高中数学第2章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质第1课时双曲线的简单性质课件
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2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版
答案
b2 1＋a2.
思考2
离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ 答案
2 2 a ＋ b c 有影响，因为 e＝a＝ a ＝
b2 b 1＋a2，故当a的值越大，渐近线
b y＝ax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映 了双曲线开口的大小， 即双曲线的离心率越大， 它的开口就越大.
y＝kx＋m， 成的方程组x2 y2 2－ 2＝1 b a
① ② 的解的个数进行判断.
①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b 当 b －a k ＝0，即 k＝± a时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲 线交于一点. b 2 2 2 当 b －a k ≠0，即 k≠± a时，
反思与感悟
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
解答
离心率、渐近线方程.
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
题型探究
类型一
已知双曲线的标准方程求其简单几何性质
例1
求双曲线 nx2 － my2 ＝ mn(m>0 ， n>0) 的实半轴长、虚半轴长、焦点
解答
坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
引申探究 将本例改为 “ 求双曲线 9y2 － 4x2 ＝－ 36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、 虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.
反思与感悟
高中数学 第二章圆锥曲线与方程双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1
A．y＝±2x B．y＝± 2x 1 2 C．y＝± x D．y＝± x 2 2 解析：由离心率为 3，知 c＝ 3a， 所以 c2＝3a2，所以 b2＝2a2，即 b＝ 2a，
b 所以双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x. a 答案：B
4. 已知焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 2， 则双曲 线两条渐近线的夹角为________． π 答案： 3
[变式训练] 根据以下条件，分别求出双曲线的标准 方程． 5 (1)过点 P(3，－ 2)，离心率 e＝ ； 2 x2 y 2 (2) 求与双曲线 － ＝ 1 有共同的渐近线且过点 16 9 A(2 3，－3)的双曲线方程．
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在 x 轴上，也可 能在 y 轴上，分别讨论如下： x2 y2 若双曲线的实轴在 x 轴上，设 2－ 2＝1 a b 5 c2 5 由 e＝ ，得 2＝ .① 2 a 4 由点 P(3，－ 2)在双曲线上，
2．等轴双曲线的定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 温馨提示 1．等轴双曲线的离心率 e＝ 2为定值． 2．等轴双曲线的渐近线为 y＝±x.
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) x2 y2 y 2 x2 (1)双曲线 2－ 2＝1 与 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)形状相 a b a b 同．( )
(3)二者的渐近线均为 x±y＝0，正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( A．2 C．4 B．2 2 D．4 2
)
x2 y2 解析：因为该双曲线的标准方程为 － ＝1，所以 4 8 a2＝4，a＝2，从而 2a＝4. 答案：C
x2 y 2 3．若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 3，则其渐近线 a b 方程为( )
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3-2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课件新人教A版选
解析：如图所示，在△OAB 中，
|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝ 43c， |AB|＝ a2＋b2＝c.
1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切， 把双曲线的标准方程xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)右边的常数 1 换为 0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程 ax±by＝0 变为 a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得 λ 就可得双曲线 方程．
实半轴长是 a＝1，虚半轴长是 b＝2. 离心率 e＝ac＝ 15＝ 5， 渐近线方程为 y＝±bax＝±2x， 简图如右图所示．
[类题尝试] 设双曲线xa22－by22＝1(b＞a＞0)的焦距长 为 2c，直线 l 过点 A(a，0)，B(0，b)两点，已知原点到直 线 l 的距离为 43c，双曲线的离心率为________．
第二章 圆锥曲线与方程
[知识提炼·梳理]1．来自曲线的几何性质标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0) 双曲线 的几何 图形 性质
焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c)
类型 1 双曲线几何性质的有关计算(自主研析)
[典例 1] 求双曲线 4x2－y2＝4 的顶点坐标、焦点坐
标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作
出简图． 解：将
4x2－y2＝4
变形为
x2－y42＝1，
即x122－2y22＝1.
所以 a＝1，b＝2，c＝ 5.
因此顶点为 A1(－1，0)，A2(1，0)，焦点为 F1(－ 5， 0)，F2( 5，0)，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单性质-1公开课PPT课件
[再练一题] 2．(1)已知双曲线的一条渐近线方程是 x－2y＝0，且双曲线过点 P(4,3)，求 双曲线的标准方程． (2)双曲线的离心率等于 2，且与椭圆2x52 ＋y92＝1 有相同的焦点，求此双曲线 的标准方程．
【解】 (1)法一：∵双曲线的一条渐近线方程为 x－2y＝0，当 x＝4 时，y ＝2＜yp＝3.
①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
由①②联立，无解．
若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，则ab＝12. ③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a92－b42＝1.
④
由③④联立，解得 a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
(2)双曲线 x2－3y2＋12＝0 的渐近线方程为________； (3)双曲线 4y2－9x2＝36 的顶点坐标为________．
【解析】 (1)由双曲线的方程，得 a＝2，b＝1，∴c＝ 22＋12＝ 5.
故双曲线的离心率 e＝ac＝ 25； (2)双曲线化为标准方程为y42－1x22 ＝1，∴a＝2，b＝2 3，焦点在 y 轴上，故
法二：由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，可设双曲线方程为2x22－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上，
∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
双曲线的简单性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦 点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也 可设双曲线方程为 mx2－ny2＝1mn>0，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方 程为 y＝±bax，还可以将方程设为ax22－by22＝λλ≠0，避免讨论焦点的位置.
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(可编辑图片版)
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±
n m
x的双曲线方程可设为
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(λ≠0，
m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的
方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线
x2 a2
－ by22
＝1或
y2 a2
－
x2 b2
长：____b____
离心率
e＝ac∈_(_1_，__＋__∞_ )
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
【方法技巧】(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭
圆则是封闭曲线．
(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无
限延展的．
(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可
因为 e＝32，所以λ2－5－16λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准 方程为x2－y2＝1.
45 答案：x2－y2＝1
45
【方法技巧】
由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系 数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注 意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝ 1(mn>0)．
3．过点(2,0)，与双曲线
y2 64
－
x2 16
＝1离心率相等的双曲线方程
为________．
解析：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为
x2 64
－
y2 16
＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修21[1]
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有共同渐近线的双曲线系方程
2
剖析:若双曲线 2
−
2
2
= ±1( > 0, > 0)与双曲线
2
2
−
2
2
=
'
'
±1(′ > 0, ′ > 0)有相同的渐近线,即两条渐近线方程 ± = 0 与
1
± = 0 分别重合,则必有 = = ( > 0), 故a'=ka,b'=kb.
图形
x2 y2
标准方程
− 2 = 1( > 0, > 0)
2
a
b
范围
x≤-a 或 x≥a
顶点
(±a,0)
轴长
虚轴长=2b,实轴长=2a
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
第三页，共29页。
y2 x2
− 2 = 1( > 0, > 0)
2
a
b
y≤-a 或 y≥a
(0,±a)
F1(0,-c),F2(0,c)
∵|PF2|=
2
,∴
2 =
2
, 即b2=2a2.∴
∴双曲线的渐近线方程为 y=± 2.
第十九页，共29页。
= 2.
①
②
题型一
题型二
题型三
题型四
反思双曲线上一点P与两个焦点F1,F2连线形成的△PF1F2是常遇到的一种图形,
我们有时称之为“焦点三角形”,它往往把三角形的相关知识(如勾股定理、
正弦(zhèngxián)定理、余弦定理、三角形面积公式等)与双曲线的相关知识相
3.2.2 双曲线的简单几何性质课件ppt
椭圆的差异性.
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是确定的,但如果双曲线的渐
近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可
x2
设为 2
a
−
y2
=λ(λ≠0),当
b2
λ>0 时,对应的双曲线焦点在 x 轴上,当 λ<0 时,对应的
双曲线焦点在 y 轴上.
3.因为
c
e=a
=
x2
y2
− 2 =λ(λ≠0).
a2
b
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是
一对共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质:
①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.
课堂篇 探究学习
探究一
由双曲线的方程求几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心
M(-3,2 3);
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,
即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
解
2
(1)设双曲线方程为 2
∵双曲线过点 P(
由题意得
−
4
6,2),∴ 2
2
[激趣诱思]
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在
水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,
以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷
却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是确定的,但如果双曲线的渐
近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可
x2
设为 2
a
−
y2
=λ(λ≠0),当
b2
λ>0 时,对应的双曲线焦点在 x 轴上,当 λ<0 时,对应的
双曲线焦点在 y 轴上.
3.因为
c
e=a
=
x2
y2
− 2 =λ(λ≠0).
a2
b
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是
一对共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质:
①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.
课堂篇 探究学习
探究一
由双曲线的方程求几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心
M(-3,2 3);
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,
即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
解
2
(1)设双曲线方程为 2
∵双曲线过点 P(
由题意得
−
4
6,2),∴ 2
2
[激趣诱思]
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在
水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,
以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷
却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的
18版高中数学圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质课件北师大版1_1180222255
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程. 解答
2 2 2 2 x y x y 将 9y2－4x2＝－36 变形为 － ＝1，即 2－ 2＝1， 9 4 3 2
所以 a＝3，b＝2，c＝ 13，因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)； 焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)；实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
类型三
与双曲线有关的离心率问题
命题角度1 求双曲线离心率的值
x2 y2 例 3 设 F1，F2 分别为双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲 a b 9 线上存在一点 P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b， |PF1|· |PF2|＝ ab， 则该双曲线的离 4 心率为 答案 4 A. 3 9 C. 4
x y 跟踪训练 3 双曲线 2－ 2＝1(0<a<b)的半焦距为 c，直线 l 过(a，0)， a b 3 (0，b)两点，且原点到直线 l 的距离为 c.求双曲线的离心率. 解答 4
2
2
命题角度2 求双曲线离心率的取值范围 x2 例4 设双曲线C： 2 －y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点 a A，B，求双曲线C的离心率的取值范围. 解答
解析
5 B. 3 D.3
引申探究
9 例3条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|· |PF2|＝ ab”改为“若PF1⊥PF2， 4 且∠PF1F2＝30°”，结果如何？ 解答
反思与感悟
求双曲线离心率的常见方法 c (1)依据条件求出 a，c，再计算 e＝ . a (2)依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化为离心率 b b e 的方程求解，另一种方法是消去 c 转化成含 的方程，求出 后，利用 e a a ＝ b2 1＋ 求解. a
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数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(4)离心率：把 e＝ac叫作双曲线的离心率，其范围为_e_＞__1_.a、 b、e 的关系为ba＝ e2－1，从而 e 可用来表示双曲线_开__口__的程 度．
(5)渐近线：双曲线的渐近线方程为 y＝abx 和 y＝－abx.
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1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 方程化为x42－y82＝1，∴a＝2，
∴实轴长 2a＝4.
答案： C
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(3)顶点：双曲线与 x 轴的交点 A1(－a,0)，A2(a,0)为双曲线 的顶点，线段 A1A2 叫作双曲线的_实__轴__，且|A1A2|＝2a，双曲线 与 y 轴没有交点，设 B1(0，－b)，B2(0，b)，线段 B1B2 叫作双 曲线的_虚__轴__，且|B1B2|＝2b.a 叫作双曲线的_实__半__轴__长___，b 叫作 双曲线的__虚__半__轴__长__．
双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的简单几何性质 (1)对称性：双曲线是以___x_轴__和__y_轴____为对称轴的轴对称 图形，也是以_原__点__为对称中心的中心对称图形，这个对称中心 称为双曲线的_中__心__． (2)范围：x≤－a 或 x≥a，y∈R.
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)关于双曲线的渐近线 ①双曲线的渐近线是两条直线．随着 x 和 y 趋向于无穷大， 双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．由双曲线的 渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，却无法确定双曲 线焦点在哪一坐标轴上．与双曲线ax22－by22＝1 有相同渐近线的双 曲线系为ax22－by22＝λ(λ≠0)，焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．
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所有以 y＝±kx 为渐近线的双曲线的方程可设为 k2x2－y2＝ λ(λ≠0)．在画双曲线草图时，应先画出其两条渐近线，然后再 标出两顶点坐标，利用双曲线的图形特征，即可作出比较准确 的草图．
②求渐近线方程时，可以直接把双曲线标准方程中的“1” 改写成“0”．后因式分解可得ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为 y＝±bax；ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为 y＝±bax.
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2．下列曲线中离心率为 26的是( )
A.x22－y42＝1
B.x42－y22＝1
C.x42－y62＝1
D．x42－1y02 ＝1
解析： ∵e＝ac，c2＝a2＋b2，
∴e2＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22＝ 262＝23， ∴ba22＝12，观察各曲线方程得 B 项系数符合，故选 B.
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3.2 双曲线的简单性质 第一课时 双曲线的简单性质
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第二章 圆锥曲线与方程
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∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c＝4，ac＝2，c2＝a2＋b2， ∴a＝2，b2＝12，∴双曲线方程为x42－1y22 ＝1，
∴渐近线方程为 y＝±bax＝± 3x，即 3x±y＝0. 答案： 3x±y＝0
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第Hale Waihona Puke 章 圆锥曲线与方程学课前预习学案
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4．求焦点为(0，－6)，(0,6)，且经过点(2，－5)的双曲线 的离心率、标准方程及顶点坐标．
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第二章 圆锥曲线与方程
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解析： 因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方 程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
由双曲线的定义知 2a＝| 22＋－5－62－ 22＋－5＋62|＝4 5，
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所以 a＝2 5.又因为 c＝6， 所以 b2＝c2－a2＝36－20＝16. 所以双曲线的离心率为 e＝ac＝265＝35 5. 所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1. 双曲线的两个顶点的坐标分别为：(0，－2 5)，(0,2 5)．
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(1)关于双曲线的离心率． 因为 c＞a＞0，所以双曲线的离心率 e＝ac＞1. 由等式 c2＝a2＋b2，可得ab＝ c2－a a2＝ ac22－1＝ e2－1. 因此 e 越大，ba也越大，即渐近线 y＝±bax 的斜率的绝对值 越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可知， 双曲线的离心率越大，它的开口就越广阔．
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画出双曲线x42－y2＝1，你能仿照椭圆和抛物线的性质说出 它的几条性质吗？
提示： 该双曲线的范围是 x≤－2 或 x≥2，关于 x 轴，y 轴和原点都是对称的，有两个顶点(－2,0)和(2,0)等等．
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答案： B
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练课后演练提升
3．已知双曲线ax22－by22＝1 的离心率为 2，焦点与椭圆2x52 ＋y92
＝1 的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为____________． 解析： ∵椭圆2x52 ＋y92＝1 的焦点为(±4,0)，