各种有趣的数

各种有趣的数

1、完美数各自的全部因数中除他本身,其余各因数的和正好等于他本身.

第一个完美数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完美数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。后面的完全数还有496、8128等等。2、数学中的“自守数”

任何两个整数相乘,只要它们的末位都是5或6,那么,乘积的末位数字也必然是5或6。5或6就像一条甩不掉的“尾巴”,始终与它们形影相随人们称这样的数为“自守数”。

例

如:5×5=25;6×6=36;25×25=625;76×76=5776;625×625=39 0625;376×376=141376;……从上式可见,两位的自守数是25和76,它们分别是一位的自守数5和6的“伸长”。三位的自守数也正好是一对:625和376,它们又分别是两位自守数25和76的“伸长”。自守数从5和6出发,可以无限伸长,它的位数不受限制。十位的两个自守数是:8212890625和1787109376。有人已经用计算机算出了长达500位的自守数,并且已经找到了求自守数的方法。有趣的是,自守数的伸

长,还存在一种普遍的规律,即:5+6=10+1 25+76=100+1 625+376=1000+1……数中奥秘真是无穷无尽

什么是自守数？

人的相貌可以遗传。同样数字也可以遗传

做平方运算时，数字也可以遗传。例如

52=25，

252=625。

在以上两个等式中：

5和它的平方25，最后一位数字一模一样（一位遗传）；

25和它的平方625，最后两位数字一模一样（两位遗传）。

有没有位数更多的遗传现象呢？下面一串等式提供了

三位、四位、五位和六位遗传现象的例子。

6252=390625，

06252=390625，

906252=8212890625，

8906252=793212890625。

严格说来，0625不能算是四位数，只能看成四位密码锁上的一个号码。但是它的平方确实把这四位号码完全保留在平方数的尾部。况且，把0625也算在里面，还有一个好处，就是保持了演变的连续性：上面这些等式左边的数，按照位数从少到多，顺次是5，25，625，0625，90625，890625。

这是一个在平方运算下具有数字遗传特性的家族。从这一列数中的每个数要得到它后面相邻的数，只需在原数前面加上一个适当的数字；反过来，要得到这列数中某个数前面相邻的数，只需划去原数最前面一位的数字。只要记下这列数中有一个数是890625，把它的数字从前往后顺次一个一个地划掉，就得到前面几个数了。

下面是另外一组有遗传特性的数：

62=36，

762=5776，

3762=141376，

93762=87909376，

093762=87909376，

1093762=11963109376。

上面这些等式左边的数，按照位数从少到多，顺次是6，76，376，9376，09376，109376。

这是另一个在平方运算下具有数字遗传特性的家族。和刚才的情形类似，从这列数中的每个数要得到它后面相邻的数，只需在原数前面加上一个适当的数字；而要得到其中某数前面相邻的数，只需划去原数最前面一位的数字。

以上两组奇妙的数，不但性质类似，而且互相之间有一种奇妙的联系：

5+6=11，

25+76=101，

625+376=1001，

0625+9376=10001，

90625+09376=100001，

890625+109376=1000001。

在一些资料中，把这种在平方运算下具有数字遗传特性的数，叫做自守数。

3、的士数

第n个的士数(Taxicab number)，一般写作Ta(n)或Taxicab(n)，定义为最小的数能以n个不同的方法表示成

两个正立方数之和。1954年，G·H·哈代与爱德华·梅特兰·赖特证明对于所有正整数n这样的数也存在。可是他们的证明对找寻的士数毫无帮助，截止现时，只找到6个的士数

Ta(2)因为哈代和拉马努金的故事而为人所知：

我（哈代）记得有次去见他（拉马努金）时，他在Putney 病得要命。我乘一辆编号1729的的士去，并记下(7·13·19)这个看来没趣的数，希望它不是什么不祥之兆。“不，”他说，“这是个很有趣的数；它是最小能用两种不同方法表示成两个（正）立方数的数。

在Ta(2)之后，所有的的士数均有用电脑来找寻。

Ta(6)的找寻

David W. Wilson证明了Ta(6) ≤ 8,2305,4525,8248,0915,5120,5888。

1998年丹尼尔·朱利阿斯·伯恩斯坦证实39,1909,2742,1569,9968 ≥ Ta(6) ≥ 10

2002年Randall L. Rathbun证明Ta(6) ≤

241,5331,9581,2543,1206,5344

2003年5月，Stuart Gascoigne确定Ta(6)> 6.8*10^19 ，且Cristian S. Calude、Elena Calude及Michael J. Dinneen 显示Ta(6)=241,5331,9581,2543,1206,5344的机会大于99%。

4、吸血鬼数字

吸血鬼数字是指位数为偶数的数字，可以由一对数字相乘而得到，而这对数字各包含乘积的一半位数的数字，其中从最初的数字中选取的数字可以任意排序。以两个0结尾的数字是不允许的，例如，下列数字都是“吸血鬼”数字：1260 = 21 * 60

1827 = 21 * 87

2187 = 27 * 81

1994年柯利弗德·皮寇弗在Usenet社群sci.math的文章中首度提出吸血鬼数。后来皮寇弗将吸血鬼数写入他的书Keys to Infinity的第30章。

最初几个吸血鬼数为：

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, ...

伪吸血鬼数和一般吸血鬼数不同之处在于其尖牙不强制是n/2个位的数，故伪吸血鬼数的位数可以是奇数。

2002年Carlos Rivera定义了质吸血鬼数：尖牙是质因子的吸血鬼数，例如117067, 124483, 146137, 371893, 536539。

5、陷阱数

苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开迷雾。

6174有什么奇妙之处？

请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但这四个数不准完全相同，例如 3333、7777等都应该排除。

写出四位数后，把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，又得到一个最大的数和最小的数，两者相减……这样循环下去，一定在经过若干

次（最多7次）变换之后，得到6174。

例如，开始时我们取数8208，重新排列后最大数为8820，最小数为0288，8820—0288＝8532；对8532重复以上过程：8532－2358=6174。这里，经过两步变换就掉入6174这个“陷阶”。

需要略加说明的是：以0开头的数，例如0288也得看成一个四位数。再如，我们开始取数2187，按要求进行变换：2187 → 8721－1278＝7443→7443－3447＝3996→9963－3699=6264→6642－2466＝4176→7641－1467＝6174。

这里，经过五步变换就掉入了“陷阱”——6174。

拿6174 本身来试，只需一步：7641－1467=6174，就掉入“陷阱”祟也出不来了。

所有的四位数都会掉入6174设的陷阱，不信可以取一些数进行验证。验证之后，你不得不感叹6174的奇妙。

著名数学难题“女生散步”

困扰中外数学界150余年的著名数学难题“女生散步问题”，日前被苏州市数学高手顾老师攻克。

“女生散步问题”是早在1850年由英国数学家柯克曼提出的一道难题，其含义为“15个女生每3人一行外出散步一次，怎样安排才能使每个女生在一周7天内与其他14个女生在3人行中各散步一次？”问题提出后，不少数学家苦心研究，但历经150余年均未能全部攻克，被公认为世界级难题。著名数学家陈景润生前也仅研究出其中一种解法，他曾为“满足条件的方案究竟有多少个呢”而困惑，深感这是“很复杂和非常困难的问题”。近年来，也曾有人用玩具组合法破译“女生散步问题”，然而这也仅是一种实验解法，远不能穷尽其答案。

据苏州日报报道，“曾完整破译了世界另一难题“幻方密码”的苏州退休高级教师顾子扬，通过潜心研究又找到了破译“女生问题”良方，用他的方法，可获得满足该题条件的全部7

种方案。顾老师的这一数学论文手稿近由苏州大学、杭州大学、郑州大学、苏州科技学院、苏州核能研究所等的多名数学专家、教授核阅、论证后，公认思路奇巧，途径高明，解题缜密，结果正确，“女生散步”这一横跨了3个世纪、困惑过无数数学家的世界难题终于在中国苏州得到冰释。

21世纪七大数学难题

2008年11月19日星期三 18:05

21世纪七大数学难题

最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5

月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。

“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多

得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学

中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。

“千僖难题”之二：霍奇（Hodge）猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。

“千僖难题”之三：庞加莱（Poincare）猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通

的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。“千僖难题”之四：黎曼（Riemann）假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2，3，5，7，等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1，500，000，000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多

奥秘带来光明。

“千僖难题”之五：杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界

的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象

的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

“千僖难题”之六：纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七：贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swi nnerton-Dyer）猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z（s）在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z（1）等于0，那么存在无限多个有理点（解），相反，如果z（1）不等于0，那么只存在有限多个这样的点。

一掌擎天，五指三长两短；

六合插地，七层四面八方。

一岁二春双八月，人间两度春秋；

六旬花甲再周天，世上重逢甲子。

三才天地人

四诗风雅颂

三千里外一条水

十二时中两度潮——杭州碧波亭

万瓦千砖百日造成十字庙

一舟二橹三人摇过四通桥

三竺六桥九溪十八涧

一茶四碟二粉五千文

十八年前未谋面

二三更后便知心

童子看椽一二三四五六七八九十先生讲命甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

北斗七星，水底连天十四点；

南楼孤雁，月中带影一双飞。

小村店三杯五盏无有东西

大明国一统万方不分南北

半醉半醒过半夜

三更三点到三河

孤山独庙，一将军横刀匹马；

两岸夹河，二渔叟对钓双钩。

持三字帖，见一品官，儒生妄敢称兄弟；

行千里路，读万卷书，布衣亦可傲王侯。

有三分水二分竹添一分明月

从五步楼十步阁望百步大江

尺蛇入谷量量九寸零十分

七鸭浮江数数三双多一只

传说有一次苏东坡与两学友赶考，因为发大水，船只行进困难耽搁时日，应考迟到了。一学友感叹道：

一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四浆五帆，经由六滩七湾，历尽八颠九簸，可叫十分来迟。

苏东坡毫不泄气，劝勉道：

十年寒窗，进过九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中！

“一、二、三……十”数字一顺一倒，真是妙趣横生。

古时曾有人在家门口贴了一副与众不同的对联：

上联：二二三三四四五

下联：六六七七八八九

横批是：二四七三

这是一副特殊的对联，它是由数字组成的，而且是一副隐字联，上联缺“一”、下联少“十”，利用数字谐音连起来是“缺衣少食”，而横批则是：“儿（2）死（4）妻（7）散（3）”。

杭州六和塔的一幅对联：“一掌敬天，五指三长二短；六和播地，七层四面八方。”它使用了一至八的数字，把静态的事物写得多姿多彩，充分显示出古塔的雄伟壮观。