2011年中考分类试题：二次函数2(二次函数的应用题)
2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编--二次函数的应用
AD EFMO O 2011—2012学年度（下）十五中九年级数学月考试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDDAABCCAB二、填空题：11、2)3(-a 12、m>1 13、相交 14、y=(x-2)2+1 15、2116、100 三、解答题：17、（1）解：原式＝1＋1＋9 ………………5分＝11 ………………7分（2）解：原式=a b ab a a b a 222+-÷-…………………3分 =2)(b aaa b a -∙- …………………6分 =ba -1 …………………7分 18、在□ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ………………2分∴∠E ＝∠H ，∠EAF ＝∠D ………………4分 ∵AD ∥BC ∴∠HCG ＝∠D∴∠EAF ＝∠HCG ………………6分 ∵AE ＝AB ，CH ＝CD∴AE ＝CH ………………8分 ∴△AEF ≌△CHG ………………10分 19、解：（1）…4分（2）甲的票数是：200×34%=68（票）乙的票数是：200×30%=60（票）丙的票数是：200×28%=56（票） …………7分 （3）甲的平均成绩：1.853523855922681=++⨯+⨯+⨯=x乙的平均成绩：5.853523955902602=++⨯+⨯+⨯=x 丙的平均成绩：7.823523805952563=++⨯+⨯+⨯=x ∵乙的平均成绩最高 ∴应该录取乙。
…………12分甲 乙丙竞选人100 95 90 85 80 75 70分数笔试 面试图二20、解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………2分 ∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………4分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………5分 (2) OF =21CD …………6分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………8分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………10分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD …………12分 21、解：（1）设商店购买彩电x 台，则购买洗衣机（100-x ）台。
二次函数综合应用题(有答案)
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
2011年数学中考复习用资料：二次函数综合题精选2011
二次函数综合题精选1、已知抛物线与x 轴两交点之间的距离是8，且顶点为M(1，8)，求它的解析式。
2、 已知直线y =－x+3与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，抛物线y =－x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点。
(1)、求抛物线的解析式；(2)若点P 在直线BC 上，且S △PAC =21S △PAB ，求点P 的坐标。
3、据某气象中心观察和预测，发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h) 与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部份的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)。
(1)、当t=4时，求s 的值。
(2)、将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)、若N 城位于M 地的正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由。
4、已知：m 、n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=-x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0),B(o,n)。
(1)、求这个抛物线的解析式。
(2)、如图所示，设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；(3)、P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H ，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部份，请求出点P 的坐标。
5、如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线y=x+m与该抛物线交于A 、B两点，其中点A 的坐标为(3，4)，点B 在y 轴上。
(1)、求m 的值及这个抛物线的解析式。
(2)P 为线段AB 上的一个动点(点P 与A 、B 不重合)，过P 作x 轴的垂线与这个抛物线的图象交于点E ，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
二次函数应用题专题(带答案)
二次函数应用题专题(带答案)0)时，可用交点式y=a(x-x1x-x2求其解析式。
4)根据问题要求，利用解析式求出所需的未知量。
三、练1、一枚炮弹在发射点上空爆炸，爆炸点离发射点水平距离1800米，爆炸高度为400米，求炮弹的初速度和仰角。
2、一架飞机以900km/h的速度飞行，飞行高度为2km，发现前方有一座山峰，山顶离飞机水平距离为10km，求飞机的爬升率和俯冲率。
3、一个人从距离地面20米的悬崖上抛出一个物体，物体抛出初速度为20m/s，抛出角度为60度，求物体落地点到悬崖的水平距离。
XXX：1、设炮弹飞行时间为t，初速度为v，仰角为θ，则可列出方程组：x=vtcosθy=vtsinθ-1/2gtx2y21800)2400)=xxxxxxx解得v600m/s，θ≈48.6°。
2、设飞机的爬升率和俯冲率分别为a和b，则可列出方程组：tan(θ-a)=4000/tan(θ+b)=2000/解得a≈2.5°，b≈1.4°。
3、设物体落地点到悬崖的水平距离为d，则可列出方程：d=vcosθtt=2vsinθ/g代入可得d≈40.8m。
评析：二次函数应用题需要学生熟练掌握建立坐标系、求解析式、利用解析式求未知量的方法，同时也需要学生对物理知识有一定的掌握，如抛物线运动、平抛运动等。
练中的例题和练题都体现了这些要点，可以帮助学生加深对二次函数应用的理解和掌握。
在教学过程中，可以引导学生多思考实际问题中的数学应用，提高他们的应用能力和解决问题的能力。
例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．1)求y与x之间的关系式；2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有 y= -30x+960 (16≤x≤32)．2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=-30+48x-512+1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一次函数求最值．例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)1)求这个二次函数的解析式；2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米)解：(1)设二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。
2011年中考复习——二次函数知识点(典型试题)-推荐下载
五、二次函数 y ax2 bx c 的性质
1.
当
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为
b 2a
，
4ac 4a
b2
．
当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时， y 有最小值 4ac b2 ．
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0， c、以及 0， c关于对称轴 对称的点 2h，c、与 x 轴的交点 x1 ， 0， x2 ， 0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
3. y ax h2 的性质：
结论：左加右减。 总结：
4. y ax h2 k 的性质：
总结：
a 的符号 a0
a0
开口方向 向上
向下
顶点坐标
h， k
h， k
对称轴 X=h
性质
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．
a 的符号 a0
a0
a 的符号 开口方向
a0
a0
2. y ax2 c 的性质：
开口方向 向上 向下
向上
向下
顶点坐标
0， c
0， c
顶点坐标
0， 0
0， 0
顶点坐标
2011中考数学真题解析50 二次函数图像及其性质(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编二次函数图像及其性质一、选择题1.（2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3考点：二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B、D，将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，错误，代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，正确．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除．2.（2011•江苏宿迁，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A、a＞0B、当x＞1时，y随x的增大而增大C、c＜0D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据图象可得出a ＜0，c ＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根． 解答：解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，故A 选项错误； ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，故B 选项错误；∵对称轴x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；故C 选项错误； ∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D 选项正确． 故选D ．点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．[来源:Z§xx§]3. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x 2+1与双曲线y=xk的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式xk +x 2+1＜0的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜﹣1C ．0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0考点：二次函数与不等式（组）。
2011年中考二次函数综合练习题
2011年中考二次函数综合练习题解答题1. （2011广东东莞，15，6分）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx+l 经过的象限，并说明理由．2. （ 2011重庆江津， 25，10分）已知双曲线x ky =与抛物线y=zx2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,3. （2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．.4.（2011广东汕头，15，6分）已知抛物线212y x x c=++与x轴有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．5. （2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x的方程12)31(2=-+--axaax当a取何值时，二次函数12)31(2-+--=axaaxy的对称轴是x=-2；求证：a取任何实数时，方程12)31(2=-+--axaax总有实数根.6. (2011江苏南京，24，7分)（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．7．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.y8. （2011贵州贵阳，21，10分）如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（3分）（2）求点B的坐标；（3分）（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．（4分）（第8题图）9. （2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - 12x2 - x +32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．11O10. (20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO 中,已知点,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x 的图象是直线l,直线AC ∥x 轴交直线l 于点C. (1)C 点坐标为_____;(2)以点O 为旋转中心,将△ABO 顺时针旋转角a(0°<a<180°),使得点B 落在直线l 上的对应点为B ',点A 的对应点为A ',得到△A OB ''. ①∠a=_____; ②画出△A OB '';(3)写出所有满足△DOC ∽△AOB 的点D 的坐标.11. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=21x2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M(m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m 的值． 第27题图12. （2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分）13. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）如图，直线33+=xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.14．（2011湖北荆州，22，9分）（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴是，B （4,2），一次函数1-=kx y 的图象平分它的面积，关于x 的函数k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，求m 的值.第14题图15. （2011湖北宜昌，24，11分）已如抛物线y = ax2+bx+c 与直线y=m x +n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，21-)和(m-b ，m2 – mb + n ，其中a ，b,c,m ，n 为实数，且a ，m 不为0.(1)求c 的值；(2)设抛物线y = ax2+bx+c 与x 轴的两个交点是(1x ，0)和(2x ，0)，求21x x 的值； (3)当11≤≤-x 时，设抛物线y = ax2+bx+c 与x 轴距离最大的点为P （x ，y ），求这时y 的最小值.答案1【答案】（1）∵抛物线与x 轴没有交点∴⊿＜0，即1－2c ＜0 解得c ＞12(2)∵c ＞12∴直线y=12x ＋1随x 的增大而增大，∵b=1∴直线y=12x ＋1经过第一、二、三象限2 【答案】(1)把点A(2,3)代入x ky =得 ：k=6·∴反比例函数的解析式为：x y 6=· 把点B(m,2)、C(－3,n)分别代入x y 6=得： m=3,n=-2·把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax2+bx+c 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++239239324c b a c b a c b a 解之得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=33231c b a∴抛物线的解析式为：y=-332312++x x ·(2)描点画图 S △ABC=21(1+6)×5-21×1×1-21×6×4=1221235--=5·3【答案】解：（1）把点P 代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b －3，解得b=－2. 当1＜x ≤3时y 的取值范围为－4＜y ≤0.（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长． ②当m 取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m －3、m2－4、m2＋2m －3，由于， m2－2m －3＋m2－4＞m2＋2m －3，（m －2）2－8＞0， 当m 不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立．所以当m 取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长， 4【答案】（1）∵抛物线与x 轴没有交点∴⊿＜0，即1－2c ＜0 解得c ＞12 (2)∵c ＞12 ∴直线y=12x ＋1随x 的增大而增大， ∵b=1∴直线y=12x ＋1经过第一、二、三象限5【答案】(1)解：∵二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2 ∴22)31(-=---a a 解得a=-1经检验a=-1是原分式方程的解.所以a=-1时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2； （2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，012)31(2=-+--a x a ax ， 当时，042≥-ac b 方程总有实数根，∴()[]0)12(4a 312≥----a a 整理得，0122=+-a a0)1(2≥-a∵a≠0时0)1(2≥-a 总成立 所以a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根. 6【答案】解：⑴当x=0时，1y =．所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2(6)40m --=，9m =． 综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 10【答案】（1）抛物线与x 轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2（2）∵抛物线的解析式是y=x²-2x+1,∴A （0，1），B （1，0）∴△AOB 是等腰直角三角形，又AC ∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A ，C 是对称点，∴AB=BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形。
2011年中考数学复习用资料 二次函数综合题精选
二次函数习题精选1、如图1，抛物线341412++-=x x y 与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，与直线b kx y +=交于A 、D 两点。
⑴直接写出A 、C 两点坐标和直线AD 的解析式； ⑵如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m 记做P 点的横坐标，第二次着地一面的数字n 记做P 点的纵坐标.则点()n m P ,落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？解：⑴ A 点坐标：(－3，0)，C 点坐标：C(4，0)； 直线AD 解析式：4341--=x y .⑵ 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）： 总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图1中抛物线与直线围成区域内的结果有7种： （－1，1），（1，－1），（1，1），（1，3），（3，－1），（3，1），（4，－1）.因此P （落在抛物线与直线围成区域内）＝167. 2、今年我国多个省市遭受严重干旱. 受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y （元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x 的变化情况满足二次函数 2120y x bx c =-++. （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2141.x m +=，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为251+-=x m ．试问 4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜. 从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的价格仅上涨%8.0a . 若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值. 解：（1）4月份y 与x 满足的函数关系式为0.2 1.8y x =+．把1x =， 2.8y =和2x =， 2.4y =分别代入2120y x bx c =-++，得 12.8,20142 2.4.20b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩ 解得 0.25,3.1.b c =-⎧⎨=⎩ ∴5月份y 与x 满足的函数关系式为20.050.25 3.1y x x =--+． 图2 -1 32（2）设4月份第x 周销售一千克此种蔬菜的利润为1W 元，5月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为2W 元．11(0.2 1.8)( 1.2)4W x x =+-+0.050.6x =-+．∵0.050-<，∴1W 随x 的增大而减小． ∴当1x =时，10.050.60.55W =-+=最大．221(0.050.25 3.1)(2)5W x x x =--+--+20.050.05 1.1x x =--+．∵对称轴为0.050.52(0.05)x -=-=-⨯-，且0.050-<，∴当0.5x >-时，y 随x 的增大而减小． ∴当1x =时，21W =最大．所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元． （3）由题意知：[]100(1%)2 2.4(10.8%) 2.4100a a -+⨯+=⨯．整理，得 2232500a a +-=． 解得a =∵2391521=，2401600=，而1529更接近1521，39．∴31a ≈-（舍去）或8≈a ． 答：a 的整数值为8．3、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m =⨯-+ ∴16m =- ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴5AB =∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 在所求抛物线上．（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =-∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）4、如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点第 页 共 8 页3D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）解⑴ ∵抛物线经过点D (29,3-)∴29)3(212=+-⨯-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ，∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为6212+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32）∵M 是BD 的中点 ∴M （49,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-4923032b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==591033b k ∴直线AC 的解析式为591033+=x y . ⑶存在．设抛物线顶点为N (0，6)，在Rt △AQN 中，易得AN=，于是以A 点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ，连接AQ ，再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ，连接BP 、PQ ，此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP ．5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______；⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式；②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.解：⑴ x ，D 点；⑵ ①当0＜x ≤2时，△EFG 在梯形ABCD 内部，所以y ＝43x 2； ②分两种情况：Ⅰ.当2＜x ＜3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上，△EFG与梯形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ，∵∠FNC ＝∠FCN ＝30°,∴FN ＝FC ＝6－2x.∴GN4＝3x －6.由于在Rt △NMG 中，∠G ＝60°， 所以，此时 y ＝43x 2－83（3x －6）2＝2392398372-+-x x . Ⅱ.当3≤x ≤6时，如图2，点E 在线段BC 上，点F 在射线CH 上，△EFG 与梯形ABCD 重叠部分为△ECP ，∵EC ＝6－x,∴y ＝83（6－x ）2＝239233832+-x x . ⑶当0＜x ≤2时，∵y ＝43x 2在x ＞0时，y 随x 增大而增大，∴x ＝2时，y 最大＝3；当2＜x ＜3时，∵y ＝2392398372-+-x x 在x ＝718时，y 最大＝739； 当3≤x ≤6时，∵y ＝239233832+-x x 在x ＜6时，y 随x 增大而减小，∴x ＝3时，y 最大＝839. 综上所述：当x ＝718时，y 最大＝739.6、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1+此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.7、如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O 和x 轴上另一点E（4,0）（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.① 当411=t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．图1 图2解：（1）因抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为x x y 42+-=由x x y 42+-=()224y x =--+得当x =2时，该抛物线的最大值是4.第 页 共 8 页5（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线ME 的关系式为y=kx +b .于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k 所以直线ME 的关系式为y=-2x +8.由已知条件易得，当411=t 时，OA=AP=411，)411,411(P∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.∴ 当411=t 时，点P 不在直线ME 上. ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴PN=-t 2+3 t（ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴ S=21DC ·AD=21×3×2=3.（ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ， ∴ S=21(CD+PN )·AD=21[3+(-t 2+3 t )]×2=-t 2+3 t +3 当-t 2+3 t +3=5时，解得t=1、2而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）8、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．解：⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230ab c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.⑵令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）.设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b, 则⎩⎨⎧-==+303b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3.当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）. ⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直，又直线BC 的解析式为y ＝x －3， 所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4，所以P 点坐标为（1，－4）.方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2＝12＋（－3－y ）2,BC 2＝32＋32；PB 2＝22＋y 2由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB为斜边，则有PC 2＋BC 2＝PB 2.所以：[12＋（－3－y ）2]＋[32＋32]＝22＋y 2；解得y ＝－4，所以P 点坐标为（1，－4）.9、已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标； 解 ：1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 14 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14 x 2+x +1（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ．∵y =ax 2+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y =14x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点坐标为A （0，1）∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB6⊥AB 则∠PBC =∠BAO∴Rt △PCB ∽Rt △BOA∴AOBC OBPC =，故PC =2BC ，设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14x 2+x +1解之得：x 1=-2，x 2=-10∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16) 10、已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以，抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以，4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是11x==-+21x ==--（3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可． 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 得最小值为2．11、已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式． 解：（1）△=22)1(4)2(m m m =-+-∵方程有两个不相等的实数根, ∴0≠m . ∵01≠-m ,∴m 的取值范围是1,0≠≠m m 且. （2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m .∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m mm m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m mm x ，11)1(222-=-++-=m m m m x .∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）, ∴无论m取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（0,1-）（3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且1,0≠≠m m ,∴2=m . 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为第 页 共 8 页7861)3(22+-=--=x x x y .12、如图，已知抛物线C 1：5)2(2--=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A的横坐标是1-．（1）求p 点坐标及a 的值；（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向左平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点A 成中心对称时，求C 3的解析式k h x a y +-=2)(；（3）如图（2），点Q 是x 轴负半轴上一动点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标．解：（1）由抛物线C 1：5)2(2--=x a y 得顶点P 的坐标为（2，5）∵点A （－1，0）在抛物线C 1上∴95a =. （2）连接PM ，作PH⊥x 轴于H ，作MG⊥x 轴于G.. ∵点P 、M 关于点A 成中心对称, ∴PM 过点A ，且PA ＝MA.. ∴△P A H≌△M AG..∴MG＝PH ＝5，AG ＝AH ＝3.∴顶点M 的坐标为（4-，5）. ∵抛物线C 2与C 1关于x 轴对称，抛物线C 3由C 2平移得到∴抛物线C 3的表达式5)4(952++-=x y . （3）∵抛物线C 4由C 1绕x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称. 由（2）得点N 的纵坐标为5. 设点N 坐标为（m ，5），作PH⊥x 轴于H ，作NG⊥x 轴于G ，作PR ⊥NG 于R.∵旋转中心Q 在x轴上,∴EF＝AB ＝2AH ＝6. ∴EG ＝3，点E 坐标为（3m -，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m ，－5）.根据勾股定理，得,104m 4m PR NR PN 2222+-=+= 50m 10m HE PH PE 2222+-=+=3435NE 222=+= ①当∠PN E ＝90º时，PN 2+ NE 2＝PE 2，解得m ＝344-，∴N 点坐标为（344-，5）②当∠P EN ＝90º时，PE 2+ NE 2＝PN 2，解得m ＝310-，∴N 点坐标为（310-，5）. ③∵PN＞NR ＝10＞NE ，∴∠NP E ≠90º 综上所得，当N 点坐标为（344-，5）或（310-，5）时，以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形 13、如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B（点8B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线()01x m m =<+与抛物线交于点M ，与直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．14、如图，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，0），B （6，0），C （0，3）.(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由. 解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为)0(32≠++=a bx ax y ，则⎩⎨⎧=++=+-036360324b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=141b a 抛物线的解析式为3412++-=x x y⑵ D 的坐标为)3,4(D 直线AD 的解析式为121+=x y直线BC 的解析式为321+-=x y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=321121x y x y 求得交点E 的坐标为)2,2( ⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(又∵E )2,2(，)3,4(),3,0(D C∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥ ∴四边形CEDP 是菱形15、如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部 分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究 S 的最大值．解：（1）令0=y ，得04212=++-x x ，即0822=--x x ，解得21-=x ，42=x ，所以)0,4(A ．令0=x ，得4=y ，所以)4,0(B ．设AB 为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+404b b k ，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，所以直线AB 的解析式为4+-=x y ．（2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，当点)2,2(x x Q 在直线AB 上时，422+-=xx ，解得4=x ．所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ．（3）当点)2,(xx E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上） 42+-=x x ，解得38=x ． ①当382<≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ，此时，42)4(-=+--=x x x PC ，又PC PD =，所以22)2(221-==∆x PC S PCD ，从而，22)2(241--=x x S 88472-+-=x x78)716(472+--=x ．因为387162<≤，所以当716=x 时，78max =S ．②当438≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，此时，42)42(+-=-+-=x xx QN ，又QN QM =，所以22)4(2121-==∆x QN S QMN ，即2)4(21-=x S ．其中当38=x 时，98max =S ．综合①②得，当716=x 时，78max =S ．蜻蜓点水 一级(33) |P A C D EB o x y1-11OABPEQ Fxy （第15OABxy （第15题PEQFM N。
2011年全国中考数学模拟汇编二19二次函数的应用
19.二次函数的应用A组三解答题1．（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）某电子科技公司开发一种新产品．产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司前12个月累积．．获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象是某二次函数y=a(x-h)2+k图象的一部分，点A为抛物线的顶点，且点A，B，C 的横坐标分别为4，10，12，点A，B的纵坐标分别为-16，20．（1）求前12个月该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）分别求出前9个月公司累积获得的利润和10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解：（1）根据题意可设：y=a(x-4)2 -16，……………………………………………1分当x =10时，y =20，所以a(10-4)2 -16=20，解得a=1，……………………2分所求函数关系式为：y= (x-4)2 -16 ……………………………………………3分（2）当x =9时，y= (9-4)2 -16=9，所以前9个月公司累积获得的利润为9万元…… 4分又由题意可知，当x =10时，y=20，而20-9=11，所以10月份一个月内所获得的利润11万元………………………………………5分（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)则有：s= (n-4)2 –16-[ (n-1-4)2 -16]=2n-9…………………………………………6分因为s是关于n的一次函数，且2>0，s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，………………………………7分所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元.……8分2．（南京市江宁区2011年中考一模）（本题10分）某公司直销产品A，第一批产品A上市30天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图①中的线段表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图②中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的函数关系式；（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）答案：（1）可设正比列函数y=kt(k ≠0) …………………………………………………1分∵过点（30，60）∴60=30k ，…………………………………………………………………………………2分 ∴k=2， ……………………………………………………………………………………3分 ∴2(030)y tt =≤≤……………………………………………………………4分（2）当0≤t ≤20时，W= 3t ·2t=6t 2，……………………………………………5分 ∵当0≤t ≤20时，W 随着t 的增大而增大∴t =20时，最大值W=6×400=2400万元；…………………………………………6分 当20＜t ≤30时，W=60·2t=120t ， ………………………………………………7分 ∵当20＜t ≤30时，W 随着t 的增大而增大∴当 t=30时，最大值W=3600万元………………………………………………………8分 ∵3600＞2400………………………………………………………………………………9分 ∴30天利润最大，最大日利润为3600万元. …………………………………………10分 3．（南京市高淳县2011年中考一模）(9分)某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了300件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出300件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出15件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x 元． （1）填表（不需化简）：（2）试写出批发商销售这批T 恤的获得的总利润为y （元），试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当第二个月的销售单价为多少元时，才使得销售这批T 恤获得的利润最大？ 答案：(9分)（1）80－x ，300＋15x ， 800－300－(300＋15x ) ………3分 （2）y ＝30×300＋(30－x )( 300＋15x ) －10(200－15x ) ………5分 ＝－15x 2＋300x ＋16000x 的取值范围为:0≤x ＜30 ………6分（3） y ＝－15x 2＋300x ＋16000＝－15(x －10)2＋17500 ………7分 当x ＝10时，y 取最大值． ………8分即当第二个月的销售单价为70元时，才使得销售这批T 恤获得的利润最大．……9分4、．（2011名校联合一模）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． (1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 吨； (2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？考查内容：二次函数的应用 答案：(1)60；……………………2分(2)解法一：设每吨售价下降10x (0＜x ＜16)元，由题意，可列方程(160－10x ) (45＋7.5x ) ＝9000．……………………2分 化简得x 2－10x ＋24＝0．解得x 1＝4，x 2＝6．……………………6分所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润为9000元．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．……………………8分解法二：当售价定为每吨x 元时，由题意，可列方程 (x －100) (45＋260－x10×7.5) ＝9000．……………………2分化简得x 2－420x ＋44000＝0．解得x 1＝200，x 2＝220．……………………6分 以下同解法一．5、（2011朝阳区一模） 已知抛物线()13)2(2++-+-=m x m x y .（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点；（2）设抛物线与y 轴交于点C ，当抛物线与x 轴有两个交点A 、B （点A 在点B 的 左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA 这两角中有一个角是钝角，那么m 的取值范围 是 ；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线的顶点，当△PAO 的面积与△ABC 的面积相等时，求该抛物线的解析式.考查内容: 二次函数的应用答案：(1)证明：∵()()()131422+⨯-⨯--=∆m m ……………………………………1分()042≥+=m …………………………………………………………… 2分∴无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点. (2)m ＜-1且m≠-4. ……………………………………………………………………… 3分 (3)解：令()013)2(2=++-+-=m x m x y ，解得x 1=m+1，x 2=-3. …………………………………………………………………………4分可求得顶点()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-44,222m m P . ①当A(m+1,0)、B(-3,0)时， ∵ABC PAO S S ∆∆=，∴()()()()13421441212+⨯--=+⨯+m m m m .……………………………………………5分 解得16-=m .∴45182---=x x y .…………………………………………………………………………6分 ②当A(-3,0)、B(m+1,0)时，同理得()()()[]13421443212+-⨯+=+⨯⨯m m m .…………………………………………7分 解得58-=m . ∴595182---=x x y .…………………………………………………………………………8分 6、(2011海淀一模) 已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线2(1)y ax a x =-+与直线y kx =的一个公共点为(4,8)A .（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积.答案：（1）由题意，可得8164(1)a a =-+及84k=，解得1,2a k ==，所以，抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =. (2)分（2）设点P 的坐标为4(,2)(0)t t t ≤≤，可得点Q 的坐标为2(,2)t t t -，则 2222(2)4(2)4PQ t t t t t t =--=-=--+ 所以，当2t =时，PQ 的长度取得最大值为4.………………………………4分（3）易知点M 的坐标为（1，-1）.过点M 作直线OA 的平行线交抛物线于点N ，如图所示，四边形AOMN 为梯形.直线MN 可看成是由直线OA 向下平移b 个单位得到，所以直线MN 的方程为2y x b =-.因为点M 在直线2y x b =-上，解得 b =3,即直线MN 的方程为23y x =-，将其代入22y x x =-，可得2232x x x -=-即 2430x x -+= 解得 11x =，23x = 易得 11y =-，23y =所以，直线MN 与抛物线的交点N 的坐标为（3,3）.…………5分（备图1）（备图2）如图，分别过点M 、N 作y 轴的平行线交直线OA 于点G 、H ， 显然四边形MNHG 是平行四边形.可得点G （1,2），H （3,6）.113(10)[2(1)]222OMG S MG =⨯-⨯=⨯--=△113(43)(63)222ANH S NH =⨯-⨯=⨯-=△(31)236MNHG S NH =-⨯=⨯=△所以，梯形AOMN 的面积9OMG MNHG ANH AOMN S S S S =++=△△△梯形.……………………7分7、(2011怀柔一模) (本题满分7分)如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点C （0，-5）． （1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标。
2011年中考数学复习用资料 二次函数综合题精选
二次函数习题精选1、如图1，抛物线341412++-=x x y 与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，与直线b kx y +=交于A 、D 两点。
⑴直接写出A 、C 两点坐标和直线AD 的解析式； ⑵如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m 记做P 点的横坐标，第二次着地一面的数字n 记做P 点的纵坐标.则点()n m P ,落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？解：⑴ A 点坐标：(－3，0)，C 点坐标：C(4，0)； 直线AD 解析式：4341--=x y .⑵ 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）： 总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图1中抛物线与直线围成区域内的结果有7种： （－1，1），（1，－1），（1，1），（1，3），（3，－1），（3，1），（4，－1）.因此P （落在抛物线与直线围成区域内）＝167. 2、今年我国多个省市遭受严重干旱. 受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y （元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y 与周数x 的变化情况满足二次函数 2120y x bx c =-++. （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2141.x m +=，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为251+-=x m ．试问 4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜. 从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的价格仅上涨%8.0a . 若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值. 解：（1）4月份y 与x 满足的函数关系式为0.2 1.8y x =+．把1x =， 2.8y =和2x =， 2.4y =分别代入2120y x bx c =-++，得 12.8,20142 2.4.20b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩ 解得 0.25,3.1.b c =-⎧⎨=⎩ ∴5月份y 与x 满足的函数关系式为20.050.25 3.1y x x =--+． 图2 -1 32（2）设4月份第x 周销售一千克此种蔬菜的利润为1W 元，5月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为2W 元．11(0.2 1.8)( 1.2)4W x x =+-+0.050.6x =-+．∵0.050-<，∴1W 随x 的增大而减小． ∴当1x =时，10.050.60.55W =-+=最大．221(0.050.25 3.1)(2)5W x x x =--+--+20.050.05 1.1x x =--+．∵对称轴为0.050.52(0.05)x -=-=-⨯-，且0.050-<，∴当0.5x >-时，y 随x 的增大而减小． ∴当1x =时，21W =最大．所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元． （3）由题意知：[]100(1%)2 2.4(10.8%) 2.4100a a -+⨯+=⨯．整理，得 2232500a a +-=． 解得a =∵2391521=，2401600=，而1529更接近1521，39．∴31a ≈-（舍去）或8≈a ． 答：a 的整数值为8．3、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m =⨯-+ ∴16m =- ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴5AB =∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 在所求抛物线上．（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =-∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）4、如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点第 页 共 8 页 3D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）解⑴ ∵抛物线经过点D (29,3-)∴29)3(212=+-⨯-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ，∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为6212+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32）∵M 是BD 的中点 ∴M （49,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-4923032b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==591033b k ∴直线AC 的解析式为591033+=x y . ⑶存在．设抛物线顶点为N (0，6)，在Rt △AQN 中，易得AN=，于是以A 点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ，连接AQ ，再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ，连接BP 、PQ ，此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP ．5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______；⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式；②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.解：⑴ x ，D 点；⑵ ①当0＜x ≤2时，△EFG 在梯形ABCD 内部，所以y ＝43x 2； ②分两种情况：Ⅰ.当2＜x ＜3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上，△EFG与梯形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ，∵∠FNC ＝∠FCN ＝30°,∴FN ＝FC ＝6－2x.∴GN4＝3x －6.由于在Rt △NMG 中，∠G ＝60°， 所以，此时 y ＝43x 2－83（3x －6）2＝2392398372-+-x x . Ⅱ.当3≤x ≤6时，如图2，点E 在线段BC 上，点F 在射线CH 上，△EFG 与梯形ABCD 重叠部分为△ECP ，∵EC ＝6－x,∴y ＝83（6－x ）2＝239233832+-x x . ⑶当0＜x ≤2时，∵y ＝43x 2在x ＞0时，y 随x 增大而增大，∴x ＝2时，y 最大＝3；当2＜x ＜3时，∵y ＝2392398372-+-x x 在x ＝718时，y 最大＝739； 当3≤x ≤6时，∵y ＝239233832+-x x 在x ＜6时，y 随x 增大而减小，∴x ＝3时，y 最大＝839. 综上所述：当x ＝718时，y 最大＝739.6、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1+此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.7、如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O 和x 轴上另一点E（4,0）（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.① 当411=t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．图1 图2解：（1）因抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为x x y 42+-=由x x y 42+-=()224y x =--+得当x =2时，该抛物线的最大值是4.第 页 共 8 页5（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线ME 的关系式为y=kx +b .于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k 所以直线ME 的关系式为y=-2x +8.由已知条件易得，当411=t 时，OA=AP=411，)411,411(P∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.∴ 当411=t 时，点P 不在直线ME 上. ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴PN=-t 2+3 t（ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴ S=21DC ·AD=21×3×2=3.（ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ， ∴ S=21(CD+PN )·AD=21[3+(-t 2+3 t )]×2=-t 2+3 t +3 当-t 2+3 t +3=5时，解得t=1、2而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）8、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．解：⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230ab c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.⑵令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）.设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b, 则⎩⎨⎧-==+303b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3.当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）. ⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直，又直线BC 的解析式为y ＝x －3， 所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4，所以P 点坐标为（1，－4）.方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2＝12＋（－3－y ）2,BC 2＝32＋32；PB 2＝22＋y 2由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB为斜边，则有PC 2＋BC 2＝PB 2.所以：[12＋（－3－y ）2]＋[32＋32]＝22＋y 2；解得y ＝－4，所以P 点坐标为（1，－4）.9、已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标； 解 ：1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 14 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14 x 2+x +1（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ．∵y =ax 2+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y =14x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点坐标为A （0，1）∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB6⊥AB 则∠PBC =∠BAO∴Rt △PCB ∽Rt △BOA∴AOBC OBPC =，故PC =2BC ，设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14x 2+x +1解之得：x 1=-2，x 2=-10∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16) 10、已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以，抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以，4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是11x==-+21x ==--（3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可． 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 得最小值为2．11、已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式． 解：（1）△=22)1(4)2(m m m =-+-∵方程有两个不相等的实数根, ∴0≠m . ∵01≠-m ,∴m 的取值范围是1,0≠≠m m 且. （2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m .∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m mm m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m mm x ，11)1(222-=-++-=m m m m x .∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）, ∴无论m取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（0,1-）（3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且1,0≠≠m m ,∴2=m . 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为第 页 共 8 页7861)3(22+-=--=x x x y .12、如图，已知抛物线C 1：5)2(2--=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A的横坐标是1-．（1）求p 点坐标及a 的值；（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向左平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点A 成中心对称时，求C 3的解析式k h x a y +-=2)(；（3）如图（2），点Q 是x 轴负半轴上一动点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标．解：（1）由抛物线C 1：5)2(2--=x a y 得顶点P 的坐标为（2，5）∵点A （－1，0）在抛物线C 1上∴95a =. （2）连接PM ，作PH⊥x 轴于H ，作MG⊥x 轴于G.. ∵点P 、M 关于点A 成中心对称, ∴PM 过点A ，且PA ＝MA.. ∴△P A H≌△M AG..∴MG＝PH ＝5，AG ＝AH ＝3.∴顶点M 的坐标为（4-，5）. ∵抛物线C 2与C 1关于x 轴对称，抛物线C 3由C 2平移得到∴抛物线C 3的表达式5)4(952++-=x y . （3）∵抛物线C 4由C 1绕x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称. 由（2）得点N 的纵坐标为5. 设点N 坐标为（m ，5），作PH⊥x 轴于H ，作NG⊥x 轴于G ，作PR ⊥NG 于R.∵旋转中心Q 在x轴上,∴EF＝AB ＝2AH ＝6. ∴EG ＝3，点E 坐标为（3m -，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m ，－5）.根据勾股定理，得,104m 4m PR NR PN 2222+-=+= 50m 10m HE PH PE 2222+-=+=3435NE 222=+= ①当∠PN E ＝90º时，PN 2+ NE 2＝PE 2，解得m ＝344-，∴N 点坐标为（344-，5）②当∠P EN ＝90º时，PE 2+ NE 2＝PN 2，解得m ＝310-，∴N 点坐标为（310-，5）. ③∵PN＞NR ＝10＞NE ，∴∠NP E ≠90º 综上所得，当N 点坐标为（344-，5）或（310-，5）时，以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形 13、如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B（点8B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线()01x m m =<+与抛物线交于点M ，与直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．14、如图，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，0），B （6，0），C （0，3）.(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由. 解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为)0(32≠++=a bx ax y ，则⎩⎨⎧=++=+-036360324b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=141b a 抛物线的解析式为3412++-=x x y⑵ D 的坐标为)3,4(D 直线AD 的解析式为121+=x y直线BC 的解析式为321+-=x y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=321121x y x y 求得交点E 的坐标为)2,2( ⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(又∵E )2,2(，)3,4(),3,0(D C∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥ ∴四边形CEDP 是菱形15、如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部 分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究 S 的最大值．解：（1）令0=y ，得04212=++-x x ，即0822=--x x ，解得21-=x ，42=x ，所以)0,4(A ．令0=x ，得4=y ，所以)4,0(B ．设AB 为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+404b b k ，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，所以直线AB 的解析式为4+-=x y ．（2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，当点)2,2(x x Q 在直线AB 上时，422+-=xx ，解得4=x ．所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ．（3）当点)2,(xx E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上） 42+-=x x ，解得38=x ． ①当382<≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ，此时，42)4(-=+--=x x x PC ，又PC PD =，所以22)2(221-==∆x PC S PCD ，从而，22)2(241--=x x S 88472-+-=x x78)716(472+--=x ．因为387162<≤，所以当716=x 时，78max =S ．②当438≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，此时，42)42(+-=-+-=x xx QN ，又QN QM =，所以22)4(2121-==∆x QN S QMN ，即2)4(21-=x S ．其中当38=x 时，98max =S ．综合①②得，当716=x 时，78max =S ．蜻蜓点水 一级(33) |P A C D EB o x y1-11OABPEQ Fxy （第15OABxy （第15题PEQFM N。
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2011年中考分类试题：二次函数2（二次函数的应用题） 考点1：二次函数的数学应用题 1. （2011湖北黄石，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移=，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m²n的最大值为 。 【答案】36 2. （2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. （1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值； （2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； （3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式.
解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=12， ∴122ba,得b= 1； „„2分 （2）设所求抛物线解析式为21yaxbx，
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（12，2）
∴14211121.42abab， 解得4,38.3ab
NMFE
y
xCBAO图1 图2 图3
yxCB
AO„
CD = 1.1厘y
xCB
AO„
x y O C E
A
B
M N F
y x O C
A B ∴所求抛物线解析式为248133yxx；„„4分 （3）①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为2yaxbx， 过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，
∴13ODOCCDBC, 设OD=t，则CD=3t，
∵222ODCDOC，
∴222(3)1tt， ∴1101010t, ∴C（1010，31010）, 又 B（10，0）， ∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得 01010311010.101010abab， 解得:a=103； „„2分 ②21nan. „„2分 3. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=xk 相交于点A，B. 已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点Dx
y
O A
B
C D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=xk， 得：-2=2k，∴k=4． 即双曲线的解析式为：y=x4 ． 设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．„①
又∵tan∠AOx=4，∴nm=4， 即m=4n．„② 又①，②，得：n2=1,∴n=±1. ∵A点在第一象限，∴n=1,m=4 ， ∴A点的坐标为（1，4）
把A、B点的坐标代入y=ax2+b x，得：baba242,4解得a=1，b=3； ∴抛物线的解析式为：y=x2+3x ；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4， 代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）． ∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，
又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=21³5³6=15 ； （3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积. 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D ． 因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB， 所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.
解方程组,122,32xyxxy 得,18,3yx所以点D的坐标是（3，18） 4. （2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA． (1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线22yxxc经过点A． ①求c的值； ②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】 解：(1) ∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴， ∴AB=2，OB＝4，
∴1124422OABSABOB (2)①把点A的坐标（－2，4）代入22yxxc， 得2(2)2(2)4c，∴c＝4 ②∵2224(1)4yxxx， ∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2）， ∴m的取值范围为l5．（2011湖南益阳，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值： （1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值； （2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．
【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为21(0)yaxa ， 抛物线经过1,0A ，01,1aa ， 21yx.
图 x y B A P
P 1 O
C
D . . .
.
. . ,0,1PPxP、关于轴对称且,01P点的坐标为，－
PB∥x轴,1B点的纵坐标为, 由212xx+1 解得， 2,1B
,2PB.
OAPB，CPB∽COA，
1222CAOACBPB．
⑵ 设抛物线的解析式为2(0)yaxma 01A抛物线经过，
，0,amam＝
2ymxm
．
PB∥x轴Bm点的纵坐标为， 2ymmxmm当时， 2
20mx
，0m，220x，2x，
2,Bm
，2PB，
同⑴得12.22CAOACBPB 22CAmCB为任意正实数时，
．
6. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线212yxxa与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上. (1)求a的值； (2)求A,B两点的坐标; (3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由. 【答案】解：(1)∵二抛物线212yxxa的顶点坐标为24(,)24bacbaa，∴x=1,∵顶点在直线y=-2x上，所以y=-2,即顶点坐标为（1，-2），∴-2=12-1+a,即a=-324;(2)二次函数的关系式为21322yxx，当y=0时， 213022xx
，解之得：121,3xx，即A（-1，0），B（3，0）；（3）如图所示：
直线BD//AC,AD//BC,因为A(-1.0),C(0,32),所以直线AB的解析式为3322yx,所以设BD的解析式为32yxb,因为B(3,0),所以b=92,直线BD的解析式为:3922yx,同理可得:直线AD的解析式为:1122yx,因此直线BD与CD的交点坐标为:(2,32),则点D关于x轴的对称点D´是(2,-32),当x=2时代入21322yxx得,y=32,所以D´在二次函数21322yxx的图象上.
7．（2011湖南永州，24，10分）如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过A（2，1），B（0,7）两点． ⑴求该抛物线的解析式及对称轴；
⑵当x为何值时，0y？ ⑶在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．