高三数学文科圆锥曲线大题训练(20个)(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

（1）求抛物线1C 的方程及弦AB 中点M 的轨迹2C 的方程；（2）若直线1l 、2l 分别为1C 、2C 的切线，且12//l l ，求12l l 到的最近距离。

14．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为2的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且||5AB =．（1）求此抛物线方程；（2）若(12)M ，是抛物线上一点，求⋅的值．15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且||||OA OB AB +=，求弦AB 长度的取值范围．16．已知椭圆222210)x y a b a b +=>>（的离心率e =，过点A (0,)b -和B (,0)a的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设12F F 、为椭圆的左、右焦点，过2F 作直线交椭圆于Q P ,两点，求1PQF ∆的内切圆半径r 的最大值.17．已知椭圆Q 的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e =，过椭圆Q 右焦点且垂直于x 轴的一条直线交椭圆于,E F 两点，=1EF . （1）求椭圆Q 的方程；（2）已知两点(C D ，设,,A B M 是椭圆Q 上的三点，满足3455OM OA OB =+，点N 为线段AB 的中点，求NC ND +的值.18．如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆)0()2(:222>=++r r y x T ，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .（1）求椭圆C 的方程；（2）求TN TM ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于N M ,上任意一点，且直线MP ,x 轴交于点S R ,，O 为坐标原点，求证：||||OS OR ⋅为定值.19．的左，右焦点分别是21,F F ，P 为椭圆上任一点，且21F PF ∆的最大面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，且以AB 为直径的圆恒过原点O ，若实数m 满足条件，求m 的最大值.20．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22=e ，点P (1，22)在该椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 与圆O :122=+y x 相切，并椭圆交于不同的两点A 、B ，求AOB ∆面积S 的最大值．高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (2)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=,由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214My y y k +==+......................7分 因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分 即()238104k k k+-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF 的方程为440y-+=................ ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>． --------1分∵长轴长为离心率e =1,b c a ==2212x y +=． ------- 4分 （2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设()()1122,,,P x y Q x y ，由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=． ∴ 1212112223POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=． --------------9分 （3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x =，此时POQ ∠小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++．11(1)y k x =-，22(1)y k x =-212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=u u u r u u u r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =， k ∴=∴所求直线的方程为1)y x =-．----------------14分3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a =，3c a =，所以 3c =，22243b a c =-=．所以 椭圆的方程为223144x y +=．…………4分 （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x =+，则原点O 到直线l 的距离为d =．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 2234y kx x y=⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=．可得P ，(Q．因为 以PQ 为直径的圆与直线l相切，所以1||2PQ d =，即||OP d =． 所以 222+=， 解得 1k =±．所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分4．解：（1）由已知得2e =12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->,化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k--=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k--+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >，故216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k<<+，即04S <<.(此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，………….2分则右焦点F的坐标为)，3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6．（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F,20)F , ……1分 ∴ 椭圆1C两焦点分别为1(0)F,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分 ∴2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F,20)F , …………………1分 ∴ 椭圆1C两焦点分别为1(0)F,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴22211a b+=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=.………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分 即11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. …9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-,化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.……9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =………………………10分x =+=………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤=2=. ……12分当且仅当2x =, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法2：由于AB ==，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． ………………………10分设与直线AB 平行的直线为0x m+=， 由220,25,x m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得2m =±．………………………11分 若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-2y =，2x =． (12)分 故当点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………14分 7．【解析】： （1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣．直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =，∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．解析：（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =.∵2222c a b c a ==+， ∴24a =．∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． …………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OM k k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+.………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分 ∴AM BM +=0不成立. ………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， ………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ………14分 9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-，………1分 代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =-，2212124()y y x x -=-，∴12121244x xy y y y -+==-221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14-．………12分 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得= （2分）化简得24x y =. （2分） （2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+ （2分） 以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分） 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为d =（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分） 解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- （2分） 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =- （2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ的距离为d = （2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. …2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x xx x x x x x kk---===+++. ……………6分∵ST =∴12x x -=.由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, ……… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y kk k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+.……3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±.……8分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=，……10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …11分整理得，()224410x x y k+-++=. …12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a因此：椭圆C 的方程为1222=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意可得：)2,0()0,2( -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ，得22||2m y -= 所以：4622||2=-=∆m m S AOB ，解得：232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2=mt ② 由①②得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>∆可得：2221h k >+此时：2212122212212122)(,2122,214khh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+， 所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以：222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆46||21212222=+-+=h kh k ③ 令221k n +=，代入③整理得：016163422=+-h n h n解得：24h n =或234h n =，即：22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+== 因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222=+++-k h k kh t ，即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t ，经检验，符合题意 综上所述：2=t 或332=t13.14．解：(1) 因焦点(0)2pF ，，所以直线l 的方程为2()2p y x =-由22()22p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得 22460x px p -+= ① 设1122()()A x y B x y ，，，，则1232p x x += ∴ 125||52pAB x x p =++== ∴2p = ∴ 抛物线方程为24y x = ····················································································· 6分 (2) 方程①化为 2310x x -+= ∴ 121231x x x x +==，直线l 的方程为22y x =-∴ 1122(12)(12)MA MB x y x y =----，，1212(1)(1)(2)(2)x x y y =--+--1212(1)(1)(24)(24)x x x x =--+--121259()17x x x x =-++527175=-+=- ··········································································· 12分15．解：(1) 由2222311()44b b e a a =+==得 ∴ 2a b =从而椭圆方程为222214x y b b +=，将22221(1142b b b+==代入得得解 ∴ 12b a ==， ∴ 椭圆方程为2214x y += ···················································································· 3分(2) ∵ ||||OA OB AB += ∴ OA OB ⊥当l ⊥x 轴时，由对称性不妙设点A在第一象限，可求得A B ， ∴||AB ==当l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为y kx m =+由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(14)8440k x kmx m +++-= ·································· 4分 由2222644(14)(44)0k m k m ∆=-+->得2241k m +> 设1122()()A x y B x y ，，，，则21212228441414km m x x x x k k-+=-=++， ········································································ 5分 ∵ OA OB ⊥ ∴ 22121212121212()()(1)()0x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++= 代入得22222448(1)01414m km k km m k k -+-+=++，解得22445k m +=··················· 7分 ∴ 1211|||()AB x x x x -+22226444114k m k k +=+222241(1)(161)14kk k +-++=+ ······················ 9分424161716k k k+=+当0k =时，||AB =当0k ≠时，||AB =≤=||AB >综上可知，弦AB 长度的取值范围为 ·············································· 12分 16．（1）直线AB 的方程为1=-+bya x 即0=--ab ay bx 原点到直线AB 的距离为2322=+b a ab 即2222433b a b a =+..........① 223236a c a c e =⇒==...................................②又222c b a += ...................................③ 由①②③可得：2,1,3222===c b a故椭圆方程为1322=+y x （2）()()0,2,0,221F F -，设()()2211,,,y x Q y x P由于直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为：2+=ky x 联立直线与椭圆方程：()012231322222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=ky y k y x ky x 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+31322221221k y y k ky y ...........④而21212121211y y F F S S S Q F F P F F PQ F -=+=∆∆∆()2122142y y y y -+=..........⑤将④代入⑤得：3162343222222221++=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∆k k k k k S PQ F又()r r a r PQ PF PF S PQ F 32221211=⋅=⋅++=∆ 所以r k k 32316222=++故2112123122222≤+++=++=k k k k r 当且仅当12122+=+k k 即1±=k 时，取得“=”故1PQF ∆的内切圆半径r 的最大值为21。