八年级数学平方差公式20题(含答案)
八年级数学上册因式分解练习题及答案
八年级数学上册因式分解练习题及答案八年级数学上册因式分解练习题及答案学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。
为了帮助大家在考前对知识点有更深的掌握，今天店铺为大家整理了因式分解练习题及答案，希望对大家有所帮助。
一、选择1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是()A.x2-yB.x2+2xC.x2+y2D.x2-xy+13.多项式6x3y2-3x2y2-18x2y3分解因式时，应提取的公因式是()A.3x2yB.3xy2C.3x2y2D.3x3y34.多项式x3+x2提取公因式后剩下的因式是()A.x+1B.x2C.xD.x2+15.下列变形错误的是()A.-x-y=-(x+y)B.(a-b)(b-c)=-(b-a)(b-c)C.–x-y+z=-(x+y+z)D.(a-b)2=(b-a)26.下列各式中能用平方差公式因式分解的是()A.–x2y2B.x2+y2C.-x2+y2D.x-y7.下列分解因式错误的是()A.1-16a2=(1+4a)(1-4a)B.x3-x=x(x2-1)C.a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)D.m2-0.01=(m+0.1)(m-0.1)8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A.x2-xyB.x2+xyC.x2-y2D.x2+y2二、填空9.a2b+ab2-ab=ab(__________).10.-7ab+14a2-49ab2=-7a(________).11.3(y-x)2+2(x-y)=___________12.x(a-1)(a-2)-y(1-a)(2-a)=____________.13.-a2+b2=(a+b)(______)14.1-a4=___________15.992-1012=________16.x2+x+____=(______)217.若a+b=1,x-y=2,则a2+2ab+b2-x+y=____。
人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案
人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案（2）51．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ADC的顶点都在方格纸格点上，将△ABC向左平移1格．再向上平移1格，（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的高CE；（3）过点A画BC的平行线；（4）在图中，若△BCQ的面积等于△BCA的面积．则图中满足条件且异于点A的个点Q 共有_____个．（注：格点指网格线的交点）【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）4.【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）利用网格特点找出A′C′的中点D′，然后连接B′D′即可；（3）根据平行线的性质求解；（4）过点A作BC的平行线，然后找出此平行线上的格点即可．【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）如图，高线CE为所作；（3）AQ△BC；（4）图中满足条件且异于点A的个点Q共有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．52．已知21(1)(2)12y A B y y y y +=+-+-+，求A 、B 的值．53．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE AC ∥，AE BD ∥．(1)求证：四边形AOBE 是菱形；(2)若60AOB ∠=︒，8AC =，求菱形AOBE 的面积．，根据菱形的性质易得出AOB 为等边三角形，再根据等的值，最后根据菱形的面积等于对角线证明：BE AC ∥AE BD四边形AOBE 为平行四边形四边形ABCD 为矩形BD =，12OA AC ，OB OB =∠∴AOB 为等边三角形8AC =OA AB ==12AM AB =OM OA =54．设x ，y ，z 为互不相等的非零实数，且x y z y z x +=+=+．求证：2221x y z =．55．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++（）的正方形.（1）若用不同的方法计算这个边长为a b c ++（）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：△若三个实数,,a b c 满足l1a b c ++=，+38ab bc ac +=，求222a b c ++的值.△若三个实数,,x y z 满足12484x y z ⨯÷=，2224944x y z ++=，求236xy xz yz --的值. 【答案】（1）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（2）△45；△－20【分析】（1）根据大正方形的面积等于所有小正方形与矩形的面积和即可得解； （2）△利用（1）中等式可将（a+b+c ）直接平方，然后代入式子的值求解即可；（3）△利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到232x y z +-=-，然后将23x y z +-平△(a b c ++11,c +=22(b c a +=238⨯△24x y ⨯÷222x y ∴⨯÷232x y z +-∴=23x y ∴+-(23x y +-2(2)∴-=23xy xz ∴-【点睛】本题主要考查整式混合运算，幂的混合运算，解此题的关键在于根据题图得到新等式，再利用新等式进行整理计算即可56．如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AB △BE ，垂足为B ，DE △BE ，垂足为E ，AC 、DF 相交于点G ，且AC=DF ，BF CE =．求证：FG CG =．【答案】见详解【分析】首先证明借助HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌，由全等三角形的性质可知ACB DFE ∠=∠，然后由“等角对等边”即可证明FG CG =．【详解】证明：△AB △BE ，DE △BE ，△90B E ∠=∠=︒，△BF CE =，△BF FC CE FC +=+，△=BC EF ，又△AC=DF ，△()Rt ABC Rt DEF HL ≌，△ACB DFE ∠=∠，△FG CG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题关键．57．计算：(1)2(4)(31)x x -+(2)23331111x x x x x ----+-58．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）(1)22201199- （2）21.99 1.990.01+⨯【答案】(1)800;(2)3.98.【详解】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）=400×2=800；（2）原式=1.99×（1.99+0.01）=1.99×2=3.98．59．(1)计算：232-÷x x x(912)9(2)分解因式：22-+363x xy y60．如图1，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的顶点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；(2)如图2，在直线m上找到一点P，使P A+PB的值最小；(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．(4)如图4，仅用直尺作出三角形ABC的边AB上的高，简单说明你的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）作点B关于直线m的对称点B'，连接AB'，交直线m于点P，则点P即为所求作的点；（3）如图，取格点O，计算可知S△AOC=S△BOC=S△AOB=2（平方单位）．（4）如图，选择格点D、E，证明△ACD△△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ△△BCQ，于是，AQ=BQ．推出CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作，（2）如图，点P即为所求作，（3）如图，即为所作，（4）如图，选择格点D、E，证明△ACD△△BCE．于是，AC=BC．选择格点Q，证明△ACQ△△BCQ，于是，AQ=BQ．△CQ为线段AB的垂直平分线，设CQ与AB相交于点F，则CF为所要求的△ABC的边AB上的高．【点睛】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．61．如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：CD平分△ECA．（2）猜想△BDC与△BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．62．甲、乙两市之间有两条铁路线，普通快车线长600千米；高速铁路线长450千米．已知高速列车的速度是普通快车速度的3倍，普通快车先出发3小时，而比高速列车晚到2小时，求普通快车与高速列车的速度分别是多少？63．下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使直线PQ l ∥．作法：如图2，△在直线l 上取一点A ，连接PA ；△作PA 的垂直平分线MN ，分别交直线l ，线段PA 于点B ，O ；△以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交直线MN 于另一点Q ； △作直线PQ ，所以直线PQ 为所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：△直线MN 是PA 的垂直平分线，△PO =___________，90POQ AOB ∠=∠=︒．△OQ =___________，△POQ AOB △≌△．△___________=___________．△PQ l ∥（___________）（填推理的依据）【答案】(1)见解析(2)AO ；OB ；QPO ∠；BAO ∠；内错角相等，两直线平行．【分析】（1）根据题中描述即可作图；（2）根据垂直平分线的性质证明POQ AOB △≌△，得到QPO BAO ∠=∠，即可根据平行线的判定定理证明．【详解】（1）用直尺和圆规，补全图形如下；（2）证明：△直线MN 是PA 的垂直平分线，△PO AO =，90POQ AOB ∠=∠=︒．△OQ OB =，△POQ AOB △≌△．△QPO BAO ∠=∠．△PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AO ；OB ；QPO ∠；BAO ∠；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定定理．64．如图， ABC C ∠∠=，点E 在线段AC 上，D 在AB 的延长线上，且有BD CE =，连接DE 交BC 于F ，过E 作EG BC ⊥于G ．试说明线段BF 、FG 、CG 之间的数量关系．【答案】BF CG FG +=，证明见解析．【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理得出DHB EGC ≅，再根据三角形全等的性质可得BH CG =，DH EG =，然后根据三角形全等的判定定理得出DHF EGF ≅，最后根据三角形全等的性质可得FH FG =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】BF CG FG +=，理由如下：如图，过点D 作DH CB ⊥，交CB 延长线于点H△ABC C ∠=∠，HBD ABC ∠=∠（对顶角相等）△HBD C ∠=∠在DHB △和EGC 中，90HBD C DHB EGC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩△()DHB EGC AAS ≅△BH CG =，DH EG =在DHF △和EGF △中，90DFH EFG DHF EGF DH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩△()DHF EGF AAS ≅△FH FG =△BF BH FH FG +==△BF CG FG +=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、线段的和差等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．65．为响应政府“绿色出行”的号召，张老师上班由自驾车改为骑公共自行车．已知张老师家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．张老师用骑公共自行车方式上班比用自驾车的方式上班多用多少小时？66．小明在学习分式的运算时，计算221x +的解答过程如下：请你指出小明解答过程中第△步的理论依据是 ；过程中错误出现在第 步（写出对应的序号即可），错误的原因是 ， 请你给出这道题的正确解的答过程：67．在数轴上，点A 表示数a ，点B 表示数b ，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上A 、B 之间的距离记作AB ，定义：AB a b =-，如：点A 表示数1，点B 表示数3，则132AB =-=；1a -表示数a 和1在数轴上对应的两点之间的距离；6a +表示数a 和6-在数轴上对应的两点之间的距离．（1）在数轴上，若点A 表示数2-，点B 表示数6，△AB = ；△动点P 表示数x ，请求出满足2610x x ++-=的x 的值．（2）小林同学对（1）中正整数x 进行如下图操作：若x 为奇数，则先把x 乘以3，再把所得数在数轴上对应的点向右平移1个单位得到另一个数若x 为偶数，则把x 乘以12，如此循环重复操作图中△处应填写___________(用含x 的代数式表示)经过操作，小林发现有循环出现的数，请画出数轴并在数轴上标出这些循环出现的数．【答案】（1）△8；△x 的值为-3或7；（2）3x ＋1；循环出现的数为4、2、1，数轴见解析68．计算：()()232223122a ab a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ )()36461142a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是关键69．先化简，再求值[x 2+y 2﹣(x+y)2+2x(x ﹣y)]÷4x ，其中x ＝﹣2，y ＝2【分析】根据整式的运算法则把所给的整式化为最简后，再代入求值即可．70．如图，点A ，M ，B 在同一直线上，以AB 为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC 和等边三角形ABD ，连接CM ，DM ，过点M 作MN ＝DM ，交BC 边于点G ，交DB 的延长线于点N ．（1）求证：△BCM ＝△BDM ；（2）求△CMN 的度数；（3）求证：AM ＝BN ． 【答案】（1）见解析；（2）60CMN ∠=︒；（3）见解析【分析】（1）根据ABC 和ABD △为等边三角形，且AB 为公共边，可以得出条件BC BD =，CBM DBM ∠=∠，即可证明()CBM DBM SAS ≌，由性质即可得出结论；（2）根据,MN DM BCM BDM =∠=∠，得出BDM BNM ∠=∠，BCM BNM ∠=∠，又根据CGM ∠和NGB ∠为对顶角，可得CMN NBC ∠=∠，再根据ABC 和ABD △为全等三角形，DBN ∠为平角，利用等量代换即可求出60CMN ∠=︒；（3）连接CN 由（1）可知：CBM DBM ≌，即可得CM DM =，证出CMN 为等边三角形，进而证明出()AMC BNC SAS ≌，由性质即可得出结论．【详解】解：（1）证明：ABC 和ABD △为等边三角形，且AB 为公共边， ,60BC BD CBM DBM ∴=∠=∠=︒，又在CBM 和DBM △中，CB DB CBM DBM BM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBM DBM SAS ∴≌，BCM BDM ∴∠=∠；（2）,MN DM BCM BDM =∠=∠，BDM BNM ∴∠=∠，BCM BNM ∴∠=∠，又CGM ∠和NGB ∠为对顶角，CMN NBC ∴∠=∠，又ABC 和ABD △为全等三角形，DBN ∠为平角，60CBM DBM ∴∠=∠=︒，180DBN ∠=︒，180606060CMN NBC DBN DBM CBM ∴∠=∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，（3）证明：连接CN ，如图所示：由（1）可知：CBM DBM ≌，CM DM ∴=，又,60MN DN CMN =∠=︒，CM MN ∴=，CMN ∴为等边三角形，,60CM CN MCN ∴=∠=︒，又ABC 为等边三角形，MCB ∠是ACB ∠和MCN ∠重叠的部分，,AC BC ACM BCN ∴=∠=∠，又在AMC 和BNC 中，AC BC ACM BCN CM CN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()AMC BNC SAS ∴≌，AM BN =．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质、解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质，再利用等量代换的思想进行解答．712+2n+1＝0．（1）求﹣2m 2+6m ﹣4n 的值；（2）求m 2+21m﹣n 2013的值．72．某商店欲购进A 、B 两种化妆品，用160元购进的A 种化妆品与用240元购进的B 种化妆品的数量相同，每件B 种化妆品的进价比A 种化妆品的进价贵10元． （1）求A 、B 两种化妆品每件的进价分别为多少元？（2）若该商店A 种化妆品每件售价32元，B 种化妆品每件件价45元，准备购进A 、B 两种化妆品共100件，且这两种化妆品全部售出后总获利高于1300元，则最多购进A 种化妆品多少件？【答案】（1）A 、B 两种化妆品分别为20元、30元；（2）66件．20x ， 20x 是原方程的解，且符合题意，则两种化妆品每件的进价分别为20元、）设购进A 种化妆品件，则购进B 种化妆品由题意得：(3220)30)(100)1300m m -->2663， 73．已知m 2=169，n 3=-27，求代数式m -n 的值．【点睛】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，正确得到m 、n 的值．74．对于任意一个三位数p ，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数p 为“桃园数”．例如：112p =，因为112+=，所以112是“桃园数”；253p =，因为253+≠，所以253不是“桃园数”；(1)判断459，615是否是“桃园数”？说明理由；(2)对于“桃园数”p ，去掉个位上的数字得到的两位数记为m ，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为n ，若m n +能被24整除，求所有的p ．75．如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B (4，2)，C (3，5)，请回答下列问题：（1）写出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △的顶点坐标．（2）求ABC 的面积．1,4(),A B 1(1,4),A ∴-（2）1,4(),A B 5BD BF ∴==-则ABC BDEF ABD BCF ACE S S S S S =---2111222BD AD BD BF CF AE CE -⋅-⋅-⋅ 111233112222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【点睛】本题考查了坐标与图形变化等知识点，掌握点坐标关于x 轴对称的变换规律是解题关键．76．边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）；A ．2222()a ab b a b -+=-B ．22(()a b a b a b -=+-C ．2()a ab a a b +=+ （2）若22912,34x y x y -=+=，求3x y -的值；（3）计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100----- ）边长为）229x y -3124y =÷77．如图，已知△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且EF△BC,D 为EF 上一点，且ED=DF ，BD=CD ，请说明：BE=CF.【答案】见解析.【分析】利用SAS 证明△BDE△△CDF ，根据全等三角形的对应边相等即可得结论.【详解】△BD=CD ，△△DBC=△DCB ，又△EF△BC ，△△EDB ＝△DBC ，△FDC ＝△DCB ，△△EDB ＝△FDC ，又△ED ＝FD ，BD ＝CD ，△△BDE△△CDF(SAS)，△BE ＝CF.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确把握相关知识是解题的关键.78．计算：(1)()()201433π--+--；(2)()()4235243a a a a ⋅++-； (3)()()213a a +-；(4)()()22m n m m n ---；(5)2202020222021⨯-． 【答案】(1)-4；(2)11a 8；(3)2a 2-5a -3；(4)）n 2；(5)-1．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；（3）原式利用多项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果；（4）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（5）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【详解】（1）原式=4+1-9=5-9=-4；（2）原式=a 8+a 8+9a 8=11a 8；（3）原式=2a 2-6a +a -3=2a 2-5a -3；（4）原式=（m 2-2mn +n 2）-（m 2-2mn ）=m 2-2mn +n 2-m 2+2mn=n 2；（5）原式=（2021-1）×（2021+1）-20212=20212-1-20212=-1．【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．79．如图，ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝BC ，P 为AB 上一动点，连接CP ，以AB为边作△BAD＝△BCP，AD交CP的延长线于点D，连接BD，过点B作BE△BD交CP 于点E．（1）当△EBC＝15°时，△ABD＝°；（2）过点P作PH△AC于点H，是否存在点P，使得BC＝HC，若存在，请求出此时△ACP 的度数，若不存在，请说明理由；（3）若AD＝2，ED＝7，求ADC的面积．80．先化简，再求值：(3x +2)(3x －2)－5x (x +1)－(x －1)2，其中x 2－x －10=0． 【答案】3x 2－3x －5，25【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将已知的方程变形后代入即可求值．【详解】原式＝()222945521x x x x x -----+＝222945521x x x x x ----+-＝2335x x --，当2100x x =--，即210x x =-时，原式＝()235310525x x -=⨯-=-【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，涉及的知识点有：完全平方公式、平方差公式、去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握以上公式及法则是解题的关键． 81．已知：3a b +=,1x y -=，求222a ab b x y ++-+的值.【答案】8【详解】试题分析：本题可先将原代数式化简得出关于a+b 和x -y 的式子，再把已知代入即可．试题解析：△a+b=3，x−y=1，△a 2+2ab+b 2−x+y=(a+b)2−(x−y) =9−1=8.82．求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等． 【答案】见解析【分析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt △ABD △ Rt △A B D '''以及△B=△B′进而得出△ABC△A B C '''．【详解】解：如图：已知：如图，在△ABC 与△A B C '''中．AB ＝A B ''，BC ＝B C ''，AD△BC 于D ，A D ''△B C '' 于D 且 AD ＝A D ''求证：△ABC△△A B C '''证明： 在Rt △ABD 与Rt △A B D '''中△AB A B AD A D ''''=⎧⎨=⎩△Rt △ABD △ Rt △A B D ''' (HL)△△B ＝△B '(全等三角形对应角相等)在△ABC 与△A B C '''中△AB A B B B BC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩' △△ABC△△'''A B C (SAS)【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．83．计算：2221244x x x x x x +----+．84．老师给同学们布置了一个“在平面内找一点，使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务：下面是小聪同学设计的尺规作图过程：已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，求作：一点P ，使得PA PB PC ==.作法：△作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D ；△作边AB 的垂直平分线EF ，EF 与AM 相交于点P ；△连接,PB PC ，所以，点P 就是所求作的点.根据小聪同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：△AB AC =，AM 平分BAC ∠交BC 于点D ，△AD 是BC 的垂直平分线；（ ）（填推理依据）△PB PC =.△EF 垂直平分AB ，交AM 于点P ，△PA PB =；（ ）（填推理依据）△PA PB PC ==.【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形的三线合一 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.【分析】（1）利用基本作图作角平分线AD 和AB 的垂直平分线，它们相交于P 点；（2）根据等腰三角形的性质得到PB=PC ．再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到PA=PC ，从而得到PA=PB=PC ．【详解】（1）如图，AD 、点P 为所求；（2）证明：△AB AC =，AM 平分BAC ∠交BC 于点D ，△AD 是BC 的垂直平分线；（ 等腰三角形的三线合一 ）（填推理依据）△PB PC =.△EF 垂直平分AB ，交AM 于点P ，△PA PB =；（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）（填推理依据） △PA PB PC ==.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 85．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c ，求作Rt △ABC ，使△C ＝90°，BC ＝c ，AB ＝2c ．【答案】见解析【分析】在直线l 上取点C ，作CD △l ，在CD 上截取CB ＝c ，分别以B ，C 为圆心，c 为半径画弧，交于点E ，连接BE 并延长交直线l 于点A ，则AB ＝2c ．【详解】如图所示，Rt △ABC 即为所求．【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 86．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，请说明∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 、∠B 、∠C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出∠G 的度数 ． ）40B ∠=AE 是ABC ∆的高，AEC ∴∠=60C ∠=CAE ∴∠=AD 是∠CAD ∴∠=DAE ∴∠=（2）BAC ∠+180BAC ∴∠=︒-AE 是ABC ∆的高，90,AEC =︒AD 是∠CAD ∴∠=DAE ∴∠=(11802=︒1C =∠-）CAE ∠和2CAE CAG =∠CAE FCB ∠=∠2FCG AEC ∴∠-∠AE 是ABC ∆的高，AEC ∴∠=45G ∴∠=故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．87．把下列各式分解因式：（1）22425x y - （2） 2x y y -（3）224()x y z -- （4）2216()()a b a b --+（5）33327xy x y -+ (6) 2222416a x a y -(7)(2)(80+6a a a +- (8)4481x y -(9)224(23)(3)p q p q +-- (10)22169()196()a b a b --+【答案】(1)(2x+5y)(2x -5y); (2)y(x+1)(x -1); (3)(2x+y -z)(2x -y+z); (4)(5a -3b)(3a -5b);(5)-3xy(y+3x)(y -3x); (6)4a 2(x+2y)(x -2y); (7)(a+4)(a -4); (8)()()229)33x y x y x y ++-（; (9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b);.【详解】试题分析：（1）直接利用平方差公式进行分解即可；（2）首先提取公因式y ，再利用平方差公式进行分解即可；（3）直接利用平方差公式进行分解即可；（4）直接利用平方差公式进行分解即可；（5）首先提取公因式-3xy ，再利用平方差公式进行分解即可；（6）首先提取公因式4a 2，再利用平方差公式进行分解即可；（7）首先进行乘法运算，再利用平方差进行分解即可；（8）直接利用平方差公式进行二次分解即可；（9）首先利用平方差公式进行分解，再把括号里面的同类项进行合并即可； （10）直接利用平方差公式进行分解即可．试题解析：（1）原式=（2x+5y ）（2x -5y ）；（2）原式=y （x 2-1）=y （x+1）（x -1）；（3）原式=（2x+y -z ）（2x -y+z ）；（4）原式=（5a -3b ）（3a -5b ）；（5）原式=-3xy （y 2-9）=-3xy （y+3x ）（y -3x ）；（6）原式=4a 2（x 2-4y 2 ）=4a 2（x+2y ）（x -2y ）；（7）原式=a 2-16+6a -6a=（a+4）（a -4）；（8）原式=（9x 2+y 2）（3x+y ）（3x -y ）；（9）原式=（7p+5q ）（p+7q ）；（10）原式=-（27a+b ）（a+27b ）．88．在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF AB ⊥交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图()1，易证 EG CG =且EG CG ⊥．()1将BEF 绕点B 逆时针旋转90，如图()2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．()2将BEF 绕点B 逆时针旋转180，如图()3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 90，90EBC ∠，90BCM ∠，BEMC 是矩形．，90EMC ∠，90ABC =，45，AB ，∵BEF 为等腰直角三角形BE EF =，45．EF CM =90EMC ∠=，FG DG =，12MG FD FG ==45，∵F GMC ∠=∠．∵在GFE与GMC中，FG MG F GMC EF CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()GFE GMC SAS≅．∵EG CG=，FGE MGC∠=∠．∵90FMC∠=，MF MD=，FG DG=，∵MG FD⊥，∵90FGE EGM∠+∠=，∵90MGC EGM∠+∠=，即90EGC∠=，∵EG CG⊥．【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大.89．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b-+，(),0B a，且()220a b-=，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰ACD，使AD AC=，CAD OAB∠=∠，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO AB=；（2）求证：AOC ABD△△≌；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生变化，为什么？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE OB⊥于点E，由SAS定理得出AEO AEB∆≅∆，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据CAD OAB∠=∠，得出OAC BAD∠=∠，再由SAS定理即可得出AEO AEB∆≅∆；（3）设AOB ABOα∠=∠=，由全等三角形的性质可得出ABD AOBα∠=∠=，故）证明：(3,9)A ，3OE ∴=在AEO ∆AE AEO =⎧⎪∠⎨⎪）证明：CAD ∠=BAC OAB =∠ABD 中，BAD ⎪∠⎨⎪，由（2OB =，OP ∴长度不变，∴点P 在【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．90．如图，△ABC＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD△DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB的延长线相交于点M，连接MC．（1）MF与AC的位置关系是：______．（2）求证：CF＝MF．（3）猜想：AD与MC的位置关系，并说明理由．【答案】（1）MF△AC；（2）证明见解析；（3）AD△MC．【分析】（1）只要证明△ADE是等腰直角三角形，即可解决问题；（2）根据等腰直角三角形的性质，得出DF△AE，DF=AF=EF，再证明△DFC△△AFM，得出FC=FM；（3）依据△DFC=90°，DF=EF，△FDE=△FMC=45°，即可得到△DEF、△CFM是等腰直角三角形，进而证明DE△MC，即可得出结论．【详解】（1）△AD△DE，AD=DE，△△ADE是等腰直角三角形，△AF=EF，△DF△AE，即MF△AC．故答案为MF△AC．（2）△AD△DE，且AD=DE，F是AE的中点，△DF△AE，DF=AF=EF，△△AFM=90°，△△FAM+△AMF=90°，△△ABC=90°， △△FAM+△DCF=90°，△△DCF=△AMF ，在△DFC 和△AFM 中，90DFC AFM DCF AMFDF AF ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， △△DFC△△AFM （AAS ），△FC=FM ；（3）AD△MC ．理由：由（2）得：△DFC=90°，DF=EF ，FM=FC，△△DEF 、△CFM 是等腰直角三角形，△△FDE=△FMC=45°，△DE△MC ，△AD△DE ，△AD△MC ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 91．数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：在ABC 中，AB AC m ==，BAC α∠=，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且CE BD =，试探究线段AE 和线段AD 的数量关系．(1)初步尝试如图△，若90α=︒，请探究AE 和AD 的数量关系，并说明理由．(2)类比探究如图△，若120α=︒，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE 和AD 的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；(3)延伸拓展如图△，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由．试卷第41页，共41页。
人教版八年级上册数学解答题专题训练50题-含答案
人教版八年级上册数学解答题专题训练50题含答案一、解答题1．化简： (1)2221211x x x x x x+-+--；(2)(221a a b a b --+)÷b b a -.2．甲、乙两地相距300km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用0.5h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的1.5倍，求特快列车平均行驶的速度．经检验，x=200是原方程的解，且符合题意．答：特快列车平均行驶的速度为200km/h ．【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．3．先化简，再求值：（x +3）（x ﹣3）﹣x （2x +3）+（x +2）2，其中x ＝﹣2． 【答案】5x -，-7【分析】直接利用单项式乘多项式，乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：()()()()233232x x x x x +--+++=22292344x x x x x ---+++=5x -当x =-2时，原式=-2-5=-7．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确运用整式的混合运算法则是解题关键．4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，DAC ∠是ABC ∆的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作DAC ∠的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接,AE CF ； （3）在（1）和（2）的条件下，若15BAE ∠=︒，求B ∠的度数．(3)AB AC=B ACB∴∠=∠AM∠平分DAC∠=∠B CAM∴∠=∠EF垂直平分AE CE∴=DAM∠+DAM∴∠B55∴∠=【点睛】本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握尺规作图和平行四边形知识是解决本题的关键5．先化简，再求值222112211mm m m m m⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中m满足2260m m+-=．22m m +22m m ∴+∴原式=62【点睛】本题考查了分式的化简求值；掌握好分式的运算法则，注意到代数式、方程的结构特征是解决本题的关键．6．解下列方程：（1）153x x =+； （2）32122x x x =---； （3）2212141x x =--； （4）2231022x x x x-=+-； （5）131x x x x +=--； （6）33122x x x -+=--； （7）221566x x x x +=++； （8）31523162x x -=--．7．列方程解应用题今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的A、B两厂订购口罩，向A厂支付了1.32万元，向B厂支付了2.4万元，且在B厂订购的口罩数量是A长的2倍，B厂的口罩每只比A厂低0.2元．求A、B两厂生产的口罩单价分别是多少元？8．已知3a b +=，1ab =，求：(1)22a b +的值；(2)a b -的值．9．计算4xy 2•（﹣2x ﹣2y ）2．10．计算（1）2(2)(2)a a a ⋅--- （2）()()344325321510205x y x y x y x y --÷-【答案】（1）26a -；（2）32324y xy -++【分析】（1）先计算单项式乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并；（2）直接利用多项式除以单项式法则计算．【详解】解：（1）2(2)(2)a a a ⋅---=2224a a --=26a -；（2）()()344325321510205x y x y x y x y --÷-=32324y xy -++【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 11．如图，在∠ABC 中，AD 平分∠BAC ，点P 为线段AD 上的一个点，PE ∠AD 交BC 的延长线于点E ．若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠BAD 和∠E 的度数．12．如图，线段AD 、CE 相交于点B ，BC BD =，AB EB =，求证：ACD EDC ≌．【答案】证明见详解【分析】由BC=BD ，可得∠ADC=∠ECD ，再证明CE=DA ．而CD 边公共，根据SAS 即可证明∠ACD∠∠EDC ．【详解】证明：∠BC=BD ， ∠∠ADC=∠ECD ，又AB=EB ，∠BC+EB=BD+AB ，即CE=DA ．在∠ACD 与∠EDC 中DA CE ADC ECD CD DC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∠∠ACD∠∠EDC （SAS ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．已知x+y=xy ，求代数式（222x x y x y x y ---）÷2222x xy x xy y --+的值． 【答案】0【分析】先把除法变成乘法，变形后整体代入，即可求出答案，需要用的公式是22x y -=（x-y ）（x+y ），222x xy y -+=2x y -（）．【详解】原式=[﹣]•=[﹣]•=1﹣，把x+y=xy 代入得：原式=1﹣1=0．【点睛】灵活运用两个数的平方差和完全平方式．14．先化简23939x x x x --+-，再选择一个合适的x 代入求值．15．（1）计算：10211)(1)4-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （2）化简：2(21)(44)a a a +-+16．（1）计算：（2）求的值： 【答案】（1）－1；（2）x=4或－2【详解】试题分析：（1）先将所给的各式求值，然后加减计算即可；（2）利用平方根的意义可求出x 的值．试题解析：（1）=-2-1+2=-1；（2）因为，2(3)9±=，所以13x -=±，所以13x =±，所以x=4或－2． 考点：实数的计算、平方根．17．解方程：（1）231x x =+ （2）31144x x x--=--18．已知：如图，点A 、B 、C 在同一直线上，AD∠CE ，AD=AC ，∠D=∠CAE.求证：DB=AE.【答案】证明见解析.【详解】试题分析：由平行的性质得到∠DAB=∠C ，从而由ASA 证明∠ABD∠∠CEA ，进而根据全等三角形边相等的性质得到DB=AE.试题解析：∠AD∠CE ，∠∠DAB=∠C,在∠ABD 和∠CEA 中，{D CAEAD AC DAB C∠=∠=∠=∠，∠∠ABD∠∠CEA(ASA).∠DB=AE.考点：1.平行的性质；2.全等三角形的判定和性质.19．如图，已知AO ＝DO ，∠OBC ＝∠OCB .求证：∠1＝∠2.【答案】见解析.【详解】分析：(1)、根据∠OBC=∠OCB 得出OB=OC ，然后根据SAS 证明∠AOB 和∠DOC 全等，从而得出答案．详解：证明：∠∠OBC ＝∠OCB ，∠OB ＝OC .在∠AOB 和∠DOC 中，OA=OD ，∠AOB=∠DOC ，OB=OC ，∠∠AOB∠∠DOC (SAS)， ∠∠1＝∠2.点睛：本题主要考查的是三角形全等的判定与性质，属于基础题型．根据题意得出OB=OC 是解决这个问题的关键．20．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，要求仅用无刻度的直尺在给定的网格中按步骤完成下列画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图1中，∠作出ΔABC 的高AH ；∠作出点B 关于AH 的对称点P ；（2）在图2中，∠过BC 上一点D 作DE ∠AB ，使四边形ABDE 为平行四边形；∠在平行四边形ABDE 中，作出∠BDE 的平分线DF ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据SAS 判定ADF BEC ，再根据相似三角形的对应角相等得到AFD BCE ∠=∠，结合等角的余角相等可得90B BCE B AFD ∠+∠=∠+∠=︒，继而得到AH BC ⊥，延长AH 至格点即可；∠点B 关于AH 的对称点即在AH 的右侧，取BH=HP 即可；（2）∠根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作出线段DE ，且DE =AB ，即可得到平行四边形ABDE ；∠以E 为圆心，DE 为半径作弧，交AE 边于点F ，可知DE =EF ，由等边对等角性质，得到∠=∠EFD EDF ，再由两直线平行，内错角相等性质可得EFD FDB ∠=∠，由此得到EDF FDB ∠=∠，即DF 是∠BDE 的平分线．【详解】解：（1）∠如图1所示，AH 即为所求；∠点P 即为所求的对称点；（2）∠如图1所示，DE 即为所求；∠DF 即为所求的角平分线；【点睛】本题考查尺规作图，涉及相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的性质、等边对等角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21．因式分解：(1)229x y -；(2)2()3()x a b b a ---；(3)322363x x y xy -+-． 【答案】(1)(3)(3)x y x y +-(2)()(23)a b x -+(3)23()x x y --【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解；（2）提取公因式(a -b )，从而得出答案；（3）首先提取公因式-3x ，然后再利用完全平方公式进行因式分解．（1）原式=()()33x y x y +-；（2）原式=()()23x a b a b -+-=()()23a b x -+；（3）原式=()2232x x xy y --+=()23x x y --． 【点睛】本题考查了因式分解，熟知提公因式法和公式法是解题的关键．22．图，四边形ABCD 中，AD ∠BC ，∠A ＝90°，CE ∠BD ，垂足为E ，BE ＝DA ．求证：AB ＝EC ．【答案】证明见解析【分析】由“ASA ”可证∠ABD ∠∠ECB ，可得AB ＝CE ．【详解】证明：∠AD ∠BC ，∠∠ADB ＝∠EBC .∠CE ∠BD ，∠∠CEB ＝∠A ＝90°，在∠ABD 和∠EBC 中，A BEC AD BEADB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD ∠∠ECB （ASA ），∠AB ＝CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 23．先化简，再求值：（1）（x ＋1）2﹣（x ＋2）（x ﹣3），其中x ＝3（2）已知2a 2＋3a ﹣6＝0，求代数式3a （2a ＋1）﹣（2a ＋1）（2a ﹣1）的值． 【答案】（1）3x ＋7，16；（2）2a 2＋3a ＋1；7【分析】（1）先进行完全平方运算和多项式乘法，再合并同类项，最后代入求值，即可解答；（2）先将2a 2＋3a ﹣6＝0变形为2a 2＋3a ＝6，再化简代数式，代入即可求解．【详解】解：（1）原式＝（x 2＋2x ＋1）﹣（x 2﹣x ﹣6）＝x 2＋2x＋1﹣x 2＋x ＋6＝3x ＋7，当x ＝3时，原式＝337⨯+= 9＋7＝16；（2）∠2a 2＋3a ﹣6＝0，即2a 2＋3a ＝6，∠原式＝6a 2＋3a ﹣（4a 2﹣1）＝6a 2＋3a ﹣4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1＝6＋1＝7．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键．24．如图，已知△ABC 和△ADE ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠CAE ，AC ＝AE ，AD 与BC 交于点P ，点C 在DE 上．求证：BC ＝DE ．【答案】见解析【分析】先证∠BAC =∠DAE ，再证△ABC ∠∠ADE （ASA ），即可得出结论．【详解】∠BAD CAE ∠=∠，∠BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ABC ADE SAS △≌△，∠BC DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC ∠∠ADE 是解题的关键． 25．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x 为4时，求最后输出的结果y 是多少？26．已知228=0x x --，求()()241223x x x ---+的值．【答案】23【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式变形代入计算即可求出值．【详解】解：原式=22484243x x x x -+-++2247x x =-+()2227x x =-+，当228=0x x --，即228x x -=时，原式16723=+=．【点睛】本题考查了完全平方公式及单项式乘以多项式化简求值，整体代入是解题的关键．27．已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线AB 上一点，延长CB 到点E ，使BE ＝AD ，连接DE ，DC ，（1）若点D 在线段AB 上，且AB ＝6，AD ＝2（如图∠），求证：DE ＝DC ；并求出此时CD 的长；（2）若点D 在线段AB 的延长线上，（如图∠），此时是否仍有DE ＝DC ？请证明你的结论；（3）在（2）的条件下，连接AE ，若23AB AD =，求CD ：AE 的值．AB228．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝7dm，r＝1.5dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）．【答案】40πdm 2.，见解析【分析】可利用大圆的面积减去四个小圆的面积列式计算可求解． 【详解】解：∠R ＝7dm ，r ＝1.5dm ，∠阴影部分的面积为：πR 2﹣4πr 2＝π（R 2﹣4r 2）＝π（R ＋2r ）（R ﹣2r ）＝π（7＋2×1.5）（7﹣2×1.5）＝10×4π＝40π（dm 2），故剩余阴影部分的面积为40πdm 2.．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，根据题意列算式是解题的关键． 29．计算：（1）()3231(2)22m n mn m ⎛⎫-⋅-÷ ⎪⎝⎭； （2）2(2)(3)(3)a b a b a b --+-．30．计算题：(1)(﹣1)23×(π﹣3)0﹣(﹣12) ﹣3； (2)a •a 2•a 3+(﹣2a 3)2﹣a 8÷a 2；(3)(x +4)2﹣(x +2)(x ﹣2)；(4)(a +2b ﹣3c )(a ﹣2b +3c )．31．计算：（1）21(2021)|3|2π-⎛⎫-+---⎪⎝⎭（2）()3212816(4)x x x x-+÷-【点睛】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟记零指数幂、负整数指数幂等运算法则是解题的关键．32．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2a ，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果．已知A ，B 两区初始显示的分别是25和－16，如图．如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【答案】（1）2252a +；166a --；（2）24a 12a+9－；和不能为负数，理由见解析．【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2a ，B 区就会自动减去3a ，可直接求出初始状态按2次后A ，B 两区显示的结果．（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A ，B 两区显示的代数式，再求A ，B 两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．【详解】解：（1）A 区显示结果为：22225+a +a =25+2a ，B 区显示结果为：163a 3a=166a ﹣－－﹣－；（2）初始状态按4次后A 显示为：2222225+a +a +a a 254a +=+B 显示为：163a 3a 3a 3a=1612a ﹣－－－－﹣－∠A+B=225+4a +(-1612a)-=24a 12a+9－=2(2a 3)－∠2(2a 3)0≥－恒成立，∠和不能为负数．【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．33．计算并验证：（1）()()232a b a b ++=_____________________；（2）请用图形证明上面等式． 【答案】（1）22672a ab b ++；（2）作图见详解．【分析】（1）利用多项式乘以多项式化简即可；（2）作一个边长为()2a b +和()32a b +的矩形即可．【详解】（1）解：232a b a b226432a ab ab b22672a ab b （2）如图示，作一个边长为()2a b +和()32a b +的矩形，则矩形内个矩形的面积如下图示，即有：232a b a b 22672a ab b【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的计算与证明，能作出相应的图形，利用面积来证明是解题的关键．34．如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝3，AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AB 于点E ，连接CE ．求CE 的长；【答案】3【分析】只要证明ACE △为特殊三角形，则CE 的长度可求，因为60BAC ∠=︒，猜测ACE △为等边三角形，只要AC AE =即可，而通过已知条件可知AED ACD ≅，所以AE AC =，则ACE △为等边三角形，CE 的长度可求.【详解】∠AD 平分∠BAC ，∠∠EAD ＝∠CAD ． ∠∠ACB ＝90°，DE ∠AB ，∠∠ACD ＝∠AED ．又∠AD ＝AD ，∠∠ACD ∠∠AED ．∠AE ＝AC ．∠∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∠∠BAC ＝60°．∠∠ACE 为等边三角形， ∠CE ＝AC ＝3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，能够证明是等边三角形是解题的关键.35．如图，已知点M 、N 和∠AOB ，用尺规作图作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法进而求出其交点即可．【详解】解：（1）作∠AOB 的平分线，（2）作MN 的中垂线，两线相交于点P ，点P 即为所求【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．36．如图，已知∠A=∠F，AB∠EF，BC=DE，请说明AD∠CF.【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠B=∠E，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠FCE，由平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∠BC=DE,∠BD=EC，∠AB∠EF，∠∠B=∠E，在∠ABD与∠FEC中,A FB EBD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠FEC，∠∠ADC=∠FCE，∠AD∠FC.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.37．求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．【答案】答案见解析【分析】根据题意得出三角形全等，再根据全等三角形的性质作出证明即可.【详解】解：如图，已知AD是BC的垂直平分线，∠AD∠BC，DB=CD∠在∠ADB和∠ADC中AD=ADADB=ADCBD=DC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∠∠ADB∠∠ADC（SAS）∠AB=AC故线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，弄清楚此性质的来源是解题的关键. 38．我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下面的问题．如图，钝角三角形ABC中，AD，BE分别为BC，CA边上的高．(1)请用无刻度直尺画出AB边上的高CF（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若4AB=，2AC=，求高CF与BE的比是多少？【答案】(1)见解析(2):1:2CF BE=【分析】（1）延长DA交BE的延长线于点G，连接CG交BA延长线于F，即可得出分别是ABC 的边ABC S =12ABC S AC BE =⋅AB CF ⋅4AB =39．（1）先化简，再求值：，其中.（2）已知，，求的值. 【答案】（1）1；(2)32【详解】(1)先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式乘多项式把括号展开，再合并同类项，最后把a 、b 的值代入即可求值；（2）把原式变为含有（a-b ）、ab 的式子，然后代入求值.（1）（2x+3）（2x ﹣3）+（x ﹣2）2-3x （1﹣x ）=4x 2﹣9+x 2-4x+4+3x ﹣3x 2=2x 2 – x-5，当x=2时，原式=1．（2）a 2+b 2=(a-b)2+2ab=(-4)2+2×8=32．40．某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．问原计划每天挖多少米渠道？41．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．【答案】见解析【分析】先证明AF BE =，然后根据平行线的性质得到∠CAF=∠DBE ，用SAS 即可证明∠ACF∠∠BDE ．【详解】证明：AE BF =，AE EF BF EF ∴+=+，即AF BE =；//AC BD ，CAF DBE ∴∠=∠在ACF △与BDE △中，AC BD CAF DBE AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF BDE ∴≅．【点睛】本题考查的是全等三角形的SAS 判定、平行线的性质，掌握SAS 判定是解题的关键．42．已知 3m a =，3n b =，分别求：(1)3m n +．(2)233m n +．(3)2333m n + 的值． 【答案】(1)ab (2)23a b(3)23a b +【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算法则求解即可；（2）根据同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算计算法则求解即可；（3）根据幂的乘方的逆运算计算法则求解即可．(1)解：∠3m a =，3n b =，∠=333m n n m ab +⋅=；(2)解：∠3m a =，3n b =，∠()()2322323233=33333m n m n n m a b a b +⋅=⋅=⋅=；(3)解：∠3m a =，3n b =，∠()()223233+3=333n m n m a b +=+．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．43．计算：2136b a ab-．4412121)16(2--+45．计算：22353339m m m m +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭．46．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++∠()220y +≥∠()2244y ++≥∠代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ∠()2250x --≤，∠当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．47．计算: (2)(2)a b c a b c -+--.【答案】22244a ab b c -+-【详解】试题分析：利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果． 试题解析：()()22a b c a b c -+--=（2a-b ）2-c 2=22244a ab b c -+-48．因式分解：（1）m 4-81；（2）22363x xy y -+- 【答案】（1）原式2(9)(3)(3)m m m =++-；（2）原式23()x y =--【详解】试题分析：试题分析：（1）用“平方差公式”连续分解两次即可；（2）先提“公因式”，再用“完全平方公式”分解即可.试题解析：（1）原式()()()()()22299933m m m m m =+-=++-； （2）原式()()222323x xy y x y =--+=--. 49．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，设x y A +=，则，原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：()()44a b a b ++-+；(2)求证：若n 为正整数，则式子()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1)()22a b +-(2)证明见解析【分析】（1）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；（2）将原式转化为()()223231n n n n ++++，进一步整理为2231n n ，根据n 为正整数得到2231n n 也为正整数，从而说明原式是整数的平方．(1)解：设A a b =+，则原式()()2244442A A A A A =-+=-+=-，所以()()()2442a b a b a b ++-+=+-；(2)证明：()()()()()()212313121n n n n n n n n ⎡⎤++++=++++⎣⎦ ()()223321n n n n =++++，设23B n n =+，原式()()()22222121131B B B B B n n =++=++=+=++． ∠n 为正整数，∠231n n ++也为正整数，∠式子()()()21231n n n n ++++的值一定是某一个整数的平方．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．50．若x 满足()()944x x --=，求()()2249x x -+-的值． 解：设9x a -=，4x b -=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=-+-=， ∠()()()22222942522413x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足()()522x x --=，求()()2252x x -+-的值． （2）若x 满足()()631x x --=，求代数式92x -的值．（3）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD 、DC 上的点，且2AE =，5CF =，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF 、DF 作正方形，求阴影部分的面积．∠（x-2）•（x-5）=48，∠（x-2）-（x-5）=3，∠阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-2）2-（x-5）2．设（x-2）=a，（x-5）=b，则（x-2）（x-5）=ab=48，a-b=（x-2）-（x-5）=2，∠a=8，b=6，a+b=14，∠（x-2）2-（x-5）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=14×2=28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式和几何图形面积,解决本题的关键是要应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义．。
七年级数学下册《平方差公式》典型例题(含答案)
《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -= （3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y --．解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y --=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --=2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+= xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~22~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================y x xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式242(21)(21)(21)(21)(21)n=-++++L224222222(21)(21)(21)(21)(2)12141.n n n n ⨯=-+++=-=-=-L 说明：添加)12(-极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．。
沪科版数学八年级下册第16章《二次根式》测试题含答案
八年级下册数学《二次根式》单元测试卷评卷人得分一、单选题1．在下列各式中，不是二次根式的有()(a≥0)；③n m (m ，n 同号且n≠0)A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．若代数式21(3)x -有意义，则实数x 的取值范围是()A ．x≥一1B ．x>－lC ．x>－1且x≠3D ．x≥一1且x≠33．下列计算：()(()(()2212;22;312;41==-==-，其中结果正确的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．44．下列式子是最简二次根式的是A BC ．D5是整数，则正整数n 的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．56．一个直角三角形的两条直角边长分别为2cm ，3cm ，那么这个直角三角形的面积是()A ．8cm 2B ．7cm 2C ．9cm 2D ．cm 27．如果a b -=，那么代数式22()2a b a b a a b+-⋅-的值为A B ．C ．D ．8．甲、乙两人计算a的值，当a＝5的时候得到不同的答案，甲的解答是a＝a＋＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＝a＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是()A．甲、乙都对B．甲、乙都错C．甲对，乙错D．甲错，乙对评卷人得分二、填空题9．已知a＜2＝________．10-的结果是_____．x-＝______．11．在实数范围内分解因式：2512＝________．13．化简：________；________；＝________；________．14，则它的周长是___________cm．15．已知a b的小数部分，则ab＝________．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为1，2，则△ABC的面积为______．评卷人得分三、解答题17．计算：)－)；(2)(－25)－)2.18．已知a ＋2，b －2，求下列代数式的值：(1)a 2b ＋b 2a ；(2)a 2－b 2.19．先化简，再求值：22132·(12111x x x x x ++÷++--，其中1．20．王师傅有一根长45米的钢材，他想将它锯断后焊成三个面积分别为2平方米、18平方米、32平方米的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由．21．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+=+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m +=+（其中ab m n 、、、均为整数），则有22a m 2n +=++∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a +法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若(2a m +=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝，b ＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空：＋＝(＋2；（3）若(2a m +=＋，且ab m n 、、、均为正整数，求a 的值．参考答案1．B【解析】①的被开方数是负数，不是二次根式；②符合二次根式的定义，是二次根式；③m ，n 同号，且n≠0，则被开方数是非负数，是二次根式；④因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，被开方数是正数，是二次根式；⑤的根指数不是2，所以不是二次根式，所以不是二次根式的有2个，故选B.2．D【解析】【分析】根据分式有意义的条件和二次根式的定义，即可求出x 的范围；【详解】根据题意得：x+1≥0且x-3≠0解得：x≥一1且x≠3故选D【点睛】本题考查分式有意义的条件，本题的关键除了要考虑分母不为0外，还要考虑的二次根式的被开方数大于等于0.3．D【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可进行判断.【详解】()212=,正确；(22=正确；()(2312-=正确；()41=-，正确，故选D.【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：2a =;=a .4．A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A；B ．=2，不是最简二次根式；C ．=不是最简二次根式；D 2=，不是最简二次根式．故选A ．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．5．B【解析】试题解析：∵75=25×3，是整数的正整数n 的最小值是3．故选B ．6．C【解析】根据三角形的面积公式，则有S=132⨯==⨯=（cm 2），故选C.7．A【解析】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把a b -=整体代入即可.详解：原式()2222222a b a b ab a a a b a a b a a b -+--=⋅=⋅=--，∵a b -=，∴原式=故选A.点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.8．D【解析】∵a=5，∴1-a ＜0，∴a =a+a-1=2a-1=2×5-1=9，故甲的化简错误，乙化简正确，故选D.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，a =的性质正确化简二次根式是解题关键．9．2－a【解析】∵a ＜2，∴a-2＜0，|a-2|=2-a ，故答案为：2-a.10．【解析】解：原式6×3﹣．11．(x x +-【解析】【分析】根据平方差公式()()22a b a b a b -=+-，得(x x +-．【详解】解：根据平方差公式，得(2225x x x x -=-=+-故答案为：(x x -．【点睛】此题考核知识点：平方差公式()()22a b a b a b -=+-，解题的关键在于将式子化为22a b -形式．12【解析】【分析】直接将被开方数相乘除计算即可.【详解】=，.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.13．6，6，22，+1【解析】【分析】利用二次根式的加减法和乘法将二次根式进行化简.【详解】（1，＝6；（26；（3=；＝20＝2；（4＝)212+，＝2322+1+.故答案为6，6，21+.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.14．+【解析】15．9【解析】∵<4，a的整数部分，b的小数部分，∴a=3，，∴ab=3×）－9，故答案为：－9.16．1【解析】【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.【详解】∵SABC的三边长分别为1，2ABC的面积为：S=1，故答案为1．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．17．;(2)12--.【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可.（2）根据多项式乘法法则，进行计算即可.【详解】解：(1)原式＝－＋3＝＋3＋.(2)－）2+）2］＝－10＋－2＝－－12.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.18．（1）（2）【解析】试题分析：（1）提公因式分解因式，然后代入数值进行计算即可得；（2）利用平方差进行因式分解后，把数值代入进行计算即可得.(1)原式＝ab(b＋a)．当a＋2，b－2时，原式＝；(2)原式＝(a＋b)(a－b)．当a＋2，b－2时，原式＝.19．5 10【解析】分析：直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．详解：22132·12111x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪++--⎝⎭=()()()21112••121x x x x x x +-+-++=11x +，把-1代入得，原式5=10．点睛：此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．20．不够用【解析】试题分析：根据正方形的面积公式求出各边的长，再根据每个正方形有4条边，从而求出每个正方形所耗费的钢材，再把三个耗费的钢材加起来，和45米进行比较即可．试题解析：不够用，理由如下：∵正方形的面积是2m 2，，∴所耗费的钢材是（m ），∵正方形的面积是18m 2，∴它的边长是3，∴所耗费的钢材是（m ），∵正方形的面积是32m 2，∴它的边长是4，∴所耗费的钢材是（m ），∴所耗费的钢材的总长度是（m ），∵≈55.4，55.4＞45，∴王师傅的钢材不够用．21．解：（1）22m 3n +；2mn ．（2）4，2，1，1（答案不唯一）．（3）由题意，得22a m 3n {42mn =+=．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2．∴a ＝22＋3×12＝7或a ＝12＋3×22＝13．【解析】(1)∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13．。
八年级初二数学数学二次根式试题含答案
一、选择题1．下列运算中，正确的是 ( )A ． 3B ．×=6C ． 3D ．2．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21=3．a b =--则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b +=4．已知44220,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ） A ．8 B ．9 C ．10D ．11 5．下列计算正确的是（ ）A ．+=B ．()322326a b a b -=-C ．222()a b a b -=-D ．2422a ab a a b a -+⋅=-++6．2= ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6 7．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）AB C D8． A ．﹣3 B ．3 C ．﹣9 D ．99．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）A B 和C D10．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x ＞3C ．x ≥3D ．x ≤3二、填空题11．2==________．12．若a ，b ，c 是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．13．观察下列等式：第1个等式：a11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， … 按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：a n =__________.(2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________14．)30m -≤，若整数a 满足m a +=a =__________．15的最小值是______．16．14+⋅⋅⋅=的解是______．17．===据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．18．如果2y ，那么y x =_______________________．19．观察分析下列数据：0，，-3，的规律得到第10个数据应是__________．20．能合并成一项，则a =______．三、解答题21．小明在解决问题：已知a2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：因为a＝2，所以a －2所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3.所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)计算：= － .(2)… (3)若a，求4a 2－8a ＋1的值．【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；（3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可.【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===， 则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】 本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.22．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =..【分析】 根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x ==【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.23．计算（1（2）(()21-【答案】（1）2；（2）24+ 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：（1=2+=(2-+=2（2）(()21-=22(181)---=452181--+=24+．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．24．先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m =.【答案】22m m-+ 1． 【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --）=221m m --（）÷241m m -- =221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+ =22m m-+当m ﹣2时，原式===﹣1+=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．25．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；（2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．26．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．27．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.28．计算：（1）13⎛+-⨯ ⎝⎭（2）)()2221+．【答案】（1）6-；（2）12-【分析】（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．【详解】解：（1）原式＝1(233⨯⨯-⨯＝3-⨯＝⨯⎭＝6-；（2）原式＝3﹣4+12﹣＝12﹣．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次根式的加减法对A 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断．【详解】A 、A 选项错误；B 、×=12，所以B 选项错误；C、3，所以C选项正确；D、，不能合并，所以D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．3．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．【详解】=--，解:∵a b∴a-b=-a-b，或b-a=-a-bab=．∴a= -a，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．4．D解析：D【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.【详解】44180+=配方得22222180⎡⎤+-+⋅=⎣⎦ 222180⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦222()180x y +-=22162(2)180xy x xy y +-+=22122()180xy x y ++=将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯=计算得：11xy =故选：D.【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.5．D解析：D【分析】分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．【详解】解：A. =A 选项错误；B. ()()()33322363228a b a b a b -=-=-，故B 选项错误； C. 222()2a b a ab b -=-+，故C 选项错误； D. ()()2224222a a a ab a b a a b a a b a +--++⋅=⋅=-++++，故D 选项正确． 故答案为D ．【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．6．C解析：C【解析】2=，2222251510x x =-=--+=，5=.故选C.7．B解析：B【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；D、被开方数含分母，故D错误；故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．8．B解析：B【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.【详解】﹣3|=3.故选B.9．B解析：B【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;BCD故选B．【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．10．C解析：C【详解】解：根据题意得：x-3≥0解得：x≥3故选C.二、填空题11．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．12．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123=== ∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．13．【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a 11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， ……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-；1-．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题14．【分析】先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．15．0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。
八年级下学期数学练习题及答案 (50)
八年级下学期数学练习题及答案
16．（8分）计算
（1）（3﹣2+）÷2
（2）×﹣（+）（﹣）
【分析】（1）先化成最简二次根式，再根据实数的混合运算的法则解决此题；
（2）利用完全平方公式和平方差公式的计算法则解决此题．
【解答】解：（1）原式＝（9﹣+4）÷2
＝12÷2
＝6；
（2）原式＝﹣（5﹣3）
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（8分）已知x＝，求代数式x3+2x2﹣1的值．
【分析】先把代数式化简，再把已知条件代入求值．
【解答】解：∵x3+2x2﹣1＝x3+x2+x2﹣1
＝x2（x+1）+（x+1）（x﹣1）
＝（x+1）（x2+x﹣1），
∴当x＝时，
原式＝×（）＝0．
【点评】先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．
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2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》解答专项练习题（附答案）1．计算：（x+3）（x﹣3）．2．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．3．运用乘法公式简便计算：（1）198×202；（2）9982﹣4．4．计算：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）．5．化简：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）．6．计算：（1）（2x+y）（y﹣3x）（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）7．（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）8．计算：2021×2023﹣20222+1．9．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．10．计算：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）11．（2x﹣5）（2x+5）﹣（2x+1）（2x﹣3）12．观察下列式子．①32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8；②52﹣32＝（5+3）×（5﹣3）＝16；③72﹣52＝（7+5）×（7﹣5）＝24；④92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32．（1）求212﹣192＝．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．13．如图，王大妈家有一块边长为a的正方形土地租给了邻居李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大爷吃亏了吗？为什么？14．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．（1）图（1）中阴影部分的面积为，图（2）阴影部分面积为．（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（用式子表达）（3）计算：102×98（不用公式计算不得分）15．先阅读理解，在解答问题．如何计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以（2﹣1），所以原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．试用上述方法求（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1的值．16．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？17．某同学在计算2×（3+1）（32+1）时，把2写成（3﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式，计算2（3+1）（32+1）＝（3﹣1）（3+1）（32+1）＝（32﹣1）（32+1）＝34﹣1＝80请借鉴该同学的经验计算（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2）（1+）（1+）（1+）（1+）+．18．观察下列等式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4…这些等式反映了正整数的某种规律．（1）设n为正整数，试用含n的式子，表示你发现的规律；（2）验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律．19．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．20．探究如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）应用：请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20222﹣2023×2021．拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．参考答案1．解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9．2．解：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2．3．解：（1）198×202＝（200﹣2）×（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996；（2）9982﹣4＝9982﹣22＝（998+2）（998﹣2）＝1000×996＝996000．4．解：（1）（2m﹣3n）（2m+3n）＝（2m）2﹣（3n）2＝4m2﹣9n2；（2）（2a﹣5b）（5b+2a）＝（2a）2﹣（5b）2＝4a2﹣25b2；（3）（﹣2+3x）（﹣2﹣3x）＝（﹣2）2﹣（3x）2＝4﹣9x2；（4）（x﹣y）（﹣x﹣y）＝（﹣y）2﹣（x）2＝y2﹣x2．5．解：（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）＝（﹣2b+3a）（﹣2b﹣3a）＝（﹣2b）2﹣（3a）2＝4b2﹣9a2．6．解：（1）（2x+y）（y﹣3x）＝﹣6x2﹣3xy+2xy+y2＝﹣6x2﹣xy+y2；（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣a2+b2．7．解：（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝（0.2x﹣0.3）（0.2x+0.3）＝0.04x2﹣0.09．8．解：原式＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222+1＝20222﹣1﹣20222+1＝0．9．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．10．解：（x+3）（x﹣3）﹣（x+1）（x﹣2）＝x2﹣9﹣（x2﹣x﹣2）＝x2﹣9﹣x2+x+2）＝x﹣711．解：原式＝4x2﹣25﹣4x2+4x+3＝4x﹣22．12．解：（1）212﹣192＝（21+19）×（21﹣19）＝40×2＝80；（2）这两个数和的2倍证明：设n为正整数，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝[（2n+1）+（2n﹣1）]×2∴任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍．故答案为：（1）80；（2）这两个数和的2倍．13．解：李大爷吃亏了．原来正方形地的面积a2，当一边减少4，另一边增加4时，面积为（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，因为a2﹣16＜a2，所以李大爷吃亏了．14．解：（1）图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b）；故答案为：a2﹣b2，（a﹣b）（a+b）；（2）∵图（1）阴影部分的面积a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积（a﹣b）（a+b），则a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；（2）102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．15．解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）﹣1＝×（316﹣1）﹣1＝﹣﹣1＝．16．解：（1）改造后长为：2a+b+2b＝2a+3b，宽为：2a+b﹣2b＝2a﹣b．∴改造后的长方形草坪的面积是：（2a+3b）（2a﹣b）＝4a2+4ab﹣3b2．答：改造后的面积为：（4a2+4ab﹣3b2）平方米．故答案为：4a2+4ab﹣3b2．（2）改造前的面积为：（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∵4a2+4ab+b2﹣（4a2+4ab﹣3b2）＝4b2＞0．∴改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．故答案为：改造后比改造前的面积减少了，减少了4b2平方米．17．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1＝65536﹣1＝65535；（2）原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）+＝2（1﹣）+＝2．18．解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n；即（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，故两个连续奇数的平方差是8的倍数．19．解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝24÷6＝4，故答案为：4；②原式＝＝＝＝．20．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20222﹣2023×2021．＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．。