2022年必考点解析华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专项训练练习题(无超纲)

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华师大九年级下《第26章二次函数》检测题含答案

二次函数单元练习题一、选择题1．下列函数中是二次函数的是( B )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1 C.y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝x 3＋2x －32．将抛物线y ＝3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是( )(A)y ＝3(x ＋2)2＋4 (B) y ＝3(x －2)2＋4 (C) y ＝3(x －2)2－4 (D)y ＝3(x ＋2)2－43．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( B )A ．a ＞0B ．当－1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大4．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值是0，那么c 的值等于( )(A)4 (B)8 (C)－4 (D)165．抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋3的顶点坐标是( )(A)(－1，－5) (B)(1，－5) (C)(－1，－4) (D) (－2，－7)6．若二次函数＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )(A)a ＋c (B)a －c (C)－c (D)c7．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是( )(A) (B) (C) (D)8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论的个数为( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数的最大值为4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数关系式____．10．若二次函数y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值等于3，则k 的值等于____．．11．函数42-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________． 12．已知抛物线的顶点是(0，1)，对称轴是y 轴，且经过(－3，2)，则此抛物线的函数关系式为_________，当x ＞0时，y 随x 的增大而____．13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax 2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是_______．14．抛物线y＝(m－4)x2－2mx－m－6的顶点在x轴上，则m＝______．15．若函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝－2x2－2x＋3相同，则此函数关系式______．16．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，则使y1＞y2成立的x的取值范围是______ __三、解答题17．(8分)已知抛物线y＝a(x－h)2－4经过点(1，－3)，且与抛物线y＝x2的开口方向相同，形状也相同．(1)求a，h的值；(2)求它与x轴的交点，并画出这个二次函数图象的草图；(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜0)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．y x mx m.18、已知抛物线22（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；y x mx m与x轴交于整数点，求m的值；（2）若m是整数，抛物线22（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.19．(8分)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点D.(1)求这个二次函数的关系式；(2)求四边形ABDC的面积．20．(12分)(2011·聊城)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1,0)、C(0，－3)两点，与x 轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．参考答案:一、1－5 BCBDB 6－8 DBC ．二、9．y ＝－2(x －3)2＋4； 10．-1 ；11．(0．－4) ； 12．y ＝19x 2＋1 ；增大. 13．向上，x ＝41，(825,41-)；14．略． 15．y ＝－2x 2＋8x 或y ＝－2x 2－8x ； 16．x ＜－2或x ＞8；三、17．解：(1)a ＝1，h ＝2 (2)它与x 轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)，图象略 (3)y 1＞y 218．由已知，得30423c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩，，解得a ＝1，b ＝－2，c ＝－3．所以y ＝x 2－2x －3．(2)开口向上，对称轴x ＝1，顶点(1，－4)．19、解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)连结OD ，可求得C (0，3)，D (1，4)，则S 四边形ABDC ＝S △AOC＋S △COD ＋S △BOD ＝12×1×3＋12×3×1＋12×3×4＝920、解：(1)根据题意，y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1，且过A(－1,0)，C(0，－3)，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝1a －b ＋c ＝0，c ＝－3解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)由y ＝x 2－2x －3可得，抛物线与x 轴的另一交点B(3,0)如图①，连结BC ，交对称轴x ＝1于点M.因为点M 在对称轴上，MA ＝MB.所以直线BC 与对称轴x ＝1的交点即为所求的M 点．设直线BC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由B(3,0)，C(0，－3)，解得y ＝x －3，由x ＝1，解得y ＝－2.故当点M 的坐标为(1，－2)时，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小．(3)如图②，设此时点P 的坐标为(1，m)，抛物线的对称轴交x 轴于点F(1,0)．连结PC 、PB ，作PD 垂直y 轴于点D ，则D(0，m)．。

2022年最新精品解析华东师大版九年级数学下册第26章二次函数同步练习试题(含详解)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数2y x bx c =-+的图象经过()1,A n ，()3,B n ，则b 的值为（）A ．2B ．2-C ．4D ．4-2、二次函数y ＝x （x +2）图象的对称轴是（）A ．x ＝﹣1B ．x ＝﹣2C ．x ＝2D ．y 轴3、二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象如何平移可得到y ＝﹣2x 2的图象（）A ．向左平移1个单位，向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，向下平移3个单位4、二次函数2(1)2y x =-++的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5、把抛物线()213y x =-+向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A ．()215y x =-+B ．()211y x =-+C ．()213y x =++D ．()233y x =-+ 6、若已知抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0),(2,0)-，则关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--的解为（）A ．1x =-B ．2x =-C ．2x =-或1x =D ．2x =或0x =7、抛物线221y x x =+-的对称轴是（）A ．直线2x =B ．直线1x =C ．直线1x =-D ．直线2x =-8、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于(),0m ，,0n 两点，且过()0,A a ，4,B b 两点．若03m n <<<，则ab 的取值范围为（）A ．06ab <>B ．231y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >>10、二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图，给出下列四个结论：①240ac b -<；②320b c +<；③42a c b +<；④对于任意不等于-1的m 的值()m am b b a ++<一定成立．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、对于二次函数2y ax =与2y bx =，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知m =______，d c -=______2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列五个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（m 为实数且1m ≠）．其中正确的结论有______（只填序号）．3、如果一个二次函数图象的对称轴是直线x ＝2，且沿着x 轴正方向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式__．4、已知二次函数26y x =-+的图象上两点()11,A a b ，()22,B a b ，若120a a <<，则1b ___________ 2b（填“>”，“<”或“=”）．5、如果点A (2，y 1)，B (5，y 2)在二次函数y =x 2−2x +n 图像上，那么1y ______2y （填＞、＝、＜）6、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．7、已知抛物线 23y x =+，它与 y 轴的交点坐标为____________．8、如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣2）（0≤x ≤2）记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，若点P （2023，m ）在某段抛物线上，则m ＝_____．9、写出一个二次函数，其图像满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是(1,3)．这个二次函数的解析式可以是_________________．10、当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、已知关于x 的一元二次方程﹣212x +ax +a +3＝0． (1)求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)如图，若抛物线y ＝﹣212x +ax +a +3与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，连结BC ，BC 与对称轴交于点D ．①求抛物线的解析式及点B 的坐标；②若点P 是抛物线上的一点，且点P 位于直线BC 的上方，连接PC ，PD ，过点P 作PN ⊥x 轴，交BC 于点M ，求△PCD 的面积的最大值及此时点P 的坐标．2、如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6cm AB =，12cm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止移动．设点P ，Q 移动时间为s t ．(1)若PBQ △的面积为S ，写出S 关于t 的函数关系式，并求出PBQ △面积的最大值；(2)若BPQ C ∠=∠，求t 的值．3、如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时，t 的值为．②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示）；②求当t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？4、如图，一高尔夫球从山坡下的点O 处打出一球，球向山坡上的球洞点A 处飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12m 时，球移动的水平距离为9m ．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点间的距离为．(1)建立适当的直角坐标系，求这个球的飞行路线所在抛物线的函数表达式．(2)这一杆能否把高尔夫球从点O 处直接打入点A 处球洞？5、已知二次函数()()2y x a x a =+--（a 为常数，且1a ≠-）．(1)求证：无论a 取何值，二次函数的图像与x 轴总有两个交点；(2)点()1,P m y ，()23,Q m y +在二次函数的图像上，且12y y >，直接写出m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】由二次函数2y x bx c =-+的图象经过()1,A n ，()3,B n ，可得二次函数图象的对称轴为2,x = 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.【详解】解：二次函数2y x bx c =-+的图象经过()1,A n ，()3,B n ，∴ 二次函数图象的对称轴为：13,2122bb x解得：4,b =故选C【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.2、A【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式()211y x =+-，求解即可．【详解】解：()()222211y x x x x x =+=+=+-∴该二次函数图像的对称轴为直线1x =-故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图像的对称轴，二次函数的顶点式．解题的关键在于正确的求出顶点式．3、C【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．【详解】解：二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的顶点坐标为（1，3），y ＝﹣2x 2的顶点坐标为（0，0），只需将函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可．故选：C ．【点睛】本题考查了函数的图象变换，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4、D【解析】【分析】由图象的性质可知在直线1x =-处取得最大值，将1x =-代入解析式计算求解即可．【详解】解：由图象的性质可知，在直线1x =-处取得最大值∴将1x =-代入()212y x =-++中得2y =∴最大值为2故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．5、C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：把抛物线()213y x =-+向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：()2123y x =-++,即()213y x =++；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6、C【解析】【分析】由于抛物线2y ax bx c =++沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝a （x +1）2＋b （x +1）＋c ，由于方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2得到对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，从而得到一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--变形为a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，因为抛物线2y ax bx c =++经过点(10)(20)-，，，，所以方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2，对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，所以一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解为x ＝-2或x ＝1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．7、C【解析】【分析】抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为：2b x a=-，根据公式直接计算即可得．【详解】解：221y x x =+-，其中：1a =，2b =，1c =-，21221b x a =-=-=-⨯，故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．8、D【解析】【分析】由题意可设抛物线为y =（x -m ）（x -n ），则222424abm n ，再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），所以可设交点式y =（x -m ）（x -n ），分别代入()0,A a ，4,B b ，∴,44,a mn b m n224444ab mn m n m m n n222424m n∵0＜m ＜n ＜3，∴0＜224m ≤4 ，0＜224n ≤4 ，∵m ＜n ，∴ab 不能取16 ，∴0＜ab ＜16 ，故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到222424abm n 是解本题的关键.9、B【解析】【分析】先求得对称轴为3x =，开口朝下，进而根据点,,A B C 与3x =的距离越远函数值越小进行判断即可．解：∵26y x x c =-++∴对称轴为3x =，10a =-<，开口向下，∴离对称轴越远，其函数值越小，()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，()314,321,532--=-=-=， 124<<231y y y ∴>>故选B【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．10、C【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac ＞0，可判断①；根据对称轴是x ＝﹣1，可得x ＝﹣2、0时，y 的值相等，所以4a ﹣2b +c ＞0，可判断③；根据2b a -=-1，得出b ＝2a ，再根据a +b +c ＜0，可得12b +b +c ＜0，所以3b +2c ＜0，可判断②；x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【详解】解：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∵2b a-=-1， ∴b ＝2a ，∵a +b +c ＜0， ∴12b +b +c ＜0，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵当x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，∴4a +c ＞2b ，③错误；∵由图象可知x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a ﹣b +c ＞am 2+bm +c （m ≠﹣1）．∴m （am +b ）＜a ﹣b ．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，看懂图象，利用数形结合解题是关键．二、填空题1、 1 3【分析】根据二次函数的性质可知m =1，将d 用含c 的式子表示出来即可．【详解】解由二次函数的性质可得2y ax =的对称轴为y 轴，故由表可得(1)=02m +-， ∴m =1；∵二次函数2y bx =的对称轴为y 轴，∴d=c +3，∴d c -=3，故答案为：1，3．【点睛】此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2、③④⑤【解析】【分析】先利用二次函数的开口方向，与y 轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：10,2b xa 判断,,abc 的符号，可判断①，由图象可得：1,a b c 在第三象限，可判断②，由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间，可得点2,42a b c 在第一象限，可判断③，由3,93a b c 在第四象限，抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= 即,2b a 可判断④，当1x =时，y a b c 最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++ 此时：2,am bm c a b c 可判断⑤，从而可得答案.解：由二次函数的图象开口向下可得：0,a <二次函数的图象与y 轴交于正半轴，可得0,c > 二次函数的对称轴为：10,2b x a可得0,b > 所以：0,abc < 故①不符合题意；由图象可得：1,a b c 在第三象限， 0,a b c ,b a c 故②不符合题意；由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间， ∴ 点2,42a b c 在第一象限，420,a b c 故③符合题意；3,93a b c 在第四象限，930,a b c抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= ,2b a930,2b b c 23,c b 故④符合题意；当1x =时，y a b c最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++am bm c a b c此时：2,m am b a b故⑤符合题意；,综上：符合题意的有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.3、y＝﹣x2+4x+5（答案不唯一）．【解析】【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为负数，由此可以确定函数解析式，答案不唯一．【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为负数，∴符合条件的函数有y＝﹣x2+4x+5，答案为：y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．4、<【解析】【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得x <0时y 随x 增大而增大，进而求解．【详解】解：∵26y x =-+，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，∴x <0时，y 随x 增大而增大，∵120a a <<，∴120，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，∵点A （2，y 1）、B （5，y 2）是二次函数y =x 2-2x +1的图象上两点，2＜5，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．6、y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．【详解】解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），故解析式为：y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）．故答案为：y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．7、(0,3)【解析】【分析】把0x =代入抛物线23y x =+求出y 值，即可得到抛物线与y 轴的交点坐标．【详解】将0x =代入抛物线23y x =+得：2033y =+=∴抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．8、﹣1【解析】【分析】将这段抛物线C 1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x 轴的交点，由旋转的性质可以知道C 1与C 2的顶点到x 轴的距离相等，且OA 1=A 1A 2，照此类推可以推导知道点P （2023，m ）为抛物线C 1012的顶点，从而得到结果．【详解】解：∵y =﹣x （x ﹣2）（0≤x ≤2），∴配方可得y =﹣（x ﹣1）2+1（0≤x ≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A 1坐标为（2，0）∵C 2由C 1旋转得到，∴OA 1=A 1A 2，即C 2顶点坐标为（3，﹣1），A 2（4，0）；照此类推可得，C 3顶点坐标为（5，1），A 3（6，0）；C 4顶点坐标为（7，﹣1），A 4（8，0）；C 5顶点坐标为（9，1），A 5（10，0）；…C 1012顶点坐标为（2023，﹣1），A 1012（2024，0）；∴m =﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．9、()213y x =--+【解析】【分析】根据题意写出一个0a <，且顶点为 (1,3)的二次函数即可，可根据顶点式写出函数解析式．【详解】解：该函数的定点坐标为(1,3)，且开口向下，这个二次函数的解析式可以是：()213y x =--+ 故答案为：()213y x =--+（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．10、2m ≤【解析】【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数确定该函数图象的开口方向，再确定函数图象的对称轴,最后根据该二次函数的增减性解答即可.【详解】解：∵二次函数的解析式22y x mx =-+的二次项系数是-1,∴该二次函数的开口方向是向下又二次函数的解析式22y x mx =-+的对称轴为x=m 且当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小∴2m ≤故答案为2m ≤.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,掌握二次函数的系数与图象的关系、二次函数的增减性与对称轴的关系成为解答本题的关键.三、解答题1、 (1)见解析；(2)①y =21x x 42-++，点B （4，0）；②△PCD 的面积的最大值为1，点P （2，4）．【解析】【分析】（1）判断方程的判别式大于零即可；（2）①把A （-2，0）代入解析式，确定a 值即可求得抛物线的解析式，令y =0，求得对应一元二次方程的根即可确定点B 的坐标；②设点P 的坐标为（x ，21x x 42-++），确定直线BC 的解析式y =kx +b ，确定M 的坐标（x ，kx +b ），求得PM =21x x 42-++-（kx +b ），从而利用C ，D 的坐标表示=-PCD PCM CDM S S S △△△构造新的二次函数，利用配方法计算最值即可．(1) ∵21-+302x ax a ++=， ∴△=214(-)(3)2a a -⨯+ =2226(1)5a a a ++=++＞0，∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．(2)①把A （-2，0）代入解析式21=-+32y x ax a ++，得1-4-2302a a ⨯++=，解得a =1， ∴抛物线的解析式为2142y x x =-++，令y =0，得21402x x -++=，解得x =-2（A 点的横坐标）或x =4，∴点B （4，0）；②设直线BC 的解析式y =kx +b ，根据题意，得4=0=4k b b +⎧⎨⎩，解得=-1=4k b ⎧⎨⎩，∴直线BC 的解析式为y =-x +4； ∵抛物线的解析式为2142y x x =-++，直线BC 的解析式为y =-x +4；∴设点P 的坐标为（x ，21x x 42-++），则M （x ，4x -+），点N （x ，0），∴PM =21x x 42-++-（4x -+）=2122x x -+， ∵219(1)22y x =--+， ∴抛物线的对称轴为直线x =1，∴点D （1，3），∵=-PCD PCM CDM S S S △△△ =11-(1)22PM x PM x - =21124PM x x =-+=21(2)14x --+， ∴当x =2时，y 有最大值1，此时2142y x x =-++=4， ∴△PCD 的面积的最大值为1，此时点P （2，4）．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，分割法求图形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 2、 (1)PBQ △面积的最大值为29cm(2)65t = 【解析】【分析】（1）动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2/s cm 的速度移动，所以(6)BP t cm =-，2BQ tcm =.从而216(06)2S BP BQ t t t =⋅=-+<<，求二次函数最大值即可；（2）先证PBQ CBA ≅△△，得PB BQ BC BA =，从而62126t t -=，即可得解. (1)解：由题意可知，()6BP t cm =-，2BQ tcm =. ∴2112(6)6(06)22S BP BQ t t t t t =⋅=⋅-=-+<<；∵226(3)9S t t t =-+=--+，∴当3t =时，9S =最大.∴PBQ △面积的最大值为29cm ；(2)解：∵B B ∠=∠，BPQ C ∠=∠，∴PBQ CBA ≅△△. ∴PB BQ BC BA=. 即62126t t -=，解得65t =. 故t 的值为65.【点睛】本题结合三角形面积公式考查了求二次函数的解析式及最值问题，结合相似三角形的判定和性质考查了路程问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程＝时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．3、 (1)①2，②一次函数关系；(2)①2612S t t =-+；②1t =，S 的值最大为6【解析】【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，t 的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP =6-3t ，即y=-3t +6，即可得到答案；（2）①由已知可得：CP =-3t +6，CQ =4t ，即可得S =-6t 2+12t ；②由S =-6t 2+12t =-6（t -1）2+6，即可得t =1时，S 的值最大为6．(1)①6AC =，8BC =，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，∴当运动停止时，t 的值为63842÷=÷=，故答案为：2；②由已知可得；3AP t =，而3AC =，63CP t ∴=-，36y t ∴=-+，是一次函数，故答案为：一次函数关系；(2)①由已知可得：36CP t =-+，4CQ t =，()213646122S t t t t ∴=⨯-+⋅=-+； ②()22612616S t t t =-+=--+，且60-<，1t∴=时，S的值最大为6．【点睛】本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含t的代数式表示AP、CQ的长度．4、 (1)坐标系见解析，y=−427x2+83x(2)不能【解析】【分析】（1）首先根据题意建立平面直角坐标系，分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）求出点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．(1)建立平面直角坐标系如图，∵顶点B的坐标是（9，12），∴设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，∵点O的坐标是（0，0）∴把点O 的坐标代入得：0=a （0-9）2+12，解得a =−427， ∴抛物线的解析式为y =−427（x -9）2+12 即y =−427x 2+83x ； (2)在Rt△AOC 中，∵∠AOC =30°，OA∴AC =OA 12OC =OA ．∴点A 的坐标为（12，，∵当x =12时，y =323≠ ∴这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．5、 (1)见解析 (2)12m <- 【解析】【分析】（1）由题意依据二次函数的图像与x 轴总有两个交点即()()20x a x a +--=有两个不同的实数根进行分析即可求证；（2）根据题意将二次函数化为一般式进而代入两点列出关于m 的不等式求解即可.(1)证明：由题意得，令0y =，即()()20x a x a +--=，∴1x a =-，22x a =+，∵1a ≠-，∴2a a ≠+，∴二次函数的图像与x 轴总有两个交点，分别是(),0a -，()2,0a +.(2)由题意二次函数()()2y x a x a =+--（a 为常数，且1a ≠-）可得二次函数的一般式为：2222y x x a a =---（a 为常数，且1a ≠-），代入()1,P m y ，()23,Q m y +可得：22122y m m a a =---，222(3)2(3)2y m m a a =+-+--，由12y y >可得：222222(3)2(3)2m m a a m m a a --->+-+--，解得：12m <-. 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的综合运用，熟练掌握二次函数和一元二次方程的相关概念以及解不等式是解题的关键.。

2021-2022学年度华东师大版九年级数学下册第26章二次函数综合练习试题(含答案及详细解析)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图是抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象，其对称轴为1x =-，且该图象与x 轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点()12.3,y -与点()21.5,y ，则下列结论：①0abc >；②30a c +>；③12y y >；④对于任意实数m ，都有2am bm a b +<+．其中正确结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．42、如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（）A ．y =x 2+2x +1B ．y =x 2-2x +1C ．y =-x 2-2x +1D ．y =-x 2+2x +13、已知二次函数()21y a x =-，当0x <时，y 随x 增大而减小，则实数a 的取值范围是（） A ．0a >B ．1a <C ．1a ≠D ．1a >4、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，当点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与ABC 重叠部分面积为S ，则下列图象能大致反应S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．5、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线12x =，下列结论中正确的是（）A ．0abc D ．20a c +<6、已知点()()()123124y y y ---，，，，，在二次函数2282y x x =--+的图象上，则123y y y ，，的大小关系是（）． A ．123y y y <时，y 随x 的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若1x ，2x 是二次函数图像与x 轴交点的横坐标，则1212x x +=-，其中，正确的是（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②④8、已知关于x 的二次函数2(1)2y x a x a =+--+，当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（） A ．3aB ．3a >C ．3aD ．3a <9、若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4--，则a 的值为（）A ．-2B ．2C ．-1D ．110、二次函数26y x x c =-++的图象经过点()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系正确的为（） A ．132y y y >>B ．231y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >>第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线()223y x =-+的顶点坐标是______，对称轴是______．2、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．3、对于二次函数2y ax =与2y bx =，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知m =______，d c -=______4、已知抛物线225y x x =-+，将此二次函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式得__________，此抛物线经过两点A （-2，y 1）和2(3,)B y ，则1y 与2y 的大小关系是_____________．5、二次函数2243y x x m =-+的图像的顶点在x 轴上，则m 的值为__________．6、已知A （12-，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k =--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．7、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是 _____．8、已知二次函数()()220y a x c a =-+>，当自变量x 分别取1、4、5时，对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是________（用“＜”号连接）．9、抛物线221y x x =--+的对称轴是________．10、当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、如图1：二次函数2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点．已知1OA =，4OB OC OA ==．(1)求二次函数的解析式．(2)如图2，若D 为线段BC 上一动点，现将射线DC 绕D 点顺时针旋转60︒交二次函数于P 点，求：PD 最大值及此时点P 的坐标．(3)如图3，将二次函数2y ax bx c =++图象绕O 旋转180︒得到新函数2111y a x b x c =++，新函数与原函数在第一象限内交于点E ，点M 是直线BC 上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．2、已知二次函数y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3）．(1)求该二次函数的解析式； (2)结合函数图象直接写出： ①当﹣1＜x ＜2时，y 的取值范围； ②当y ≤3时，x 的取值范围． 3、综合与探究如图，直线243y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线243y ax x c =++经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为点D ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）点M 是线段BC 上一动点，连接DM 并延长交x 轴交于点F ，当:1:4FM FD =时，求点M 的坐标；（3）点P 是该抛物线上的一动点，设点P 的横坐标为m ，试判断是否存在这样的点P ，使90PAB BCO ∠+∠=︒，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．4、如图，直线112y x =+与x ，y 轴分别交于点B ，A ，抛物线22y ax ax c =-+过点A ．(1)求出点A ，B 的坐标及c 的值；(2)若函数22y ax ax c =-+在14x -≤≤时有最小值为4-，求a 的值；(3)当12a =时，在抛物线上是否存在点M ，使得1ABMS =，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5、在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y 和(,)Q x y '，给出如下定义：若()0'(0)y x y y x ⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P 的“可控变点”例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2)，点(1,3)-的“可控变点”为点(1,3)--． (1)点(5,2)--的“可控变点”坐标为；(2)若点P 在函数216y x =-+的图象上，其“可控变点” Q 的纵坐标y '是7，求“可控变点” Q 的横坐标：(3)若点P 在函数()2165y x x a =-+-的图象上，其“可控变点” Q 的纵坐标y '的取值范围是1616y '-，求a 的值．-参考答案-一、单选题 1、C 【解析】【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置判断①．由对称轴为直线1x =-可得2b a =，根据抛物线与x 轴交点范围及对称性可得抛物线与x 轴另一交点在(1,0)，(2,0)之间，再有0a b c ++>判断②．根据抛物线开口向下，对称轴为直线1x =-，由点1( 2.3,)y -与点2(1.5,)y 和对称轴的距离判断③．由图象可得1x =-时函数值最大，将2am bm a b +<+化为2am bm c a b c ++<++判断④．【详解】解：抛物线开口向下， 0a ∴<，对称轴在y 轴左侧， 0b ∴<，抛物线与x 轴交点在y 轴上方， 0c ∴>，0abc ∴>，①正确，符合题意．对称轴为直线12bx a=-=-， 2b a ∴=，抛物线与x 轴一交点在(3,0)-和(4,0)-之间，∴抛物线与x 轴另一交点在(1,0)，(2,0)之间，1x ∴=时，0y >，30a b c a c ∴++=+>，②正确，符合题意．抛物线对称轴为直线1x =-且图象开口向下，1.5(1)1( 2.3)-->---，12y y ∴>，③正确，符合题意．抛物线开口向下，对称轴为直线1x =-， 1x ∴=-时y 取最大值，由2am bm a b +<+可得2am bm c a b c ++<++，当1m =-时2am bm c a b c ++>++，即2am bm a b +>+，∴④错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 2、D 【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断．【详解】解：由A 、B 的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意；C ．∵y =-x 2-2x +1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =()221--⨯-=-1，故C 不合题意；D ．∵y =-x 2+2x +1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =()221-⨯-=1，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题的关键． 3、D 【解析】【分析】根据函数的性质解答．【详解】解：∵二次函数()21y a x =-，当0x <时，y 随x 增大而减小，∴a -1>0， ∴1a >，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数2y ax =的性质：当a >0时，开口向上，对称轴是y 轴，对称轴左小右大；当a <0时，开口向下，对称轴是y 轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键． 4、C 【解析】【分析】根据已知条件得到△ABC 是等腰直角三角形，推出四边形EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，当移动的距离＜a 时，如图1S =正方形的面积-△EE ′H 的面积=2212a t -；当移动的距离＞a 时，如图2，S =S △AC ′H =22211(2)2222a t t at a -=-+，根据函数关系式即可得到结论；【详解】解：∵在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵EF ⊥BC ，ED ⊥AC ，∴四边形EFCD 是矩形，∵E 是AB 的中点，∴EF =12AC ，DE =12BC ， ∴EF =ED ，∴四边形EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，如图1，当移动的距离＜a 时，S =正方形的面积-△EE ′H 的面积=2212a t -；当移动的距离＞a 时，如图2，S =S △AC ′H =22211(2)2222a t t at a -=-+，∴S 关于t 的函数图象大致为C 选项，故选C【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．5、D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴确定b 的符号，进而对所得结论进行判断．【详解】解：图象开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴在y 轴右侧，得到：0a >，0c <，02b a ->，0b <， A 、0a >，0c <，0b <，得0abc >，故选项错误，不符合题意；B 、对称轴为直线12x =，得122b a -=，解得0a b +=，故选项错误，不符合题意； C 、当1x =-时，得0a bc -+<，整理得：a c b +<，故选项错误，不符合题意；D 、根据图象知，抛物线与x 轴的交点横坐标，是一正一负，即12120,1,2c x x x x a =<<->，根据20a c +<，整理得：2c a <-，根据对称性可得出121,2x x <->，则122c x x a=<-，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．6、C【解析】【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为2x =-．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【详解】解：二次函数2282y x x =--+，∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为直线822(2)x -=-=-⨯-．点1(1,)y -、2(2,)y -、3(4,)y -都在二次函数2282y x x =--+的图象上，而三点横坐标离对称轴2x =-的距离按由远到近为：3(4,)y -、1(1,)y -、2(2,)y -，312y y y ∴<<．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数关系式，找出对称轴．7、A【解析】【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．【详解】解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入2y ax bx c =++，得1=3342a b c a b c a b c -+⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩解得，221a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数式为：2221y x x =--+∵20a =-<∴二次函数的图像开口向下，故①正确； ∵2213221=2()22y x x x =--+-++ ∴对称轴为直线12x =-∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，故②正确；当12x =-时，二次函数的最大值是32，故③错误；若1x ，2x 是二次函数图像与x 轴交点的横坐标，则12122x x -+=-=--，故④错误 ∴正确的是①②故答案为①②【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8、C【解析】由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出a 的范围．【详解】解：()212y x a x a =+--+，∴抛物线开口向上，对称轴为12a x -=， ∴当12a x -<时，y 随x 的增大而减小，在1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴112a--，解得3a ，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于a 的不等式，并正确求解不等式是解题关键．9、C【解析】【分析】把（-2，-4）代入函数y =ax 2中，即可求a ．【详解】解：把（-2，-4）代入函数y =ax 2，得4a =-4，解得a =-1．【点睛】本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值．10、B【解析】【分析】先求得对称轴为3x =，开口朝下，进而根据点,,A B C 与3x =的距离越远函数值越小进行判断即可．【详解】解：∵26y x x c =-++∴对称轴为3x =，10a =-<，开口向下，∴离对称轴越远，其函数值越小，()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，()314,321,532--=-=-=， 124<<231y y y ∴>>故选B【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题1、 ()2,3 2x =【解析】根据顶点式直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：抛物线()223y x =-+的顶点坐标是()2,3，对称轴是2x =．故答案为：()2,3；2x =【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，对称轴为x h =，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．2、234y x =- 【解析】【分析】设出抛物线方程y =ax 2（a ≠0）代入坐标（-2，-3）求得a ．【详解】解：设出抛物线方程y =ax 2（a ≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，∴-3=4a ，a =-34，∴抛物线解析式为y =-34x 2．故答案为：234y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式．3、 1 3【解析】【分析】根据二次函数的性质可知m =1，将d 用含c 的式子表示出来即可．【详解】解由二次函数的性质可得2y ax =的对称轴为y 轴，故由表可得(1)=02m +-， ∴m =1；∵二次函数2y bx =的对称轴为y 轴，∴d=c +3，∴d c -=3，故答案为：1，3．【点睛】此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4、 ()214y x =-+ 12y y > 【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将2x =-与3x =分别代入二次函数解析式中，计算出1y 与2y 的值，并比较大小．【详解】（1）解：()222514y x x x =-+=-+，故答案为：()214y x =-+．（2）当2x =- 时113y =，当3x =时28y =，∴ 1y 与2y 的大小关系是12y y >，故答案为：12y y >．【点睛】本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．5、23【解析】【分析】顶点在x 轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m 的值．【详解】解：∵抛物线y =2x 2-4x +3m 的顶点在x 轴上，∴()24234042m ⨯⨯--=⨯， ∴m =23．故答案为23．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（-2424b ac b a a -，），应熟练掌握．6、y 1＜y 3＜y 2##y 2＞y 3＞y 1【解析】【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数2(2)y x k =--+的图像开口方向向下，对称轴是x =2，∴A （12-，1y ）距对称轴的距离是52，B （1，2y ）距对称轴的距离是1，C （4，3y ）距对称轴的距离是2， ∵5212>>， ∴231y y y >>故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．7、y =x 2-4x +3【解析】【分析】把点A 、B 、C 的坐标代入函数解析式，解方程组求出a 、b 、c 的值，即可得解．【详解】解：将A （1，0），B （3，0），C （0，3）代入函数解析式得，09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数的解析式为y =x 2-4x +3，故答案为：y =x 2-4x +3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握，难点在于解三元一次方程组．8、y 1＜y 2＜y 3【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y 1，y 2，y 3的值，结合a ＞0，即可得出a +c ＜4a +c ＜9a +c ，即y 1＜y 2＜y 3．【详解】解：当x =1时，y 1=a （1-2）2+c =a +c ；当x =4时，y 2=a （4-2）2+c =4a +c ；当x =5时，y 3=a （5-2）2+c =9a +c ．∵a ＞0，∴a +c ＜4a +c ＜9a +c ，∴y 1＜y 2＜y 3．故答案为：y 1＜y 2＜y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y 1，y 2，y 3的值是解题的关键．9、直线1x =-【解析】【分析】根据顶点坐标公式计算即可得到答案．【详解】解：抛物线的对称轴是直线x=212(1)--=-⨯-，故答案为：直线1x =-．【点睛】此题考查了求抛物线的顶点坐标，熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键．10、2m ≤【解析】【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数确定该函数图象的开口方向，再确定函数图象的对称轴,最后根据该二次函数的增减性解答即可.【详解】解：∵二次函数的解析式22y x mx =-+的二次项系数是-1,∴该二次函数的开口方向是向下又二次函数的解析式22y x mx =-+的对称轴为x=m 且当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小∴2m ≤故答案为2m ≤.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,掌握二次函数的系数与图象的关系、二次函数的增减性与对称轴的关系成为解答本题的关键.三、解答题1、 (1)234y x x =-++，(2,6)P(3)()18,4M -，2M 4-，3(M -4+，()48,12M -【解析】【分析】（1）根据数量关系求出A 、B 、C 三个点的坐标进而求出抛物线解析式；（2）过点P 作PG y ∥轴，交BC 于点G ，作PH BC ⊥于点H ，用待定系数法求出直线BC 的解析式，设2(,34)P t t t -++，则(),4G t t -+，()223444PG t t t t t =-++--+=-+，进而得到)22PD t =- （3）先求出抛物线解析式，再求出交点E 的坐标，待定系数法分别设出M 、N 的坐标利用中点公式求解．(1)1OA =，4OB OC OA ==，4OB OC ∴==，(1,0)A ∴-，(4,0)B ，(0,4)C ，设(1)(4)y a x x =+-，将(0,4)C 代入，得：44a -=，解得：1a =-，∴二次函数的解析式为2(1)(4)34y x x x x =-+-=-++；(2)如图2，过点P 作PG y ∥轴，交BC 于点G ，作PH BC ⊥于点H ，4OB OC ==，90BOC ∠=°，45BCO CBO ∴∠=∠=︒，设直线BC 的解析式为y kx b =+，(4,0)B ，(0,4)C ，∴404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+，设2(,34)P t t t -++，则(),4G t t -+，()223444PG t t t t t ∴=-++--+=-+，PG y ∥轴，45PGH BCO ∴∠=∠=︒，90PHG ∠=︒，)2sin 4PH PG PGH t t ∴=⋅∠=-+， 60PDH ∠=︒，))2242sin sin60PH PH PD t t t PDH ∴===-+=-∠︒， 603-<，∴当2t =时，PD ，此时，(2,6)P ；(3)设抛物线234y x x =-++绕O 旋转180︒后，点A 、B 、C 的对应点为A '、B ′、C '，则(1,0)A '，()'4,0B -，()'0,4C -，设新函数的解析式为()()114y a x x =-+，将()'0,4C -代入，得：144a -=-，解得：11a =，∴新函数解析式为()()21434y x x x x =-+=+-，由223434x x x x +-=-++，得：2x =±，点E 在第一象限，2x ∴=，6y =，()2,6E ∴，点M 是直线BC 上一点，点N 是新抛物线上一点，∴设4(),M m m -+，()2,34N n n n +-，以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴分三种情况：CE 为对角线或CM 为对角线或CN 为对角线，①当CE 为对角线，则CE 与MN 互相平分， ∴202224344622m n m n n ++⎧=⎪⎪⎨-+++-+⎪=⎪⎩，解得：1102m n =⎧⎨=⎩（舍去），2286m n =⎧⎨=-⎩， ()18,4M -，()16,14N -；②当CM 为对角线，则CM 中点也为EN 中点， ∴202224434622m n m n n ++⎧=⎪⎪⎨-+++-+⎪=⎪⎩，解得：112m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩222m n ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩2M ∴4-，3(M -4+，③当CN 为对角线时，则CN 中点也为EM 中点，则22223444622n m n n m +⎧=⎪⎪⎨+-+-++⎪=⎪⎩，解得：1186m n =-⎧⎨=-⎩，2202m n =⎧⎨=⎩（舍)， ()48,12M ∴-，综上，()18,4M -，2M4-，3(M -4+，()48,12M -．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值，特殊角的三角函数，抛物线的旋转，平行四边形的性质等知识点．正确用好待定系数法是解本题的核心．2、 (1)y ＝﹣2x +2x +3(2)①0＜y ＜4；②x ≤0或x ≥2【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，转化为a ，c 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据函数的解析式，求得函数值，结合函数图像，利用函数的增减性解答即可．(1)∵y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3），∴203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩． ∴该二次函数的解析式为y ＝﹣2x +2x +3．(2)①∵当x ＝﹣1时，y ＝0，当x ＝2时，y ＝3，又∵y ＝﹣2x +2x +3＝﹣2(1)x -+4，故当x ＝1时函数有最大值4，∴结合图象，3、（1）214-433y x x =++，16(2,)3；（2）44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，m 的值为4或8 【解析】【分析】（1）分别求出,B C 两点坐标代入抛物线243y ax x c =++即可求得a 、c 的值，将抛物线化为顶点式，即可得顶点D 的坐标；（2）作MG x ⊥轴于点G ，可证ΔMGF ∽DEF ∆，从而可得FM MG FD DE =，代入:1:4FM FD =，163DE =，可求得43MG =，代入243y x =-+可得4x =，从而可得点M 的坐标；（3）由90PAB BCO ∠+∠=︒，90CBO BCO ∠+∠=︒可得∠=∠PAB CBO ，由,B C 两点坐标可得42tan 63∠==CBO ，所以2tan 3∠=PAB ，过点P 作PQ ⊥AB ，分点P 在x 轴上方和下方两种情况即可求解．【详解】（1）当0x =时，得4y =，∴点C 的坐标为（0，4），当0y =时，得2403x -+=，解得：6x =， ∴点B 的坐标为（6，0），将,B C 两点坐标代入，得43660,3 4.a c c ⎧+⨯+=⎪⎨⎪=⎩ 解，得1,34.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线线的表达式为214- 4.33y x x =++ ∵()()222141116444442.33333y x x x x x =-++=--+-+=--+ ∴顶点D 坐标为16(2,)3．（2）作MG x ⊥轴于点G ，∵MFG DFE ∠=∠，90MGF DEF ∠=∠=︒， ∴ΔMGF ∽DEF ∆． ∴FM MG FD DE=．∴11643MG =． ∴43MG = 当43y =时，42-433x =+ ∴4x =．∴点M 的坐标为44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）∵90PAB BCO ∠+∠=︒，90CBO BCO ∠+∠=︒， ∴∠=∠PAB CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴42tan 63∠==CBO ， ∴2tan 3∠=PAB ，过点P 作PQ ⊥AB ，当点P 在x 轴上方时，214122323-++=+m m m 解得m =4符合题意，当点P 在x 轴下方时，214122323--=+m m m 解得m =8符合题意，∴存在，m 的值为4或8．【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线的性质，三角形相似的判定及性质，三角函数的应用，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合的思想列出相应关系式．4、 (1)A (0，1)，B (－2，0)，c ＝1．(2)5或58-． (3)1112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，()221M ，，34M M ⎝⎭⎝⎭，【解析】【分析】（1）根据两轴的特征可求y ＝12x ＋1与x 轴，y 轴的交点坐标，然后将点A 坐标代入抛物线解析式即可；（2）将抛物线配方为顶点式，根据抛物线开口向上与向下两种情况，当a ＞0，在—1≤x ≤4时，抛物线在顶点处取得最小值，当x ＝1时，y 有最小值，当a ＜0，在—1≤x ≤4时，离对称轴越远函数值越小，即可求解；（3）存在符合条件的M 点的坐标，当12a =时，抛物线解析式为：2112y x x =-+，设点P 在y 轴上，使△ABP 的面积为1，点P （0，m ），12112ABP Sm =⨯⨯-=，求出点P 2（0，0），或P 1（0，2），ABM ABP S S =，可得点M 在过点P 与AB 平行的两条直线上，①过点P 2与 AB 平行直线的解析式为：12y x =，联立方程组212112y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解方程组得出1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()221M ，，②过点P 1与AB平行的直线解析式为：122y x=+，联立方程组2122112y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解方程组得出34M M⎝⎭⎝⎭，即可．(1)解：在y＝12x＋1中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝1，∴A(0，1)，B(－2，0)．∵抛物线y＝ax2－2ax＋c过点A，∴c＝1．(2)解：y＝ax2－2ax＋1＝a(x2－2x＋1－1)＋1＝a(x－1)2＋1－a，∴抛物线的对称轴为x=1，当a＞0，在—1≤x≤4时，抛物线在顶点处取得最小值，∴当x＝1时，y有最小值，此时1－a＝—4，解得a＝5；当a＜0，在—1≤x≤4时，∵4-1=3＞1-（-1）=2，离对称轴越远函数值越小，∴当x＝4时，y有最小值，此时9a＋1－a＝—4，解得a＝58-，综上，a 的值为5或58-． (3)解：存在符合条件的M 点的坐标，分别为1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()221M ，，34M M ⎝⎭⎝⎭，，当12a =时，抛物线解析式为：2112y x x =-+，设点P 在y 轴上，使△ABP 的面积为1，点P （0，m ）， ∵12112ABPS m =⨯⨯-=， ∴11m -=，解得122,0m m ==，∴点P 2（0，0），或P 1（0，2），∴ABM ABP S S =，∴点M 在过点P 与AB 平行的两条直线上，①过点P 2与 AB 平行直线的解析式为：12y x =，将12y x =代入2112y x x =-+中，212112y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，21x y =⎧⎨=⎩， ∴1112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()221M ， ②过点P 1与AB 平行的直线解析式为：122y x =+，将122y x =+代入2112y x x =-+中， 2122112y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴ 34M M ⎝⎭⎝⎭，，综上所述，存在符合条件的M 点的坐标，分别为1112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，()221M ，，34M M ⎝⎭⎝⎭，．【点睛】本题考查一次函数与两轴的交点，抛物线顶点式，二次函数的最小值，平行线性质，联立方程组，三角形面积，掌握一次函数与两轴的交点，抛物线顶点式，二次函数的最小值，平行线性质，联立解方程组，三角形面积公式是解题关键．5、 (1)(5,2)-(2)“可控变点” Q 的横坐标为3或(3)a =【解析】【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案；（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，结合图象可得答案．(1)50-<，2y y ∴'=-=，即点(5,2)--的“可控变点”坐标为(5,2)-；(2)由题意，得216y x =-+的图象上的点P 的“可控变点”必在函数()0'(0)y x y y x ⎧=⎨-<⎩的图象上，如图1，“可控变点” Q的纵坐标y'的是7，∴当2167x-+=时，解得3x=，当2167x-=时，解得x=故答案为：3或(3)由题意，得y=-x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=2216(0)16(0)x xyx x⎧-+-<'≥=⎨⎩的图象上，如图2，当x=-5时，x2-16=9，∴-16<y′=x2-16≤9（x＜0），∴y′=-16在y′=-x2+16（x≥0）上，∴-16=-x2+16，∴x∴实数a的值为【点睛】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，利用可控变点的定义得出函数解析式是解题关键，又利用了自变量与函数值的对应关系．。

2022年最新精品解析华东师大版九年级数学下册第26章二次函数定向测评试题(含解析)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数定向测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为D (﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小；③a +b +c ＞0；④若方程ax 2+bx +c ﹣m ＝0没有实数根，则m ＞2；⑤3a +c ＜0．其中正确结论的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x ，第3年的销售量为y 台，则y 关于x 的函数解析式为（） A ．()500012y x =+B ．()250001y x =+C ．50002y x =+D ．25000y x =3、如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为直线1x =．结合图象分析下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a c +<；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为123,1x x =-=；⑤若(,)m n m n <为方程(1)(3)10a x x +-+=的两个根，则1m <-且3n >．其中正确的结论个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4、二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图，给出下列四个结论：①240ac b -<；②320b c +<；③42a c b +<；④对于任意不等于-1的m 的值()m am b b a ++<一定成立．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45、如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图象与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①x ＞0时，y 随x 的增大而增大；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＜0；④关于x 的方程ax 2+bx +c +a ＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（）A ．②③B ．②④C ．①②③D ．②③④6、抛物线277y kx x =--的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A ．74k >-B ．74k ≥-且0k ≠C ．74k ≥-D ．74k >-且0k ≠7、二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若1x ，2x 是二次函数图像与x 轴交点的横坐标，则1212x x +=-，其中，正确的是（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②④8、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线12x =，下列结论中正确的是（）A ．0abc D ．20a c +<9、已知点()()()123124y y y ---，，，，，在二次函数2282y x x =--+的图象上，则123y y y ，，的大小关系是（）． A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<10、若点()2,3P 在反比例函数1k y x-=的图象上，则抛物线24y x x k =-+与x 轴的交点个数是（） A ．2B ．1C ．0D ．无法确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、二次函数的图像如图所示，对称轴为直线1x =-，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为______．2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象如图所示，则关于x 的方程a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＝﹣4的根为______．3、已知抛物线 23y x =+，它与 y 轴的交点坐标为____________．4、已知A （12-，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k =--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．5、若抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有两个交点，则m 的值为 _____．6、如果一条抛物线()20y axbx c a =++≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知()2>0y x bx b =+的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为_________．7、如果拋物线 21y x m =++ 的顶点是坐标轴的原点，那么 m 的值是__________8、已知点()11,y -，()22,y 在抛物线22y x x c =-+上，则1y ，2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”，“<”或“=”）．9、已知二次函数26y x =-+的图象上两点()11,A a b ，()22,B a b ，若120a a <<，则1b ___________ 2b （填“>”，“<”或“=”）．10、抛物线y ＝x 2＋2x ＋32的对称轴是直线______．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分） 1、已知关于x 的二次函数2221y x mx m =-+-．(1)求证：不论m 为何实数，该二次函数的图象与x 轴总有两个公共点；(2)若()11,M m y -，()22,N m y +两点在该二次函数的图象上，直接写出1y 与2y 的大小关系； (3)若将抛物线沿y 轴翻折得到新抛物线，当13x ≤≤时，新抛物线对应的函数有最小值3，求m 的值．2、汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t ，人的反应时间1t ，系统反应时间2t ，制动时间3t ，相应的距离分别为0d ，1d ，2d ，3d ，当车速为v （米/秒），且033.3v <≤时，通过大数据统计分析得到如表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，12k ≤≤）．（1）当1k =时，请写出报警距离d （米)与车速v （米/秒）之间的函数关系式为 __；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在 __米/秒以下．3、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，D 为抛物线的顶点，O 为坐标原点．若OA 、OB （OA OB <）的长分别是方程2430x x -+=的两根，且45DAB ∠=︒．(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过点A 作AC AD ⊥交抛物线于点C ，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，过点A 任作直线l 交线段CD 于点P ，设点C 、点D 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，试求12d d +的最大值．4、已知在平面直角坐标系xOy 中，拋物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点 ()02C ，，点P 是该抛物线在第一象限内一点，联结,,AP BC AP 与线段BC 相交于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段BC 交于点E ，如果点F 与点E 重合，求点P 的坐标；(3)过点P 作PG x ⊥轴，垂足为点,G PG 与线段BC 交于点H ，如果PF PH =，求线段PH 的长度．5、如图1，抛物线()20y ax bx c a =++>的顶点为M ，平行于x 的直线与抛物线交于点A ，B ，若AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，记为“准碗形AMB ” ．顶点M 称为碗顶，线段AB 称为碗宽，点M 到线段AB 的距离称为碗高．(1)抛物线212y x =对应的碗宽为______； (2)抛物线()20y ax a =>对应的碗宽为______，抛物线()()2230y a x a =-+>对应的碗高为______；(3)已知抛物线()25403y ax ax a =-->对应的碗高为3．①求碗顶M的坐标；②如图2，将“准碗形AMB” 绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形A MB''” ．过点B'作x轴的平行线交准碗形A MB''于点''于点C，点P是线段B C'上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A MBQ．请直接写出线段PQ长度的最大值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据二次函数图象与各系数的关系即可依次判断．【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac＞0，∴结论①错误．∵抛物线的对称轴x＝−1，∴当x＞−1时，y随x增大而减小，∴结论②正确．∵抛物线与x轴的一个交点A在点（−3，0）和（−2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论③错误．∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值是2，∴方程ax 2＋bx ＋c −m ＝0没有实数根，则m ＞2， ∴结论④正确． ∵抛物线的对称轴x ＝−2ba＝−1， ∴b ＝2a ， ∵a ＋b ＋c ＜0， ∴a ＋2a ＋c ＜0， ∴3a ＋c ＜0， ∴结论⑤正确．故选B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c ）． 2、B 【解析】【分析】根据增长率问题的计算公式解答．【详解】解：第2年的销售量为()50001y x =+，第3年的销售量为()()250001(1)50001y x x x =++=+，【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式()21a x b +=，a 是前量，b 是后量，x 是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据图像，确定a ，b ，c 的符号，根据对称轴，确定b ，a 的关系，当x =-1时，得到a -b +c =0，确定a ，c 的关系，从而化简一元二次方程20cx bx a ++=，求其根即可，利用平移的思想，把y =(1)(3)a x x +-的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右边，∴b ＜0，∴0abc >，故①正确；∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点(1,0)-，∴a -b +c =0，根据对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，当x =-2时，y ＞0即420a b c -+＞，∵12b a-=，∴b = -2a ，∴3a +c =0，∴2a +c =2a -3a = -a ＜0，故③正确；根据题意，得2320ax ax a --+=，∴23210x x +-=，解得121,13x x ==-，故④错误；∵(1)(3)a x x +-=0，∴123,1x x ==-，∴y =(1)(3)a x x +-向上平移1个单位，得y =(1)(3)a x x +-+1，∴(,)m n m n <为方程(1)(3)10a x x +-+=的两个根，且1m <-且3n >．故⑤正确；故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．4、C【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac ＞0，可判断①；根据对称轴是x ＝﹣1，可得x ＝﹣2、0时，y 的值相等，所以4a ﹣2b +c ＞0，可判断③；根据2b a -=-1，得出b ＝2a ，再根据a +b +c ＜0，可得12b +b +c ＜0，所以3b +2c ＜0，可判断②；x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【详解】解：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，①正确； ∵2b a-=-1， ∴b ＝2a ，∵a +b +c ＜0， ∴12b +b +c ＜0，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵当x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，∴4a +c ＞2b ，③错误；∵由图象可知x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a ﹣b +c ＞am 2+bm +c （m ≠﹣1）．∴m （am +b ）＜a ﹣b ．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，看懂图象，利用数形结合解题是关键．5、D【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0），∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故①错误； ∵﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确；当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＜0，故③正确；当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＝3a +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴﹣a ＞c ，∴直线y ＝﹣a 与抛物线y ＝ax 2+x +c 有2个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c ＝﹣a 有两个不相等的实数根，即关于a 的方程ax 2+bx +c +a ＝0有两个不相等的实数根，故④正确；正确的有②③④，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．6、B【解析】【分析】抛物线277y kx x =--的图象和x 轴有交点，即一元二次方程2770kx x --=有解，此时△0．【详解】解：抛物线277y kx x =--的图象和x 轴有交点，即0y =时方程2770kx x --=有实数根，即△240b ac =-，即49280k +，解得74k -，且0k ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，抛物线和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．7、A【解析】【分析】根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．【详解】解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入2y ax bx c =++，得 1=3342a b c a b c a b c -+⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩解得，221a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数式为：2221y x x =--+∵20a =-< ∴二次函数的图像开口向下，故①正确；∵2213221=2()22y x x x =--+-++ ∴对称轴为直线12x =-∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，故②正确；当12x =-时，二次函数的最大值是32，故③错误；若1x ，2x 是二次函数图像与x 轴交点的横坐标，则12122x x -+=-=--，故④错误 ∴正确的是①②故答案为①②【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8、D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴确定b 的符号，进而对所得结论进行判断．【详解】解：图象开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴在y 轴右侧，得到：0a >，0c <，02b a->，0b <， A 、0a >，0c <，0b <，得0abc >，故选项错误，不符合题意；B 、对称轴为直线12x =，得122b a -=，解得0a b +=，故选项错误，不符合题意； C 、当1x =-时，得0a bc -+<，整理得：a c b +<，故选项错误，不符合题意；D 、根据图象知，抛物线与x 轴的交点横坐标，是一正一负，即12120,1,2c x x x x a =<<->，根据20a c +<，整理得：2c a <-，根据对称性可得出121,2x x <->，则122c x x a=<-，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．9、C【解析】【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为2x =-．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【详解】解：二次函数2282y x x =--+，∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为直线822(2)x -=-=-⨯-．点1(1,)y -、2(2,)y -、3(4,)y -都在二次函数2282y x x =--+的图象上，而三点横坐标离对称轴2x =-的距离按由远到近为：3(4,)y -、1(1,)y -、2(2,)y -，312y y y ∴<<．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数关系式，找出对称轴．10、C【解析】【分析】根据()2,3P 在反比例函数1k y x-=的图象上，求出7k =，将7k =代入24y x x k =-+，得247y x x =-+，然后利用根的判别式即可判断．【详解】解：()2,3P 在反比例函数1k y x -=的图象上， 132k -∴=，解得：7k =，将7k =代入24y x x k =-+，247y x x ∴=-+，根据根的判别式：2(4)417120∆=--⨯⨯=-<，则抛物线24y x x k =-+与x 轴的交点个数是0，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，当∆<0时，图象根x 轴没有交点．二、填空题1、y =－x 2－2x +3【解析】【分析】根据图象与x 、y 轴的交点坐标和对称轴，利用待定系数法求二次函数的解析式即可．【详解】解：设该二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），由图象知：当x =1时，y =0，当x =0时，y =3，又对称轴为直线x =－1，则0312a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴该二次函数的解析式为y =－x 2－2x +3，故答案为：y =－x 2－2x +3．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键．2、x =-5或x =0##0x =或5x =-【解析】【分析】根据图象求出方程ax 2＋bx ＋4=0的解，再根据方程的特点得到x +1=-4或x +1=1，求出x 的值即可．【详解】解：由图可知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于（-4，0）和（1，0），∴ax 2＋bx ＋4=0的解为：x =-4或x =1，则在关于x 的方程a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＝-4中，x +1=-4或x +1=1，解得：x =-5或x =0，即关于x 的方程a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＝-4的解为x =-5或x =0，故答案为：x =-5或x =0．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键． 3、(0,3)【解析】【分析】把0x =代入抛物线23y x =+求出y 值，即可得到抛物线与y 轴的交点坐标．【详解】将0x =代入抛物线23y x =+得：2033y =+=∴抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．4、y 1＜y 3＜y 2##y 2＞y 3＞y 1【解析】【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数2(2)y x k =--+的图像开口方向向下，对称轴是x =2，∴A （12-，1y ）距对称轴的距离是52，B （1，2y ）距对称轴的距离是1，C （4，3y ）距对称轴的距离是2，∵5212>>， ∴231y y y >>故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．5、m ＜9【解析】【分析】令y ＝0，则x 2+6x +m ＝0，由题意得Δ＞0，解不等式即可得出m 的取值范围．【详解】解：令y ＝0，则x 2+6x +m ＝0，∵抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有两个交点，∴Δ＝62﹣4×1×m ＞0．解得：m ＜9．故答案为：m ＜9．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，利用抛物线与x 轴有两个交点时Δ＞0是解题的关键． 6、2【解析】【分析】首先求出()2>0y x bx b =+的顶点坐标和与x 轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．【详解】解：∵()2>0y x bx b =+ ∴22b b a -=-，代入得：22224b b b y b ⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴抛物线的顶点坐标为224b b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵当0y =时，即20x bx +=，解得：10x =，2x b =-∴抛物线()2>0y x bx b =+与x 轴两个交点坐标为()00，和()0b -， ∵()2>0y x bx b =+的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴224b b =⨯，即242b b = 解得：2b =．故答案为：2．【点睛】此题考查了二次函数与x 轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出()2>0y x bx b =+的顶点坐标和与x 轴两个交点坐标．7、-1【解析】【分析】根据顶点为原点得出m +1=0，再解出m 即可．【详解】∵该函数顶点是坐标轴的原点∴m +1=0；解得m =-1答案为：m =-1【点睛】本题考查一元二次方程中参数的取值，掌握各种典型函数图像的知识是关键．8、>【解析】【分析】首先求得抛物线的对称轴和开口方向，可知开口向上对称轴为1x =，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断1y ，2y 的大小关系．【详解】解：∵22y x x c =-+中，10a =>，开口向上，对称轴为1x =，∴点与对称轴的距离越远函数值越大点()11,y -，()22,y 在抛物线22y x x c =-+上，()112,211--=-=12y y ∴>故答案为：>【点睛】本题考查了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．9、<【解析】【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得x <0时y 随x 增大而增大，进而求解．【详解】解：∵26y x =-+，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，∴x <0时，y 随x 增大而增大，∵120a a <<，∴12<b b ，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．10、x ＝﹣1【解析】【分析】抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴方程为：,2b x a=- 利用公式直接计算即可. 【详解】解：抛物线y ＝x 2＋2x ＋32的对称轴是直线： 21,21x故答案为：1x =-【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.三、解答题1、 (1)见解析(2)12y y <(3)m 的值为1或-5【解析】【分析】（１）计算判别式的值，得到=40∆>，即可判定；（２）计算二次函数的对称轴为：直线x m =，利用当抛物线开口向上时，谁离对称轴远谁大判断即可；（３）先得到抛物线沿y 轴翻折后的函数关系式，再利用对称轴与取值范围的位置分类讨论即可．(1)证明：令0y =，则22210x mx m -+-=∴()2224(2)4140b ac m m ∆=-=---=>∴不论m 为何实数，方程22210x mx m -+-=有两个不相等的实数根∴无论m 为何实数，该二次函数的图象与x 轴总有两个公共点(2)解：二次函数2221y x mx m =-+-的对称轴为：直线x m =∵10a =>，抛物线开口向上∴抛物线上的点离对称轴越远对应的函数值越大∵1(1,)M m y -2(2,)N m y +∴Ｍ点到对称轴的距离为：1Ｎ点到对称轴的距离为：2∴12y y <(3)解：∵抛物线22221()1y x mx m x m =-+-=--∴沿y 轴翻折后的函数解析式为()21y x m =+-∴该抛物线的对称轴为直线x m =-①若1m -<，即1m >-，则当1x =时，y 有最小值∴()2113m +-= 解得11m =，23m =-∵1m >-∴1m =②若13m ，即31m -≤≤-，则当x m =-时，y 有最小值-1不合题意，舍去③若3m ->，3m <-，则当3x =时，y 有最小值∴()2313m +-= 解得11m =-，25m =-∵3m <-∴5m =-综上，m 的值为1或-5【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的最值问题，利用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x 轴的交点情况；熟练掌握二次函数的最值情况、根据对称轴与取值范围的位置关系来确定二次函数的最值是解本题的关键．2、 21020v d v =++ 20 【解析】【分析】（1）根据0123=+++d d d d d 即可得到答案；（2）由已知得21020v d v k=++，要求50d <，即要求2140120k v v <-恒成立，根据12k 可得2401120v v ->，即可解得答案．【详解】解：（1）当1k =时，2320v d =， 20123100.80.220v d d d d d v v ∴=+++=+++，故答案为：21020v d v =++；（2）对任意()12k k ，均要求50d <，2105020v v k∴++<恒成立，即2140120k v v<-恒成立， 12k ，∴111402020k ， ∴2401120v v ->，化简整理得2208000v v +-<，解得4020v -<<，020v ∴<<，∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，故答案为：20．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据12k 得出2401120v v ->． 3、 (1)21322y x x =-- (2)点C 的坐标为()5,6(3)【解析】【分析】（1）先求出2430x x -+=的两根，可得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()3,0．从而得到1D 的坐标为()1,0．再由45DAB ∠=︒．可得D 的坐标为()1,2-．然后设抛物线对应的二次函数的解析式为()212y a x =--．把点()1,0A -代入，即可求解；（2）根据题意可设点C 的坐标为(),m n ，则有1m n +=．再由点C 在抛物线上，可得()21122n m =--．从而得到5m =，即可求解；（3）由（2）知：AC =AD =DC =A 作AM CD ⊥．根据三角形的面积，可得AM ==ADC APC APD S S S =+△△△，可得12242424d d AP AM +=≤== (1)解：如图，过点D 作1DD x ⊥轴于1D ，则1D 为AB 的中点．解方程2430x x -+=得：1x =或3x =．而OA OB <，则点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()3,0． ∴1D 的坐标为()1,0．又因为45DAB ∠=︒，∴112AD DD ==．∴D 的坐标为()1,2-．设抛物线对应的二次函数的解析式为()212y a x =--．∵抛物线过点()1,0A -，则042a =-，解得：12a =．故抛物线对应的二次函数的解析式为()21122y x =--．(2)∵CA AD ⊥，∴90DAC ∠=︒．又∵45DAB ∠=︒，145CAD ∠=︒设点C 的坐标为(),m n ，则有1m n +=．∵点C 在抛物线上， ∴()21122n m =--．化简得：2450m m --=．解得：5m =，1m =-（舍去）．故点C 的坐标为()5,6．(3)由（2）知：AC =AD =∴DC过点A 作AM CD ⊥．∵1122AC AD DC AM ⨯=⨯，∴AM=∵ADC APC APDS S S=+△△△，∴12111222AC AD AP d AP d⨯⨯=⨯+⨯．12242424d dAP AM+=≤==即此时12d d+的最大值为【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质等腰三角形的性质是解题的关键．4、 (1)213222y x x=-++(2)(3,2)P(3)158【解析】【分析】（1）将点(1,0)A-和点(0,2)C代入212y x bx c=-++，即可求解；（2）分别求出(4,0)B和直线BC的解析式为122y x=-+，可得3(2E，5)4，再求直线AE的解析式为1122y x=+，联立2112213222y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，即可求点(3,2)P；（3）设213(,2)22P t t t-++，则1(,2)2H t t-+，则2122PH t t=-+，用待定系数法求出直线AP的解析式为4422t t y x --=+，联立1224422y x t t y x ⎧=-+⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩，可求出(5t F t -，205)102t t --，直线AP 与y 轴交点4(0,)2t E -，则2t CE =，再由PF PH =，可得CE EF =，则有方程2222054()()()251022t t t t t t --=+---，求出52t =，即可求2115228PH t t =-+=． (1)解：将点(1,0)A -和点(0,2)C 代入212y x bx c =-++， ∴1022b c c ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩， ∴322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 213222y x x ∴=-++； (2) 解：213222y x x =-++， ∴对称轴为直线32x =，令0y =，则2132022x x -++=，解得1x =-或4x =，(4,0)B ∴，设直线BC 的解析式为y kx m =+，∴402k m m +=⎧⎨=⎩，∴122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，122y x ∴=-+， 3(2E ∴，5)4，设直线AE 的解析式为y k x n '=+， ∴03524k n k n '-+=⎧⎪⎨'+=⎪⎩， ∴1212k n ⎧'=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122y x ∴=+，联立2112213222y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 3x ∴=或1x =-（舍)，(3,2)P ∴；(3)解：设213(,2)22P t t t -++，则1(,2)2H t t -+， 2122PH t t ∴=-+，设直线AP 的解析式为11y k x b =+， ∴11211013222k b k t b t t -+=⎧⎪⎨+=-++⎪⎩， ∴114242t k tb -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，4422t t y x --∴=+，联立1224422y x t t y x ⎧=-+⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩，5t x t∴=-， (5t F t∴-，205)102t t --，直线AP 与y 轴交点4(0,)2t E -， 4222t t CE -∴=-=， =PF PH ，PFH PHF ∴∠=∠，//PG y 轴，ECF PHF ∴∠=∠，CFE PFH ∠=∠，CEF CFE ∴∠=∠，CE EF ∴=，2222054()()()251022t t t t t t --∴=+---， 22(4)4(5)t t ∴-+=-，52t ∴=， 2115228PH t t ∴=-+=．【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会求二次函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键．5、 (1)4 (2)2a ，1a(3)①()2,3M - 【解析】【分析】（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B （m ，m ），代入抛物线的解析式，求出A 、B 两点坐标即可解决问题．（2）利用（1）中结论，列出方程即可解决问题．（3）①由（2）的求解可知，碗高=1a，把它代入即可求出抛物线的解析式，再把它化成顶点式即可．②根据三角函数以及旋转的性质把图形进行等量代换可求出PQ 的最大值．(1)解：（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B （m ，m ）．①把B （m ，m ）代入212y x =，得到m =2或0（舍）， ∴A （-2，2），B （2，2），∴AB =4，即碗宽为4．(2)把B （m ，m ）代入y =ax 2，得到m =1a 或0（舍），∴A （-1a ，1a ），B （1a ，1a ），∴AB =2a ，即碗宽为2a ．由上述计算可知碗宽只与a 有关，所以抛物线()()2230y a x a =-+>的碗宽为2a，根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质，得出：碗高为碗宽的一半，所以()()2230y a x a =-+>的碗高为1a ．(3)①由第2小问的计算过程可知，碗高=1a ＝3，解得：a =13，把a =13代入()25403y ax ax a =-->得， y =13x 2-43x -53即y =13(x -2)2-3∴碗顶M 的坐标为()2,3-．②由于碗宽和碗高只与a 有关，所以题中抛物线可看成y =13x 2，抛物线顺时针方向旋转30°后，再作过B 点与x 轴相平的直线．可看作是过B 点与x 轴夹角为30°的一条直线．把这条直线向下平移与抛物线相切时，此时这两条直线之间的距离最大，如图所示，线段DE 就是所求的最大值．∵BC =3，∠CBD =30°，在Rt △BCD 中CD =BC∴点D 坐标为（0，∴可假设直线BD 的解析式为y =kx B (3，3)代入解得y 把这条直线线向下平移使它正好与抛物线相切，切点为H ，设直线的解析式为y +b ，与抛物线y =13x 2联立，得：+b ＝13x 2，即13x 2－b ＝0， ∵因为直线与抛物线相切，∴交点只有一个，∴21(4()03b -⨯⨯-= 解得：b ＝14-，∴DF ＝14-)=134 ∵BD //FH ，DE 是这两条平行线间的距离，∠FDE =30°，△DEF 为Rt △，∴DE ＝DF ·cos∠FDE=(134DE 的长度就是原题中线段PQ 长度的最大值∴线段PQ【点睛】本题考查二次函数综合题，等腰直角三角形的性质、“准碗形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考压轴题．。

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数单元测试题(有答案)

第26章二次函数单元测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列函数是二次函数的是( )A. B. C. D.2. 已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（）A. B. C. D.3. 与的图象的不同之处是（）A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4. 对抛物线：而言，下列结论正确的是（）A.与轴有两个交点B.开口向上C.与轴的交点坐标是D.顶点坐标是5. 抛物线的顶点坐标一定位于( )A.轴的负半轴上B.第二象限C.第三象限D.第二象限或第三象限6. 二次函数的顶点坐标是A. B. C. D.7. 对于二次函数，下列说法错误的是A.对称轴为直线B.其图象一定经过点C.当时，随的增大而增大D.当时，将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，得到抛物线.8. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为( )A. B. C. D.9. 在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为，那么关于的函数是（）A. B.C. D.10. 如图所示的抛物线＝的对称轴为直线＝，则下列结论中错误的是（）A. B. C.＝ D.＝二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若抛物线经过原点，则________．12. 抛物线＝开口向上，对称轴是直线＝，，，在该抛物线上，则，，大小的关系是________．13. 将二次函数的图象绕着它与轴的交点旋转所得到新抛物线表达式为________．14. 将抛物线向下平移，若平移后的抛物线经过点，则平移后的抛物线的解析式为________.15. 抛物线的对称轴是直线，那么抛物线的解析式是________．16. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，则该抛物线的表达式为________．17. 已知，点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是________．18. 把二次函数化成的形式是________．19. 有一种产品的质量要求从低到高分为，，，共四种不同的档次．若工时不变，车间每天可生产最低档次（即第一档次）的产品件，生产每件产品的利润为元；如果每提高一个档次，每件产品利润可增加元，但每天少生产件产品．现在车间计划只生产一种档次的产品．要使利润最大，车间应生产第________种档次的产品．20. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知二次函数和函数．（1）你能用图象法求出方程的解吗？试试看；（2）请通过解方程的方法验证（1）问的解．22. 抛物线与轴交于，，与轴交于，且（1）求，的坐标；（2）到，，距离相等，在抛物线上求点，使，，，为顶点的四边形为平行四边形．23. 如图，二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点．、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点、．（1）求二次函数的表达式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围．24. 某商场购进一批换季衣服，进价为每件元．市场调研发现，以单价元出售，平均月销售量为件．在此基础上，若单价每降低元，则平均月销售量增加件．（1）商场想要这种衣服平均月销售量至少件，那么单价至多为多少元？（2）当单价定为多少元时，商场卖这批衣服的月销售利润达到最大？最大月销售利润为多少元？25. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为元/件，试营销阶段发现；当销售单价元/件时，每天的销售量是件，销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为点和点，与轴的交点为，对称轴是，对称轴与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为对称轴上一个动点，当的值最小时，求点的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】解：，是二次函数；，，是一次函数；，，不是含自变量的整式，不是二次函数；，，二次项系数不能确定是否为，不是二次函数.故选．2.【答案】B【解答】解：由正方形面积公式得：．故选．3.【答案】C【解答】解：函数的对称轴是轴,开口向上,顶点;函数的对称轴是轴,开口向上,顶点;这两个函数的二次项系数都是,则它们的形状相同.故选.4.【答案】D【解答】解：，∵，抛物线与轴无交点，本选项错误；，∵二次项系数，抛物线开口向下，本选项错误；，当时，，抛物线与轴交点坐标为，本选项错误；，∵，∴抛物线顶点坐标为，本选项正确．故选．5.【答案】B【解答】此题暂无解答6.【答案】C【解答】解：∵∴抛物线顶点坐标为，故选．7.【答案】C【解答】解：、对称轴为直线，正确；、当时，，正确；、当时，，将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，得到抛物线，正确. 故选．8.【答案】B【解答】解：由题意得：二次函数的对称轴为，故，把代入二次函数可得，当时，.故选．9.【答案】A【解答】解：长是：，宽是：，由矩形的面积公式得则．故选．10.【答案】【解答】解：、由抛物线可知，．故正确；、…二次函数的图象与轴有两个交点，∴即…故正确；、由对称轴可知，∴，故错误；、关于的对称点为…当时，，故正确；故选：．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：把代入得，解得．故答案为．12.【答案】＝【解答】∵抛物线＝开口向上，对称轴是直线＝，∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵取时所对应的点离对称轴最远，取与时所对应的点离对称轴一样近，∴＝．13.【答案】【解答】解：因为二次函数的图象绕它与轴的交点旋转后，其对称轴不变，只是图象开口向下，因此二次函数新抛物线表达式为故答案为：．14.【答案】【解答】解：设平移后抛物线的表达式为，把代入，得，解得．所以平移后的抛物线的解析式是．故答案为：.15.【答案】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得：，∴，故答案为：．16.【答案】．【解答】解：设函数的解析式是．把代入函数解析式得，解得：，则抛物线的解析式是．17.【答案】【解答】解：∵当时，，而抛物线的对称轴为直线，开口向上，∴三点都在对称轴的左边，随的增大而减小，∴．故本题答案为：．18.【答案】【解答】解：．故答案为．19.【答案】【解答】解：设生产档的产品．利润，∴时，利润最大为，故答案为．20.【答案】【解答】解：根据图象可知顶点坐标，设函数解析式是：，把点代入解析式，得：，即，∴解析式为，即．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）如图在平面直角坐标系内画出和函数的图象，图象交点的横坐标是，的解是，；（2）化简得，因式分解，得．解得，．【解答】解：（1）如图在平面直角坐标系内画出和函数的图象，图象交点的横坐标是，的解是，；（2）化简得，因式分解，得．解得，．22.【答案】解：（1）∵抛物线与轴交于，，与轴交于，且，∴，∴的坐标，，代入得，解得，，∴抛物线为，令，则，解得，，，∴的坐标为．（2）如图，∵到，，距离相等，∴是直线和的交点，∴，∵使，，，为顶点的四边形为平行四边形，，，∴，，．∴当的坐标为或或时，使，，，为顶点的四边形为平行四边形．【解答】解：（1）∵抛物线与轴交于，，与轴交于，且，∴，∴的坐标，，代入得，解得，，∴抛物线为，令，则，解得，，，∴的坐标为．（2）如图，∵到，，距离相等，∴是直线和的交点，∴，∵使，，，为顶点的四边形为平行四边形，，，∴，，．∴当的坐标为或或时，使，，，为顶点的四边形为平行四边形．23.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，由函数图象，得，解得：，，．∴二次函数的表达式为：；（2）设直线的解析式为，由直线经过和，得，解得：，一次函数的解析式为：．，解得：，故抛物线与轴的加点坐标为：或．由函数图象得：当或时，一次函数值大于二次函数值．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，由函数图象，得，解得：，，．∴二次函数的表达式为：；（2）设直线的解析式为，由直线经过和，得，解得：，一次函数的解析式为：．，解得：，故抛物线与轴的加点坐标为：或．由函数图象得：当或时，一次函数值大于二次函数值．24.【答案】解；（1）设单价定为元，，解得，即单价至少为元；（2）设单价定为元，销售利润为元，，∴时，取得最大值，此时，即当单价定为元时，商场卖这批衣服的月销售利润达到最大，最大月销售利润为元．【解答】解；（1）设单价定为元，，解得，即单价至少为元；（2）设单价定为元，销售利润为元，，∴时，取得最大值，此时，即当单价定为元时，商场卖这批衣服的月销售利润达到最大，最大月销售利润为元．25.【答案】解：（1）由题意可得：；（2）∵，∴当时，取到最大值，即销售单价为元时，每天销售利润最大，最大利润为元．【解答】解：（1）由题意可得：；（2）∵，∴当时，取到最大值，即销售单价为元时，每天销售利润最大，最大利润为元．26.【答案】解：（1）∵抛物线交轴于，∴，∵对称轴是，∴，即，两关于、的方程联立解得，，∴抛物线为．（2）由得到：，如图，点关于对称轴对称的点的坐标为：．连接交于点，此时的值最小．设直线方程为：，则，解得．故直线的方程为：．当时，，所以；（3）∵，，∴．如果，那么，∵在轴上，∴为或．①当为时，连接，过作直线平分交于，交抛物线于，，连接、，如图所示，此时，，∵，∴为的中点，即，设过，的直线为，则，解得，∴．设，则有，解得，或，则，．②当为时，连接，过作直线平分交于，交抛物线于，，如图所示，此时，，∵，∴为的中点，即，设过，的直线为，则，解得，∴．设，则有，解得或，则，．综上所述，点的坐标为或或或．【解答】解：（1）∵抛物线交轴于，∴，∵对称轴是，∴，即，两关于、的方程联立解得，，∴抛物线为．（2）由得到：，如图，点关于对称轴对称的点的坐标为：．连接交于点，此时的值最小．设直线方程为：，则，解得．故直线的方程为：．当时，，所以；（3）∵，，∴．如果，那么，∵在轴上，∴为或．①当为时，连接，过作直线平分交于，交抛物线于，，连接、，如图所示，此时，，∵，∴为的中点，即，设过，的直线为，则，解得，∴．设，则有，解得，或，则，．②当为时，连接，过作直线平分交于，交抛物线于，，如图所示，此时，，∵，∴为的中点，即，设过，的直线为，则，解得，∴．设，则有，解得或，则，．综上所述，点的坐标为或或或．。

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数单元测试题(有答案)

第26章二次函数单元测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列函数是二次函数的是()D.y=ax2+bx+c A.y=8x2+1 B.y=2x−3 C.y=3x2+1x22. 已知正方形ABCD，设AB=x，则正方形的面积y与x之间的函数关系式为（）D.x=√yA.y=4xB.y=x2C.x=y43. y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是（）A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4. 对抛物线：y=−x2+2x−3而言，下列结论正确的是（）A.与x轴有两个交点B.开口向上C.与y轴的交点坐标是(0, 3)D.顶点坐标是(1, −2)5. 抛物线y=ax2+(a−3)x−2(a<0)的顶点坐标一定位于()A.x轴的负半轴上B.第二象限C.第三象限D.第二象限或第三象限6. 二次函数y=x2−2x−3的顶点坐标是()A.(1, −3)B.(−1, −2)C.(1, −4)D.(0, −3)7. 对于二次函数y=ax2−2ax+3(a≠0)，下列说法错误的是()A.对称轴为直线x=1B.其图象一定经过点(2,3)C.当x<1时，y随x的增大而增大D.当a=1时，将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线y=(x+1)2+5.8. 已知二次函数y=−(x+ℎ)2，当x<−3时，y随x的增大而增大，当x>−3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值为()A.−1B.−9C.1D.99. 在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）A.y=(60+2x)(40+2x)B.y=(60+x)(40+x)C.y=(60+2x)(40+x)D.y=(60+x)(40+2x)10. 如图所示的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是（）A.ac<0B.b2−4ac>0C.2a−b＝0D.9a+3b+c＝0二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若抛物线y=−x2+2x+k−1经过原点，则k=________．12. 抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是直线x＝1，A(−2, y1)，B(0, y2)，C(2, y3)在该抛物线上，则y1，y2，y3大小的关系是________．13. 将二次函数y=x2−2x+3的图象绕着它与y轴的交点旋转180∘所得到新抛物线表达式为________．14. 将抛物线y=x2向下平移，若平移后的抛物线经过点A(2,1)，则平移后的抛物线的解析式为________.，那么抛物线的解析式是________．15. 抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=−1216. 已知抛物线的顶点坐标为(−1, −8)，且过点(0, −6)，则该抛物线的表达式为________．17. 已知a<−1，点(a−1, y1)，(a, y2)，(a+1, y3)都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________．18. 把二次函数y=−2x2+4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是________．19. 有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次．若工时不变，车间每天可生产最低档次（即第一档次）的产品40件，生产每件产品的利润为16元；如果每提高一个档次，每件产品利润可增加1元，但每天少生产2件产品．现在车间计划只生产一种档次的产品．要使利润最大，车间应生产第________种档次的产品．20. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是y=________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知二次函数y=2x2−2和函数y=5x+1．（1）你能用图象法求出方程2x2−2=5x+1的解吗？试试看；（2）请通过解方程的方法验证（1）问的解．x2+bx−1与x轴交于A，B，与y轴交于C，且OA=OC22. 抛物线y=13（1）求A，B的坐标；（2）D到A，B，C距离相等，在抛物线上求点P，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形．23. 如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的表达式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．24. 某商场购进一批换季衣服，进价为每件100元．市场调研发现，以单价200元出售，平均月销售量为300件．在此基础上，若单价每降低1元，则平均月销售量增加5件．（1）商场想要这种衣服平均月销售量至少400件，那么单价至多为多少元？（2）当单价定为多少元时，商场卖这批衣服的月销售利润达到最大？最大月销售利润为多少元？25. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的交点为点A(−2, 0)和点D，与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点M为对称轴上一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBD≅△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】解：A，是二次函数；B，y=2x−3，是一次函数；C，y=3x2+1，不是含自变量的整式，不是二次函数；x2D，y=ax2+bx+c，二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数.故选A．2.【答案】B【解答】解：由正方形面积公式得：y=x2．故选B．3.【答案】C【解答】解：函数y=3x2+5的对称轴是y轴,开口向上,顶点(0,5);函数y=3x2的对称轴是y轴,开口向上,顶点(0,0);这两个函数的二次项系数都是3,则它们的形状相同.故选C.4.【答案】D【解答】解：A，∵ Δ=22−4×(−1)×(−3)=−8<0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B，∵ 二次项系数−1<0，抛物线开口向下，本选项错误；C，当x=0时，y=−3，抛物线与y轴交点坐标为(0, −3)，本选项错误；D，∵ y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2，∵ 抛物线顶点坐标为(1, −2)，本选项正确．故选D．5.【答案】B【解答】此题暂无解答6.【答案】C【解答】解：∵ y=x2−2x−3=(x−1)2−4∵ 抛物线顶点坐标为(1, −4)，故选C．7.【答案】C【解答】=1，正确；解：A、对称轴为直线x=2a2aB、当x=2时，y=3，正确；D、当a=1时，y=x2−2x+3，将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线y=(x+1)2+5，正确.故选C．8.【答案】B【解答】解：由题意得：二次函数y=−(x+ℎ)2的对称轴为x=−3，故ℎ=3，把ℎ=3代入二次函数y=−(x+ℎ)2可得y=−(x+3)2，当x=0时，y=−9.故选B．9.【答案】A【解答】解：长是：60+2x，宽是：40+2x，由矩形的面积公式得则y=(60+2x)(40+2x)．故选A．10.【答案】C【解答】解：A、由抛物线可知，a<0,c>0a<0．故A正确；B、…二次函数y=a2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∵ Δ>0即b2−4ac>0…故B正确；C、由对称轴可知，x=−b=12ab=−2a∵ 2a+b=0，故C错误；D、(−4,0)关于x=的对称点为(3,0)…当x=3时，y=9a+3b+c=0，故D正确；故选：C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】1【解答】解：把(0, 0)代入y=−x2+2x+k−1得k−1=0，解得k=1．故答案为1．12.【答案】y1>y2＝y3【解答】∵ 抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是直线x＝1，∵ 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵ x取−2时所对应的点离对称轴最远，x取0与2时所对应的点离对称轴一样近，∵ y1>y2＝y3．13.【答案】y=−x2−2x+3【解答】解：因为二次函数y=x2−2x+3的图象绕它与y轴的交点旋转180∘后，其对称轴不变，只是图象开口向下，因此二次函数新抛物线表达式为y=−x2−2x+3故答案为：y=−x2−2x+3．14.【答案】y=x2−3【解答】解：设平移后抛物线的表达式为y=x2+t，把A(2,1)代入，得1=22+t，解得t=−3．所以平移后的抛物线的解析式是y=x2−3．故答案为：y=x2−3.15.【答案】y=x2+x 【解答】解：∵ 抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=−12，∵ −b2×1=−12，解得：b=1，∵ y=x2+x，故答案为：y=x2+x．16.【答案】y=2(x+1)2−8．【解答】解：设函数的解析式是y=a(x+1)2−8．把(0, −6)代入函数解析式得a−8=−6，解得：a=2，则抛物线的解析式是y=2(x+1)2−8．17.【答案】y1>y2>y3【解答】解：∵ 当a<−1时，a−1<a<a+1<0，而抛物线y=x2的对称轴为直线x=0，开口向上，∵ 三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∵ y1>y2>y3．故本题答案为：y1>y2>y3．18.【答案】y=−2(x−1)2+5【解答】解：y=−2x2+4x+3=−2(x2−2x+1)+2+3=−2(x−1)2+5．故答案为y=−2(x−1)2+5．19.【答案】3【解答】解：设生产x档的产品．利润y=[16+(x−1)][40−(x−1)×2]=−2(x−3)2+648，∵ x=3时，利润最大为648，故答案为3．20.【答案】x2−2x【解答】解：根据图象可知顶点坐标(1, −1)，设函数解析式是：y=a(x−1)2−1，把点(0, 0)代入解析式，得：a−1=0，即a=1，∵ 解析式为y=(x−1)2−1，即y=x2−2x．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）如图在平面直角坐标系内画出y=2x2−2和函数y=5x+1的图象，图象交点的横坐标是−1，322x2−2=5x+1的解是x1=−1，x2=3；2（2）化简得2x2−5x−3=0，因式分解，得(2x+1)(x−3)=0．，x2=3．解得x1=−12【解答】解：（1）如图在平面直角坐标系内画出y=2x2−2和函数y=5x+1的图象，，3图象交点的横坐标是−122x2−2=5x+1的解是x1=−1，x2=3；2（2）化简得2x2−5x−3=0，因式分解，得(2x+1)(x−3)=0．解得x1=−12，x2=3．22.【答案】解：（1）∵ 抛物线y=13x2+bx−1与x轴交于A，B，与y轴交于C，且OA=OC，∵ OA=OC=1，∵ A的坐标(−1, 0)，C(0, −1)，代入y=13x2+bx−1得0=13×1−b−1，解得，b=−23，∵ 抛物线为y=13x2−23x−1，令y=0，则13x2−23x−1=0，解得，x1=−1，x2=3，∵ B的坐标为(3, 0)．（2）如图，∵ D到A，B，C距离相等，∵ D是直线y=x和x=1的交点，∵ D(1, 1)，∵ 使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，B(3, 0)，C(0, −1)，∵ P1(4, 2)，P2((2, −2)，P3(−2, 0)．∵ 当P的坐标为(4, 2)或(2, −2)或(−2, 0)时，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形．【解答】解：（1）∵ 抛物线y=13x2+bx−1与x轴交于A，B，与y轴交于C，且OA=OC，∵ OA=OC=1，∵ A的坐标(−1, 0)，C(0, −1)，代入y =13x 2+bx −1得0=13×1−b −1，解得，b =−23，∵ 抛物线为y =13x 2−23x −1，令y =0，则13x 2−23x −1=0，解得，x 1=−1，x 2=3，∵ B 的坐标为(3, 0)．（2）如图，∵ D 到A ，B ，C 距离相等，∵ D 是直线y =x 和x =1的交点，∵ D(1, 1)，∵ 使P ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，B(3, 0)，C(0, −1)，∵ P 1(4, 2)，P 2((2, −2)，P 3(−2, 0)．∵ 当P 的坐标为(4, 2)或(2, −2)或(−2, 0)时，使P ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形．23.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y =a(x +3)(x −1)，由函数图象，得3=a(0+3)(0−1)，解得：a =−1，y =−(x +3)(x −1)，y =−x 2−2x +3．∵ 二次函数的表达式为：y =−x 2−2x +3；（2）设直线的解析式为y =kx +b ，由直线经过(0, 1)和(1, 0)，得{1=b 0=k +b，解得：{k =−1b =1，一次函数的解析式为：y =−x +1．{y =−x 2−2x +3y =−x +1，解得：{x 1=−2y 1=3，{x 2=1y 2=0，故抛物线与x 轴的加点坐标为：(−2, 3)或(1, 0)．由函数图象得：当x <−2或x >1时，一次函数值大于二次函数值．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y =a(x +3)(x −1)，由函数图象，得3=a(0+3)(0−1)，解得：a =−1，y =−(x +3)(x −1)，y =−x 2−2x +3．∵ 二次函数的表达式为：y =−x 2−2x +3；（2）设直线的解析式为y =kx +b ，由直线经过(0, 1)和(1, 0)，得{1=b 0=k +b，解得：{k =−1b =1，一次函数的解析式为：y =−x +1．{y =−x 2−2x +3y =−x +1，解得：{x 1=−2y 1=3，{x 2=1y 2=0，故抛物线与x 轴的加点坐标为：(−2, 3)或(1, 0)．由函数图象得：当x <−2或x >1时，一次函数值大于二次函数值．24.【答案】解；（1）设单价定为x 元，300+(200−x)×5≥400，解得，x ≥180即单价至少为180元；（2）设单价定为x 元，销售利润为y 元，y =(x −100)×[300+(200−x)×5]=−5(x −180)2+32000，∵ x =180时，y 取得最大值，此时y =32000，即当单价定为180元时，商场卖这批衣服的月销售利润达到最大，最大月销售利润为32000元．【解答】解；（1）设单价定为x 元，300+(200−x)×5≥400，解得，x ≥180即单价至少为180元；（2）设单价定为x 元，销售利润为y 元，y =(x −100)×[300+(200−x)×5]=−5(x −180)2+32000，∵ x =180时，y 取得最大值，此时y =32000，即当单价定为180元时，商场卖这批衣服的月销售利润达到最大，最大月销售利润为32000元．25.【答案】解：（1）由题意可得：w =(x −20)[250−10(x −25)]=−10(x −20)(x −50)=−10x 2+700x −10000；（2）∵ w =−10x 2+700x −10000=−10(x −35)2+2250，∵ 当x =35时，w 取到最大值2250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．【解答】解：（1）由题意可得：w =(x −20)[250−10(x −25)]=−10(x −20)(x −50)=−10x 2+700x −10000；（2）∵ w =−10x 2+700x −10000=−10(x −35)2+2250，∵ 当x =35时，w 取到最大值2250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．26.【答案】解：（1）∵ 抛物线y =ax 2+bx +4交x 轴于A(−2, 0)，∵ 0=4a −2b +4，∵ 对称轴是x =3，∵ −b 2a =3，即6a +b =0，两关于a 、b 的方程联立解得 a =−14，b =32，∵ 抛物线为y =−14x 2+32x +4．（2）由y =−14x 2+32x +4得到：C(0, 4)，如图1，点C 关于对称轴x =3对称的点的坐标为：C′(6, 4)．连接AC′交x =3于点M ，此时MA +MC 的值最小．设直线AC 方程为：y =kx +c(k ≠0)，则{−2k +c =06k +c =4，解得{k =12c =1．故直线AC′的方程为：y =12x +1．当x =3时，y =52，所以M(3, 52)；（3）∵ OC =4，OB =3，∵ BC =5．如果△PBD ≅△PBC ，那么BD =BC =5，∵ D 在x 轴上，∵ D 为(−2, 0)或(8, 0)．①当D 为(−2, 0)时，连接CD ，过B 作直线BE 平分∠DBC 交CD 于E ，交抛物线于P 1，P 2，连接P 2C 、P 2D ，如图2所示，此时△P 1BC ≅△P 1BD ，△P 2BC ≅△P 2BD ，∵ BC =BD ，∵ E 为CD 的中点，即E(−1, 2)，设过E(−1, 2)，B(3, 0)的直线为y =kx +b ，则{2=−k +b 0=3k +b，解得{k =−12b =32， ∵ BE:y =−12x +32．设P(x, y)，则有{y =−12x +32y =−14x 2+32x +4，解得{x =4+√26y =−1+√262，或{x =4−√26y =√26−12，则P 1(4+√26, −1+√262)，P 2(4−√26, √26−12)． ②当D 为(8, 0)时，连接CD ，过B 作直线BF 平分∠DBC 交CD 于F ，交抛物线于P 3，P 4，如图3所示，此时△P 3BC ≅△P 3BD ，△P 4BC ≅△P 4BD ，∵ BC =BD ，∵ F 为CD 的中点，即F(4, 2)，设过F(4, 2)，B(3, 0)的直线为y =kx +b ，则{2=4k +b 0=3k +b，解得 {k =2b =−6， ∵ BF:y =2x −6．设P(x, y)，则有{y =2x −6y =−14x 2+32x +4，解得{x =−1+√41y =−8+2√41或{x =−1−√41y =−8−2√41，则P 3(−1+√41, −8+2 √41)，P 4(−1−√41, −8−2 √41)．综上所述，点P 的坐标为(4+√26, −1+√262)或(4−√26, √26−12)或(−1+√41, −8+2 √41)或(−1−√41, −8−2√41)．【解答】解：（1）∵ 抛物线y =ax 2+bx +4交x 轴于A(−2, 0)，∵ 0=4a −2b +4，∵ 对称轴是x =3，∵ −b 2a =3，即6a +b =0，两关于a 、b 的方程联立解得 a =−14，b =32， ∵ 抛物线为y =−14x 2+32x +4．（2）由y =−14x 2+32x +4得到：C(0, 4)，如图1，点C 关于对称轴x =3对称的点的坐标为：C′(6, 4)．连接AC′交x =3于点M ，此时MA +MC 的值最小．设直线AC 方程为：y =kx +c(k ≠0)，则{−2k +c =06k +c =4，解得{k =12c =1．故直线AC′的方程为：y =12x +1．当x =3时，y =52，所以M(3, 52)；（3）∵ OC =4，OB =3，∵ BC =5．如果△PBD ≅△PBC ，那么BD =BC =5，∵ D 在x 轴上，∵ D 为(−2, 0)或(8, 0)．①当D 为(−2, 0)时，连接CD ，过B 作直线BE 平分∠DBC 交CD 于E ，交抛物线于P 1，P 2，连接P 2C 、P 2D ，如图2所示，此时△P 1BC ≅△P 1BD ，△P 2BC ≅△P 2BD ，∵ BC =BD ，∵ E 为CD 的中点，即E(−1, 2)，设过E(−1, 2)，B(3, 0)的直线为y =kx +b ，则{2=−k +b 0=3k +b，解得{k =−12b =32， ∵ BE:y =−12x +32．设P(x, y)，则有{y =−12x +32y =−14x 2+32x +4，解得{x =4+√26y =−1+√262，或{x =4−√26y =√26−12，则P 1(4+√26, −1+√262)，P 2(4−√26, √26−12)． ②当D 为(8, 0)时，连接CD ，过B 作直线BF 平分∠DBC 交CD 于F ，交抛物线于P 3，P 4，如图3所示，此时△P 3BC ≅△P 3BD ，△P 4BC ≅△P 4BD ，∵ BC =BD ，∵ F 为CD 的中点，即F(4, 2)，设过F(4, 2)，B(3, 0)的直线为y =kx +b ，则{2=4k +b 0=3k +b，解得 {k =2b =−6， ∵ BF:y =2x −6．设P(x, y)，则有{y =2x −6y =−14x 2+32x +4，解得{x =−1+√41y =−8+2√41或{x =−1−√41y =−8−2√41，则P 3(−1+√41, −8+2 √41)，P 4(−1−√41, −8−2 √41)．综上所述，点P 的坐标为(4+√26, −1+√262)或(4−√26, √26−12)或(−1+√41, −8+2 √41)或(−1−√41, −8−2√41)．。

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数章节综合测试【含答案】

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数章节综合测试一、单选题1．二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象经过点（3，﹣8）和（5，﹣8），抛物线的对称轴是（）A ．x ＝4B ．x ＝3C ．x ＝﹣5D ．x ＝﹣12．二次函数y ＝x 2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）A ．（1，6）B ．（1，2）C ．（﹣1，6）D ．（﹣1，2）3．将抛物线向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到解析式，()224y x =--()237y x =--则a 、b 的值是（）A ．1，-3B ．1，2C ．1，3D ．-2，-34．将抛物线向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）22y x =A ．B ．C ．D ．223y x =+223y x =-22(3)y x =-22(3)y x =+5．二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（）A ．3B ．-3C ．1D ．-16．已知抛物线y=﹣x 2+2x﹣3，下列判断正确的是（）A ．开口方向向上，y 有最小值是﹣2B ．抛物线与x 轴有两个交点C ．顶点坐标是（﹣1，﹣2）D ．当x ＜1时，y 随x 增大而增大7．已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为（）()23，A ．B ．C ．D ．()223y x =-+-()223y x =---()223y x =-++()223y x =--+8．抛物线可由抛物线平移得到，平移方法可以是（）265y x x =-+2y x =A ．先向左平移3个单位，再向下平移5个单位 B ．先向右平移6个单位，再向上平移5个单位C ．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D ．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位9．已知二次函数，设自变量的值分别为，，，且，则对应265y x x =---1x 2x 3x 1233x x x -<<<的函数值，，的大小关系是（）1y 2y 3y A ．B ．C ．D ．123y y y >>123y y y <<213y y y >>231y y y >>10．已知二次函数，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表所示： 2y ax bx c =++x …-1013…y…-2366…当时，y 的取值范围是（）04x <<A ．B ．C ．D ．36y <≤37y <≤7y <3y >二、填空题11．在函数中，当x 　时，y 随x 的增大而减小.2(1)y x =-12．如果抛物线向下平移2个单位，所得到的抛物线是　　．23y x =13．若抛物线，点为抛物线上两点，则　.（用“”222y x x =-+-()()1223y y -，，，1y 2y <或“”号连接）>14．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 .23(0)y ax bx a =+-≠(12)-，+a b 三、解答题15．已知二次函数的图象经过，两点，求b ，c 的值.2316y x bx c =-++()03A ，942B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，16．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x ，面积为y ，试写出y 与x 的函数表达式．17．如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y （m 2）与它与墙平行的边的长x （m ）之间的函数．18．已知二次函数y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其中点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4.求该二次函数的表达式.19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．20．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．21．某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元／本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元／本时，每天的销售量为80本，B表所示：售价（元／本）……22232425……每天销售量（本）……80787674……（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元？（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？22．大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量y 件与销售的天数x(x 为整数）的关系如表：x （天）123…50y118116114…20销售单价m （元/件）与x 满足：当时，；当时，.124x ≤≤60m x =+2450x ≤＜85m =（1）直接写出销售量y 与x 的函数关系.（2）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？（3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数.23．天天鲜果是一家基于互联网技术的现代农业服务供应商，提供高品质新鲜水果产品和个性化直销服务，天天鲜果旗下的电商平台，在2022年5月举行了为期一个月的新鲜水果产品优惠促销活动，经市场调查发现，某种新鲜水果的周销售量y （箱）是关于售价x （元/箱）的一次函数，如表仅列出了该新鲜水果的售价x （元/箱），周销售量y （箱），周销售利润W （元）的三组对应值数据.（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该新鲜水果进价20元/箱，售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该新鲜水果进价提高了m （元/箱）（m ＞0）.公司为回馈广大消费者，规定该新鲜水果的售价x 不得超过55（元/箱），且该新鲜水果在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是3150元，求m 的值.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵（3，﹣8）和（5，﹣8）关于对称轴对称，∴对称轴x ＝＝4.352+故答案为：A.【分析】由题意可得（3，-8）和（5，-8）关于对称轴对称，求出中点坐标即可得到对称轴.2．【答案】B 【解析】【解答】解：，()2²2312уx x x =-+=-+ 抛物线顶点坐标为(1，2)，∴故答案为：B.【分析】将解析式配成顶点式y=a （x-h ）2+k 的形式，进而根据顶点式中其顶点坐标为（h ，k ）直接得出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵，()()22372143y x x =--=----∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移-3个单位得到解析式，()224y x =--()237y x =--∴a=1，b=-3，故答案为：A.【分析】首先将抛物线配成顶点式，进而根据将抛物线y=a （x-h ）2+k 向左平移m （m ＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a （x-h+m ）2+k ；将抛物线y=a （x-h ）2+k 向右平移m （m ＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a （x-h-m ）2+k ；将抛物线y=a （x-h ）2+k 向上平移m （m ＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a （x-h ）2+k+m ；将抛物线y=a （x-h ）2+k 向下平移m （m ＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a （x-h ）2+k-m ，据此得出平移后的抛物线的解析式，从而即可得出a 、b 的值.4．【答案】B【解析】【解答】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：.2=23y x -故答案为：B.【分析】二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，据此求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵y=（x-3）2+1中，a=1＞0，∴图象开口向上，对称轴为x=3，∴当x=3时，y min =1，故答案为：C.【分析】由二次函数的顶点式y=（x-3）2+1可知，二次项系数为1，对称轴为x=3，顶点坐标的纵坐标即为函数的最小值，据此求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：y=﹣x 2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，a=﹣1，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣2），△=4﹣12=﹣8＜0，抛物线与x 轴没有交点，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大．故选：D ．【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可．7．【答案】D【解析】【解答】解：A ：，顶点坐标为；错误()223y x =-+-()23--，B ：；顶点坐标为；错误()223y x =---()23-，C ：；顶点坐标为；错误()223y x =-++()23-，D ：；顶点坐标为；正确()223y x =--+()23，故答案为：D【分析】利用抛物线y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），可得到正确结论的选项.8．【答案】C【解析】【解答】解：， 265y x x =-+ ，()234y x =--根据上加下减常数项，左加右减自变量可知，故抛物线可由抛物线，先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到的，265y x x =-+2y x =故答案为：C.【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，然后由“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.9．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向下，632x -==-∵，1233x x x -<<<则，，在对称轴的右侧，此时函数图象递减，1x 2x 3x 故123y y y >>故答案为：A.【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为直线x=-3，则当x>-3时，y 随x 的增大而减小，据此进行比较.10．【答案】B【解析】【解答】解：将点，，代入得 (12)--，(03)，(16)，2y ax bx c =++ ，解得，236a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，2243(2)7y x x x ∴=-++=--+ 该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7，∴2x = 和时的函数值相等，0x ∴=4x =则时，的取值范围是：，04x <<y 37y <≤故答案为：B.【分析】将（-1，-2）、（0，3）、（1，6）代入y=ax 2+bx+c 中求出a 、b 、c 的值，得到二次函数的解析式，由解析式可得函数图象开口向下，对称轴为直线x=2，有最大值7，根据对称性可得x=0和x=4时的函数值相等，据此不难求出y 的范围.11．【答案】1≤【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为x=1，且a=1>02(1)y x =-∴抛物线开口向上，∴当时，y 随x 的增大而减小.1x ≤故答案为：.1≤【分析】此题给出的是抛物线的顶点式，由顶点式可得其对称轴为x=1，且a=1>0，故抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，据此即可得出答案.12．【答案】232y x =-【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物23y x =线是：．232y x =-故答案是：．232y x =-【分析】根据函数解析式平移的原则：上加下减，左加右减求解即可。

2021-2022学年最新华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题练习试题(含详解)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如下表给出了二次函数229y x x =+-中，x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程2290x x +-=的一个近似解（精确到0.1）为（）A ．2B ．2.1C ．2.2D ．2.32、若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（） A ．2a C ．0a <D ．0a >3、己知二次函数223y x x n =--+-（n 为常数），()()12,,3,P a y Q y 分别是该函数图像上的两点，若12y y >，则a 的取值范围是（）A ．5a <-B ．53a -<<C ．5a <-或3a >D ．3a >4、表中所列x ，y 的6对值是二次函数()20y axbx c a =++≠图像上的点所对应的坐标，其中123431x x x x -<<<<<，n m <，根据表中信息，下列四个结论：①20b a -=；②0abc <；③30a c +>；④如果312x =，54c =-，那么当30x -<<时，直线y k =与该二次函数图象有一个公共点，则5744k -≤<；其中正确的有（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、如图，线段AB =12，点C 是线段AB 上一动点，分别以AC 、BC 为边在AB 上方作等边△ACD 、△BCE ， ∠CBE 、∠BEC 的角平分线交于点G ，点F 是CD 上一点且CF =13CD ，连接FG ，则FG 的最小值是（）A B ．C ．D ．6、抛物线()2213y x =-+的顶点为（）A ．()2,3B ．()1,3C ．()1,3-D ．()2,17、若已知抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0),(2,0)-，则关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--的解为（） A ．1x =-B ．2x =-C ．2x =-或1x =D ．2x =或0x =8、二次函数y ＝x （x +2）图象的对称轴是（） A ．x ＝﹣1B ．x ＝﹣2C ．x ＝2D ．y 轴9、当﹣2≤x ≤1，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 值为（）A ．74-B C ．2或D ．274-10、如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（）A ．y =x 2+2x +1B ．y =x 2-2x +1C ．y =-x 2-2x +1D ．y =-x 2+2x +1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数()()220y a x c a =-+>，当自变量x 分别取1、4、5时，对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是________（用“＜”号连接）．2、设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是__________3、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是 _____．4、将抛物线2yx 向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为____________．5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与 x 轴交于 A 、C 两点，与 y 轴交于点 B （0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D （0，1）在 y 轴上，连接 PD ，则 C 点的坐标是_____＋PC 的最小值是______．6、已知ABC 的三个顶点为()()()111333A B C -----，，，，，，将ABC 向右平移 (0)m m >个单位后， ABC 某一边的中点恰好落在二次函数22y x =-的图象上，则m 的值为____________.7、已知二次函数2113y x x =+-，当3x =-时，函数y 的值是_________．8、函数2112y x x=+的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；② 该函数有最小值32；③方程21132x x +=有三个根；④如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y <．所有正确结论的序号是______．9、已知，抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）上有两点P （t ，y 1）和Q （t +3，y 2）．（1）此抛物线的对称轴是 _____．（2）若y 1＞y 2，则t 的取值范围是 _____．10、抛物线()223y x =-+的顶点坐标是______，对称轴是______．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过（3，0）点，当x ＝1时，函数的最小值为－4．(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；(2)当0＜x ＜4时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围；(3)直线x ＝m 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和直线y ＝x －3的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．2、我们将平面直角坐标系xOy 中的图形D 和点P 给出如下定义：如果将图形D 绕点P 顺时针旋转90°得到图形'D ，那么图形'D 称为图形D 关于点P 的“垂直图形”．已知点A 的坐标为()2,1-，点B 的坐标为（0，1），ABO 关于原点O 的“垂直图形”记为'A'B'O △，点A 、B 的对应点分别为点','A B ．(1)请写出：点'A 的坐标为____________；点'B 的坐标为____________； (2)请求出经过点A 、B 、'B 的二次函数解析式；(3)请直接写出经过点A 、B 、'A 的抛物线的表达式为____________．3、某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a 的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ，并在BC 边上留有一扇1米宽的门．设AD 边的长为x 米，矩形花圃的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式． (2)若墙长a ＝30米，求S 的最大值．4、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果y ′＝(0)(0)y x y x ≥⎧⎨-<⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”为点（-5，-6）．(1)在点E （0，0），F （2，5），G （-1，-1），H （-3，5）中，的“关联点”在函数y ＝2x +1的图象上；(2)如果一次函数y ＝x +3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2），求点M 的坐标；(3)如果点P 在函数y ＝-x 2+4（-2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是-4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．5、如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -和点()3,0B 两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P 为抛物线上一点，若10ABPS=，求出此时点P 的坐标．-参考答案-一、单选题 1、C 【解析】【分析】由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y 当 2.2x =时，0.24,y 再判断点 2.1,0.39,2.2,0.24哪个点离x 轴最近，从而可得答案. 【详解】解：由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y当 2.2x =时，0.24,y 而0.2400.24,00.390.39, 0.240.39,所以一元二次方程2290x x +-=的一个近似解： 2.2,x 故选C 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，一元二次方程的解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键. 2、B 【解析】【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上， ∴20a -> 即2a > 故选B 【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键． 3、B 【解析】【分析】由二次函数解析式得出函数的对称轴及增减性，利用增减性进行求解．【详解】解：()()12,,3,P a y Q y 是函数223y x x n =--+-的图象上的两点，且12y y >，223y x x n =--+-关于12bx a=-=-对称，且开口向下， ∴在1x <-时，函数值随自变量的增大而增大，在1x >-时，函数值随自变量的增大而增小，根据对称可知：5a =-时，12y y =，∴要使得12y y >，得：53a -<<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 4、D 【解析】【分析】根据（-3，m ），（1，m ）在二次函数()20y axbx c a =++≠图像上代入解析式得93m a b cm a b c =-+⎧⎨=++⎩两式相减得出2b a =可判断①20b a -=正确；根据()()310,0x x ，，在二次函数图像上，可判断对称轴在1x 与3x 之间，根据在对称轴右侧，4x ＜1，n m <函数随x 增大而增大，可得二次函数开口向上，a ＞0，2b a =＞0，根据增减性2341x x x <<<，可得c ＜0，可判断②0abc <正确；根据341x x <<，在对称轴右侧，函数随x 增大而增大，可得0＜n ＜m ，根据933333m a b cm a b c =-+⎧⎨=++⎩，两式相加得出3a c m +=＞0，可判断③30a c +>正确；根据对称性求出二次函数的对称轴为3112x -+==-，根据对称两点312x =，利用对称轴可求152x =-，进而可得5122y a x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据54c =-，可求2524y x x ==+-，求出x =-3时函数值直线y k =与该二次函数图象有一个公共点，得出57-44k ＜＜即可．【详解】解：∵（-3，m ），（1，m ）在二次函数()20y axbx c a =++≠图像上∴93m a b cm a b c =-+⎧⎨=++⎩∴解得2b a = 故①20b a -=正确；∵()()310,0x x ，，在二次函数图像上 ∴对称轴在1x 与3x 之间在对称轴右侧，4x ＜1，n m <函数随x 增大而增大， ∴二次函数开口向上，a ＞0，2b a =＞0， ∵123431x x x x -<<<<< ∴c＜0故②0abc <正确；∵341x x <<，在对称轴右侧，函数随x 增大而增大， ∴0＜n ＜m ，∴933333m a b c m a b c=-+⎧⎨=++⎩， ∴1244a c m +=即3a c m +=＞0，故③30a c +>正确；二次函数的对称轴为3112x -+==-， ∵312x =， ∴11212x +=-，解得152x =-，∴5122y a x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴25152224y a x x ax ax a ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵54c =-，∴5544a c -==-， ∴1a =， ∴2524y x x ==+-，当x =-3时，()()255732396444y ==-+⨯--=--=，直线y k =与该二次函数图象有一个公共点， ∴57-44k ＜＜，故④正确∴正确的有4个．故选择D ．【点睛】本题考查表格信息获取与处理，待定系数法求二次函数解析式，函数值，根据对称两点求对称轴，二次函数的性质，掌握表格信息获取与处理，待定系数法求二次函数解析式，函数值，根据对称两点求对称轴，二次函数的性质是解题关键．5、B【解析】【分析】先求∠FCG=90°，设AD=CD=AC=x，则BC=12-x，分别求出CF，CG，由勾股定理和二次函数的性质可求解．【详解】解：如图，延长EG交BC于H，连接CG，∵△ECB是等边三角形，EG平分∠BEC，∴EH⊥BC，CH=BH，∵∠CBE、∠BEC的角平分线交于点G，∴CG平分∠ECB，∴∠GCB=30°=∠ECG，∴CG=2GH，CH，∴BC，∵∠ACD=∠ECB=60°，∴∠DCE=60°，∴∠FCG=90°，设AD=CD=AC=x，则BC=12-x，∵CF =13CD ，BC ，∴CF =13x ，CG − x )， ∵FG 2=CF 2+CG 2，∴FG 2=19x 2+13（12-x ）2=49（x -9）2+12，∴当x =9时，FG 的最小值为故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的性质，利用勾股定理和参数表示FG 2是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式y =a （x -h ）2+k 可得顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：∵y =2（x -1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为（1，3），故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）．7、C【解析】【分析】由于抛物线2y ax bx c =++沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝a （x +1）2＋b （x +1）＋c ，由于方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2得到对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，从而得到一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--变形为a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，因为抛物线2y ax bx c =++经过点(10)(20)-，，，，所以方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2，对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，所以一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解为x ＝-2或x ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．8、A【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式()211y x =+-，求解即可．【详解】解：()()222211y x x x x x =+=+=+-∴该二次函数图像的对称轴为直线1x=-故选A．【点睛】本题考查了二次函数图像的对称轴，二次函数的顶点式．解题的关键在于正确的求出顶点式．9、C【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，解得m=74-，不合题意，舍去；②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，解得m∵m-2≤m≤1的范围，∴m③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2．综上所述，m=2或4．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．10、D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断．【详解】解：由A 、B 的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意；C ．∵y =-x 2-2x +1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =()221--⨯-=-1，故C 不合题意； D ．∵y =-x 2+2x +1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =()221-⨯-=1，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题的关键．二、填空题1、y 1＜y 2＜y 3【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y 1，y 2，y 3的值，结合a ＞0，即可得出a +c ＜4a +c ＜9a +c ，即y 1＜y 2＜y 3．【详解】解：当x =1时，y 1=a （1-2）2+c =a +c ；当x =4时，y 2=a （4-2）2+c =4a +c ；当x =5时，y 3=a （5-2）2+c =9a +c ．∵a ＞0，∴a +c ＜4a +c ＜9a +c ，∴y 1＜y 2＜y 3．故答案为：y 1＜y 2＜y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y 1，y 2，y 3的值是解题的关键．2、2【解析】【分析】先将抛物线配方为顶点式，然后根据（左加右减，上加下减）将抛物线平移，得出解析式()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，求出顶点的纵坐标()2124a a +-++配方得出()()221121244a a a +-++=--+即可．【详解】解：抛物线()22211(1)24a a y x a x a x a ++⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭，将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，解析式为()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，∴顶点纵坐标为：()()221121244a a a +-++=--+， ∵104-＜， ∴a =1时，最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标，掌握抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标是解题关键．3、y =x 2-4x +3【解析】【分析】把点A 、B 、C 的坐标代入函数解析式，解方程组求出a 、b 、c 的值，即可得解．【详解】解：将A （1，0），B （3，0），C （0，3）代入函数解析式得，09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数的解析式为y =x 2-4x +3，故答案为：y =x 2-4x +3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握，难点在于解三元一次方程组．4、24y x =+【解析】【分析】根据函数的平移规律“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：根据函数的平移规律“上加下减”的原则可知，将抛物线2y x 向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为24y x =+，故答案为：24y x =+．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移规律“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．5、（3，0） 4【解析】【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H )PC PD PD PJ ⎫+=+⎪⎪⎭，求出PD PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与y 轴交于点B （0，﹣3）， ∴c ＝﹣3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），C （3，0），∴OB ＝OC ＝3，∵∠BOC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∵D （0，1），∴OD ＝1，BD ＝1-（-3）=4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB ＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ ⊥CB ，∴90PJC ∠︒＝，∵∠PCJ =45°，∴∠CPJ =90°-∠PCJ =45°，∴PJ =JC ，根据勾股定理22222PC PJ JC PJ =+=∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭， ∵PD PJ DH +≥，∴PD PJ +≥∴PD +PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案为: （3，0），4．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．6、1,2,3【解析】【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数22y x =-的图象上，进而算出m 的值．【详解】解：∵△ABC 的三个顶点为A (-1，-1)，B (-1，3)，C (-3，-3)，∴AB 边的中点(-1，1)，BC 边的中点(-2，0)，AC 边的中点(-2，-2)，∵将△ABC 向右平移m (m ＞0)个单位后，∴AB 边的中点平移后的坐标为(-1+m ，1)，BC 边的中点平移后的坐标为(-2+m ，0)，AC 边的中点平移后的坐标为(-2+m ，-2)，∵二次函数22y x =-的图象在x 轴的下方，点(-1+m ，1)在x 轴的上方，∴AB 边的中点不可能在二次函数22y x =-的图象上，把(-2+m ，0)代入22y x =-，得-2(-2+m )2=0，解得m =2；把(-2+m ，-2)代入22y x =-，得-2(-2+m )2=-2，解得m 1=1，m 2=3；∴m 的值为1，2，3，故答案为1，2，3．【点睛】此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x ，y )的横纵坐标满足二次函数解析式．7、-1【解析】【分析】将x 的值代入2113y x x =+-计算即可；【详解】解：当3x =-时2113y x x =+-=()()213313⨯-+--=-1 故答案为：-1【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．8、①③##③①【解析】【分析】根据函数解析式可知1x中0x ≠，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据2112y x x =+与3y =存在3个交点可判断③当0x <时，y 随x 的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】解：2112y x x=+则，0x ≠，即函数图象与y 轴无交点， ∴该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；故①正确；根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，故②不正确；如图2112y x x =+与3y =存在3个交点，则方程21132x x+=有三个根；故③正确当0x <时，y 随x 的增大而减小，如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y >．故④不正确故正确的有①③故答案为：①③【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．9、 1x =-； 52t <-【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为x ＝2b a-代入求解；（2）根据二次函数的性质， m >0说明抛物线的开口方向向上，y 1＞y 2，通过数形结合观察抛物线即可得到32t t ++＜﹣1，解得即可．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0），∴对称轴为直线x ＝﹣22m m＝﹣1；（2）∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）中，m ＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）上有两点P （t ，y 1）和Q （t +3，y 2），且y 1＞y 2，∴画如图所示的草图，可知32t t ++＜﹣1，解得t ＜﹣52，故答案为：t ＜﹣52．【点睛】本题考查了抛物线对称轴的定义，熟练掌握二次函数对称轴的公式是求解第1小题的关键，求t 的范围时画草图观察找出点P 点Q 横坐标的和的一半与对称轴的大小关系．10、 ()2,3 2x =【解析】【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：抛物线()223y x =-+的顶点坐标是()2,3，对称轴是2x =．故答案为：()2,3；2x =【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，对称轴为x h =，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．三、解答题1、 (1)223y x x =--(2)45y -≤<(3)0m <或3m >【解析】【分析】（1）由已知可设二次函数的顶点式，再把点(3，0)的坐标代入顶点式中即可求得a 的值，从而求得解析式；根据解析式画出函数图象即可；（2）求出当x =0及x =4时的函数值，考虑抛物线的性质，结合函数图象即可完成；（3）观察图象知，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)，即当m =0或m =3时，点C 与点D 重合，结合图象即可求得m 的取值范围．(1)∵当x ＝1时，函数的最小值为－4，即抛物线的顶点坐标为(1，−4)∴设函数解析式为2(1)4y a x =--∵（3，0）点在抛物线上∴440a -=∴1a =∴2(1)4y x =--即223y x x =--其图象如下：(2)当x =0时，y =−3；当x =4时，y =5由图象知，当0＜x ＜4时，45y -≤<(3)如图所示，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)由图知，当0m <或3m >时，满足题目要求【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，二次函数与一次函数的关系等知识，数形结合是解题的关键．2、 (1)（1，2）；（1，0） (2)212133y x x =--+ (3)212133y x x =++ 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出'OB OB =，''AB A B =；（2）利用待定系数法进行求解解析式即可；（3）利用待定系数法求解解析式即可，或利用与（2）中对对称轴相同，开口方向相反可以快速得出答案．(1)解：根据题意作下图：根据旋转的性质得：'1OB OB ==，''0(2)2AB A B ==--=，∴'(1,2)A ，'(1,0)B ，故答案是：（1，2）；（1，0）；(2)解：设过点A 、B 、'B 的二次函数解析式为：2,(0)y ax bx c a =++≠，将点(2,1),(0,1),'(1,0)A B B -分别代入2,(0)y ax bx c a =++≠中得：21(2)210a b c c a b c ⎧=--+⎪=⎨⎪=++⎩，解得：12,,133a b c =-=-=， 212133y x x ∴=--+； (3)解：设过点A 、B 、'A 的二次函数解析式为：2,(0)y ax bx c a =++≠，将点(2,1),(0,1),'(1,2)A B A -分别代入2,(0)y ax bx c a =++≠中得：21(2)212a b c c a b c ⎧=--+⎪=⎨⎪=++⎩，解得：12,,133a b c ===，212133y x x ∴=++；故答案为：212133y x x =++．【点睛】本题考查了旋转的性质，利用待定系数法求解解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式．3、 (1)21402S x x =-+； (2)S 的最大值为750平方米【解析】【分析】（1）设AD 边的长为x 米，则AB 边长为（40﹣12x ）米，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；（2）利用二次函数的性质求最大值即可．(1)设AD 边的长为x 米，则AB 边长为（40﹣12x ）米，根据题意得：S ＝（40﹣12x ）x ＝﹣12x 2+40x ，∴S 与x 之间的函数关系式为S ＝﹣12x 2+40x ；由（1）知，S ＝﹣12x 2+40x ＝﹣12（x ﹣40）2+800，∵﹣1＜0，a ＝30，∴当x ≤40时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为750，∴墙长a ＝30米，S 的最大值为750平方米．【点睛】本题考查了二次函数和几何图形相关的应用题，通常会与面积或者容积有关，只需设未知量，将所求量表示出来建立等式即可，需要注意自变量的取值范围是否符合要求．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值若自变量x 的取值范围是全体实数，则当0a >时，抛物线开口向上，有最低点，当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a -；当0a <时，抛物线开口向下，有最高点，当2b x a=-时，函数取得最大值244ac b a -．4、 (1)F 、H(2)点M (-5，-2)(3)2≤<a 【解析】【分析】(1)点E (0，0)的“关联点”是(0，0)，点F (2，5)的“关联点”是(2，5)，点G (-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H (-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y ＝2x +1，看是否在函数图象上，即可求解；(2)当m ≥0时，点M (m ，2)，则2＝m +3；当m ＜0时，点M (m ，-2)，则﹣2＝m +3，解方程即可求解；(3)如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q 的纵坐标y '的取值范围是-4＜y '≤4，而-2＜x ≤a ，函数图象只需要找到最大值(直线y ＝4)与最小值(直线y ＝-4)直线x ＝a 从大于等于0开始运动，直到与y ＝-4有交点结束．都符合要求-4＜y '≤4，只要求出关键点即可求解．解：由题意新定义知：点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，得到：F(2，5)和H(-3，-5)在函数y＝2x+1图象上；(2)解：当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3，解得：m＝-1(舍去)；当m＜0时，点M(m，-2)，-2＝m+3，解得：m＝-5，∴点M(-5，-2)；(3)解：如下图所示为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束，都符合要求，∴-4＝-a2+4，解得：a=舍去负值)，观察图象可知满足条件的a的取值范围为：2≤<a【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．5、 (1)y=x2-2x-3；（1，-4）；(2)（-2，5）或（4，5）【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；（２）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，∴10930b cb c-=⎧⎨=⎩＋＋＋，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=x2-2x-3=()214x--，∴顶点坐标为（1，-4）；(2)∵A （-1，0）、B （3，0），∴AB =4．设P （x ，y ），则S △PAB =１２AB •|y |=2|y |=10，∴|y |=5，∴y =±5．①当y =5时，x 2-2x -3=5，解得：x 1=-2，x 2=4，此时P 点坐标为（-2，5）或（4，5）；②当y =-5时，x 2-2x -3=-5，方程无解；综上所述，P 点坐标为（-2，5）或（4，5）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握有关知识点是解题的关键．。

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华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A ．y ＝(x ﹣1)2﹣2B ．y ＝(x +1) 2﹣2C ．y ＝(x ﹣1) 2+2D ．y ＝(x +1) 2+22、将二次函数262y x x =+-化成()2y x h k =-+的形式应为（）A ．()237y x =++B ．()2311y x =-+ C ．()2311y x =+- D ．()224y x =++ 3、抛物线221y x x =+-的对称轴是（）A ．直线2x =B ．直线1x =C ．直线1x =-D ．直线2x =- 4、已知函数()22y x =--的图象上有11,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,B y ，()34,C y 三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<5、已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线y ＝ax 2+4ax +5上的点，且y 1＞y 2．下列命题正确的是（）A ．若|x 1+2|＜|x 2+2|，则a ＜0B ．若|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，则a ＞0C ．若|x 1+2|＞|x 2+2|，则a ＜0D ．若|x 1﹣2|＜|x 2﹣2|，则a ＞0 6、抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（） A ．()2,3- B ．()2,3 C ．()2,3- D ．()2,3--7、已知方程()()112x b x c x ----=的根是1x m =，2x n =，且m n <．若10b c <-<<，则下列式子中一定正确的是（）A ．m b n c <<<B ．b m n c <<<C ．m n b c <<<D ．m b c n <<<8、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，E 是ABC 边上一动点，沿A C B →→的路径移动，过点E 作ED AB ⊥，垂足为D ．设AD x =，ADE 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．9、如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为直线1x =．结合图象分析下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a c +<；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为123,1x x =-=；⑤若(,)m n m n <为方程(1)(3)10a x x +-+=的两个根，则1m <-且3n >．其中正确的结论个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10、在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝2x 与二次函数2y ax a =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在平面直角坐标系中，设点P 是抛物线()231y x =--+的顶点，则点P 到直线3y kx =-的距离的最大值为________．2、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤．小球运动的时间是___________s 时，小球最高；小球运动中的最大高度是___________m ．3、如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线132y x =+上的一个动点，将Q 绕点P (0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．4、已知函数()2211y x =++，当x ______时，y 随x 的增大而减少． 5、已知点()11,y -，()22,y 在抛物线22y x x c =-+上，则1y ，2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”，“<”或“=”）．6、已知抛物线()20y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是______．7、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知AC PC），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到山坡PA的坡度为1：2（即:洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．8、已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是________．9、某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断_____ 月份出售这种药材获利最大．10、设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是__________三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、已知二次函数y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3）．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数图象直接写出：①当﹣1＜x ＜2时，y 的取值范围；②当y ≤3时，x 的取值范围．2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过（3，0）点，当x ＝1时，函数的最小值为－4．(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；(2)当0＜x ＜4时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围；(3)直线x ＝m 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和直线y ＝x －3的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．3、已知抛物线y =﹣x 2﹣2x +a （a ≠0）与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y =12x a -分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线MA 相交于N 点．(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M 、A 的坐标．(2)将NAC 沿着y 轴翻转，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及PCD 的面积．4、王叔叔在某商场销售一种商品，他以每件40元的价格购进这种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：2140(40)=-+>y x x ．(1)若设利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式．(2)若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？5、在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y ＝251x +﹣1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；(2)请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；(3)已知函数332y x=-+的图象如图所示，请你根据函数的图象，直接写出不等式2353121xx-+<-+的解集，（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y ＝x 2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y ＝（x ﹣1）2+2，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，将二次函数图象的平转化为顶点的平移是解答本题的关键．2、C【解析】【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，判断即可．【详解】解：y =x 2+6x -2=x 2+6x +9-9-2=（x +3）2-11，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．3、C【解析】【分析】抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为：2b x a=-，根据公式直接计算即可得．【详解】解：221y x x =+-，其中：1a =，2b =，1c =-，21221b x a =-=-=-⨯，故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．4、B【解析】【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y 1、y 2、y 3的大小关系．【详解】解：二次函数y =-（x -2）2的图象开口向下，对称轴为直线x =2，∴C （4，y 3）关于对称轴的对称点为（0，y 3），∵-12＜0＜1＜2，∴y 1＜y 3＜y 2，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键．5、A【解析】【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：解：∵抛物线y=ax2+4ax+5，∴该抛物线的对称轴是直线x=-42aa=-2，A选项：∵|x1+2|＜|x2+2|，即|x1-(-2)|＜|x2-(-2)|，且y1＞y2，∴与对称轴的距离越近，函数值越大，∴a＜0，故该选项不符合题；B选项：∵|x1+2|＞|x2+2|，即|x1-(-2)|＞|x2-(-2)|，且y1＞y2，∴与对称轴的距离越近，函数值越小，∴a＞0，故该选项不符合题；C、D选项中，P1、P2与对称轴的距离跟本题无关，故两选项均不符合题；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，观察点到对称轴的距离，结合函数值的大小，进而确定开口方向．6、A【解析】【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质解答即可．【详解】解：抛物线()21232y x =--的顶点坐标是()2,3-，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数y =a (x -h )2+k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键． y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k )，对称轴是x =h ．7、A【解析】【分析】将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，结合图像即可得m b n c <<<．【详解】将()()112x b x c x ----=变形为 ()()112x b x c x ---=+ 则可理解为二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n 二次函数()()12y x b x c =---与x 轴交点横坐标为b 和c ．如图所示由图象、题意可知c ＞n ，n ＞b ，由二次函数、一次函数性质可知1mn k =，1nb k <故m ＜b则m b n c <<<故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图像综合问题，将将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，再结合图象判断是解题的关键． 8、D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x ≤6.4时，过C 点作CH ⊥AB 于H ，利用△ADE ∽△ACB 得出y 与x 的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x ≤10时，利用△BDE ∽△BCA 得出y 与x 的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，∴BC 6=，过CA 点作CH ⊥AB 于H ，∴∠ADE =∠ACB =90°， ∵11681022CH ⨯⨯=⨯⋅， ∴CH =4.8，∴AH 6.4=，当0≤x ≤6.4时，如图1，∵∠A =∠A ，∠ADE =∠ACB =90°，∴△ADE ∽△ACB ， ∴AD DE AC BC =，即86x DE =，解得：x =34x ， ∴y =12•x •34x =38x 2；当6.4＜x ≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴BD DE BC AC，即1068x DE-=，解得：x=4043x-，∴y=12•x•4043x-=222033x x-+；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．9、C【解析】【分析】根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程20cx bx a++=，求其根即可，利用平移的思想，把y=(1)(3)a x x+-的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右边，∴b ＜0，∴0abc >，故①正确；∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点(1,0)-，∴a -b +c =0，根据对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，当x =-2时，y ＞0即420a b c -+＞，故②正确； ∵12b a-=，∴b = -2a ，∴3a +c =0，∴2a +c =2a -3a = -a ＜0，故③正确；根据题意，得2320ax ax a --+=，∴23210x x +-=，解得121,13x x ==-，故④错误；∵(1)(3)a x x +-=0，∴123,1x x ==-，∴y =(1)(3)a x x +-向上平移1个单位，得y =(1)(3)a x x +-+1，∴(,)m n m n <为方程(1)(3)10a x x +-+=的两个根，且1m <-且3n >．故⑤正确；故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．10、C【解析】【分析】先由一次函数的性质判断，然后结合二次函数中a ＞0时，a ＜0时，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y ＝2x ，∴一次函数的图像经过原点，且y 随x 的增大而增大，故排除A 、B 选项；在二次函数2y ax a =-中，当a ＞0时，开口向上，且抛物线顶点在y 的负半轴上，当a ＜0时，开口向下，且抛物线顶点在y 的负半轴上，∴D 不符合题意，C 符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．二、填空题1、5【解析】【分析】根据抛物线解析式求出点P 坐标，由直线解析式可知直线3y kx =-恒过点B （0，-3），当PB 与直线3y kx =-垂直时，点P 到直线3y kx =-的距离最大，根据两点间距离公式可出最大距离．【详解】解：∵()231y x =--+∴P （3，1）又直线3y kx =-恒过点B （0，-3），如图，∴当PB 与直线3y kx =-垂直时，点P 到直线3y kx =-的距离最大，此时，5PB =∴点P 到直线3y kx =-的距离的最大值为5故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及点到直线间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．2、 3 45【解析】【分析】求得二次函数2305h t t =-的顶点坐标即可．【详解】()223055345h t t t =-=--+，∵-5<0，06t ≤≤，∴当t =3时，h 有最大值，最大值为45．故答案为：3，45．【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意后将实际问题转换为数学问题是解题的关键．3【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM ⊥y 轴于点M ，Q ′N ⊥y 轴于N ，∵∠PMQ ＝∠PNQ ′＝∠QPQ ′＝90°，∴∠QPM ＋∠NPQ ′＝∠PQ ′N ＋∠NPQ ′，∴∠QPM ＝∠PQ ′N ，在△PQM 和△Q ′PN 中，90PMQ PNQ QPM PQ NPQ PQ ∠=∠'=︒⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ∴△PQM ≌△Q ′PN （AAS ），∴PN ＝QM ，Q ′N ＝PM ，设Q （m ，12m ＋3），∴PM ＝|12m ＋2|，QM ＝|m |，∴ON ＝|1-m |，∴Q ′（12m ＋2，1−m ），∴OQ ′2＝（12m ＋2）2＋（1−m ）2＝54m 2＋5，当m ＝0时，OQ ′2有最小值为5，∴OQ【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．4、1<-【解析】【分析】解析式为顶点式，可求得其对称轴，再利用二次函数的增减性可求得答案．【详解】解：()2211y x =++∴抛物线开口向上，对称轴为x =-1，∴当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故答案为：1<-．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．5、>【解析】【分析】首先求得抛物线的对称轴和开口方向，可知开口向上对称轴为1x =，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断1y ，2y 的大小关系．【详解】解：∵22y x x c =-+中，10a =>，开口向上，对称轴为1x =，∴点与对称轴的距离越远函数值越大点()11,y -，()22,y 在抛物线22y x x c =-+上， ()112,211--=-=12y y ∴>故答案为：>【点睛】本题考查了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6、()1,4-【解析】【分析】观察表格可知该抛物线的对称轴为直线1312x -+==，根据二次函数图像的顶点坐标在对称轴上，在表格中查取点坐标即可．【详解】解：观察表格并由抛物线的图像与性质可知该抛物线的对称轴为直线1312x -+== ∵顶点坐标在对称轴上∴由表格可知该抛物线的顶点坐标为()1,4- 故答案为：()1,4-．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质．解题的关键在于正确把握二次函数的图像与性质．7、143##243【解析】【分析】分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt △PAC 中，利用PA 的坡度为1：2求出AC 的长度，把点A 的横坐标x =12代入抛物线解析式，求出CE ，最后利用AE =CE -AC 得出结果．【详解】解：以P 为原点，PC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−427，故抛物线的解析式为：y=-427(x−9)²+12，∵PC=12，:AC PC=1：2，∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，即可得点A的坐标为(12，6)，当x=12时，y＝−427(12−9)²+12＝323=CE，∵E在A的正上方，∴AE=CE-AC=323-6=143，故答案为：143．【点睛】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．8、 4 （2，7）【解析】【分析】由对称轴公式即可求得b ，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋3图象的对称轴为x ＝2，∴−2(1)b ⨯-＝2， ∴b ＝4，∴二次函数y ＝−x 2＋4x ＋3，∵y ＝−x 2＋4x ＋3＝−（x −2）2＋7，∴顶点坐标是（2，7），故答案为：4，（2，7）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．9、5【解析】【分析】分别求出售价与月份之间的函数关系式、成本与月份之间的函数关系式以及利润与售价、成本之间的关系，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：设每千克的售价是y 元，月份为x ，则可设y kx b =+把（3，8），（6，6）代入得，3866k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，2310k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴2103y x =-+ 设每千克成本是z 元，根据图象可设2(6)1z a x =-+把（3，4）代入2(6)1z a x =-+，得2(36)1=4a -+ ∴13a = ∴214133z x x =-+ ∴设利润为w ，则有：222111610(413)(5)3333w y z x x x x =-=-+--+=--+ ∵103-< ∴2116(5)33w x =--+有最大值， ∴当x =5时，w 有最大值，∴5月份出售这种药材获利最大．故答案为：5【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．10、2【解析】【分析】先将抛物线配方为顶点式，然后根据（左加右减，上加下减）将抛物线平移，得出解析式()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，求出顶点的纵坐标()2124a a +-++配方得出()()221121244a a a +-++=--+即可．【详解】解：抛物线()22211(1)24a a y x a x a x a ++⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭，将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，解析式为()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭， ∴顶点纵坐标为：()()221121244a a a +-++=--+， ∵104-＜， ∴a =1时，最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标，掌握抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标是解题关键．三、解答题1、 (1)y ＝﹣2x +2x +3(2)①0＜y ＜4；②x ≤0或x ≥2【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，转化为a ，c 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据函数的解析式，求得函数值，结合函数图像，利用函数的增减性解答即可．(1)∵y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3），∴203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩． ∴该二次函数的解析式为y ＝﹣2x +2x +3．(2)①∵当x ＝﹣1时，y ＝0，当x ＝2时，y ＝3，又∵y ＝﹣2x +2x +3＝﹣2(1)x -+4，故当x ＝1时函数有最大值4，∴结合图象，2、 (1)223y x x =--(2)45y -≤<(3)0m <或3m >【解析】【分析】（1）由已知可设二次函数的顶点式，再把点(3，0)的坐标代入顶点式中即可求得a 的值，从而求得解析式；根据解析式画出函数图象即可；（2）求出当x =0及x =4时的函数值，考虑抛物线的性质，结合函数图象即可完成；（3）观察图象知，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)，即当m =0或m =3时，点C 与点D 重合，结合图象即可求得m 的取值范围．(1)∵当x ＝1时，函数的最小值为－4，即抛物线的顶点坐标为(1，−4)∴设函数解析式为2(1)4y a x =--∵（3，0）点在抛物线上∴440a -=∴1a =∴2(1)4y x =--即223y x x =--其图象如下：(2)当x =0时，y =−3；当x =4时，y =5由图象知，当0＜x ＜4时，45y -≤<(3)如图所示，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)由图知，当0m <或3m >时，满足题目要求【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，二次函数与一次函数的关系等知识，数形结合是解题的关键．3、故y 的取值范围为：0＜y ＜②令y ＝3，则﹣2x +2x +3＝3．解得：1x ＝0，2x ＝2．∴结合图象，故x的取值范围为：x≤0或x≥2．【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，配方法确定函数的最值，一元二次方程的解法，数形结合思想，不等式解集的确定，熟练掌握抛物线的图像与性质是解题的关键．4．(1)M(﹣1，a+1)，A(0，a)(2)94，92【解析】【分析】（1）联立直线BC和抛物线，根据有2个不同交点，则判别式大于0，即可求得a的范围；（2）待定系数法求得直线MA解析式，进而联立BC，求得点N的坐标，根据对称性即可求得点P的坐标，代入抛物线解析式求得a的值，进而即可求得,,A C M的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可．(1)由题意联立2212y x x ay x a⎧=--+⎪⎨=-⎪⎩，整理得：2x2+5x﹣4a=0，由∆=25+32a＞0，解得：2532 a>-，∵a≠0，∴2532a>-且a≠0，当x =0时，y =a ，∴A （0，a ），∵y =﹣x 2﹣2x +a =﹣（x +1）2+a +1，∴M （﹣1，a +1）．(2)设直线MA 为：y =kx +b ，代入A （0，a ），M （﹣1，a +1）得，1a k b a b +=-+⎧⎨=⎩，解得：1k b a=-⎧⎨=⎩，所以直线MA 为y =﹣x +a ，联立12y x a y x a =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得433a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以：N （43a ，3a -）， ∵点P 是N 关于y 轴的对称点，∴P （﹣43a ，3a -），代入y =﹣x 2﹣2x +a ，得2168393a a a a -=-++，解得：a =94，或a =0（舍去），∴抛物线为y =﹣x 2﹣2x +94，直线BC 为y =12x ﹣94，当x =0时，y =﹣94，∴C （0，﹣94），A （0，94），M （﹣1，134）， ∴|AC |=92， ∴S △PCD =S △PAC ﹣S △DAC =12|AC |×|xp |﹣12|AC |×|xD | =12×92×3﹣12×92×1=92 【点睛】本题考查了直线与二次函数交点问题，一元二次方程根的判别式，关于坐标轴对称的点的坐标特征，直线与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的图形的性质是解题的关键．4、 (1)w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）(2)销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元【解析】【分析】（1）根据利润=销售数量×每件的利润可得w ＝y •（x ﹣40），把y ＝﹣2x +140代入整理即可得w 与x 的函数关系式；（2）由每天的销售量不少于44件，可得y ＝﹣2x +140 ≥44，进而可求出x ≤48；由于（1）已求w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600，整理可得w ＝﹣2（x ﹣55）2+450，有二次函数的性质a =-2<0可知，当x <55时，w 随x 的增大而增大，所以当x ＝48时，w 有最大值，最大值为：﹣2×482+220×48﹣5600＝352．(1)解：由题意得：w＝y•（x﹣40）＝（﹣2x+140）（x﹣40）＝﹣2x2+220x﹣5600，∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）；(2)解：∵y≥44，∴﹣2x+140≥44，解得：x≤48；w＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450，∵a=-2<0，∴当x<55时，w随x的增大而增大，∵x≤48，∴当x＝48时，w有最大值，最大值为：﹣2×482+220×48﹣5600＝352．∴销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出w与x的函数关系式是解题的关键．5、 (1)见解析(2)函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴(3)-0.4＜x＜1或x＞2【解析】【分析】（1）将x=-2，0，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象即可求得；（3）根据图象求得即可．(1)解：补充完整下表为：画出函数的图象如图：(2)该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，故答案为：函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．(3)由图象可知：不等式2353121x x -+<-+的解集为-0.4＜x ＜1或x ＞2．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．。

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