运筹学(简化)
运筹学研究的特点
运筹学研究的特点运筹学是一门研究如何高效地做出决策和优化资源配置的学科，它的核心目标是通过运用数学、统计学和计算机科学的方法，解决现实生活中的各种问题。
运筹学研究的特点主要体现在以下几个方面。
1. 数学建模：运筹学强调问题的形式化表达和数学建模。
将实际问题抽象为数学模型，利用数学语言和数学方法对问题进行描述和分析，从而使问题可计算、可优化。
通过建立数学模型，运筹学可以将复杂的实际问题简化为数学问题，从而提供了解决问题的方法和工具。
2. 多学科交叉：运筹学是一门综合性学科，涉及数学、统计学、计算机科学、经济学、管理学等多个学科的知识和方法。
它不仅借鉴了各个学科的理论和方法，还将这些理论和方法进行整合和应用，以解决实际问题。
因此，运筹学的研究需要具备跨学科的综合能力。
3. 优化决策：运筹学的核心是优化问题的研究。
优化是指在给定的约束条件下，寻找最优解或最优决策。
运筹学通过建立数学模型，利用数学方法和计算机算法，找到问题的最优解或接近最优解的解决方案。
优化问题是运筹学研究的重点和难点，也是运筹学在实际应用中发挥作用的核心。
4. 系统分析：运筹学注重对问题的系统分析。
它不仅考虑问题的局部优化，还关注问题的整体效益。
通过系统分析，可以深入理解问题的本质和内在联系，找到问题的关键因素和影响因素，从而制定合理的解决方案。
系统分析能够帮助运筹学研究者从宏观和整体的角度把握问题，提高问题解决的效果。
5. 实践应用：运筹学是一门应用性很强的学科，其研究成果主要应用于现实生活中的各种问题。
运筹学可以应用于生产调度、物流配送、资源优化、供应链管理、市场营销等领域，为企业和组织提供决策支持和优化方案。
运筹学的研究成果可以直接应用于实际问题，对提高效率、降低成本、优化资源配置等方面有重要意义。
运筹学研究的特点包括数学建模、多学科交叉、优化决策、系统分析和实践应用。
这些特点使运筹学成为一门重要的学科，为解决实际问题提供了理论和方法支持，对提高决策效果和资源利用效率有重要意义。
《运筹学》期末复习及答案
运筹学概念部分一、填空题1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题,经营活动。
2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象.4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能.6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。
11。
运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案.12．运筹学中所使用的模型是数学模型。
用运筹学解决问题的核心是建立数学模型,并对模型求解.13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系.15。
数学模型中，“s·t”表示约束（subject to 的缩写）。
16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组,该小组简称为OR。
二、单选题19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ）A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格20．我们可以通过( C）来验证模型最优解。
A．观察B．应用C．实验D．调查21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。
A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施22。
建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ）A数量B变量C约束条件 D 目标函数23。
运筹学学习心得
运筹学学习心得运筹学是一门研究如何进行有效决策和优化问题的学科。
通过学习运筹学，我深刻理解了如何运用数学模型和方法来解决实际问题，提高决策的准确性和效率。
以下是我对运筹学学习的心得体会。
首先，运筹学的核心概念是优化。
优化是指在给定的约束条件下，寻找最优解的过程。
在实际问题中，我们常常面临有限的资源和多个决策变量，通过建立数学模型并应用优化算法，可以找到最佳方案。
例如，在生产调度中，我们可以利用线性规划模型来最大化产量，同时满足资源和时间的限制。
其次，运筹学涵盖了多个领域和方法。
线性规划是运筹学中最常用的方法之一，它可以用于解决线性约束下的最优化问题。
除此之外，还有整数规划、动态规划、网络流、排队论等方法，每种方法都有其适用的问题类型和解题思路。
通过学习这些方法，我能够更加灵活地选择合适的模型和算法来解决实际问题。
另外，运筹学的应用广泛而多样。
无论是生产调度、物流配送、资源分配还是金融投资，都可以运用运筹学的方法进行优化。
例如，在物流配送中，我们可以利用运输网络模型和最短路径算法来确定最优的配送路线，减少运输成本和时间。
在金融投资中，我们可以利用投资组合模型和风险分析方法来优化资产配置，实现收益最大化和风险最小化。
在学习运筹学的过程中，我也深刻体会到了数学在实际问题中的重要性。
数学是运筹学的基础，通过建立数学模型和运用数学方法，我们能够将复杂的问题简化为可计算的形式，并找到最优解。
因此，良好的数学基础是学习运筹学的关键。
在学习过程中，我通过大量的练习和实例分析，提高了数学建模和问题求解的能力。
此外，运筹学的学习也需要结合实际案例和实践经验。
理论知识的学习只是第一步，真正的运筹学家需要将理论应用到实际问题中，并不断优化和改进。
因此，我通过参与实际项目和模拟实验，将运筹学的理论知识与实践相结合，提高了自己的实际操作能力。
综上所述，学习运筹学是一项具有挑战性但又非常实用的任务。
通过学习运筹学，我不仅提高了数学建模和问题求解的能力，还掌握了优化方法和工具，能够更好地解决实际问题。
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。
一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。
最优化模型
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
2、模型
决策变量：设x j为第j天开始休息的人数( j 1, 2,, 7)
目标函数： min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 约束条件： x1 x2 x3 x4 x5 28 x2 x3 x4 x5 x6 15 x3 x4 x5 x6 x7 24 x4 x5 x6 x7 x1 25 x5 x6 x7 x1 x2 19 x6 x7 x1 x2 x3 31 x7 x1 x2 x3 x4 28 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0, 整数
例（挑选球员问题）某篮球教练要从8名业余队员中 挑选3名队员参加专业球队，使平均身高达到最高。 队员的号码、身高及所擅长的位置如下。要求：中 锋1人；后卫1人；前锋1人，但1号、3号与6号队员 中必须保留1人给业余队。
号码 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（米） 1.92 1.91 1.90 1.86 1.85 1.83 1.80 1.79 位置 中锋 中锋 前锋 前锋 前锋 后卫 后卫 后卫 挑选变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
例（选址问题）设有n个市场，第j个市场的位置为(aj,bj)， 对某种货物的需要量为qj, j=1,…,n,现计划建立m个仓库， 第i个仓库的容量为ci,i=1,…,m,试确定仓库的位置，使各 仓库到各市场的运输量与路程乘积之和最小． 解：设第i个仓库的位置为(xi,yi)，运输量为wij.
min n m w ( x a ) 2 ( y b ) 2 i j i j j 1 i 1 ij n s.t. j 1 wij ci i 1, 2, , m m i 1 wij q j j 1, 2, , n wij 0 i 1, 2, , m j 1, 2, , n
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
《运筹学第二版》PPT课件
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
19
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
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第一部分 运筹学一、什么是运筹学？实例：一公司有：三个工厂：A 、B 、C 。
各工厂分别有140吨、120吨、50吨产品待运；三个仓库：甲、乙、丙。
甲库可存货60吨，乙库可存货100吨，丙库可存货150吨；直观思路：1、距离最短A －丙。
（140吨）； 2、B －丙。
（10吨）；依此类推。
可得调运方案：总吨公里数＝140＊1.5＋60＊12＋50＊13.5＋10＊3＋50＊4.5＝1860。
最佳方案：对该问题如果利用数学符号（即建立数学模型）来表示,可如下讨论：设工厂A 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为11x 、12x 、13x ，工厂B 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为21x 、22x 、23x ，工厂C 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为31x 、32x 、33x ，则调运货物的总吨公里数（相当于运输费用）为33323133222113121195.4635.13125.169x x x x x x x x x z ++++++++=现在需要求该函数的最小值，而限制条件为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=++=++=++=++=++=++0,,,,,,,,1501006050120140333231232221131211332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x运筹学：以系统为研究对象，把系统的功能和特点用模型表示，通过对模型的定量分析，从总体上寻求最优策略，为决策和揭露新问题提供数量根据，并以研究结果的应用为目的，保证系统高效运行。
运筹学建立模型的最终目的是实现系统的最优化，帮助管理者作出正确的决策，使系统正常有效地运行。
这里的最优化是指在一定条件下求最优解（可以是求最大值，也可以是求最小值）。
运筹学研究系统的基本方法由以下5个阶段构成：第一阶段：观察所要研究的系统，确定存在的问题、影响问题的因素、约束、假设以及准备优化的目标。
第二阶段：对系统进行描述――建立模型。
模型的复杂程度视具体问题而定，过份简单则不能准确反映系统的实质，过份复杂则造成求解的困难。
模型是所研究系统的一个理想（简化的）表达形式。
一个现实系统的性质可能受到许多因素的影响，但是一般只有一小部分因素真正支配着系统的特性。
建模时应该抓住这些支配系统的因素，从现实系统中抽象出一个“假想的现实系统”，然后把这些因素之间的关系确定下来，并简化成一个适合于分析的形式，这种形式就是模型。
第三阶段：根据实际条件对模型进行检验。
模型一旦确定，就应该根据实际条件对模型的正确性、可靠性进行分析检验。
一般可按照下述三种情况之一处理：（1）给出有关方程的统一的精确解法；（2）如果没有统一解法，则可以代入具体数据进行测算，分析测算结果是否和实际情况相符；（3）如果该模型不能用任何正规的数学方法处理，则可以用类比方法进行模拟处理。
第四阶段：分析模型。
按优化目标的要求选取最优解，即在模型规定的约束条件下求出符合目标函数要求的最优条件组合。
这一阶段还需要检验在这些约束条件下最优解的敏感程度，即弄清楚当约束条件之一稍有变化时最优解会不会改变。
经过检验，就可以知道最优解对各个约束条件的依赖程度。
第五阶段：贯彻执行。
二、规划问题的几个基本概念：决策变量：规划问题需要求解的一组变量，这组变量的每一组定值就对应规划问题的一个具体实施方案。
如上例中的ij x ；目标函数：规划问题一定有一个要求目标，并且这个要求目标可以表示为决策变量的函数，问题的解决归结为寻求一组决策变量的值，使目标函数实现最大或最小；如上例中的函数z ；约束条件：每一个规划问题中，决策变量都要满足一定的约束条件，这些条件可用包含决策变量的等式或不等式表示；可行域：由约束条件所确定的决策变量的集合，可行域中的每一组决策变量的取值称为可行解，如上例中的第一个调运方案；最优解：使目标函数达到最值的可行解，如上例中的最佳方案。
分 类：线性规划和非线性规划 单目标规划和多目标规划注意：1、规划问题类似于高等数学中的多元函数的最值问题，如：例：求函数y xy x z 632++=的最值，其中0,0,13,10≥≥≤+≤+y x y x y x 决策变量：x, y目标函数：y xy x z 632++=约束条件：0,0,13,10≥≥≤+≤+y x y x y x 可行域：由不等式0,0,8,10≥≥≤+≤+y x y xy x 所确定的平面区域显然，可行域中的任何一个点),(y x ，都满足约束条件，都是可行解，而要求的最值点应该是可行域中的最优解。
2、优化问题中目标函数和决策变量必不可少，约束条件对于实际问题一般情况下也一定存在，但是在利用软件求解时，没有目标函数也可以给出结果，但是这时的结果一般只是一个可行解，并不是最优解。
三、线性规划：1、线性规划的特征：目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数。
2、一般形式：∑==nj j jx cz 1max (min)≤+y xm i b x ainj j ij,,2,1),(1=≥=≤∑=n j x j ,,2,10=≥注意：1>规划问题的理论求解方法很多，但是这里我们将不考虑具体理论方法，只需要掌握软件求解即可。
2>实际解决问题时，对于规划问题一定要对目标函数，以及每一个约束条件给于详细的解释，不要不加解释只是纯粹的罗列公式。
例1 资源最优利用问题某厂生产甲、乙两种产品，需要煤、电力、水泥三种资源。
生产每种产品1kt 需要各种资源的数量、各种资源的限量以及生产每种产品（kt ）的利润（千元）如表所示。
问在这种条件下，应该安排生产甲、乙产品各多少，才能使该厂获得最大利润？解：（1）问题中待确定的变量――决策变量：甲、乙两种产品的生产量1x ，2x （2）决策变量所受的约束。
问题中受到限制的是煤、电力、水泥的数量。
于是有： 煤的总需求量不能超过供应量： 8221≤+x x 电力的总需求量不能超过供应量： 7221≤+x x 水泥的总需求量不能超过供应量： 932≤x此外，甲、乙两种产品的生产量应该取非负值：01≥x ，02≥x（3）建立目标函数。
在三种资源供应量的限制下，合理安排两种产品的产量，使得总利润2154x x z += 达到最大。
（4）资源最优利用问题的数学模型：求1x ，2x 的值，使 2154x x z += 达到最大，并满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,9372822122121x x x x x x x例2 物资调运问题 设有两个仓库21A A ，，分别储存水泥23t 和27t 。
有三个工地321B B B ，，各需水泥17t ，18t 和15t (总存货量等于总需求量)。
已知各仓库到各工地的单位运费如表所示，问应如何调运，使运费最省？数学模型：求变量ij x （从仓库i A 运往工地j B 的水泥数量）的值，使目标函数： 2322211312116116965x x x x x x z +++++= 达到最小，并满足：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=+=+=+=++=++3,2,1;2,1,01518172723231322122111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x ij例3 生产安排问题某车间的车工分Ⅰ、Ⅱ两级，各级车工每人每天的加工能力、成品合格率及日工资数如表所示工厂要求每天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6个Ⅱ级车工。
试安排车工工作，使工厂每天支出费用最小。
解：（1）决策变量：安排Ⅰ、Ⅱ两级车工的人数为1x ，2x（2）分析约束条件：车工人数限制：81≤x ，1262≤≤x每天加工的配件总数限制：240016024021≥+x x 即 302321≥+x x 特殊约束：01≥x ，02≥x 且为整数（3）目标函数：这个问题的目标是使工厂每天的总费用最小。
包括车工的工资和因为出废品而造成的损失。
每个Ⅰ级车工每天的费用： 工资：5.6 废品损失：%)3240(2⨯⨯ 共计：20同理每个Ⅱ级车工每天的总费用为：18工厂每天的总费用为： 211820x x z +=。
（4）数学模型：求求1x ，2x 的值，使 211820x x z += 达到最大，并满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≤≥≤整数且为0x ,x 302x 3x 12x 6x 8x 2121221四、整数规划：1、整数规划：决策变量只能取整数值。
整数规划对应的线性规划：去掉整数规划中的整数限制，得到的一般线性规划。
2、常见基本模型： （1）最优生产计划问题一家玩具公司制造三种玩具，每一种要求不同的制造技术，高级的一种每台需要17小时加工装配劳动力，8小时检验，利润30元。
中级的每台需要2小时加工装配劳动力，半小时检验，利润5元。
低级的每台需要半小时加工装配劳动力，10分钟检验，利润0.6元。
可供利用的加工劳动力为500小时，检验100小时，同时，据市场预测，对高级玩具需求量不超过10台，中级不超过30台，低级不超过100台。
该公司应如何安排生产计划才能使利润最大？（2）工厂选址问题有n 个城市，每日需要某种物资的数量分别是n a a a ,,,21 ，先在计划要在其中选取m 个城市，建造m 座生产这种物资的工厂。
假设已知若在城市j 建厂，日产量最多为j b ，而建设费用为j f 。
设城市i 到城市j 的单位运价为ij c ，问这m 个工厂应该设在何处，才能使得既满足需要又能使总费用最省？解：设变量 ⎩⎨⎧=否则建厂在城市0j 1j y ，从城市i 到城市j 运送的物资数量为ij x ，则可以建立如下数学模型：Min ∑∑∑===+=nj j j ni nj ij ij y f x c z 111使得：,,2,1,010111⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥==≥≤∑∑∑===nj i x y my a x y b x ij j nj j jni ij ii nj ij ，或（3）背包问题一个背包的容积为V 。
现有n 中物品可装，而每种物品都只能整件装入；物品j 的重量为j ω，体积为j v 。
问如何配装，使得既不超过背包的容积，又使装的总重量最大？解：设 ⎩⎨⎧=否则被装入物品0j 1j x ，则可以建立如下数学模型：Max ∑==nj j j x z 1ω使得：⎪⎩⎪⎨⎧==≤∑=n,1,2,j 101，或j n j j j x v x v （4）指派问题设有n 项任务，恰好有n 个人可以分别完成其中一项，但由于各人能力不同，由不同的人去完成不同的工作所耗用的时间不同，具体所耗用的时间可用如下效率矩阵C 表示，问指派那个人完成那项任务，总耗时最少？效率矩阵：第i 个人完成第j 项任务所耗时ij c⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n c c c c cc c c c C212222111211 解：设 ⎩⎨⎧=否则项工作时完成第个人当分配第0j i 1ij x ，则可以建立如下数学模型：Min ∑∑===nj ni ij ij x c z 11满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======∑∑==n j i x n j x n i x ij n i ij nj ij ,,2,1,10,,2,11,,2,1111 或3、整数规划的求解：几个结论：1>整数规划无法直接求解，往往先转化为对应的线性规划求解，但是对应的线性规划的解一般不是整数规划的最优解；2>对求最大的整数规划，整数规划的最优目标函数值不大于其对应的线性规划的最优目标函数值；3>对求最小的整数规划，整数规划的最优目标函数值不小于其对应的线性规划的最优目标函数值；4>如果将线性规划的可行域分为若干子域，则在每个子域上求得的最优值不优于整个可行域上的最优值。