二次函数的像平移与翻转
论述高中数学二次函数的变换规律
论述高中数学二次函数的变换规律一、二次函数的一般形式二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、平移变换规律1. 水平平移：- 右平移h个单位：y = a(x - h)^2 + bx + c；- 左平移h个单位：y = a(x + h)^2 + bx + c。
2. 垂直平移：- 上平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c + k)；- 下平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c - k)。
三、缩放变换规律1. 水平缩放：- 横坐标伸缩为原来的k倍：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中k≠0；- 横坐标收缩为原来的k倍：y = a(kx)^2 + bx + c，其中k≠0。
2. 垂直缩放：- 纵坐标伸缩为原来的k倍：y = (ak)x^2 + bx + c，其中k≠0；- 纵坐标收缩为原来的k倍：y = (a/k)x^2 + bx + c，其中k≠0。
四、翻转变换规律1. 关于x轴翻转：y = a(-x)^2 + bx + c。
2. 关于y轴翻转：y = ax^2 - bx + c。
3. 关于原点翻转：y = a(-x)^2 - bx + c。
五、其他常见变换规律1. 拉伸变换：- 沿x轴拉伸：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中a>0，且k>1；- 沿y轴拉伸：y = (ak)x^2 + bx + c，其中a>1。
2. 旋转变换：- 顺时针旋转α角：y = a(xcosα + ysinα)^2 + bxcosα - bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
- 逆时针旋转α角：y = a(xcosα - ysinα)^2 + bxcosα + bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。
六、应用举例例如，对于二次函数y = x^2 + 2x + 1，可以通过平移、缩放和翻转等变换规律进行如下操作：- 右平移1个单位：y = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1；- 上平移2个单位：y = x^2 + 2x + 3；- 横坐标伸缩为原来的2倍：y = (1/2)x^2 + 2x + 1；- 纵坐标伸缩为原来的3倍：y = 3x^2 + 2x + 1；- 关于y轴翻转：y = x^2 - 2x + 1；- 关于原点翻转：y = x^2 + 2x + 1。
二次函数的像变换规律
二次函数的像变换规律二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中有着广泛的应用。
像变换是二次函数的一种重要操作，通过对函数的像进行变换，可以获得新的函数图像。
本文将介绍二次函数的像变换规律，以帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 平移变换平移变换是将函数图像沿着坐标轴进行移动的操作。
对二次函数来说，平移变换包括水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是将函数图像在横轴方向上的移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = a(x - h)^2 + bx + c的形式，可实现水平平移。
其中，h为平移的距离，若h为正值，则向右平移；若h为负值，则向左平移。
1.2 垂直平移垂直平移是将函数图像在纵轴方向上的移动。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = ax^2 + bx + (c + k)的形式，可实现垂直平移。
其中，k为平移的距离，若k为正值，则向上平移；若k为负值，则向下平移。
2. 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的系数，使得函数图像在坐标轴上扩大或缩小。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，a的取值决定了函数图像的开口方向和形状，而a的绝对值的大小则影响图像的扁平或瘦长程度。
2.1 改变a的绝对值当a的绝对值越大时，函数图像越瘦长；当a的绝对值越小时，函数图像越扁平。
具体而言，当|a| > 1时，函数图像相比y = x^2更瘦长；当0 < |a| < 1时，函数图像相比y = x^2更扁平。
2.2 改变b的值对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，b的取值决定了函数图像在x轴方向上的平移。
当b > 0时，函数图像向右平移；当b < 0时，函数图像向左平移。
3. 翻转变换翻转变换是改变函数图像的开口方向，可以将上凹变为上凸，或将上凸变为上凹。
二次函数--抛物线的平移、翻折、旋转
22.1.4(5)---抛物线的平移、翻折、旋转
一．【知识要点】
1.抛物线的平移、翻折、旋转：图像平移.口诀：左加右减，上加下减.
二．【经典例题】
1.①将抛物线223y x x =-+向左平移3个单位,再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为________.
三．【题库】
【A 】
1．抛物线y=﹣x 2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（ ）
A ．y=﹣（x+1）2
B ．y=﹣（x ﹣1）2
C ．y=﹣x 2+1
D ．y=﹣x 2﹣1
【B 】
【C 】
1．将抛物线y=（x ﹣1）2+3关于y 轴对称后所得抛物线的表达式为（ ）
A ．y=-（x+1）2 +3
B ．y=（x+1）2+3
C ．y=-（x-1）2-3
D ．y=（x+1）2-3
【D 】
1．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣2，0）和C，O 为坐标原点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．。
二次函数的平移与反转
二次函数的平移与反转二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在二次函数的研究中，平移和反转是两个重要的概念。
一、平移的概念平移是指二次函数在坐标平面上按照一定规律进行的位移操作。
它可以使得函数图像的位置在坐标平面上发生改变，同时保持函数图像的形状不变。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移水平平移是指二次函数图像在横向方向上的移动。
一般地，我们将向右移动看作是正向的平移，向左移动看作是负向的平移。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向右平移h个单位，则可以通过将x替换为x - h来实现。
具体地，新的函数表达式为f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c。
2. 垂直平移垂直平移是指二次函数图像在纵向方向上的移动。
类似于水平平移，向上移动被看作是正向的平移，向下移动被看作是负向的平移。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向上平移k个单位，则可以通过将整个函数表达式加上k来实现。
具体地，新的函数表达式为f(x) + k = ax² + bx + c + k。
二、反转的概念反转是指二次函数图像关于某个轴进行对称操作，使得函数图像在该轴上呈现对称关系。
反转可以分为水平反转和垂直反转两种情况。
1. 水平反转水平反转是指二次函数图像关于y轴进行对称操作。
在水平反转后，原二次函数的图像会呈现关于y轴的对称特点。
设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想对函数进行水平反转，可以通过将x替换为-x来实现。
具体地，新的函数表达式为f(-x) = a(-x)² +b(-x) + c。
2. 垂直反转垂直反转是指二次函数图像关于x轴进行对称操作。
在垂直反转后，原二次函数的图像会呈现关于x轴的对称特点。
二次函数像的平移伸缩和翻转规律
二次函数像的平移伸缩和翻转规律二次函数的平移、伸缩和翻转规律是描述二次函数图像变化的重要概念。
通过改变二次函数的系数和常数项，我们可以对其图像进行平移、伸缩和翻转操作，从而得到不同形状和位置的二次函数图像。
下面将详细介绍二次函数图像的平移、伸缩和翻转规律。
1. 平移规律平移是指将二次函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
在二次函数y = ax^2 + bx + c中，平移操作主要通过改变常数项c实现。
1.1 向上或向下平移当常数项c增加时，二次函数图像将向上平移，反之则向下平移。
平移的距离与c的绝对值成正比，即常数项c增加1个单位，图像上移1个单位；常数项c减少1个单位，图像下移1个单位。
1.2 向左或向右平移当常数项c保持不变，而系数b增加时，二次函数图像将向左平移；反之则向右平移。
平移的距离与b的绝对值成正比，即系数b增加1个单位，图像左移1个单位；系数b减少1个单位，图像右移1个单位。
2. 伸缩规律伸缩是指将二次函数图像在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
在二次函数y = ax^2 + bx + c中，伸缩操作主要通过改变系数a实现。
2.1 垂直方向伸缩当系数a增加时，二次函数图像在垂直方向上将被拉伸；反之，当系数a减少时，图像将被压缩。
伸缩的比例与a的绝对值成正比，即系数a增加1个单位，图像在y轴方向上拉伸1倍；系数a减少1个单位，图像在y轴方向上压缩1倍。
2.2 水平方向伸缩当系数a保持不变，而系数b增加时，二次函数图像在水平方向上将被压缩；反之，当系数b减少时，图像将被拉伸。
伸缩的比例与b的绝对值成正比，即系数b增加1个单位，图像在x轴方向上压缩1倍；系数b减少1个单位，图像在x轴方向上拉伸1倍。
3. 翻转规律翻转是指将二次函数图像关于某条直线对称。
在二次函数y = ax^2+ bx + c中，翻转操作主要通过改变系数a的正负实现。
3.1 关于x轴翻转当系数a为正时，二次函数图像将关于x轴翻转；当系数a为负时，图像不发生翻转。
二次函数的像变换
二次函数的像变换二次函数是数学中的一种特殊函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——拱形或抛物线，且拥有一条对称轴。
在学习二次函数时，我们会涉及到像变换，即通过对函数图像进行平移、缩放或翻转等操作，从而改变函数图像的位置、大小和方向。
一、平移变换平移变换指的是将函数图像沿x轴或y轴方向进行移动，可以使图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移将函数图像沿x轴的正方向平移k个单位，可记作f(x - k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向左平移k个单位后的新函数为y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
2. 向右平移将函数图像沿x轴的负方向平移k个单位，可记作f(x + k)，其中k为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向右平移k个单位后的新函数为y = a(x - k)^2 + b(x - k) + c，图像相对于原函数的平移方向相反，距离为k。
3. 向上平移将函数图像沿y轴的正方向平移k个单位，可记作f(x) + k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向上平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c + k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
4. 向下平移将函数图像沿y轴的负方向平移k个单位，可记作f(x) - k，其中k 为平移的距离。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，向下平移k个单位后的新函数为y = a(x)^2 + b(x) + (c - k)，图像相对于原函数的平移方向相同，距离为k。
二、缩放变换缩放变换指的是改变函数图像的大小，可以使图像变窄或变宽，变高或变矮。
二次函数图像的转化与性质
二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。
在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。
本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。
一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。
平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。
常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。
1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。
这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。
具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。
这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。
二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。
翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。
常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。
1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。
具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。
这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。
2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。
具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。
例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。
这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。
三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=221221x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（202*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（202*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（202*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．6、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为。
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二次函数的像平移与翻转
二次函数是数学中一个常见的函数类型，具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的特点。
在二次函数中，像平移与翻转是两个重要的概念，它们可以让我们对二次函数的图像进行变换和调整。
本文将介绍二次函数的像平移和翻转的概念以及相应的计算方法。
一、二次函数的基本形式
二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是常数。
二、二次函数的像平移
1. 横向平移
当二次函数的自变量向右平移h个单位时，函数的表达式变为f(x - h)。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向平移h个单位后的函数可以表示为f(x - h) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
2. 纵向平移
当二次函数的因变量向上平移k个单位时，函数的表达式变为f(x) + k。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向平移k个单位后的函数可以表示为f(x) + k = a(x - h)^2 + b(x - h) + c + k。
三、二次函数的像翻转
1. 横向翻转
当二次函数的自变量取相反数时，函数的表达式变为f(-x)。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向翻转后的函数可以表示为f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c。
2. 纵向翻转
当二次函数的因变量取相反数时，函数的表达式变为-f(x)。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向翻转后的函数可以表示为-f(x) = -
ax^2 - bx - c。
四、计算实例
举例来说，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。
如果要进行横向平移3个单位，那么平移后的函数为f(x - 3) = (x - 3)^2 + 2(x - 3) + 1。
如果要进行纵向平移4个单位，那么平移后的函数为f(x) + 4 = x^2
+ 2x + 1 + 4。
如果要进行横向翻转，那么翻转后的函数为f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) + 1。
如果要进行纵向翻转，那么翻转后的函数为-f(x) = -(x^2 + 2x + 1)。
通过以上计算方法，可以对二次函数的图像进行像平移与翻转。
这
些变换可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和特点。
总结：
二次函数的像平移与翻转是二次函数图像变换的重要概念。
横向平
移和纵向平移可以通过修改函数表达式中的自变量和因变量来实现，
横向翻转和纵向翻转可以通过取自变量和因变量的相反数来实现。
通过对二次函数进行像平移与翻转的操作，我们可以更充分地了解和利用二次函数的特性，进一步应用于数学和实际问题的解决过程中。