2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十三章 第5讲 独立性、二项分布及其应用 Word版含解析]
高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十一章 第2讲 排列与组合
第2讲排列与组合分层训练B级创新能力提升1．（2012·苏锡常镇调研)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________（用数字作答)．解析当每个台阶上各站1人时有C错误!A错误!种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C2，3C错误!C错误!种站法,因此不同的站法种数有A错误!C错误!＋C错误!C错误!C错误!＝210＋126＝336(种)．答案3362．（2012·无锡调研）某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法（填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C错误!种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种,最后安排其他两辆车共有A错误!种方法，∴不同的调度方法为C错误!·C错误!·A错误!＝120(种)．答案1203．(2013·盐城模拟）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同的排法种数是________．解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c,先排男生,若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空,排法如错误!甲□丙c乙共有4A错误!A错误!A错误!种,若男生甲排在中间,有两种排法，然后女生去插空，排法如错误!乙□甲错误!丙错误!共有2A错误!A错误!种排法．根据分类计数原理共有4A错误!A错误!A错误!＋2A错误!A错误!＝288（种）不同排法．答案2884．（2013·苏州期末调研）以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有________个．解析正五棱柱共有10个顶点,若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C错误!＝210(个)四面体．其中四点在同一平面内的有三类：（1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C错误!个．（2）五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C错误!个．（3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB∥E1C1），这样共面的四点共有2C15个．所以C错误!－2C错误!－C错误!－2C错误!＝180(个）．答案1805．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…p m中，若1≤i＜j≤m时p i＞p j （即前面某数大于后面某数），则称p i与p j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n＋1)n(n －1)…321的逆序数为a n.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3,排列4 321的逆序数a3＝6。
2023年高考数学(理科)一轮复习——二项分布与正态分布
5.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一
方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的
概率分别为65和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影 2
响，则一次活动中，甲获胜的概率为____3____，3 次活动中，甲至少获胜 2 次 20
1 式，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝120＝14.
5
索引
法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率 P(B|A)＝nn（（AAB））＝41.
索引
2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_5____；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___0_.9_9_7__3___.
索引
常用结论
1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计 算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
次数的概率分布.( √ )
(3)n 次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别 称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为 p，“失败”的概率
为 1－p；③各次试验是相互独立的.( √ )
(4)正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称 和曲线与x轴之间的面积为1解题.
【创新设计】2014版高考数学一轮复习 2.8 函数的图象 理 苏教版
2.9 函数的图象一、填空题1.函数21x y x -=-的图象可由1y x=的图象向右平移个单位,再向下平移个单位而得到.解析因为(1)11111x y x x --+==-+,--所以填1,1.答案1 12．函数f (x )＝x ＋1x的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2－x ，y 0＝y .∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2.答案 g (x )＝3x －24. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是________．解析y ＝f (x ＋1)是由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的，故为②. 答案②5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．解析 (数形结合法)根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.答案 4【点评】本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观6．若函数f(x)在区间[－2,3]上是增函数，则函数f(x＋5)的单调递增区间是________．解析∵f(x＋5)的图象是f(x)的图象向左平移5个单位得到的．∴f(x＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2]．答案[－7，－2]7. 观察相关的函数图象，对下列命题中的真假情况进行判断．①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x＞x在x∈R上恒成立；④10x＞x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；⑤10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析正确画出相关函数的图象即可判断，y＝10x与y＝x的图象如图(1)；y＝10x与y＝x2的图象如图(2)；y＝10x与y＝－x的图象如图(3)．答案②③④8．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如右图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.答案 69．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)．甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为________．解析 从A 地到B 地，甲用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝v 1＋v 22v 1v 2s ，乙用的时间t 乙满足：t 乙2(v 1＋v 2)＝s ，∴t 乙＝2s v 1＋v 2，t 甲－t 乙＝v 1－v 22s2v 1v 2v 1＋v 2＞0.∴t 甲＞t 乙，即甲、乙不会同时达到B 地，∴排除③④，当甲前一半路程速度是v 1，后一半路程速度是v 2，乙前一半时间速度是v 1，后一半时间速度是v 2时，①正确．当甲前一半路程速度是v 2，后一半速度是v 1，乙前一半时间的速度是v 2，后一半时间的速度是v 1时，②正确． 答案 ①②10．任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的有________．答案 ④11．若直线x ＝1是函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴，则f (3－2x )的图象关于直线________对称． 答案 x ＝1212．若0＜a ＜1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第____象限． 答案 一13．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )，图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________． 解析 由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))的连线斜率大小1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f x 1x 1＞f x 2x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的． 答案 ②③ 二、解答题14. 作出函数y ＝1－|x ||1－x |的图象．解析 函数的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}．当x <0时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1＋x1－x＝1－x －2x －1＝－1－2x －1；当0≤x <1时，有y ＝1－|x ||1－x |＝1－x 1－x ＝1；当x >1时，y ＝－1.综上，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－2x －1，x <0，1，0≤x <1，－1，x >1.函数的图象由三部分组成：当x <0时函数的图象由函数y ＝－2x的图象向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度得到；当0≤x <1时，函数的图象是线段y ＝1(0≤x <1)，不含点(1,1)；当x >1时，函数的图象是射线y ＝－1(x >1)，不含射线的端点(1，－1)．15．利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数． 解析 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数 就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点 的个数．由右边图象可知： 当－1≤k ＜0时，方程没有实数根；当k ＝0或k ＜－1或k ≥1时，方程只有一个实数根； 当0＜k ＜1时，方程有两个不相等的实数根．16．已知函数f (x )＝1－x 2，g (x )＝x ＋2，若方程f (x ＋a )＝g (x )有两不同实根，求a 的取值X 围．解析y ＝f (x ＋a )＝1－x ＋a2，方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，1－x ＋a 2≥0，y 2＝1－x ＋a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋a 2＋y 2＝1.∴函数y ＝f (x ＋a )的图象为以(－a,0)为圆心，半径为 1的圆在x 轴上和x 轴上方的部分，如右图．设过(－2,0) 点和与直线相切的半圆方程分别为y ＝f (x ＋a 1)和y ＝f (x ＋a 2)， 则可求出a 1＝1，a 2＝2－ 2.由图象可观察出当－a 1≤－a ＜－a 2，即a 2＜a ≤a 1时，y ＝f (x ＋a )的图象与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，即2－2＜a ≤1时，方程f (x ＋a )＝g (x )有两个不同的实根．17．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，某某数a 的取值X 围． 思路分析 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象，观察它们的交点个数．解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1)，(2,3)． (2)由题意|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图所示．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． 【点评】 数形结合思想是高考每年必考内容，它对填空题、解答题均有很大的帮助，但对于解答题而言，图形只是起到帮助分析问题的作用，步骤还要有适当数学语言来表示． 18．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间． 解析∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2－2x －3.当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x ＞0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x ＜0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为： (－∞，－1)，(1，＋∞)． 函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布
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第8讲 二项分布与正态分布A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·湖北)如图，用K 、A1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析 P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. 答案 B2．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A.34B.23C.35D.12解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案 A3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( )． A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ，则C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·台州二模)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，P ＝P [](A ∪A －)A －AA ＝(1－P (A )] P (A ) P (A )＝0.128. 答案 0.1286．设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，如果P (X ≤1)＝0.8413，则P (－1<X <0)＝________.解析 ∵P (X ≤1)＝0.841 3，∴P (X >1)＝1－P (X ≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7. ∵X ～N (0,1)，∴μ＝0.∴P (X <－1)＝P (X >1)＝0.158 7，∴P (－1<X <1)＝1－P (X <－1)－P (X >1)＝0.682 6. ∴P (－1<X <0)＝12P (－1<X <1)＝0.341 3. 答案 0.341 3 三、解答题(共25分)7．(12分)设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．8．(13分)(2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝13＋23×12×13＋⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3由独立性，知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2) ＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P ()A 1B 1 A 2 B 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19. 综上知，ξ的分布列为从而E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次)．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi ·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·湘潭二模)如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k ＝________.解析 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220－k ＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值． 答案 104．(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小1球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案 34三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为9 80.6．(13分)(2012·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ， 根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －) ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13； P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。
【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.2 一元二次不等式(一)备考练习 苏教版
§3.2 一元二次不等式(一)一、基础过关1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是____________．2．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为____________． 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为________．4．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是________．5．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．6．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是____________．7．解下列不等式：(1)x 4＋3x 2－10<0；(2)x 2－3|x |＋2≤0.8．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中0<α<β，a <0，求cx 2＋bx ＋a >0的解集．二、能力提升9．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是______________． 12．解关于x 的一元二次不等式：ax 2＋(a －1)x －1>0.三、探究与拓展13．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围．答案1.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 2．{x |x ≠－2} 3.{x |－1≤x ≤2} 4．(－∞，－6]∪(2，＋∞) 5．－2<m <2 6．{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}7．解 (1)x 4＋3x 2－10<0⇔(x 2＋5)(x 2－2)<0⇔x 2<2⇔－2<x < 2.∴原不等式的解集为{x |－2<x <2}．(2)x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．8．解 ∵α、β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴α＋β＝－b a ，αβ＝c a .∵a <0，∴cx 2＋bx ＋a >0同解变形为c a x 2＋b a x ＋1<0.由根与系数的关系将α、β代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1<0.即αβ⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，由0<α<β，可知1α>1β.所以不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎫x |1β<x <1α.9．(－2,1) 10.k ≤2或k ≥4 11．(－3,1)∪(3，＋∞)12．解 ax 2＋(a －1)x －1>0⇔(ax －1)(x ＋1)>0.当a >0时，(ax －1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)>0⇔x <－1或x >1a ；当－1<a <0时，(ax －1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)<0⇔1a <x <－1；当a ＝－1时，(ax －1)(x ＋1)>0⇔－(x ＋1)2>0⇔(x ＋1)2<0⇔x ∈∅；当a <－1时，(ax －1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)<0⇔－1<x <1a .综上所述，当a >0时，不等式的解集为{x |x <－1或x >1a }；当－1<a <0时，不等式的解集为{x |1a <x <－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当a <－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎫x |－1<x <1a .13．解 ∵x 2－x －2>0， ∴x >2或x <－1.又2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0， ∴(2x ＋5)(x ＋k )<0.①(1)当k >52时，－k <－52，由①有－k <x <－52<－2，此时－2∉⎝⎛⎭⎫－k ，－52；(2)当k ＝52时，①的解集为空集；(3)当k <52时，－52<－k ，由①得－52<x <－k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－52<x <－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k .∵原不等式组只有整数解－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <52－k >－2，－k ≤3， ∴－3≤k <2.。
高考数学一轮单元复习：条件概率与事件的独立性
变式题 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问 题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已 知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分 别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
【思路】各轮问题能否正确回答互不影响，即四个 事件相互独立．第(1)问是前三轮回答正确且第四轮回 答不正确这四个事件同时发生，利用相互独立事件同时 发生的概率乘法公式就可以解决；第(2)问至多进入第 三轮考核是进入第一轮被淘汰，进入第二轮被淘汰，进 入第三轮被淘汰这三个互斥事件的和，而进入第二轮被 淘汰又是第一轮通过，第二轮没通过这两个相互独立事 件同时发生，进入第三轮被淘汰是第一、第二轮通过， 第三轮没通过这三个相互独立事件同时发生，利用互斥 事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘 法公式就可以解决．
再设事件B表示工作被完成, 则 B A1 A2
PB 1 PB,
A3, 因
B A1 A2 A3 A1A2 A3,
所以
PB P A1A2A3 P A1 P A2 P A3
0.5 0.4 0.3 0.06.
所以
PB 0.94.
► 典型题3 独立重复试验与二项分布
例 3 [2009·江西卷] 某公司拟资助三位大学生自主创 业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进 行评审．假设评审结果为 “支持”或“不支持”的概率都是12. 若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只 获得一个“支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”， 则不予资助．求：
2．条件概率的性质 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间， 即 0≤P(B|A)≤1 . 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ． 3．事件的相互独立性 设 A、B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件 A 与事 件 B 相互独立．
高三数学第一轮复习课时作业(63)n次独立重复试验与二项分布
课时作业(六十三) 第63讲 n 次独立重复试验与二项分布时间：45分钟 分值：100分基础热身1．下列说法正确的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0<P (B |A )<1C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )D ．P (B |A )＝12．2010·辽宁卷 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.163．2010·湖北卷 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.344．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 能力提升5．2011·浙江五校联考 位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243B.8243C.40243D.802436．在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．0.4,1)B ．(0,0.4)C ．(0,0.6D ．0.6,1)7．在5道题中有三道数学题和两道物理题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题的条件下，第二次抽到数学题的概率是( )A.35B.25C.12D.138．2011·辽宁卷 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B 表示“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.129．2010·江西卷 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能10．2010·重庆卷 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________．11．2011·湖南卷 如图K63－1，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.图K63－112．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．13．2010·安徽卷 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．①P ()B ＝25；②P ()B |A 1＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．14．(10分)2011·泸州高中一模 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E 运至销售城市F ，已知从城市E 到城市F 有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为110，不堵车的概率为910；走公路Ⅱ堵车的概率为35，不堵车的概率为25，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率； (2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．15．(13分)2011·长安一中质检 甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p ⎝⎛⎭⎫p >12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .难点突破16．(12分)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．课时作业(六十三)【基础热身】1．C 解析 由P(B|A)＝P(AB)P(A)，可得P(AB)＝P(A)·P (B|A)．2．B 解析 设两个实习生每人加工一个零件为一等品分别为事件A ，B ，则P(A)＝23，P(B)＝34个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A B ＋A B)＝P(A B )＋P(A B)＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512.3．C 解析 本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B 级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A ，B 至少有一件发生的概率是1－P(A )·P(B )＝1－1256＝712.4．C 解析 根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：C k 5⎝⎛⎭⎫12k ×⎝⎛⎭125－k ＝C k ＋15⎝⎛⎭⎫12k ＋1×⎝⎛⎭124－k ，解得k ＝2.【能力提升】5．C 解析 左移两次，右移三次，概率是C 25⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫133＝40243.6．A 解析 根据题意，C 14p(1－p)3≤C 24p 2(1－p)2，解得p ≥0.4，0<p<1，∴0.4≤p<1.7．C 解析 第一次抽到数学题为事件A ，第二次抽到数学题为事件B ，n(AB)＝A 23＝6，n(A)＝A 13×A 14＝12.则所求的概率为P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12.8．B 【解析】 由于n(A)＝1＋C 23＝4，n(AB)＝1，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝14，故选B .9．B 解析 按方法一，在各箱任意抽查一枚，抽得枚劣币的概率为1100＝0.01，所以p 1＝1－(1－0.01)10，按方法二，在各箱任意抽查一枚，抽得枚劣币的概率为C 199C 2100＝0.02，所以p 2＝1－(1－0.02)5，易计算知p 1<p 2，选B .10.370 解析 加工出来的正品率为P 1＝6970×6869×6768＝6770，∴次品率为P ＝1－P 1＝370.11．(1) 2π (2)14解析 (1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有P(A)＝S 正方形S 圆＝2π；(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P( |B A)＝S △EOH S 正方形＝122＝14.12．0.09 解析 设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.13．②④ 解析 根据题意可得P(A 1)＝510，P(A 2)＝210，P(A 3)＝310，可以判断④是正确的；A 1、A 2、A 3为两两互斥事件，P(B)＝P(B|A 1)＋P(B|A 2)＋P(B|A 3)＝510×511210×411＋310×411＝922，则①是错误的；P(B|A 1)＝P(A 1B)P(A 1)＝510×511510＝511，则②是正确的；同理可以判断出③和⑤是错误的．14．解答 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A ， “汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B ， “汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P 1＝P(A·B )＋P(A ·B)＝110×910＋910×110＝950.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P 2＝P(A·B·C )＋P(A·B ·C)＋P(A ·B·C)＋P(A·B·C) ＝110×110×25＋110910×35＋910×110×35＋110×110×35＝59500. 15．解答 (1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p 2＋(1－p)2＝59，解得p ＝23或＝13.又p>12，所以p ＝23(2)依题意知X 的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X ＝2)＝59，P(X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫1－59×59＝2081，P(X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫1－59×⎝⎛⎭⎫1－59×1＝1681，则随机变量的分布列为故EX ＝2×59＋4×2081＋6×81＝81.【难点突破】16．解答 (1)依题意X 的分布列为(2)设A i表示事件”第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2.B i表示事件”第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2，所求的概率为P(A)＝P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.。
2023年高考数学一轮总复习第51讲：二项分布超几何分布正态分布
第1页共13页2023年高考数学一轮总复习第51讲：二项分布、超几何分布、正态分布【教材回扣】1．二项分布：(1)概念：一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝________________，k ＝0,1,2，…，n .如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从____________________，记作______________．(2)均值与方差：如果X ～B (n ，p )，那么E (X )＝________，D (X )＝________．2．超几何分布(1)概念：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝____________，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．(2)均值：E (X )＝np .3．正态分布：(1)有关概念：对任意的x ∈R ，f (x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2>0(μ∈R ，σ＞0为参数)，我们称f (x )为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X 的概率分布密度函数为f (x )，则称随机变量X 服从正态分布，记作__________________．特别地，当μ＝__________，σ＝________时称随机变量X 服从标准正态分布．(2)正态曲线的特点：①它的图象在□10________上方；②x 轴和曲线之间的区域的面积为□11________；③曲线是单峰的，它关于直线□12________对称；④曲线在x ＝μ处，达到峰值1σ2π；⑤当|x |无限增大时，曲线无限接近□13________.(3)均值与方差：若x ～N (μ，σ2)，则E (X )＝□14________，D (X )＝□15________.【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．()2．二项分布和超几何分布都是放回抽样．()3．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()题组二教材改编。
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习基础达标演练 第十一章 第3讲 二项式定理 Word版含解析]
第3讲 二项式定理分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·陕西卷改编)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6·(2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15.答案 152．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为________．解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12.答案 123．(2011·天津改编)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为________． 解析 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r ， 当r ＝1时为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38. 答案 －384．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.答案 1或385．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为________．解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2， 令4－3r 2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .答案 1506．已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．解析 已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，则0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，令x ＝－1，则25＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.∴a 0＋a 2＋a 4＝－(a 1＋a 3＋a 5)＝16.则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－256.答案 －256二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎨⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 8．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1解 (1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1n . (2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.(3)设C r －1n ∶C r n ∶C r ＋1n ＝3∶4∶5，由C r －1n C r n＝34，得r n －r ＋1＝34， 即3n －7r ＋3＝0，① 由C r n C r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45， 即4n －9r －5＝0 ② 解①②联立方程组得，n ＝62，r ＝27，即C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.。
[vip专享]2014届高考数学(理)一轮复习教案第十四章算法初步、推理与证明、复数第5讲 数学归纳法(苏教版)
a1＝a，an＋1＝a2n＋a1，M＝{a∈R|n∈N*，|an|≤2}．
(1)当 a∈(－∞，－2)时，求证：a∉M；
( ]1
0， (2)当 a∈ 4 时，求证：a∈M；
( ) 1
，＋∞
(3)当 a∈ 4
时，判断元素 a 与集合 M 的关系，并证明你的结论．
证明 (1)当 a<－2 时，|a1|＝|a|>2，所以 a∉M.
1
1
(2)当 0<a≤4时，|an|≤2(∀n≥1)．
1
事实上，①当 n＝1 时，|a1|＝|a|≤2.
②设 n＝k－1 时成立(k≥2 为某整数)，
( )1 1 1
则对 n＝k，|ak|≤|ak－1|2＋a≤ 2 2＋4＝2. 1
由归纳假设，对任意 n∈N *，|an|≤2<2， 所以 a∈M.
23WOR1DWO---RDWwOorRdDw1ordword
( )1
a－ 所以 an＋1－a＝an＋1－a1≥n 4 .
2－a
( ) 1
1
a－
a－
当 n> 4时，an＋1≥n 4 ＋a>2－a＋a＝2，
即 an＋1>2，因此 a∉M.
[方法总结] 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，证明 n＝k＋1 成立时，必须
用 n＝k 成立的结论．用数学归纳法证题的过程可以总结为“两个步骤一个结
一个命题趋势
预计在 2014 年高考中，数学归纳法可能会与数列、不等式等内容相结合考
23WOR1DWO---RDWwOorRdDw1ordword
21
3 2 1 “” 23WOR1D
1 320082 1 3
3 2 “”1 …… ………………17
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第5讲 独立性、二项分布及其应用
分层训练B级 创新能力提升
1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，
则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．
解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2
个黑球共4个球，所以取到白球的概率P＝24＝12.
答案 12
2.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，
其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概
率是________．
解析 设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合
的事件为R，
则P(T)＝P(R)＝1－12×12＝34，
所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝5564.
答案 5564
3．(2011·重庆卷)将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数
多的概率为________．
解析 由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率
P＝C66126＋C56126＋C46126＝1＋6＋1564＝1132.
答案 1132
4．(2010·福建卷)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手
若能连续．．正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正
确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选
手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析 记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，且P(Ai)＝0.8.
选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错，第三、
第四个问题必回答对，
∴所求事件概率P＝P(A2·A3·A4)＝P(A2)·P(A3)·P(A4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝
0.128.
答案 0.128
5．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三
人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须
且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票
相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该
项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
(1)求该公司决定对该项目投资的概率；
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为
P＝C2313223＋C33133＝727.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四
种情形：
“同意”票张数 “中立”票张数 “反对”票张数
事件A
0 0 3
事件B
1 0 2
事件C
1 1 1
事件D
0 1 2
P(A)＝C33133＝127，
P(B)＝C13133＝19，
P(C)＝C13C12133＝29，
P(D)＝C13133＝19.∵A、B、C、D互斥，
∴P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1327.
6．(2011·全国卷)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购
买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解 记A表示事件：“该地的1位车主购买甲种保险”；
B表示事件：“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；
C表示事件：“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；
D表示事件：“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”；
E表示事件：“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”，
则
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B.
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝C23×0.2×0.82＝0.384.
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