2016甘肃钢铁职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
甘肃省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)
甘肃省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)甘肃省2016年高考理科数学试题及答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 $Z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（B）$(-1,3)$。
2.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|(x+1)(x-2)<0,x\in Z\}$，则 $A\cup B=\{0,1,2,3\}$。
3.已知向量 $a=(1,m)$，$b=(3,-2)$，且 $(a+b)\perp b$，则$m=-8$。
4.圆 $x+y-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为1，则 $a=-\frac{2}{3}$。
5.如图，XXX从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与小红回合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则XXX到老年公寓可以选择的最短路径条数为（D）$9$。
6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（B）$24\pi$。
7.若将函数 $y=2\sin^2x$ 的图像向左平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，则平移后的图像对称轴为$x=k\pi$，其中 $k\in Z$。
8.中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的。
执行该程序框图，若输入的 $x=2$，$n=2$，依次输入的 $a$ 为 $2$，$2$，$5$，则输入的 $s=17$。
9.若 $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\frac{4}{5}$，则$\sin2\alpha=-\frac{25}{27}$。
10.从区间 $[0,1]$ 随机抽取 $2n$ 个数$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ 构成 $n$ 个数对$(x_1,y_1),\ldots$，其中两数的平方和小于 $1$ 的数对共有$m$ 个，则用随机模拟的方法得$(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$ 到的圆周率 $\pi$ 的近似值为$\frac{4n^2}{4m^2+1}$。
2016内蒙古北方职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下面列举的图形一定是平面图形的是()A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．有四个角是直角的四边形2．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为() A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定() A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行能力提升考单招——上高职单招网5．有一正方体木块ABCD－A1B1C1D1，为了需要，工人师傅将此木块锯成两块，截痕经过AB、AD、B1C1的中点P、Q、R，则截面图形是()A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()A.156 B.155 C.153 D.15107．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有()①这三条直线必共点；②其中必有两条是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图K38－1，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条考单招——上高职单招网10．正方体各面所在的平面将空间分成________部分．11．如图K38－2，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．12．以下四个命题中，正确命题的序号是________．①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．13．下列命题中正确的是________(填序号)．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．考单招——上高职单招网14．如图K38－3所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A 的中点，、F四点共面；求证：(1)E、C、D1(2)CE、D1F、DA三线共点．图K38－3考单招——上高职单招网15．(13分)已知：如图K38－4，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD上的点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE 、GH 与AC 的位置关系．图K38－4难点突破16．(12分)已知：在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，求证：ABCD 是矩形．考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．2．C [解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．3．B [解析] 在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．4．C [解析] 若c 与a ，b 都不相交，则与a ，b 都平行，根据基本性质4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．【能力提升】5．D [解析] 如图，取C 1D 1中点E ，连接RE ，RE 綊PQ ， ∴P 、Q 、R 、E 共面．再取BB 1、DD 1中点F 、G .∵PF ∥AB 1∥QR 且GE ∥C 1D ∥QR .∴E 、G 、F 、P 、Q 、R 共面． ∴图形为六边形．考单招——上高职单招网6．B [解析] 如图，取CD 的中点N ，连接BN ，D 1N ，则BN ∥DM ，∠D 1BN 就是直线DM 与D 1B 所成角，设正方体棱长为1，在△D 1BN 中，BD 1＝3，BN ＝D 1N ＝52，由余弦定理得cos ∠D 1BN ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×3×52＝155.7．B [解析] 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线，而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.8．D [解析] (1)三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，AB ，BC )，故结论①不正确，也说明必有结论②不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论③正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，BC ，D 1C 1)，故结论④不正确．正确选项D.9．D [解析] 满足与线段AB ，AD ，AA 1成角相等的直线在如图所示的正方体中，就是其体对角线AC 1所在的直线．如图所示，将AD ，AB ，AA 1所在的线段反向延长，则可得到三个正方体，在每个正方体中都存在一条体对角线，使其与直线AB ，AD ，AA 1所成角相等，故选D.10．27 [解析] 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分．考单招——上高职单招网11.23 [解析] 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化到一个三角形的内角来计算．如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝72，故cos ∠PGK ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23，即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.12．① [解析] 可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．13．①② [解析] 在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 内，又在平面α内，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．14．[解答] 证明：(1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C . ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.考单招——上高职单招网∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交， 设D 1F ∩CE ＝P .∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点， 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．15．[解答] ∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD .∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD ，①当λ＝μ时，HG ∥AC ，EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH .由公理4知，EF ∥GH ∥AC .②当λ≠μ时，EH ∥FG 但EH ≠FG ，考单招——上高职单招网∴四边形EFGH是梯形且EH、FG为上、下两底边，∴EF、GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC，∴三条直线EF、GH、AC交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF、GH、AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF、GH、AC交于一点．【难点突破】16．[解答] 证明：由已知，若证得四边形ABCD是平面图形，则四边形ABCD是矩形，下面用反证法证明：A、B、C、D四点共面．假设A、B、C、D四点不共面，又设B、C、D确定的平面为α，则A∉α.作AA1⊥α，垂足为A1，连接A1B、A1D，由已知和三垂线定理的逆定理，可得：∠CBA1＝∠CDA1＝90°，从而∠DA1B＝90°.又A1B＜AB，A1D＜AD，A1B2＋A1D2＝BD2，可得：BD2＜AB2＋AD2⇒∠DAB≠90°，这与∠DAB＝90°矛盾．所以，A、B、C、D四点共面，从而四边形ABCD是矩形．。
2016新疆石河子职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网1．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为__________．解析：要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)＞0＝log 121，∴0＜2x ＋1＜1， ∴－12＜x ＜0.答案：⎝⎛⎭⎫－12，02．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝__________.解析：∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.∴tan α＝sin αcos α＝－12，∴tan 2α＝2tan α2α＝－11－14＝－4. 答案：－433．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：14．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．考单招——上高职单招网解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 答案：95.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) 解析：二项展开式的通项为T r ＋1＝C r18x 18－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r18x 18－3r 2.令18－3r2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.答案：176．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为__________．解析：因为sin C ＝23sin B ，所以c ＝23b ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc＝32，又A 是三角形的内角，所以A ＝π6. 答案：π67．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：由题意知S ＝|α||β|sin θ＝12≤sin θ，∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π68．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，考单招——上高职单招网即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：15349．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O -ABCD 的体积为__________． 解析：依题意棱锥O -ABCD 的四条侧棱长相等且均为球O 的半径，如图连接AC ，取AC 中点O ′，连接OO ′.易知AC ＝AB 2＋BC 2＝43，故AO ′＝23， 在Rt △OAO ′中，OA ＝4，从而OO ′＝42－12＝2. 所以V O -ABCD ＝1×2×6×23＝8 3.答案：8 310．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么|FA →|＋|FB →|＝__________.解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5.因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|FA →|＋|FB →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7. 答案：711．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________. 解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，考单招——上高职单招网当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 答案：{x |－2≤x ≤5}12．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值．由⎩⎨⎧ x －y ＝9，2x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－5.所以z min ＝4＋2×()－5＝－6. 答案：－6考单招——上高职单招网13．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则f (x )与f (a )的大小关系是__________．解析：由(x －a )·f ′(x )≥0得⎩⎨⎧ x ≥a ，f ′(x )≥0或⎩⎨⎧x ≤a ，f ′(x )≤0.即函数f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，在(－∞，a ]上为减函数．∴函数f (x )在x ＝a 时取得最小值， 即对任意x 恒有f (x )≥f (a )成立． 答案：f (x )≥f (a )14．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________．解析：设P (x ，y )，则当∠F 1PF 2＝90°时，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5，由此可得点P的横坐标x ＝±35，又当点P 在x 轴上时，∠F 1PF 2＝0；点P 在y 轴上时，∠F 1PF 2为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是－35<x <35 .答案：－35<x <3515．函数f (x )＝2sin (x ＋π4)＋2x 2＋x 2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________.解析：根据分子和分母同次的特点，将分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，∴M ＋m ＝2. 答案：2。
2016乌海职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．若f(x＋h)－f(x)＝2hx2＋5h2x＋3h3，则f′(x)＝________.2．若曲线运动方程为S＝1－tt2＋2t2，则t＝2时的速度为________．3．下列结论：①若y＝cos x，则y′＝－sin x；②若y＝x，则y′＝x2；③若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；④若y＝e x，则y′＝y.其中正确的有________个．4．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．能力提升5．如图K13－1，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是________．图K13－16．f(x)＝x，则f′(8)等于________．7．设函数f(x)＝x2＋ln x，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝ax＋b，则a＋b＝________.8．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，则在t ＝________时的瞬时速度为0. 9．函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图K13－2所示的一条直线，则y ＝f (x )图象的顶点在第________象限．图K13－210．若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝________.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.13．(8分)求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；参考答案【基础热身】1．2x 2[解析] 由f (x ＋h )－f (x )＝2hx 2＋5h 2x ＋3h 3，得f (x ＋h )－f (x )h＝2x 2＋5hx ＋3h 2，当h 无限趋近于0时，得f ′(x )＝2x 2.2．8 [解析] S ′(t )＝－2t 3＋1t 2＋4t ，t ＝2时的速度S ′(2)＝8.3．3 [解析] 由公式得①③④正确，而由幂函数导数公式得：若y ＝x ，则y ′＝12x.4．45° [解析] y ′＝3x 2－2，y ′|x ＝1＝1，则tan α＝1，故倾斜角为45°. 【能力提升】5．－1 [解析] f (1)＝3，f (3)＝1，因此f (3)－f (1)3－1＝－1.6.28[解析] f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x －12＝12x ，f ′(8)＝128＝28. 7．1 [解析] 由题知，f (1)＝12＋ln1＝1.又因为切点在切线上，于是有a ＋b ＝1. 8．2 [解析] 由导数的物理背景得v ＝S ′(t )＝2t －4＝0⇒t ＝2.9．一 [解析] 由图象得y ＝f ′(x )是一次函数，所以y ＝f (x )是二次函数． 又f (x )的图象过原点，所以可设：f (x )＝ax 2＋bx ， f ′(x )＝2ax ＋b .结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，即顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 在第一象限． 10．2e[解析] 设直线与曲线相切于点P (x 0，y 0)， 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－3，y 0＝2ln x 0，k ＝2x 0，解得y 0＝－1，x 0＝1e，k ＝2 e. 11.13[解析] 函数y ＝e －2x ＋1的导数为y ′＝－2e －2x ，则y ′|x ＝0＝－2，曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线方程是2x ＋y －2＝0，直线y ＝x 与直线2x ＋y －2＝0的交点为⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点为(1,0)，三角形的面积为12×1×23＝13.12．－g (x ) [解析] 由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f (x )是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g (－x )＝－g (x )．13．[解答] (1)解法一：∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， ∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′＝18x 2＋4x －3. 解法二：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′ ＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3 ＝18x 2＋4x －3.(2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln3·e x ＋3x e x －2x ln2＝3x e x ln3e －2x ln2.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x ·(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.14．[解答] 方法一：设P (x 0，y 0)，由题意知曲线y ＝x 2＋1在P 点的切线斜率为k＝2x 0，切线方程为y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0的判别式Δ＝4x 20－2×4×(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，y 0＝73. ∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫233，73或⎝⎛⎭⎫－233，73.方法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)分别为切线与曲线y ＝x 2＋1和y ＝－2x 2－1的切点．则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y 1＝x 21＋1，y 2＝－2x 22－1，k 切＝2x 1，k 切＝－4x 2，k 切＝y 1－y 2x 1－x 2，∴x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1＝－4x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1，x 1＝－2x 2，消去x 1，得x 2＝±33，则x 1＝±233， 则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫233，73或⎝⎛⎭⎫－233，73.15．[解答] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0；令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.16．[解答] (1)f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 上存在过点A (x 1，y 1)的切线与曲线C 同时切于两点，另一切点为B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则切线方程是y －⎝⎛⎭⎫13x 31－2x 21＋3x 1＝(x 21－4x 1＋3)(x －x 1)，化简，得y ＝(x 21－4x 1＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 31＋2x 21.而过B (x 2，y 2)的切线方程是y ＝(x 22－4x 2＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 32＋2x 22，由于两切线是同一直线，则有x 21－4x 1＋3＝x 22－4x 2＋3，得x 1＋x 2＝4.又由－23x 31＋2x 21＝－23x 32＋2x 22，得－23(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0， －13(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋4＝0，x 1(x 1＋x 2)＋x 22－12＝0，即(4－x 2)×4＋x 22－12＝0，x 22－4x 2＋4＝0，得x 2＝2.但当x 2＝2时，由x 1＋x 2＝4得x 1＝2， 这与x 1≠x 2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点．。
2016首钢工学院数学自主招生试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网限时：45分钟 满分：70分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过F 点且斜率为33的直线与双曲线的渐近线平行，则此双曲线的离心率为( )A.233B. 3 C ．2D ．2 3解析：选A 由题知，双曲线的一条渐近线的斜率为33，即b a ＝33，所以e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝233.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 3．已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上，1MF ·2MF ＝0，则M 到y 轴的距离为( )考单招——上高职单招网A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，此即点M 到y 轴的距离．4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于( )A.19B.14C.13D.12解析：选A ∵点M (1，m )在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义点M 到准线x ＝－p 2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A (－a ，0)，∴k AM ＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x a ，根据题意，41＋a ＝1a，∴a ＝19.5．已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．5考单招——上高职单招网解析：选D不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，则2|PF2|＝2c＋|PF1|，且|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF1|＝2c－4a，|PF2|＝2c－2a，又因为∠F1PF2＝90°，则4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，故4c2＝(2c－2a)2＋(2c－4a)2，化简得c2－6ac＋5a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝5a，故e＝ca＝5.6．已知等边三角形ABC的边长为4，点P在其内部及边界上运动，若P到顶点A的距离与其到边BC的距离相等，则△PBC面积的最大值是()A．2 3 B．163－24C．3 3 D．83－12解析：选B由题易知点P在以A为焦点，BC边所在直线为准线的抛物线的一段(图中曲线EF)上运动．设线段AN为BC边上的高，曲线EF与线段AN的交点为M，由图易知，当P位于点E或点F处时，△PBC的面积最大．过点E作EH⊥BC，垂足为H，设AE＝EH＝x，则EB＝4－x.在Rt△EHB中，EH＝BE·sin 60°，则x＝32(4－x)，解得x＝83－12，即EH＝83－12，故△PBC面积的最大值为12×4×(83－12)＝163－24.7．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)考单招——上高职单招网解析：选C 圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．8．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解析：选D 设P ⎝⎛⎭⎫a2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c 2(b 2－2c 2≠0)，由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e <1.二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．.已知直线y ＝m 与椭圆x 23＋y 24＝1有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：注意到椭圆x 23＋y 24＝1上的点的纵坐标的取值范围是[－2,2]，故要使直线y＝m 与椭圆x 23＋y 24＝1有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是(－2,2)．答案：(－2,2)考单招——上高职单招网10．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 311．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．解析：依题意得c a ＝2，则c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2＝3a 2，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ≥23a 3a ＝233，即b 2＋13a 的最小值是233.答案：23312．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________． 解析：由1PF ·2PF ＝0得1PF ⊥2PF ，设|1PF |＝m ，|2PF|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，又c a ＝54，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，a ＋b ＝7.答案：713．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于________．考单招——上高职单招网解析：直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝⎛⎭⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案：9414．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点．若AF ＝3FB，则k ＝________.解析：根据c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c 2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线的方程为x ＝my ＋c ⎝⎛⎭⎫其中m ＝1k ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF＝3FB，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据根与系数的关系得y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，由－y 1＝3y 2得y 2＝cm m 2＋4，y 22＝c 29(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，所以m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2，又k >0，故k ＝ 2.答案： 2。
2016沈阳职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)
2016沈阳职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)考单招——上高职单招网2016沈阳职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若的终边所在象限是 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.集合，若，时，，则运算可能是（）A．加法B．除法C．减法D．乘法3.点P位于坐标平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D第四象限4..设e是单位向量, =5e,=-5e ,,不重合,则四边形是( )A．梯形B．菱形C．长方形D．正方形5.若|x-a|<q，|y-a|<q，(q>O)，则下列不等式一定成立的是( )A．|x-y|<q B．|x-y|>qC．|x-y|<2q D．|x-y|>2q6.如图，设点O在内部，且有，则的面积与的面积的比为（）A．2 B．3 C．4 D．6一套重要资料锁在一个保险柜中，现有把钥匙依次分给名学生依次开柜，但其中只有一把真的可1.以打开柜门，则第名学生打开保险柜的概率为（）考单招——上高职单招网A． B． C． D．2.若，则下列不等式①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④中，正确的不等式有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.三角形的三个顶点A（6，3）、B（9，3）、C（3，6），则的内角A的度数为 ( )A . 1200 B. 450 C.1350 D.6004.已知，且，则的大小关系是（）A． B．C． D．不确定5.若随机事件、发生的概率均不等于0，且则事件、的关系是（）A．A与B是互斥的B．A与B不是互斥的C．A与B是独立的D．A与B不是独立的6.设函数，又若，则下列各式一定成立的是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）1.设向量a＝（cos23°，cos67°），b＝（cos68°，cos22°），u＝a＋tb（）,则考单招——上高职单招网|u|的最小值是________．2.已知定义在[0，1]上的函数y=f(x)图象如图所示，则对满足的任意x1，x2，下列关系：①；②③，其中一定正确的是．3.如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行第2个数是 .12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 64.在某电视歌曲大奖赛中，最有六位选手争夺一个特别奖，观众A，B，C，D猜测如考单招——上高职单招网下：A说：获奖的不是1号就是2号；B说：获奖的不可能是3号；C说：4号、5号、6号都不可能获奖；D说：获奖的是4号、5号、6号中的一个．比赛结果表明，四个人中恰好有一个人猜对，则猜对者一定是观众获特别奖的是号选手．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.1.(本小题满分12分)设平面上P、Q两点的坐标分别是（Ⅰ）求|PQ|的表达式；（Ⅱ）记的最小值.2.(本小题满分12分)为了竖一块广告牌，要制造三角形支架. 三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB 长0.5米. 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？考单招——上高职单招网3.(本小题满分12分)我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（I）根据图象求k、b的值；（II）若市场需求量为Q，它近似满足.当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.为使市考单招——上高职单招网场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值.1.(本小题满分12分)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的巨大的汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的且命中的概率是。
2016昌吉职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网danzhaowang1．函数f (x)＝x2－ 2ax＋ 2，当x∈ [－1，＋∞ )时，f( x)≥a恒成立，求a的取值X围．解：∵f( x)＝(x－ a)2＋2－a2，∴此二次函数图象的对称轴为x＝ a.(1)当 a∈(－∞，－1)时， f( x)在[－1，＋∞)上单调递增，∴ f( x)min＝ f(－1)＝2a＋3.要使 f( x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得a≥－ 3，即－ 3≤a< － 1.(2)当 a∈[－1，＋∞)时， f( x)min＝f( a)＝2－ a2.要使 f( x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a，即2－ a2≥ a，解得－2≤ a≤1，即－1≤ a≤1.综上所述，实数a 的取值X围为[－3,1]．2.如下列图，圆O： x2＋y2＝4，直线 m： kx－ y＋1＝0.(1)求证：直线 m 与圆 O 有两个相异交点；(2)设直线 m 与圆 O 的两个交点为 A、B，求△AOB 面积 S 的最大值．解： (1) 证明：直线m：kx－y＋ 1＝0 可化为y－ 1＝kx，故该直线恒过点 (0,1) ，而 (0,1) 在圆O：x2＋y2＝ 4 内部，所以直线 m 与圆 O 恒有两个不同交点．1(2) 圆心O到直线m的距离为d＝1＋k2，而圆 O 的半径 r＝2，故弦AB 的长为 || ＝2r2－2＝24－d2，AB d考单招——上高职单招网danzhaowang故△AOB面积＝1|| ×＝1×2 4－d2×d 22AB d＝4d2－d4＝－d2－ 2 2＋ 4.而 d2＝12，因为1＋k2≥1，所以d2＝1 2 ∈(0,1]，1＋k1＋k显然当 d2∈(0,1] 时，S单调递增，所以当d 2＝1，即＝0时，S取得最大值3，此时直线m的方程为y－1＝0.k3.四棱锥 P－ ABCD如下列图．(1)在四棱锥中， E 为线段 PD 的中点，求证： PB∥平面 AEC；PF(2) 在四棱锥中，F为线段PA上的点，且FA＝λ，那么λ为何值时，PA⊥平面DBF？并求此时几何体F－BDC 的体积．解：(1)证明：连接 AC、BD，设交点为 O，连接 OE，∵OE 为△ DPB的中位线，∴OE∥ PB.∵EO?平面 EAC，PB?平面 EAC，∴ PB∥平面 AEC.(2) 过O作OF⊥PA，垂足为F.连接OP、FA、FB.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.[]考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－ 2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.考单招——上高职单招网danzhaowang在 Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，PA ＝2，∵PO 2＝ PF ·PA,1＝2PF ，1 3PF 1∴PF ＝2 ， FA ＝ 2 ，λ＝FA ＝ 3.又∵ PA ⊥BD ，∴ PA ⊥平面 BDF .PF 1当FA ＝3时，在△ PAO 中，过 F 作 FH ∥PO ，33则 FH ⊥平面 BCD ， FH ＝4PO ＝4.1S △BCD ＝2×2×3＝3.∴V ＝1△BCD ·＝1 × 3×3＝ 3 .3SFH34 44．函数f (x )＝ 2cos x＋ π ＋ π － 3cos x ＋ π.3 sin x 3 3(1) 求 f (x )的值域和最小正周期；π3]＋2＝0(2) 假设对任意x ∈ 0，6，使得m [f x ＋ 恒成立，XX 数 m 的取值X 围．解： (1) f ( x )＝ 2sin x ＋ π cos( x ＋ π 3cos 2 (x ＋ π ＝ sin 2 x ＋ 2π－ 33 3 )－ 2 3 3cos 2x ＋ 2π ＋ 132π2π＝ sin 2x ＋3－ 3cos 2x ＋3－ 3π＝ 2sin 2x ＋3－ 3.π∵－ 1≤ sin 2x ＋3≤ 1.π3，T ＝2π∴－ 2－ 3≤2sin 2 x ＋3 － 3≤2－2 ＝π.即 f ( x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.。
2016江西冶金职业技术学院数学单招测试题(附答案解析)
考单招——上高职单招网 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合A ={x |x 2－2x ≤3}，{|21,}B x x n n Z ==+∈，则集合A B =2．函数的定义域为___________ 3.若复数（是虚数单位），则 4．sin 43°sin13°–cos 43°cos 167°的值为 5．如图，程序执行后输出的结果为_________6.将一颗质地均匀的 正方体骰子先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ，则事件“3≤+y x ”的 概率为 ____7.某学校对1000名学生的英语水平测试成绩进行 统计，得到样本频率分布直方图如右图所示，现规定 不低于70分为合格，则合格人数是8．曲线sin y x =在点（3π； 9．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是__________． 10．设函数()f x 的定义域为R ，且对任意两不等实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+及0)()(>--yx y f x f ，请写出一个满足条件的函数。
11．已知圆222:r y x C =+，直线2:r by ax l =+，若点),(b a P 在圆外，则直线l 与圆C 的位置关系是12．在ABC ∆所在的平面有一点P ，满足=++,则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是x y 5.0log =2z i i =+i ||z=考单招——上高职单招网 13．已知x x x f cos sin )(1+=，记),()('12x f x f = ),()('23x f x f =，)2,(),()(*'1≥∈=-n N n x f x f n n ，则=+++)2()2()2(200921πππf f f14．若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是2008(1)n n a a +=-⋅，2009(1)2,n n n n b a b n+-=+<且对任意n N *∈恒成立，则常数a 的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，三边a 、b 、c 对角分别为A 、B 、C ，且0cos cos cos 3=--B c C b B a（1）求角B 的余弦值；（2）若2BA BC ⋅=，且22=b ，求a 和c 的值.16．（本题满分14分）如图，四棱锥S ABCD -中，AD ⊥侧面SCD ，DC SD =，点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，G F E ,,分别是SC SB SA ,,的中点. （1）试判断四点F G D A ,,,是否共面？并加以证明； （2）求证：OE // 平面SCD ； （3）求证：OE ⊥平面ADF .考单招——上高职单招网 17．（本题满分14分）设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆．(1)求椭圆的离心率；(2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程；18．（本题满分16分）某著名景区新近开发一种旅游纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向地方税务部门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5 ）的税收。
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限时：50分钟 满分：80分(共16个小题，每小题5分，共80分)1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D A 选项中的函数为非奇非偶函数．B 、C 、D 选项中的函数均为奇函数，但B 、C 选项中的函数不为增函数，故选D.2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.3．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin x ，tan x 与x 的大小关系是( )A ．tan x ≥sin x ≥xB ．tan x ≥x ≥sin xC ．大小关系不确定D ．|tan x |≥|x |≥|sin x | 解析：选D 结合y 1＝sin x ，y 2＝tan x ，y 3＝x 的图像可知D 正确．4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于( )A ．3 B.13C ．11 D.111解析：选D 由a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1得a n >0，∴2a n ＋1>a n ，即a n2a n ＋1<1，故排除A 项，C 项．又a 2＝a 12a 1＋1＝13，又由已知可以看出a n ＋1<a n ，故a 6应小于13.5．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B ∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D.6．函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C 方程f (x )·2x ＝1可化为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，如右图所示．可以发现其图像有两个交点，因此方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 有两个实数根．7．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )解析：选B 法一：由y ＝f (x )的图像写出f (x )的解析式．由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎨⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图像应为B.法二：利用特殊点确定图像．当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B8．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝S MB ．P >SM C ．P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n D ．P 2>⎝⎛⎭⎫S M n解析：选C 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM 和P 2>⎝⎛⎭⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n ，而P ≠SM ，所以A 选项不正确．9．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．10．自圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0外一点P (0,4)向圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则PA ·PB 等于( ) A.125B.65 C.855 D.455解析：选A 由圆的方程(x －1)2＋(y －2)2＝1知圆心为(1,2)，半径为1.设PA 、PB 的夹角为2θ，则切线长 |PA |＝|PB |＝(1－0)2＋(2－4)2－12＝2， 结合圆的对称性，cos θ＝255，cos 2θ＝35， 所以PA ·PB ＝125.11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C.2D. 3解析：选C 法一：棱长为2的正四面体的一个侧面面积记为S 1＝12×2×2×32＝3，显然图中三角形(正四面体的截面)的面积介于32与3两者之间，从而选C. 法二：将棱长为2的正四面体ABCD 放入到正方体中，如图，M 为CD 的中点．则正方体棱长为2，正方体的中心即为球心．平面MAB 必过球心，所以S △MAB ＝12×2×2＝ 2.12．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：选B 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C.13．若直线l 被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．y 2＝x B.x 22－y 2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝4 D.x 23＋y 2＝1解析：选D 依题意得，圆心(0,0)到直线l 的距离等于4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，即直线l 是圆x 2＋y 2＝1的切线．而圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线y 2＝x ，曲线x 22－y 2＝1，曲线(x －2)2＋y 2＝4均没有公共点；对于D ，由于圆x 2＋y 2＝1上的所有点均不在椭圆x 23＋y 2＝1内，因此圆x 2＋y 2＝1的切线与曲线x 23＋y 2＝1一定有公共点． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A ．b <－2且c >0B ．b >－2且c <0C ．b <－2且c ＝0D ．b ≥－2且c ＝0解析：选C 设t ＝f (x )，则方程化为关于t 的一元二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图像如图所示，显然，当⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝t >2时，有4个不同的x 的值与同一个t (t >2)对应，而当f (x )＝0时，只有x ＝0，所以要使原方程有5个不同实数解，应使方程t 2＋bt ＋c ＝0有一个零根和一个大于2的根，故b <－2且c ＝0，故所求充要条件为b <－2且c ＝0.15．F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则|1PF ·2PF |的最大值是( )A ．4B ．5C ．1D ．2解析：选D 设动点P 的坐标是(2cos α，sin α)，由F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则1PF ＝(－2cos α－3，－sin α)，2PF ＝(－2cos α＋3，－sin α)．所以|1PF ·2PF |＝|4cos 2α－3＋sin 2α|＝|3cos 2α－2|≤2.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8解析：选C 记f (x )－2＝f 1(x )，g (x )－2＝g 1(x )，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的根与方程f 1(x )＝g 1(x )在区间[－5,1]上的根相同．令x＋2＝t，则x＝t－2，当x∈[－5,1]时，t∈[－3,3]，方程f1(x)＝g1(x)，即f1(t－2)＝g1(t－2)，g1(t－2)＝1t，在同一坐标系下画出函数y＝f1(t－2)，t∈[－3,3]的图像与g1(t－2)＝1t，t∈[－3,3]的图像，结合图像可知，它们的图像共有三个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为t1、t2、t3，则有t1＋t3＝0，t2＝－1，(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＝t1＋t2＋t3＝－1，则x1＋x2＋x3＝－7，因此方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和等于－7.。