22 2二、选择题 (1)【分析】当 x < 0 时, f ( x ) 单调增 ? f ( x) ≥ 0 ,(A),(C)不对;'当 x > 0 时, f ( x ) :增——减——增 ? f ( x ) :正——负——正,(B)不对,(D)对.'应选(D). (2)【分析】我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设 Bf ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 ? f ( x, y ) 在(0,0)处可f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数?f (0, 0) ?f (0, 0) , ,不保证曲面 z = f ( x, y ) 在 ?x ?y? ? ?f (0, 0) ?f (0, 0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ± ? ，， 1? = ± {3,1,-1}与{3,1,1}不 ? 与 ?y ? ?x ?共线,因而(B)不成立.? x = t, ? 关于(C),该曲线的参数方程为 ? y = 0, ? z = f (t , 0), ?{t ', 0,因此,(C)成立.它在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为d f (t , 0)} |t = 0 = {1, 0, f x' (0, 0)} = {1, 0,3} . dt(3)【分析】当f ( x) f ( x) f ( x) ? ? lim = lim ?. x →0 x →0+ x →0 ? x x x 1 f (1 ? cos h) 1 ? cos h 1 f (t ) 关于(A): lim 2 f (1 ? cos h) = lim ? t = 1 ? cos h lim , 2 h →0 h h → 0 1 ? cos h h 2 t →0 + t 1 由此可知 lim 2 f (1 ? cos h) ? ? f +' (0) ? . h →0 h f (0) = 0 时, f ' (0) = lim 若f ( x) 在 x = 0 可导 ? (A)成立,反之若(A)成立 ? f +' (0)'? ? f ' (0)? .如 f ( x) =| x | 满足(A),但 f (0) 不 ? . 关于(D):若 f ( x ) 在 x = 0 可导, ?1 f (2h) f (h) lim [ f (2h) ? f (h)] = lim[2 ? ] = 2 f ' (0) ? f '(0) . h →0 h h →0 2h h? (D)成立.反之(D)成立 ? lim( f (2h) ? f (h)) = 0 ? f ( x) 在 x = 0 连续, ? f ( x) 在 x = 0 可h →0导.如 f ( x ) = ? 再看(C):? 2 x + 1, x ≠ 0 x=0 ? 0,满足(D),但 f ( x ) 在 x = 0 处不连续,因而 f (0) 也不 ? .'lim1 h ? sin h f (h ? sin h) h ? sin h f (t ) f (h ? sin h) = lim ? = lim ? (当它们都 ? 时).2 2 h →0 h h →0 h →0 h h ? sin h h2 t注意,易求得 limh ? sin h f (t ) = 0 .因而,若 f ' (0) ? ? (C)成立.反之若(C)成立 ? lim (即 2 h →0 t →0 h t f (t ) ' f ' (0) ? ).因为只要有界,任有(C)成立,如 f ( x ) =| x | 满足(C),但 f (0) 不 ? . t因此,只能选(B).(4)【分析】由| λ E ? A |= λ 4 ? 4λ 3 = 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B 相似. 作为实对称矩阵,当 A ?B 时,知 A 与 B 有相同的特征值,从而二次型 xT Ax 与 xT Bx 有相同的正负惯性指数,因此 A 与 B 合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如?1 0 ? ?1 0 ? A=? ? 与 B = ?0 3 ? , ?0 2? ? ?它们的特征值不同,故 A 与 B 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 A 与 B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确 X 和 Y 的关系: X+ Y = n ,即 Y = n ? X ,在此基础上利用性质:相关系数ρ XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 X 与 Y 之间存在线性关系,即 Y = aX + b (其中 a, b 是常数),且当 a > 0 时, ρ XY = 1 ;当 a < 0 时, ρ XY = ?1 ,由此便知ρ XY = ?1 ,应选(A). 事实上, Cov ( X , Y ) = Cov ( X , n ? X ) = ? DX , DY = D ( n ? X ) = DX ,由此由相关系数的定义式有ρ XY =Cov( X , Y ) = DX DY? DX = ?1 . DX DY三、【解】1 1 ?2 x de x x ?2 x x ] 原式= ? ∫ arctan e d (e ) = ? [e arctan e ? ∫2 x 2 2 e (1 + e 2 x )1 ?2 x de x de x x = ? (e arctan e ? ∫ 2 x + ∫ ) 2 e 1 + e2 x=?1 ?2 x (e arctan e x + e ? x + arctan e x ) + C . 2四、【解】求先求 ? (1) =f (1, f (1,1)) = f (1,1) = 1 .d 3 ? ( x) |x =1 = 3? 2 (1)? ' (1) = 3? ' (1) ,归结为求 ? '(1) .由复合函数求导法 dx d ? ' ( x) = f1' ( x, f ( x, x)) + f 2' ( x, f ( x, x)) f ( x, x) , dx? ' (1) = f1' (1,1) + f 2' (1,1)[ f1' (1,1) + f 2' (1,1)] .注意f1' (1,1) =?f (1,1) ?f (1,1) = 2 , f 2' (1,1) = =3. ?x ?y,因此? ' (1) = 2 + 3(2 + 3) = 17d 3 ? ( x) |x =1 = 3 ×17 = 51 . dx2五、【分析与求解】关键是将 arctan x 展成幂级数,然后约去因子 x ,再乘上 1 + x 并化简即可. '直接将 arctan x 展开办不到,但 (arctan x ) 易展开,即(arctan x)' =x∞ 1 = ∑ (?1) n x 2 n , | x |< 1 , 1 + x 2 n =0①积分得arctan x = ∫ (arctan t )' dt = ∑ (?1) n ∫ t 2 n dt = ∑x 0 n =0 0∞(?1) n 2 n +1 x , x ∈ [?1,1] . ② n = 0 2n + 1∞因为右端积分在 x = ±1 时均收敛,又 arctan x 在 x = ±1 连续,所以展开式在收敛区间端点x = ±1 成立. 1 + x2 现将②式两边同乘以得 x∞ 1 + x2 (?1) n 2 n ∞ (?1)n 2 n ∞ (?1) n x 2 n + 2 arctan x = (1 + x 2 )∑ x =∑ x +∑ x 2n + 1 n = 0 2n + 1 n = 0 2n + 1 n =0(?1) n 2 n ∞ (?1)n ?1 2 n x +∑ x =∑ n = 0 2n + 1 n = 0 2n ? 1∞=1 +∑ (?1) ( 2n + 1 ? 2n ? 1) xn n =1∞112n= 1+ ∑(?1) n 2 2 n x 2 n =1 1 ? 4n∞,x ∈ [?1,1] , x ≠ 0上式右端当 x = 0 时取值为 1,于是f ( x) = 1 + ∑∞(?1) n 2 2 n x , x ∈ [?1,1] . 2 n =1 1 ? 4n∞上式中令 x = 1 ?(?1) n 1 1 ππ 1 ∑ 1 ? 4n2 = 2 [ f (1) ? 1] = 2 (2 × 4 ? 1) = 4 ? 2 . n =1y+ z = 2上L所六、【解】用斯托克斯公式来计算.记 S 为平面 x +为围部分.由 L 的定向,按右手法则 S 取上侧, S 的单位法向量n = (cos α , cos β , cos γ ) =于是由斯托克斯公式得1 (1,1,1) . 3cos γ ? ?z 3x 2 ? y 2 dScos α I = ∫∫Scos β ? ?y 2 z 2 ? x2? ?x y2 ? z2=∫∫ [(?2 y ? 4 z )S1 1 1 + ( ?2 z ? 6 x ) + (?2 x ? 2 y ) ]dS3 3 3=?2 2 ∫∫ (4 x + 2 y + 3z )dS (利用x + y + z = 2) ?3 ∫∫ (6 + x ? y)dS .3 S S于是'2 '2 1+ Zx + Z y = 1+1+1 = 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得I =?2 ∫∫ (6 + x ? y ) 3dxdy = ?2∫∫ (6 + x ? y)dxdy ,3 D D | x | + | y |≤ 1 (图）.由 D 关于 x, y 轴的对称性及被积函数的奇其中 D 围 S 在 xy 平面上的投影区域偶性得∫∫ ( x ? y)dxdy = 0D?I = ?12∫∫ dxdy = ?12( 2) 2 = ?24 .D七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, ? x ∈ (1, ?1) ,x ≠ 0 , ? θ∈ (0,1) ,使f ( x) = f (0) + xf ' (θ x)(θ与x 有关);又由 f '' ( x) 连续而 f '' ( x) ≠ 0 , f'' ( x) 在 (1, ?1) 不变号, f ' ( x) 在 (1, ?1) 严格单调, θ唯一. (2)对f ' (θ x) 使用 f '' (0) 的定义.由题(1)中的式子先解出 f ' (θ x) ,则有f ' (θ x) =再改写成f ( x) ? f (0) . x f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) . xf ' (θ x)? f ' (0) =f ' (θ x) ? f ' (0) f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) , ?θ = x2 θx解出θ ,令 x → 0 取极限得1 '' f (0) 1 f ( x) ? f (0) ? xf (0) f (θ x) ? f (0)2 lim θ= lim / lim = '' = . 2 x →0 x →0 x→0 2 x f (0) θx' ' '八、【解】先求(1)设 t 时刻雪堆的体积为 V (t ) ,侧面积为S (t ) . t 时刻雪堆形状如图所示S (t ) 与 V (t ) .侧面方程是z = h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) h 2 (t ) (( x, y ) ∈ Dxy : x 2 + y 2 ≤ ). 2 h(t ) ??z 4 x ?z 4y =? , =? . ?x h(t ) ?y h(t )?S (t ) = ∫∫Dxy?z 2 ?z 2 h 2 (t ) + 16( x 2 + y 2 ) 1 + ( ) + ( ) dxdy = ∫∫ dxdy . ?x ?y h(t ) Dxy作极坐标变换: x = r cos θ , y = r sin θ ,则Dxy : 0 ≤θ≤ 2π , 0 ≤ r ≤1 h(t ) . 2S (t ) =?1 h (t ) 1 2π dθ∫2 h 2 (t ) + 16r 2 rdr ∫0 0 h(t )3 h (t ) 2π 12 13π 2 ? [h (t ) + 16r 2 ] 2 |0 2 = h (t ). h(t ) 48 12 1=用先二后一的积分顺序求三重积分V (t ) = ∫h(t )dz∫∫ dxdy ,D( x)其中 D ( z ):2( x 2 + y 2 ) 1 ≤ h(t ) ? z (t ) ,即 x 2 + y 2 ≤ [h 2 (t ) ? h(t ) z ] . h(t ) 2V (t ) = ∫h (t )?π2[h 2 (t ) ? h(t ) z ]dz =π1 π [h3 (t ) ? h(t )3 ] = h3 (t ) .2 2 4 dV = ?0.9 S dt(2)按题意列出微分方程与初始条件.dV ,它与侧面积成正比(比例系数 0.9),即 dt π 2 dh 13π 2 将 V (t ) 与 S(t ) 的表达式代入得 3h (t ) = ?0.9 h (t ) ,即 4 dt 12 dh 13 =? . dt 10 体积减少的速度是 ?①②h(0) = 130 .(3)解①得 h(t ) = ? 令 h(t ) = 0 ,得 t13 t +C . 10由②得C = 130 ,即 h(t ) = ?13 t + 130 . 10= 100 .因此,高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时.九、【解】由于β i (i= 1, 2? s ) 是α1 , α 2 ,?α s 线性组合,又α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知β i (i = 1, 2? s ) 均为 Ax = 0 的解. 从α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的基础解系,知 s = n ? r ( A) . 下面来分析β1 , β 2 ,? β s 线性无关的条件.设 k1β1 + k 2 β 2 + ?? k s β s = 0 ,即(t1k1 + t2 ks )α1 + (t2 k1 + t1k2 )α 2 + (t2 k2 + t1k3 )α 3 + ? + (t2 ks ?1 + t1k s )α s = 0 .由于α1 , α 2 ,?α s 线性无关,因此有?t1k1 + t2 k s = 0, ?t k + t k = 0, ?2 1 1 2 ? ?t2 k2 + t1k3 = 0, ? ? ? ?t2 ks ?1 + t1k s = 0. ?因为系数行列式(*)t1 0 0? 0 t2 t2 t1 0 ? 0 0s 0 t2 t1 ? 0 0 = t1s + (?1) s +1 t2 ,? ? ? ?? 0 0 0? t2 t1所以当 t1s s + (?1) s +1 t2 ≠ 0 时,方程组(*)只有零解 k1 = k2 = ? = ks = 0 . 从而β1 , β 2 ,? β s 线性无关.十、【解】(1)由于 AP= PB ,即A( x, Ax, A2 x) = ( Ax, A2 x, A3 x) = ( Ax, A2 x,3 Ax ? 2 A2 x)?0 0 0 ? = ( x, Ax, A x) ?1 0 3 ? , ? ? ?0 1 ? 2 ? ? ?2?0 0 0 ? ? ? . 所以 B = 1 0 3 ? ? ? ?0 1 ? 2 ? ?(2)由(1)知 A ?B ,那么 A + E ? B + E ,从而1 0 0 | A + E |=| B + E |= 1 1 3 = ?4 . 0 1 ?1m = m | X = n} = Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,? . 十一、【解】 (1) P{Y (2) P{ X= n, Y = m} = P{ X = n}P{Y = m | X = n}=λnn!m e ? λ ? Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,?.十二、【解】易见随机变量 ( X 1 +X n +1 ) , ( X 2 + X n + 2 ) , ? , ( X n + X 2 n ) 相互独立都服从正态分布N (2 ? , 2σ 2 ) .因此可以将它们看作是取自总体 N (2 ? , 2σ 2 ) 的一个容量为 n 的简单随机样本.其样本均值为1 n 1 2n ( X i + X n +i ) = ∑ X i =2 X , ∑ n i =1 n i =1 1 n 1 ∑ ( Xi + X n +i ? 2 X ) 2 = n ? 1 Y . n ? 1 i =11 Y ) = 2σ2 ,即 E (Y ) = 2(n ? 1)σ 2 . n ?1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故 E (。
2001年考研数学二试题答案与解析
考生还有更方便的解法，事实上，等式的左端等于 ( y arcsin x)' , 关系式变成
( y arcsin x)' =1，两边积分得
y arcsin x = x + C,
再以
y
⎛⎜⎜⎜⎝ 12 ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0代入得C
=
−
1 2
.
（5）设方程 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝11a
1 a 1
11a⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
x t−sin
x
,
记此极限为
f
(x) ，求函数
f
(x) 的间断点并指出其类型。
( ) 解 因 f x = e , lim t→x
sin
x t−sin
x
ln
sin sin
t x
cos t
而由洛必达法则得， lim t→x
x sin t −sin
x
ln
sin t sin x
= lim t→x
x⋅
sin t cos t
π
∫ ( ) （3）
2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx =
2
答 应填 π 8
分析 这是对称区间上的定积分，一般都可利用积分性质而化简计算，所以
π
π
∫ ( ) ∫ 2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx = 2
2 sin2 x cos2 xdx
0
2
π
= 2∫ (2 sin2 x −sin4 x)dx
e2
x− y
⎛⎜⎜⎜⎝2
+
dy dx
⎞⎠⎟⎟⎟
+
2001考研数学二真题及答案解析
x→1
(2)【答案】 x−2y+2=0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos(xy) = e −1 两边对x求导, 其中 y 视为 x 的函数，得
e2x+y (2x + y)′ + sin(xy) ( xy)′ = 0 ，即 e2x+y ⋅ (2 + y ') + sin(xy) ⋅ ( y + xy ') =0
= f (1) f= '(1) 1, 则
()
(A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) < x .
❤
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) > x .
(C)在 (1− δ ,1) 内， f (x) < x .在 (1,1+ δ ) 内， f (x) > x .
又由 y(1) = 0, 解得 C = − 1 . 故曲线方程为： y arcsin x= x − 1 .
2
2
2
(5)【答案】 -2 【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
a 1 1 1
1 1 a −2
A = 1 a 1 1
1 a
1
−2
1, 3行 互换
1 a
a 1
1 1
1
1
1 1 a −2
求 f (x) .
七、(本题满分 7 分)
❤
设函数 f (x), g(x) 满足 f ′(= x) g(x), g′(= x) 2ex − f (x) ，且= f (0) 0= , g(0) 2 ，
∫ 求
2001考研数学一试题及答案解析
2001考研数学一试题及答案解析2001年考研数学一试题及答案解析一、选择题1.设A是n阶实对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. AB是对称矩阵B. AB是反对称矩阵C. AB是零矩阵D. AB不一定是对称矩阵答案：D解析：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵，故选D。
2.设A是n阶矩阵，|A|≠0，则下列结论正确的是（）A. A是可逆矩阵B. A的行列式不等于0C. A的秩等于nD. A的特征值不等于0答案：A解析：根据矩阵可逆的定义，可知选项A正确。
3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值B. 函数f(x)在(a,b)内一定有极值点C. 函数f(x)在[a,b]上一定有极值点D. 函数f(x)在(a,b)内一定有最大值和最小值答案：B解析：根据极值定理，可知选项B正确。
4.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则函数f(x)在[a,b]上（）A. 一定有最大值和最小值B. 一定有极值点C. 一定有极大值和极小值D. 不一定有极值点答案：D解析：函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导并不意味着一定有极值点，故选D。
5.若f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f'(x)>0，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上单调递减B. 函数f(x)在[a,b]上单调递增C. 函数f(x)在(a,b)内存在极大值D. 函数f(x)在[a,b]上存在极小值答案：B解析：根据导数的定义，可知选项B正确。
二、填空题1.设A是n阶实对称矩阵，且A的主对角线元素都为1，则A的特征值之和为____。
答案：n+1解析：根据实对称矩阵的特征值之和等于主对角线元素之和，故特征值之和为n+1。
2.设z为复数，|z|=1，则z^3的实部为____。
2001年考研数学二真题及答案解析
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分6分) 其中E是3阶单位阵，求X． 十二、(本题满分6分) 础解系
参考答案
、、 填空题 1．
2． 3． 4．
5．
、、 选择题 1． 2． 3． 应选（C）。 4．
5．
三、 四、
2001年全国硕士研究生人学统一考试 数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分l5分．每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分6分) 四、(本题满分7分) 五、(本题满分7分)
五、
六、 七、
八、
九、
十、
十一、 十二、
2001考研数学一试题及答案解析
fpg 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题( 本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上.)( 1) 设xy e (C sin x C cosx) ( C1,C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程の通1 2解,则该方程为_____________.( 2) 设 2 y z2 2r ,则div ( grad r) (1, 2,2 ) =_____________.x( 3) 交换二次积分の积分次序: 0 1 ydy f (x, y)dx＝_____________.1 2( 4) 设矩阵A满足 2 4 0A A E ,其中E 为单位矩阵,则1( A E) =_____________.( 5) 设随机变量Xの方差是2 ,则根据切比雪夫不等式有估计P{ X E(X)2}y_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)O ( 1) 设函数 f (x) 在定义域内可导, y f (x) の图形如右图所示,x 则y f (x)の图形为( 2) 设f (x, y) 在点(0,0) 附近有定义,且f x (0,0) 3, f ( 0,0) 1,则y( A ) d| 3dx dy.z (0,0)( B ) 曲面z f (x, y) 在(0,0, f (0,0)) 处の法向量为{3,1,1}.fpgfpg( C) 曲线z fy(x,y)在(0,0, f (0,0)) 处の切向量为{1,0,3}.( D)曲线z fy(x,y)在(0,0, f (0,0)) 处の切向量为{3,0,1}.( 3) 设f (0) 0,则f (x) 在x=0 处可导の充要条件为( A )1lim f (1 cosh)2h 0h存在. ( B)1hlim f (1 e )h 0h存在.( C)1lim f (h sinh)2h 0h存在. ( D)1lim [ f (2 h) f (h)]h0 h存在.1 1 1 1 4 0 0 0( 4) 设1 1 1 1 0 0 0 0A ,B,则A 与B1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0( A ) 合同且相似. ( B) 合同但不相似.( C) 不合同但相似. ( D) 不合同且不相似.( 5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上の次数, 则X 和Y の相关系数等于( A ) -1. ( B ) 0. ( C) 12. ( D) 1.三、( 本题满分 6 分 )xarctan e求dx2xe. 四、( 本题满分 6 分 )设函数z f (x, y) 在点(1,1)处可微,且 f (1,1) 1, fx| 2(1,1)f,| 3y, (x) f (x,df (x, x)) .求x 13( )xdx.五、( 本题满分8 分 ) fpgfpg设f (x) =2x1 x arctan x, x 0,1, x 0,将f (x) 展开成xの幂级数,并求级数n 1(1n1)24nの和.六、( 本题满分7 分 )2 2 2 2 2 2计算I y z dx z x dy x y dz( ) (2 ) (3 )L,其中L 是平面x y z 2 与柱面x y 1の交线,从Z轴正向看去, L 为逆时针方向.七、( 本题满分7 分 )设 f (x) 在( 1,1)内具有二阶连续导数且 f (x) 0,试证:(1) 对于( 1,1)内の任一x 0,存在惟一の(x) ( 0,1) ,使 f ( x) = f (0) + xf ( (x)x) 成立;(2)1 lim (x) . x 02八、( 本题满分8 分 )设有一高度为h(t ) ( t 为时间) の雪堆在融化过程,其侧面满足方程2 22(x y )z h(t ) ( 设h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时) ,已知体积减少の速率与侧面积成正比( 比例系数为0.9) ,问高度为130 ( 厘米) の雪堆全部融化需多少小时?九、( 本题满分 6 分 )设 1 , 2 , , s 为线性方程组Ax 0の一个基础解系, 1t1 1 t2 2 , 2 t1 2 t2 3, ,s t s t ,其中t1,t2 为实常数.试问t1,t2 满足什么条件时, 1, 2, , s 也为Ax 0 の一个1 2 1基础解系.十、( 本题满分8 分 )已知 3 阶矩阵 A 与三维向量x,使得向量组 2 23 3 2 .x, Ax, A x线性无关,且满足 A x Ax A x2( 1) 记P =（x, Ax, A x）,求3 阶矩阵B ,使1 A PBP ;( 2) 计算行列式 A E .fpgfpg 十一、( 本题满分7 分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为( 0 ) の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为p( 0 p 1) ,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车の人数,求:( 1) 在发车时有n个乘客の条件下,中途有m 人下车の概率;( 2) 二维随机变量(X,Y)の概率分布.十二、( 本题满分7 分)设总体X 服从正态分布N( , 2 ) ( 0 ) , 从该总体中抽取简单随机样本X1 ,X2 , , X2n ( n 2 ), 其样本均值为X12n2ni 1X Y,求统计量iin12( X i X 2X)のn i数学期望E(Y ) .2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题( 1) 【分析】由通解の形式可知特征方程の两个根是r1,r2 1 i ,从而得知特征方程为2 2(r r )(r r ) r (r r )r rr r 2r 2 0 .1 2 1 2 1 2由此,所求微分方程为'' 2 ' 2 0y y y .( 2) 【分析】先求grad r .grad r= r , r , r x , y , zx y z r r r .x y z再求div grad r= ( ) ( ) ( )x r y r z r=2 2 2 2 2 21 x 1 y 1 z 3 x y z2 ( ) ( ) ( )3 3 3 3r r r r r r r r r.fpgfpg于是div grad r|2 2 (1, 2,2) = |(1, 2,2)r 3.( 3) 【分析】这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为 1 y 0 时1 y2 .由此看出二次积分0 2dy f (x, y) dx是二重积分の一个累次1 1 y积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0 2dy f ( x, y )dx f (x, y) dxdy .1 1 yD由累次积分の内外层积分限可确定积分区域 D :1 y 0,1 y x2 .见图.现可交换积分次序原式= 0 2 2 0 2 1 xdy f (x, y) dx dx f ( x, y)dy dx f (x, y)dy.1 1 y 1 1 x 1 0( 4) 【分析】矩阵A の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.因为 2( A E)( A 2E) 2E A A 4E 0 ,故( A E)( A 2E) 2E ,即A 2E( A E) E .2按定义知 1 1( A E) (A2E) .2( 5) 【分析】根据切比雪夫不等式D(x)P{ X E( X ) } ,2于是D(x) 1 P{ X E(X)2} .22 2二、选择题( 1) 【分析】当x 0 时, f (x) 单调增 f ' (x) 0,( A ) ,( C) 不对;当x 0 时, f ( x) :增——减——增f x :正——负——正,( B) 不对,( D)对.'( )'( )应选( D).fpgfpg( 2) 【分析 】 我们逐一分析 .关于 ( A ) ,涉及可微与可偏导の关系 .由 f (x, y) 在(0,0)存在两个偏导数f (x, y) 在(0,0)处可微.因此 ( A) 不一定成立 .关于 ( B) 只能假设f (x, y) 在(0,0)存在偏导数f (0,0)f (0,0),xy,不保证曲面 z f ( x, y) 在(0,0, f (0,0)) 存在切平面 .若存在时 ,法向量 n=f (0,0)f (0,0)， ，1 {3,1,-1}与{3,1,1}不x y共线,因而( B) 不成立 .x t ,y 0,它在点(0,0, f (0,0)) 处の切向量为 关于 ( C) ,该曲线の参数方程为zf ( t ,0),d'{t ',0,f (t ,0)}| t{ 1,0, f x (0,0)}{1,0,3}dt.因此,( C) 成立 .( 3) 【分析 】当f (0) 0时,'f(0) limx 0f (x)f (x) f (x) limlimx 0 x 0 xxx.关于 ( A) :1f (1 cos h ) 1 cos h 1 f (t) limf (1 cos h ) lim t 1 cos h lim22h 0h 0th1 cos hh2 t, 由此可知1limf (1 cos h)2h 0hf .' (0) ' (0)若f (x) 在 x 0可导( A ) 成立 ,反之若 ( A) 成立f' (0)f .如 f (x)| x |满 '(0) ' (0)足( A ) ,但f 不 . ' (0) ' (0)关于 ( D ) :若 f (x) 在 x 0可导,1f (2 h) f (h)''lim [ f (2 h) f ( h)] lim[2] 2 f (0)f (0)hhhh h 2.( D) 成立 .反之( D) 成立l im( f (2h ) f (h )) 0 f (x) 在 x 0 连续 ,f (x) 在 x 0 可h导.如f (x) 2x 1, x 00, x 0满足( D),但f (x) 在x0 处不连续,因而 f 也不.'(0)'(0)再看( C) : fpgfpg1 h sin h f (h sin h) h sin h f (t)lim f (h sin h) lim lim2 2 2h h h0 0 sin 0h h h h h t( 当它们都时) .注意,易求得h sin hlim 02h 0h.因而,若 f ( C) 成立.反之若( C) 成立' (0)' (0)l imt 0f (t)t( 即f ) .因为只要'(0)' (0) f (t)t有界,任有( C) 成立,如 f (x) | x|满足( C) ,但f ' (0) 不.因此,只能选( B) .( 4) 【分析】由 4 3| E A| 4 0,知矩阵Aの特征值是4,0 ,0, 0.又因A 是实对称矩阵, A 必能相似对角化,所以A与对角矩阵 B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A与B有相同の特征值,从而二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同の正负惯性指数,因此A与B 合同.所以本题应当选( A) .注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1 0A 与0 21 0B ,0 3它们の特征值不同,故A 与B 不相似,但它们の正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以 A 与B 合同.( 5) 【分析】解本题の关键是明确X 和Yの关系:X Y n ,即Y n X ,在此基础上利用性质:相关系数XY の绝对值等于 1 の充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b ( 其中a,b是常数) ,且当a 0 时, XY 1 ;当a0 时, XY 1,由此便知XY 1,应选( A) .事实上, Cov( X ,Y) Cov( X ,n X ) DX , DY D(n X ) DX ,由此由相关系数の定义式有XY Cov( X ,Y) DXDX DY DX DY1.三、【解】原式=x1 1 dex 2 x 2 x xarctane d(e ) [e arctane ]2x 2x2 2 e (1 e )=x x1 de de2 x x(e arctan e )2x 2 x 2 e 1 efpgfpg= 122 x x x x(e arctan e e arctan e) C .四、【解】先求(1) f (1, f (1,1)) f (1,1) 1 .求ddx 3 2 ' '(x) |x 3 (1) (1) 3 (1),归结为求1' (1).由复合函数求导法d' ' '(x) f (x, f ( x, x)) f (x, f ( x, x)) f ( x, x)1 2dx,' ' ' ' '(1) f (1,1) f (1,1)[ f (1,1) f (1,1)] .1 2 1 2注意' f1f (1,1)(1,1) 2x,f (1,1)'f (1,1) 32y.因此d' (1) 2 3(2 3) 17 , 3(x) |x 3 17 51.1dx五、【分析与求解】关键是将arctan x展成幂级数,然后约去因子x,再乘上 21 x 并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctanx) 易展开,即1' n 2n(arctan x) ( 1) x , | x| 121 xn 0, ①积分得n( 1)x x' n 2n 2n 1arctanx (arctant ) dt ( 1) t dt x , x [ 1,1]. ②0 02n 1n 0 n 0因为右端积分在x 1 时均收敛,又a rctan x 在x 1 连续,所以展开式在收敛区间端点x 1成立.现将②式两边同乘以21 xx得2 n n n 2n 21 x ( 1) ( 1) ( 1) x2 2n 2narctanx (1 x ) x xx 2n 1 2n 1 2n 1n 0 n 0 n 0=n n 1 ( 1) ( 1)2n2nx x n 0 n 02n 1 2n 1fpgfpg=1 1n 2n1 ( 1) ( )x2n 1 2n 1n 11n 1n( 1) 221 4n2nx , x [ 1,1], x 0上式右端当x 0时取值为1,于是n( 1) 22nf (x) 1 x , x [ 1,1].21 4n n 1上式中令x 1n 1n( 1) 1 1 1[ f (1) 1] (2 1)21 4n2 2 4 4 2.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S为平面x y z 2上L 所为围部分.由L の定向,按右手法则S取上侧, Sの单位法向量1n (cos ,cos ,cos ) (1,1,1).3于是由斯托克斯公式得cos cos cosI dSx y z S2 2 2 2 2 2y z 2z x 3x y=S1 1 1 [( 2y 4z) ( 2z 6x) ( 2x 2y) ]dS3 3 3= 2 2(4x 2y 3z)dS(利用x y z 2) (6 x y)dS.3 S 3 S于是'2 '21 Z x Z y 1 1 1 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得2I (6 x y) 3dxdy 2 (6 x y)dxdy ,3 D D其中 D 围S在xy 平面上の投影区域| x | | y | 1( 图）.由D 关于x, y 轴の对称性及被积函数の奇fpgfpg偶性得(x y)dxdy 0D2I 12dxdy 12( 2) 24.D七、【证明 】 ( 1) 由拉格朗日中值定理 ,x (1, 1) , x 0 , (0,1) ,使'f (x) f (0) xf ( x)(与x 有关 ) ;又由 f '' (x) 连续而 f '' (x) 0, f ''(x) 在 (1, 1) 不变号 , f ' (x) 在 (1, 1) 严格单调, 唯一.( 2) 对f x 使用 ' ( ) ' ( ) f の定义 .由题 ( 1) 中の式子先解出 '' (0)'' (0) f x ,则有' ( ) ' ( )'f (x) f (0) f ( x)x. 再改写成'''f (x) f (0) xf (0) f ( x) f (0)x.'''f ( x) f (0)f (x) f (0) xf (0) 2xx,解出 ,令 x0 取极限得1''f (0)'''f (x) f (0) xf (0)f ( x) f (0) 21limlim/ lim2''x 0x 0x 0(0)2xxf.八、【解】 ( 1) 设t 时刻雪堆の体积为 V (t) ,侧面积为 S(t ) .t 时刻雪堆形状如图所示先求S(t ) 与V (t) .侧面方程是2222(x y )h (t) 22z h(t )(( x, y) D : xy)xyh(t )2.z 4x z 4y ,xh(t )yh(t ).fpgfpg2 2 2z 2 z 2 h (t) 16( x y )S(t) 1 ( ) ( ) dxdy dxdyx y h(t )D Dxy xy.作极坐标变换: x r cos , y r sin ,则1D :0 2 ,0 r h(t ) .xy2112 h(t)2 22S(t) d h (t) 16r rdrh(t )0 03 12 1 h(t ) 132 2 2 2 2[h (t) 16r ] | h (t ).h(t ) 48 12用先二后一の积分顺序求三重积分h(t )V (t) dz dxdy ,D (x)其中2 22(x y )D( z): h(t ) z(t)h(t ),即2 2 1 2x y [h (t) h(t) z] .2h t( ) 12 3 3 3V (t) [ h (t) h(t )z]dz [h (t) h(t ) ] h (t) .2 2 2 4( 2) 按题意列出微分方程与初始条件.体积减少の速度是d VdtdV,它与侧面积成正比( 比例系数0.9) ,即0.9 Sdt将V (t) 与S(t) の表达式代入得 3 2 ( ) 0.9 13 2( )dhh t h t4 dt 12,即dh dt 1310. ①h (0) 130 . ②( 3) 解①得13h(t ) t C . 由②得C 130 ,即1013h(t ) t 130 .10令h(t) 0 ,得t100.因此,高度为130 厘米の雪堆全部融化所需时间为100 小时.九、【解】由于i (i 1,2 s) 是1, 2, s 线性组合,又 1 , 2, s 是Ax 0の解,所以根据齐次线性方程组解の性质知( 1,2 )i i s 均为Ax 0の解.从1, 2 , s 是A x 0の基础解系,知s n r ( A) .fpgfpg下面来分析1, 2 , s 线性无关の条件.设k1 1 k2 2 k s s 0,即(t k t k s ) (t k t k ) (t k t k ) (t k s t k s ) s 0 .1 12 1 2 1 1 2 2 2 2 13 3 2 1 1由于1, 2, s 线性无关,因此有t k t k0,1 12 s0,t k t k2 1 1 2t k t k0, (*)2 2 1 3t k t k0.2 s 1 1 s因为系数行列式t 0 0 0 t1 20 0 0t t2 1s s 1 s0 t t 0 0 t ( 1) t, 2 1 120 0 0 t t2 1k1 k2 k s 0.所以当s s 1 st1 ( 1) t2 0 时,方程组(*) 只有零解从而1, 2, s 线性无关.十、【解】( 1) 由于AP PB ,即2 23 2 2 A( x, Ax, Ax) (Ax, A x, A x) ( Ax, A x,3 Ax 2A x)0 0 02(x, Ax, A x) 1 0 3 ,0 1 20 0 0B 1 0 3 . 所以0 1 2( 2) 由( 1) 知A B ,那么A E B E ,从而fpgfpg1 0 0| A E | | B E | 1 1 3 4.0 1 1m m n m十一、【解】( 1) P{Y m| X n} C p (1 p) ,0 m n,n 0,1,2, .n( 2) P{ X n,Y m} = P{ X n} P{Y m | X n}nm m n m= (1 ) ,0 , 0,1,2, .e C p p m n nnn!十二、【解】易见随机变量(X1 X n 1) ,( X2 X n 2 ) , ,( X n X2n) 相互独立都服从正态分布2N(2 ,2 ) .因此可以将它们看作是取自总体2N(2 ,2 ) の一个容量为nの简单随机样本.其样本均值为n 2n1 1( X X ) X 2Xi n i in ni 1 i 1,样本方差为n1 12(X X 2X ) Yi n in 1 n 1i 1.因样本方差是总体方差の无偏估计,故1E( Y) 2n 12,即 2E(Y ) 2(n 1) .fpg。
2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)
yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.(5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:XY n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P Xn Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
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国防科技大学研究生院2001年硕士生入学考试试题
考试科目：离散数学
注：1、不用抄题，答案必须写在统一配发的答题纸上!
2、统考生做：第一、二、三、四、五、六、七、八、九、十题；
3、单独考生做：第一、二、三、四、五、六、七、十一、十二、十三题。
一、(每小题5分，共15分)
设A= { 1，2，… , 6 } , B = { 1 , 2 , … , 8 } , 函数f ：A Æ B 和 g ：A Æ B 定义如下：
x 1 2 3 4 5 6 f (x) g (x)
1 4
4 5
5 5
2 5
5 6
8 7
若B 上的二元关系R = { <f(x) , g (x)> | x = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } ,试求
i ) R 的关系图 i i )
t ( R )
R;
i i i ) tsr ( R ) 的简化关系图和B/tsr(R) 。
二、(每小题5分，共15分)
设< A ， >和 < B ，>为两个半序结构，函数F ：
A
B 和 G ：B
A 均为保序映射。
若对任意
a
A 和 b
B 皆有
F(a) b 当且仅当 a G( b ).
则对每个 b B 皆有：
i ) FG( b ) b
; i i ) FGFG(b )
FG( b ) ;
i i i ) FG( b ) = FGFG( b )。
(注：函数F ：A
B 称为保序映射，如果对于任意 a1, a2A 且a1a2 ,必有F(a1)
F(a2) )。
三、(10分)。
今有111人购买A ，B ，C 三种股票，已知只买了一种股票的共75人，买了A 股和B 股的共有
20人，买了B 股和C 股的共有9人，买了A 股和C 股的共17人，只买了A 股的共31人，只买了B 股的共23人。
试求：
i ) 三种股票都买的有几人 ？ i i ) 买A 股、B 股和C 股的各几人？ 四、(各小题 依次为4分，4分，2分，共10分)
设 为非空集合A 上的半序，且S 为A 的非空子集。
试直接利用 和作谓词将下列命题符号化： i ) S 有极小元 ；
i i )
S 有上界 ； i i i ) S 有上确界。
五、(10分)。
设G=< V ，E ，
>为n 阶简单有向图，结点v V 的出度分别用
六、(10分)若简单无向图G 中恰有两个奇结点，则这两个奇结点之间必存在路径可达。
七、(5分)设合式公式试求A的主析取范式。
本页的八、九、十题只需统考生做，单独考生不做。
八、(每小题5分，共10分)
明：
九、(每小题5分，共10分)
用自然推理系统证明：
十、(5分)
设P为一元谓词，试判断合式公式
是否为永真式，并说明理由。
本页的十一、十二、十三题只需单独考生做，统考生不做。
十一、(每小题5分，共10分)
设R为集合A上的二元关系，且R为反自反的。
i ) 若R为对称的，则R不是传递的；
i i ) 若R为传递的，则R为反对称的。
十二、(每小题5分，共10分)
用自然推理系统证明：
十三、(5分)
设Q为二元谓词，试判断合式公式
是否为永真式，并说明理由。