第7届周培源全国大学生力学竞赛题参考解答

第七届全国周培源大学生力学竞赛评分标准

一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)

一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm ，其质量m 1=0.3 kg ，杯底座半径R =5 cm ，厚度不计，杯脚高度h =10 cm 。如果有一个质量1.02=m kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数f s = 0.5。试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。

解： （1）分析杯子滑动情况

设杯子不动，小球在杯子未运动前不脱离杯子。取小球为研究对象，受力如图所示，应用动能定理有

（2分）

即

由牛顿运动定理有

ϕcos .212

2g m F r

v m −= （2分）

解得

（1分） 取杯子为研究对象，受力如图所示，

0=∑x F ，0sin 1=−′F F ϕ

0=∑y F ，ϕcos 11F g m F N ′−−=0 （2分）

解得

（1分）

最大静滑动摩擦力N s F f F .max =，而

=−F F mam 1.5)2sin cos 1(22ϕϕ−+g m ≥0

由于max F F ≤，所以杯子不滑动。 （2分）

A

2ϕcos gr 0m 2

1222m v =−ϕ

ϕ

221N 2gcos 3m g 2sin g m 2

3

+

==m F F ϕ

cos 2gr v 2=

′

ϕgcos

3m 21=F

（2）分析杯子侧倾（一侧翘起）情况

杯子处于侧倾的临界平衡状态时，0=x

（2分）

得 0cos 3sin cos 12

=−ϕϕϕ＋ （2分）

解得 °==63.3 , 45.0cos &&ϕϕ；°==

45 ,2

2

cos ϕϕ。 即°=63.3 ϕ时，杯子倾侧（一侧翘起）。 （2分）

通过以上分析得知，当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角°=63.3 ϕ时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）

。 二、杂耍圆环(40分)

1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？（4分）

2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 的速度大小为0v ，圆环的角速度为0ω，圆环半径为r ，质量为m ，圆环与地面间的静摩擦因数为s f ，不计滚动摩阻，试问：

（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？（10分）

（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？（5分）

（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v 1，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为h 2

r

(h <的无弹性台阶后， 能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。（14分）

3.演员又用细铁棍推动题2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 f t ，圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。试求为使铁棍的推力（铁

棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。（7分）

解：1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，

圆环一跳一跳地向前滚动；

(2分)

)rsin -(R cos )rcos r h (sin gR ,0111C

=′+−+′−=∑ϕϕϕϕF F m Μ

随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。 2.（1）圆环能自己滚回的条件

圆环初瞬时环心速度为v 0，角速度大小为ω0，以后为v 和ω。圆环与地面接触点的速度大小为

u=v+r ω ( 1 )

第一阶段，u>0，圆环与地面有相对滑动，摩擦力F =f s F N ，式中F N =mg 。 由质心运动定理 s mg dt

dv

m

f −= （2） 解得 v=v 0－f s gt ( 3 ) 由 r m

g dt

d mr

s 2

f −=ω

（4） 解得

r

gt

s 0f −

=ωω （5） 由于摩擦力存在，v 和ω都随时间而减小。 第二阶段，由（1），（3），（5）式解得

gt 2)r v (u s 00f −+=ω

当u=0时刻开始摩擦力为零，有 g

2)

r v (t s 001f ω+=

（6）

此时质心速度大小为 1s 01gt v v f −=

要使得圆环返回，则0v 1< ，圆环自己滚回的条件为

r

v 0

0>

ω 方向如图所示。 （2）离最远处开始无滑动地滚动的距离

圆环到达最远距离时，v=0，时间为 g

v t s 0

2f =

； 当u=0时刻开始无滑动滚动，有 g

2)

r v (t s 001f ω+=；

在此过程中，加速度的大小为a =f s g

所求距离： s

202

21s 8g )v -(r )(g 21s f t t f ω=

−⋅⋅=

(4分)

(2分)

(1分)

(2分)

(2分)

(1分)

(2分)

(2分)

(1分)

(2分)