四川省绵阳市2021年中考真题数学试卷(解析版)

绵阳市2021年高中阶段学校招生暨初中学业水平考试数学 本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共6页，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题，每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 整式23xy -的系数是（ ）A. -3B. 3C. 3x -D. 3x【答案】A【解析】【分析】根据单项式的系数的定义求解即可．【详解】解：23xy -的系数为-3，故选A ．【点睛】本题主要考查了单项式的系数，解题的关键在于能够熟练掌握单项式的系数的定义．2. 计算1812⨯的结果是（ ） A. 6 B. 62 C. 63 D. 66 【答案】D【解析】【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.【详解】解：1812⨯ =3223⨯=66故选：D.【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键. 3. 下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行判断即可．【详解】解：第一个图形不是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形是轴对称图形；第四个图形不是轴对称图形；故选B ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 4. 如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（ ）A 2B. 3C. 2D. 3【答案】D【解析】 【分析】如图所示，等边三角形ABC ，BC 边上的高AD 即为所求．【详解】解：如图所示等边三角形ABC ，AD 是BC 边上的高，由题意可知AD 的长即为所求，AB =2，∠B =60°，∴sin 3AD AB B ==，故选D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5. 如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 2 【答案】C【解析】 【分析】由正方形的性质得出DC CB =，90DCE CBF ∠=∠=︒，由ASA 证得DCE CBF △≌△，即可得出答案．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，90FBC DCE ∴∠=∠=︒，3CD BC ==，∵在Rt DCE 中，30∠=︒CDE ，12CE DE ∴=， 设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得：222DC CE DE +=，即2223(2)x x +=， 解得：3x =（负值舍去）， 3CE ， DE CF ⊥， 90DOC ∴∠=︒，60DCO ∴∠=︒，906030BCF CDE ∴∠=︒-︒=︒=∠，DCE CBF ∠=∠，CD BC =，()DCE CBF ASA ∴△≌△，3BF CE ∴==．故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30角的直角三角形的性质等知识，证明DCE CBF △≌△是解题的关键．6. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ）A. 60件B. 66件C. 68件D. 72件【答案】B【解析】【分析】设该分派站有x 个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，再将其代入（10x ＋6）中即可求出该分派站现有包裹数．【详解】解：设该分派站有x 个快递员，依题意得：10x ＋6＝12x −6，解得：x ＝6，∴10x ＋6＝10×6＋6＝66，即该分派站现有包裹66件．故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7. 下列数中，在380与3200之间的是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C【解析】【分析】根据3331258064>>，364=4，31255=，333125200216<<，32166=，即可得出结果．【详解】3336480125<<，3364=41255=，， 34805∴<<，又333125200216<<，32166=，∴352006<<，3348052006∴<<<<，故选：C ．【点睛】本题考查了估算无理数大小，立方根，解决本题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．8. 某同学连续7天测得体温（单位：C ︒）分别是：36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ）A. 众数是36.3B. 中位数是36.6C. 方差是0.08D. 方差是0.09【答案】C【解析】【分析】根据方差，众数，中位数的定义进行逐一求解判断即可． 详解】解：把这组数据从小到大排列：36.3、36.5、36.5、36.7、36.7、37.1、37.1， ∠处在最中间的数是36.7，∴中位数是36.7，故B 不符合题意；∵36.5，36.7，37.1都出现了两次，出现的次数最多，∴众数为36.5，36.7，37.1，故A 不符合题意；∴36.336.536.536.736.737.137.136.77x ++++++==， ∴()()()()22222136.336.7236.536.7236.736.7237.136.70.087S ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故C 符合题意，D 不符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了方差，众数，中位数的定义，解题的关键在于能够熟记定义． 9. 如图，在等腰直角ABC 中，90C ∠=︒，M 、N 分别为BC 、AC 上的点，的【50CNM∠=︒，P为MN上的点，且12PC MN=，117BPC∠=︒，则ABP∠=（）A. 22︒B. 23︒C. 25︒D. 27︒【答案】A【解析】【分析】作辅助线，构建矩形，得P是MN的中点，则MP＝NP＝CP，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．【详解】解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∴CH＝12CG＝12MN，∵PC＝12 MN，存在两种情况：如图，CP＝CP1＝12 MN，①P是MN中点时，∴MP＝NP＝CP，∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMN＝∠PCM＝90°−50°＝40°，∴∠CPM＝180°−40°−40°＝100°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵∠CPB＝117°，∴∠BPM＝117°−100°＝17°，∵∠PMC＝∠PBM＋∠BPM，∴∠PBM＝40°−17°＝23°，∴∠ABP＝45°−23°＝22°．②CP1＝12 MN，∴CP＝CP1，∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，∵∠BP1C＝117°，∴∠BP1M＝117°−80°＝37°，∴∠MBP1＝40°−37°＝3°，而图中∠MBP1＞∠MBP，所以此种情况不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，作出辅助线构建矩形CNGM 证明P 是MN 的中点是解本题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD 向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（ ）A. 11.4B. 11.6C. 12.4D. 12.6【答案】A【解析】 【分析】由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒ 由勾股定理得224DE CD CE =-=∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC ⊥∴90ACB CED ∠=∠=︒∴DEC BCA △∽△∴DE CE CD BC AC AB ==，即4356BC AB == 解得8BC =，10AB = ∵CF OB ⊥ ∴90ACB BFC ∠=∠=︒∴BCF BAC ∽△△∴BC BF AB BC=，即8108BF = 解得 6.4BF =由题意可知四边形OFCD 为矩形，∴5OF CD ==11.4OB BF OF =+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．11. 关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根1x 、2x ，若212x x =，则49b ac -的最大值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 2 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．【详解】解：由方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根1x 、2x可得，0a ≠，12b x x a +=-，12c x x a = ∵212x x =，可得13b x a =-，212c x a =，即22()3b c a a-= 化简得292ac b =则22249242(2)2(1)2b ac b b b b b -=-+=--=--+故49b ac -最大值为2故选D【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．12. 如图，在ACD △中，6AD =，5BC =，()2AC AB AB BC =+，且DAB DCA ，若3AD AP =，点Q 是线段AB 上的动点，则PQ 的最小值是（ ）A. 72B. 62C. 52D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质得到AD CD BD AD=，得到4BD =，4AB BD ==，过B 作BH AD ⊥于H ，根据等腰三角形的性质得到132AH AD ==，根据勾股定理得到22=BH AB AH =-22437-=，当PQ AB ⊥时，PQ 的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：DABDCA ∆∆， AD CD BD AD ∴=， 656BD BD +∴=， 解得：4BD =（负值舍去），DAB DCA ∆∆，9362AC CD AB AD ∴===， 32AC AB ∴=， ()2AC AB AB BC =+，()232AB AB AB BC ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 4AB ∴=，4AB BD ∴==，过B 作BH AD ⊥于H ，132AH AD ∴==， 2222437BH AB AH ∴=-=-=，3,6AD AP AD ==，2AP ∴=，当PQ AB ⊥时，PQ 的值最小，90,AQP AHB PAQ BAH ∠=∠=︒∠=∠APQABH ∴∆∆， AP PQ AB BH∴=， 247PQ ∴=， 72PQ ∴=， 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6个小题，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 如图，直线//a b ，若128∠=︒，则2∠=____．【答案】152︒【解析】【分析】利用平行线的性质可得3128∠=∠=︒，再利用邻补角即可求2∠的度数．【详解】解：如图，//a b ，128∠=︒，3128∴∠=∠=︒，21803152∴∠=︒-∠=︒．故答案为：152︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．14. 据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为__．【答案】79.110⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：用科学记数法表示：791000000=9.110⨯故答案为：79.110⨯．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是关键．15. 若3x y -=，34xy =-，则22x y -=_____． 【答案】0【解析】【分析】先求出22x y +，再求22x y -的平方，然后再开方即可求出22x y -．【详解】解：∴3x y -=，2()3x y ∴-=，2223x xy y ∴-+=，∵34xy =-， ∴22332x y ++=，∴2232x y +=，22222222()()4x y x y x y ∴-=+- 9940416=-⨯=， 220x y ∴-=， 故答案为：0．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，等式的灵活变形是本题的关键．16. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省_____元．【答案】145【解析】【分析】设打折前每盒肉粽的价格为x 元，每盒白粽的价格为y 元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数=打折前购买的总费用-打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．【详解】解：设打折前每盒肉粽的价格为x 元，每盒白粽的价格为y 元，依题意得：453500.650.710360x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得：5030x y =⎧⎨=⎩， ∴5x +5y -（0.6×5x +0.7×5y ）=5×50+5×30-（0.6×5×50+0.7×5×30）=145． 故答案为：145．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17. 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，G 为AD 中点，点E 在BC 延长线上，F 、H 分别为CE 、GE 中点，EHF DGE ∠=∠，7CF =，则AB =_____．【答案】4【解析】【分析】连接CG ，过点C 作CM ⊥AD ，交AD 的延长线于M ，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG = 2HF = 27，由AB //CD ，得∠CDM = ∠A = 60°，设DM = x ，则CD = 2x ，CM=x x ，在Rt △CMG 中，借助勾股定理得CG ===，即可求出x 的值，从而解决问题．【详解】如图，连接CG ，过点C 作CM ⊥AD ，交AD 的延长线于M ，F 、H 分别为CE 、GE 中点，∴FH 是△CEG 的中位线，∴HF=12CG ， 四边形ABCD 是菱形， ∴ AD //BC ，AB //CD ， ∴∠DGE =∠E ，∠EHF = ∠DGE ，∴∠E =∠EHF ，∴HF = EF = CF ，∴CG = 2HF =27，∴AB //CD ，∴∠CDM = ∠A = 60°，设DM = x ，则CD = 2x ，CM =3x ，点G 为AD 的中点，∴DG = x ，GM =2x ，Rt △CMG 中，由勾股定理得：22727CG GM CM x =+==，∴x =2，∴AB = CD = 2x = 4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．在18. 在直角ABC 中，90C ∠=︒，115tan tan 2A B +=，C ∠的角平分线交AB 于点D ，且22CD =，斜边AB 的值是______． 【答案】35 【解析】【分析】CD 平分∠ACB ，过点D 作DE ∠AC 于点E ，过点D 作DF ∠BC 于点F ，由此可证明四边形CEDF 为正方形，再利用22CD =，根据直角三角形的性质可求出2DE EC CF FD ====，再根据锐角三角函数和勾股定理得到252AB AC BC =⋅，求出AC BC ⋅的值即可．【详解】解：如图，CD 平分∠ACB ，过点D 作DE ∠AC 于点E ，过点D 作DF ∠BC 于点F ，∴DE ＝DF ，90CED CFD ∠=∠=︒，又90C ∠=︒，∴四边形CEDF 为正方形，DE EC CF FD ∴===，45ECD EDC ∠=∠=︒，在Rt CED 中，2sin sin 452ED ECD CD ∠==︒=， ∵22CD =，2DE EC CF FD ∴====， tan BC A AC =，tan AC B BC =，115tan tan 2A B +=， ∴52AC BC BC AC +=， 即2252AC BC AC BC +=⋅， 又222AC BC AB +=，∴252AB AC BC =⋅， ∵在Rt ADE △中，2tan DE A AE AE==，∴2tan tan DE AE A A ==， ∵在Rt BDF △中，2tan DF B BF BF ==， ∴2tan tan DF BF B B ==， ()()AC BC CE AE CF BF ∴⋅=++22(2)(2)tan tan A B=++ 4444tan tan tan tan A B A B=+++ 114(11)tan tan A B =+++ 54(2)2=⨯+ 18=，∴25182AB =， 245AB ∴=，即35AB =（舍负），故答案为：35．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．三、解答题：本大题共7个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. （1）计算：032cos 452320213︒+---； （2）先化简，再求值：2222x xy x y x y x y ---+-，其中 1.12x =，0.68y =． 【答案】（1）-1；（2）2x x y--，2 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂法则以及二次根式的性质逐步进行计算即可；（2）先根据分式的运算法则及运算顺序将原式化简，再代入求值即可．【详解】解：（1）原式2232132=⨯+---23213=+--- 1=-； （2）原式2222222()()2x y x x y xy x y x y x y +-=----- 2222()2x y x xy xy x y +-+-=- 222()()x y x x y x y +-+=- (2)()()()x x y x y x y -+=+- 2x x y-=-， 当 1.12x =，0.68y =时，原式2 1.120.8821.120.680.44-===-． 【点睛】本题考查数与式的运算能力，涉及分式的化简求值，实数的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中D 段对应扇形圆心角为72︒．注：90~100表示成绩x 满足：90100x ≤≤，下同．（1）在统计表中，a =_____，b =_____，c =_____；（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；（3）若统计表A 段的男生比女生少1人，从A 段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）5a =，0.4b =，15c =；（2）200；（3）列举见解析，35 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中D 段对应扇形圆心角为72︒，D 段人数为10人，可求出总人数，即可求出b ，c ，a 的值； （2）用样本中的频率来估计总体中的频率即可；（3）通过列举所选情况可知：共10种结果，并且它们出现的可能性相等，其中包含1名男生1名女生的结果有6种，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）总人数为：10(72360)50÷÷=（人)，20500.4b ∴=÷=，500.315c =⨯=（人)， 50(201510)5a ∴=-++=（人)，故答案为：5，0.4，15；（2）由题意得：成绩在90~100之间的人数为5，随机选出的这个班级总人数为50，设该年级成绩在90~100之间的人数为y ，则5200050y =， 解得：200y =，答：该年级成绩在90~100之间的人数为200人，（3）由（1）（2）可知：A 段有男生2人，女生3人，记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，选出2名学生的结果有：男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，共10种结果，并且它们出现的可能性相等，其中包含1名男生1名女生的结果有6种，63105P ∴==， 即选到1名男生和1名女生的概率为35．【点睛】本题主要考查了统计表和统计图，列举法求概率，用样本估计总体等知识，解决本题的关键是列举出所有等可能结果．21. 某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400 件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A 、B 两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A 类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B 类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．（1）该工艺厂购买A 类原木根数可以有哪些？（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A 、B 两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）50、51、52、53、54、55；（2）50根，100根，最大利润为76000【解析】【分析】（1）设工艺厂购买A 类原木x 根， B 类原木（150-x ），x 根A 类原木可制作甲种工艺品4x 件+（150-x ）根B 类原木可制作甲种工艺品2(150-x ）)件不少于400，x 根A 类原木可制作乙种工艺品2x 件+（150-x ）根B 类原木可制作乙种工艺品6（150-x ）件不少于680列不等式组，求出x 范围即可；（2）设获得利润为y 元，根据每件甲利润乘以甲件数+每件乙利润乘以乙件数列出函数，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）设工艺厂购买A 类原木x 根， B 类原木（150-x ）根由题意可得42(150)40026(150)680x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩， 可解得5055x ≤≤，∵x 为整数，∴50x =，51，52，53，54，55．答：该工艺厂购买A 类原木根数可以是：50、51、52、53、54、55．（2）设获得利润为y 元，由题意，()()50421508026150y x x x x =+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即22087000y x =-+．∵2200-<，∴y 随x 的增大而减小，∴50x =时，y 取得最大值76000．∠购买A 类原木根数50根，购买B 类原木根数100根，取得最大值76000元．【点睛】本题考查列不等式组解应用题，一次函数的增减性质求最值，掌握列不等式组解应用题方法与步骤，利用一次函数的增减性质求最值方法是解题关键．22. 如图，点M 是ABC ∠的边BA 上的动点，6BC =，连接MC ，并将线段MC 绕点M 逆时针旋转90︒得到线段MN ．（1）如图1，作MH BC ⊥，垂足H 在线段BC 上，当CMH B ∠=∠时，判断点N 是否在直线AB 上，并说明理由；（2）如图2，若30ABC ∠=︒，//NC AB ，求以MC 、MN 为邻边的正方形的面积S ．【答案】（1）点N 在直线AB 上，见解析；（2）18【解析】【分析】（1）根据CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，得到90B C ∠+∠=︒，可得线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即可得解；（2）作CD AB ⊥于D ，得出45MCN ∠=︒，再根据平行线的性质得到45BMC ∠=︒，再根据直角三角形的性质计算即可；【详解】解：（1）结论：点N 在直线AB 上；∵CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，∴90B C ∠+∠=︒，∴90BMC ∠=︒，即CM AB ⊥．∴线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即点N 在直线AB 上．（2）作CD AB ⊥于D ，∵MC MN =，90CMN ∠=︒，∴45MCN ∠=︒，∵//NC AB ，∴45BMC ∠=︒，∵6BC =，30B ∠=︒，∴3CD =，232MCCD==，∴218S MC ==，即以MC 、MN 为邻边的正方形面积18S =．【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线性质计算是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角ABC 的顶点A ，B 在函数()0,0k y k x x=>>图象上，//AC x 轴，线段AB 的垂直平分线交CB 于点M ，交AC 的延长线于点E ，点A 纵坐标为2，点B 横坐标为1，1CE =．（1）求点C 和点E 的坐标及k 的值；（2）连接BE ，求MBE △的面积．【答案】（1）()1,2，()2,2，23k =；（2）512 【解析】【分析】（1）由点A 的纵坐标为2，点B 的横坐标为1，可以用k 表示出A ，B 两点坐标，又//AC x 轴，ABC 为直角三角形，所以可以得到点C 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1，由此得到C 点坐标，又由于1CE =，可以得到E 点坐标，因为EM 垂直平分AB ，所以AE BE =，根据此等式列出关于k 的方程，即可求解；（2）由（1）中的k 值，可以求出A ，B 的坐标，利用勾股定理，求出线段AB 的长度，从而得到BD 的长度，先证明BDM BCA △∽△，利用相似三角形对应边成比例，求出BM 的长度，即可求出MBE △的面积．【详解】解：（1）如图，连接BE ，的由题意得点A 的坐标为(2k ，2)，点B 的坐标为(1,)k ， 又//AC x 轴，且ACB △为直角三角形， ∴点C 的坐标为(1,2)，又∠1CE =，∴点E 的坐标为(2,2)，点E 在线段AB 的垂直平分线上，EA EB ∴=，在Rt BCE 中，222EB BC CE =+，221(2)(2)2k k ∴+-=-， 2k ∴=或23， 当2k =时，点A ，B ，C 三点重合，不能构成三角形，故舍去，23k ∴=， (1,2)C ∴，(2,2)E ，23k =； （2）由（1）可得，23AC =，43BC =，1CE =， 设AB 的中点为D ， 22253AB AC BC =+=，1523BD AB ==， ABC MBD ∠=∠，90BDM BCA ∠=∠=︒，BDM BCA ∴△∽△，∴BM BD BA BC=，525534363BM ∴=⨯=， 1155122612MBE S BM CE ∆∴=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题是一道反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等相关知识，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决此题的关键．24. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，过点A 的切线与CD 的延长线交于点M ，连接OM 与AD 交于点E ，1AD >，1CD =．（1）求证：DBC AMD △△；（2）设AD x =，求COM 的面积（用x 的式子表示）；（3）若AOE COD ∠=∠，求OE 的长．【答案】（1）见解析；（2）34x x +；（3）3310【解析】【分析】（1）由矩形性质可得90ADM DCB ∠=∠=︒,然后证明DMA DBC ∠=∠即可得出结论；（2）根据勾股定理得出21AC x =+，根据相似三角形性质得出2MD x =，则212x OA ON OD OC OB +=====，根据勾股定理得出MA 的值，运用三角形面积公式表示即可； （3）记OM 与圆弧AD 交于点N ，连接DN ，证明MNDMOC △△，即可得出2221112x ND x x =++，求出ND 的值，过D 作DG AC ⊥于G ，过O 作OH DN ⊥于H ．运用等面积法得出21xHO DG x ==+，根据勾股定理得出2222DN DH OD HD ==-，代入数据联立ND 的值，解方程得出223321x ND x ==+，32OA =，设OE t =，则32NE t =-，根据相似三角形性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为O 的内接矩形， ∴AC ，BD 过圆心O ，且90ADC DCB ∠=∠=︒．∵90ADM ∠=︒,∴90DAM DMA ∠+∠=︒,又∵AM 是O 的切线，故90DAM DAO ∠+∠=︒，由此可得DMA DAC ∠=∠，又∵DAC ∠与DBC ∠都是圆弧DC 所对的圆周角，∴DAC DBC ∠=∠，∴DMA DBC ∠=∠，又∵90MDA BCD ∠=∠=︒，∴DBC AMD △△；（2）解：由AD x =，1CD =，则21AC x =+， 由题意212x OA ON OD OC OB +=====． 由（1）知DBC AMD △△，则DC AD BC MD=， 代入1DC =，BC x =，AD x =，可得1xx MD=，解得2MD x=．在直角△MAD 中，2224MA DM DA x x=+=+，所以324211112224COMx x S MA OC x x x+=⋅=+⋅+=△；（3）解：记OM与圆弧AD交于点N，连接DN．∵AOE COD∠=∠，12ADN AON∠=∠，12DBC DOC∠=∠，∴ADN DBC∠=∠．又DAC DBC∠=∠，所以DAC ADN=∠∠，∴//ND AC．∴MND MOC△△，故MD NDMC OC=．由（2）知，由AD x=，1CD=，则21AC x=+，由题意可得212xOA ON OD OC OB+=====，代入数据2MD x=，21MC MD DC x=+=+，2112OC x=+，得到2221112x NDx x=++，解得2221xNDx=+①．过D作DG AC⊥于G，过O作OH DN⊥于H．易知HO DG=．由等面积法可得1122ADCS DA DC AC DG=⋅=⋅△，代入数据得21DA DC x DG AC x ⋅==+，即21x HO DG x ==+． 在直角三角形HOD 中，2222DN DH OD HD ==-()()222222221412114111x x x x x x x x -=+-=+-=+++．② 由①②可得22221211x x x x -=++，得2222x x =-， 解得12x =，22x =-（舍去）． 所以223321x ND x ==+，32OA =． 由//ND AC ，故NED OEA △△，故ND NE AO OE=． 设OE t =，则32NE t =-，代入得333232t t -=， 解得3310t =，即OE 的长为3310． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键．25. 如图，二次函数2224y x x a =--+-的图象与一次函数2y x =-的图象交于点A 、B （点B 在右侧），与y 轴交于点C ，点A 的横坐标恰好为a ．动点P 、Q 同时从原点O 出发，沿射线OB 分别以每秒5和25个单位长度运动，经过t 秒后，以PQ 为对角线作矩形PMQN ，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a 的值及1t =秒时点P 的坐标；（2）当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，求时间t 的取值范围；（3）在位于x 轴上方的抛物线图象上任取一点R ，作关于原点()0,0的对称点为'R ，当点M 恰在抛物线上时，求'R M 长度的最小值，并求此时点R 的坐标．【答案】（1）2a =-，()1,2-；（2）1132t ≤≤+；（3）72，631,22⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）将(),2a a -，代入2224y x x a =--+-，求出a ，即可得到抛物线解析式，当1t =秒时，5OP =，设P 的坐标为(),x y ，建立方程求解即可；（2）经过t 秒后，5OP t =，25OQ t =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -进而得出M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，将(),4N t t -代入222y x x -=-+，解方程即可得到答案；（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图∠则2222''(1)(1)R M MS R S m n =+=--+-+．又222n m m =--+得2(1)3m n+=-，消去m 得22'(1)(1)R M m n =++-23724n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即可求解． 【详解】解：（1）由题意知，交点A 坐标为(),2a a -，代入2224y x x a =--+-， 解得2a =-，∴抛物线解析式为222y x x -=-+．当1t =秒时，5OP =，设P 的坐标为(),x y ， 则222552x y y x⎧⎪+==⎨=-⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩（舍）， 所以P 的坐标为()1,2-．（2）经过t 秒后，5OP t =，25OQ t =，由（1）方法知，P 的坐标为(),2t t -，Q 的坐标为()2,4t t -，由矩形PMQN 的邻边与坐标轴平行可知，M 的坐标为()2,2t t -，N 的坐标为(),4t t -． 矩形PMQN 在沿着射线OB 移动的过程中，点M 与抛物线最先相交，如图∠，然后公共点变为2个，点N 与抛物线最后相离，然后渐行渐远．如图∠，将()2,2M t t -代入222y x x -=-+，得2210t t +-=，解得12t =，或1t =-（舍）， 将(),4N t t -代入222y x x -=-+，得()213t -=，解得13t =+，或13t =-（舍）．所以，当矩形PMQN 与抛物线有公共点时，时间t 的取值范围是1132t ≤≤+．（3）设(),R m n ，则R 关于原点的对称点为()',R m n --，当点M 恰好在抛物线上时，M 坐标为()1,1-．过'R 和M 作坐标轴平行线相交于点S ，如图∠则 2222''(1)(1)R M MS R S m n =+=--+-+．又222n m m =--+得2(1)3m n +=-，消去m 得22'(1)(1)R M m n =++-2(3)(1)n n =-+-234n n =-+23724n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当32n =时，'R M 长度的最小值为72． 此时，23222n m m =--+=，解得612m =-±， 所以，点R 的坐标是631,22⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。