7(6)空间直线及其方程
解令
x2 1
y3 1
z4 2
t
x 2 t y 3t z 4 2t
代入平面方程, 得
2 ( 2 t ) ( 3 t ) ( 4 2 t ) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2 , z 2 .
2
2
2
两直线的夹角公式
17
空间直线及其方程
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件)
L 1 : s 1 ( m 1 , n 1 , p 1 ), L2 : s2 ( m 2 , n2 , p2 )
(1 ) (2)
L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
令
x x0
m n x x 0 mt 故 y y 0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
4
空间直线及其方程
x x0 m
过两点作直线
y y0 n
z z0 p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程. 解 向量 M 1 M 2 与直线平行
则直线的一个方向向量为:
M 1M
2
( x 2 x 1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
于是对称式方程可写成:
x x1 x 2 x1 y y1 y 2 y1 z z1 z 2 z1
6
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相交
3 8 z 3 x 2 y 0 1 0 x ,y 7 7 z 2x y 0 2 0
因所求直线与两平面的法向量都垂直.
取 s n 1 n 2 ( 3 , 2 ,1 ) ( 2 ,1 , 1 ) ( 1 , 5 , 7 )
N
15
空间直线及其方程
x 3t 1 将 y 2 t 1 z t
直线过点 M ( 2 ,1 , 3 )
代入 3 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) ( z 3 ) 0
得交点 N ( ,
2 13 3 7
t
3 7
2
,
)
.M
7 7
13 3
2 x y 5z 1
的交线平行的直线方程.
s ( m , n , p ),
解 设所求直线的方向向量为
s n1 , s n 2 , 取 s n 1 n 2 ( 4 , 3 , 1 ),
所求直线的方程
x 3 4 y 2 3 z5 1 .
求其方程 .
z
,
解 交点为 B ( 0 , 3 , 0 ),
取 s BA
( 2 , 0 , 4 ),
.A
s
.B
x
O
y
所求直线方程
x2 2
y3 0
z4 4
.
7
空间直线及其方程
x x0
各类直线方程的互换 m n 可将直线的对称式方程化为一般方程吗 注 可将对称式方程拆为一般方程
1. 与直线
x 1 y 1 t z 2 t
及
x1 1
y2 2
z1 1
都平行且过原点的平面方程为( x y z 0 ).
提示 平面过原点
法向量 n ( 0 ,1 ,1 ) ( 1 , 2 ,1 ) ( 1 , 1 ,1 )
22
空间直线及其方程
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的
夹角 称之.
L: x x0 m
0
y y0 n
2
s ( m , n , p ),
z z0 p
,
: Ax By Cz D 0 ,
n ( A , B , C ),
取所求直线的方向向量为 MN
12 6 24 1, 3 ) ( , , ) MN ( 2 , 7 7 7 7 7 7
N
直线方程为
x2 2
y 1 1
z3 4
想一想 还有别的方法吗?
16
空间直线及其方程
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之. （锐角）
直线 L 1 :
x 3 7 1 5 y 8 7 z 7
2
3 8 于是得直线上的一定点 , , 0 , 7 7
s
n2
n1
对称式方程
s
L
1
11
空间直线及其方程
注意
两个对称式方程
x
x 1 3
y1 5
z3 7
8
y
怎么不一样
7
7 z 5 7
答: 实际上直线的对称式方程不唯一.
//
L 2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
,
例 直线 L 1 : 直线 L 2 :
s1 s 2 0 ,
s 1 ( 1 , 4 , 0 ), s 2 ( 0 , 0 ,1 ),
s 1 s 2 , 即 L1 L 2 .
18
空间直线及其方程
y
求 此 直 线 的 方 程
直线 L 的
方向数.
3
空间直线及其方程
因为 M 0 M ( x x 0 , y y 0 , z z 0 )
故 M 0 M //
x x0 m
s
y y0 n
y y0
z z0 p
z z0 p
t
直线的对称式方程 (点向式、标准式）
第六节
空间直线及其方程
(space right line)
空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程 与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
第七章 空间解析几何与向量代数
1
空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0
(当定点取得不同时对称式方程不同).
3 8 另外可验证, 两个点 ( 0 , 1 , 3 ), 7 , 7 , 0 ,
都满足这两个对称式方程, 过两点确定唯一的
一条直线, 因此这两个对称式方程表示同一条 直线.
12
空间直线及其方程
3. 直线的参数方程
设 x x0 m y y0 n z z0 p t
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
两直线的夹角公式:
cos( L^L ) ,
1 2
m 2 n2 p2
2
2
2
21
空间直线及其方程
过已知直线外一点作直线与已知直线平行
例 求过点 ( 3 , 2 , 5 )且与两平面 x 4 z 3 和
直线 L 2 :
x1 1
y2 0
z3 1
且平行于 提示 n s 1 s 2 ( 1 , 0 , 1 ) ( 2 ,1 ,1 ) ( 1 , 3 ,1 )
点 (1 , 2 , 3 )
的平面方程为 ( ). 1 x 3y z 2 0
x1 0 y1 1 z1 1
y y0
z z0 p
如对称式方程为 可写成一般方程 又如
x1 0
x1 0 y 1 z 1 (即 y z 0 )
y1 0
z1 1
z
可写成一般方程
x 1 y 1
1 x
O
1
y
8
空间直线及其方程
2
空间直线及其方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
1.对称式方程 一条直线可以有许多方向向量.
z
方向向量的定义 如果一非零向量平行于 一条已知直线, 这个向量称 为这条直线的 方向向量.
已知直线上点
s s M
M
0
L
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) O M ( x , y , z ) L , M 0 M // s x s ( m , n , p ), s 的三个坐标 m 、 n 、 p 称为
(1) 3 x 2 y z 1 0 解 法一 (2) 2x y z 2 0 ( 1 ) ( 2 ) 可消去 z . 5x y 1 0 ( 1 ) 2 ( 2 ) 可消去 y . 7 x z 3 0
两个方程中, 每一个只有两个变量, 解出 共同的变量 x. 写成比例式, 即得对称式方程.
2
z
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
2
1
A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 L A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
L
O
y
空间直线的一般方程
x
注 ( 1 ) A1、 B 1、 C 1与 A 2、 B 2、 C 2 不成比例 ; (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
由点法式方程即可得.
19
空间直线及其方程
高等数学 第5讲 空间直线及其方程
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B,C )
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L
sn sn
Am Bn C p m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
D1 D2
0 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
m n
t t
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
比例，所以对于任何一个 值，方程(3)的系数：
A1 A2、B1 B2、C1 C2不全为零，从而方程(3)表示
D76空间直线35883
M1 L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
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M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
x 1 y 2 z 4 2 3 1
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内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
m n
t t
z z0 p t
sn0
mn p ABC
L //
sn0
mAnB pC 0
夹角公式： sin s n
sn
L
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作业 P335 3，4，5，9 ,13
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习题课
第七章
空间解析几何
一、 内容小结 二、实例分析
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直线: x x y y z z , s (m, n, p) mn p
垂直：s n 0
mn p ABC
平行： s n 0
夹角公式： sin s n
sn
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
平面及其方程,空间直线及其方程
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
ted
(1) 1 2 Evalun1ationn2 only. with Aspose.SliAd1eAs2 foBr1.BN2ETC31 C.52
1
C l0ient
Pron1f2ile
5.2
(2)
Co1p//yri2ght
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
EvaluatioAn1Ao2nlyB.1B2 C1C2 0
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By ECvzalu0ation only. ted w代it入h A已s知po点se(4.S, lid3,es1)fo得r .NET 3.5 Client Profile 5.2
5B D 0, EDvalu5aBt,ion only. ted with A所s求po平s面e.方Sl程 ide为syfor5 .N0E. T 3.5 Client Profile 5.2
C(3)o由p题yr意ig设h所t 2求0平0面4-方2程01为1BAy sCpzosDeP0,ty Ltd. 将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
平面及其方程,空间直线及其方程
4
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2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
第6节
平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第八章
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C), 求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
题8 1 :由题意设所求平面方程为： By D 0, 将点2，-5，3 代入上述方程，得
5B D 0, D 5B, 所求平面方程为y 5 0.
(3)由题意设所求平面方程为By Cz D 0,
将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
有 Ｂ－＋２７ＣＣ＋＋ＤＤ＝＝0０， Ｄ＝２Ｃ，Ｂ＝－９Ｃ， 所求方程为－９ｙ＋ｚ＋２＝０.
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练习：习题8-6 题1，题3.
• 题1. • 题3.
3x 7y 5z 4 0
空间中直线的标准方程
空间中直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常基础且重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
而直线的标准方程是描述直线性质的一种重要方式，它可以帮助我们更好地理解直线的特性和性质。
在本文中，我们将详细介绍空间中直线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下空间中直线的一般方程。
对于空间中的直线来说，一般可以用两点确定，假设直线上有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么直线AB的一般方程可以表示为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
这就是空间中直线的一般方程，它可以帮助我们确定直线在空间中的位置和方向。
但是，这种形式并不够简洁和直观，因此我们需要将其转化为标准方程的形式。
下面我们将介绍如何将直线的一般方程转化为标准方程。
首先，我们可以将直线的一般方程化简为参数方程的形式。
假设直线上的任意一点为P(x, y, z)，那么P点到A、B两点的距离分别为t和1-t（0≤t≤1），则P点的坐标可以表示为：x = x1 + (x2 x1)t。
y = y1 + (y2 y1)t。
z = z1 + (z2 z1)t。
这就是直线的参数方程形式，通过参数t的取值，我们可以得到直线上的任意一点的坐标。
接下来，我们将利用参数方程来推导直线的标准方程。
我们知道，直线上的任意一点P都满足直线的参数方程，即P(x, y, z) = (x1 + (x2 x1)t, y1 + (y2 y1)t, z1 + (z2 z1)t)。
我们可以将参数t表示为直线的标准方程的形式，即：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
通过对比参数方程和标准方程的形式，我们可以得到直线的标准方程为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
空间直线及其方程
例2、求通过点M（1.2.-2）且通过直线 的平面方程。 解： 由直线 L 的方程可知：
x2 z 2 L： 3 = y + 1 = 1
r 直线L的方向向量 . r s
uuuuur M（2.-1.2） ，平面的法向量垂直于 0 直线上一点 0 MM
及
r r i j k r uuuuur u r r r r ∴ n = MM 0 × S = 1 3 4 = i + 13 j + 10 k 3 1 1
∴ 所求的平面方程为
即
x =1+ 2 t 例3、求 平行于两直线 y =2 （t为参数）及 z =0
x 13 y 10 z + 5 = 0
( x 1) +13 ( y-2) +10 ( z+2 ) =0
y x2 z +1 = 2 = 1 且过点（0.-1.1）的平面方程. 3
解：所求的平面法向量同时垂直于两直线的方向向量 r r r
L 则： 1 // L 2
L1 ⊥ L 2
uu uu r r S 1 // S 2 ur ur s1 ⊥ s 2
p1 m1 n1 = n2 = p2 m2
m1 m 2 + n1 n 2 + p 1 p 2 = 0
当两条直线 L 1 、L 2相交时，设两条直线的夹角为 ，而方向 ur ur 向量s 1 、2 的夹角为 ，则 = θ 或 = π θ θ s
y y 0 zz 0 设直线L的方程为： x x 0 = = p m n
2、直线与平面的位置关系
Ax 平面π 的方程为： + By + Cz + D = 0
则有： L // π
L ⊥π
07 第七节 空间直线及其方程
第七节 空间直线及其方程分布图示★ 空间直线的一般方程 ★ 例1★ 空间直线的对称式方程与参数方程★ 例2 ★ 例3★ 直线的两点是方程★ 两直线的夹角 ★ 例4 ★ 例5★ 直线与平面的夹角 ★ 例6★ 平面束 ★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7-7 ★ 返回内容要点一、空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++.0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程：p z z n y y m x x 000-=-=- 三、两直线的夹角设},,{1111p n m s = ，},,{2222p n m s = 分别是直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 的夹角ϕ应是),(21s s 和-=-π),(21s s ),(21s s 两者中的锐角. 因此|),cos(|cos 21s s=ϕ. 仿照对于平面夹角的讨论可以得到下列结果. （1） 2222222121212121212121||||||||cos p n m p n m p p n n m m s s s s ++⋅++++=⋅⋅= ϕ； （2）21L L ⊥的充要条件是0212121=++p p n n m m ；（3）21//L L 的充要条件是.212121p p n n m m == 四、直线与平面的夹角（1）设直线的方向向量为},,{p n m s = ，平面的法向量},,,{C B A n = 直线与平面的夹角为ϕ，则 |),cos(|sin n s ∧=ϕ222222||p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=；（2）∏⊥L 的充要条件是;pC n B m A ==（3）∏//L 的充要条件是.0=++Cp Bn Am五、平面束通过空间一直线可作无穷多个平面, 通过同一直线的所有平面构成一个平面束. 设空间直线的一般方程为⎩⎨⎧=+++=+++.0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 则方程,0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ称为过直线L 的平面束方程, 其中λ为参数.注: 上述平面束包含了除平面02222=+++D z C y B x A之外的过直线L 的所有平面.例题选讲空间直线的对称式方程与参数方程例 1 求过点)5,2,3(-且与两个平面152=--z y x 和34=-z x 的交线平行的直线的方程.解 先求过点)5,2,3(-且与已知平面平行的平面,0)5(5)2()3(21=----+∏z y x : ,0)5(4)3(2=--+∏z x :即 ,033521=+--∏z y x : .:02342=+-∏z x所求直线的一般方程为:.⎩⎨⎧=+-=+--023403352z x z y x例2 (E01) 一直线过点),4,3,2(-A 且与y 轴垂直相交, 求其方程.解 因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B ,}4,0,2{==A B s所求直线方程.440322-=+=-z y x例3 (E02) 用对称式方程及参数方程表示直线 .043201⎩⎨⎧=++-=+++z y x z y x解 在直线上任取一点),,,(000z y x 例如,取10=x ⇒⎩⎨⎧=--=++063020000z y z y ⇒,00=y ,20-=z 得点坐标),2,0,1(-因所求直线与两平面的法向量都垂直,可取21n n s ⨯=},3,1,4{312111--=-=k j i对称式方程 ,321041-+=--=-z y x 参数方程 .⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z ty t x 3241两直线的夹角例4 (E03) 求过点)5,2,3(-且与两平面34=-z x 和z y x 52-- 1=的交线平行于的直线方程.解 设所求直线的方向向量为},,,{p n m s = 根据题意知,,21n s n s ⊥⊥ 取},1,3,4{51240121---=---=⨯=k j i n n s 所求直线的方程.153243-=-=+z y x例5 (E04) 求过点M (2, 1, 3)且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程. 解 先作一过点M 且与已知直线垂直的平面,∏,0)3()1(2)2(3=---+-z y x再求已知直线与该平面的交点,N 令t z y x =-=-=+12131.1213⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=t z t y t x 代入平面方程得,73=t 交点,73,713,72⎪⎭⎫ ⎝⎛-N 取所求直线得方向向量为,MN,724767123731713272⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，－，－，－－，－MN 所求直线方程为.431122－－－z y x =-=直线与平面的夹角例6 (E05) 设直线,21121:+=-=-z y x L 平面,32:=+-∏z y x 求直线与平面的 夹角ϕ. 解 },12,1{-=n },2,1,2{-=s222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ9622)1()1(21⋅⨯+-⨯-+⨯=.637=637arcsin =∴ϕ为所求夹角.平面束例7 (E06) 过直线⎩⎨⎧=+-=--+02062:z y x z y x L 作平面∏, 使它垂直于平面.02:1=++∏z y x 解 设过直线L 的平面束)(λ∏的方程为,0)2()62(=+-+--+z y x z y x λ 即.06)1()1(2)1(=--+-++z y x λλλ 现要在上述平面束中找出一个平面图,∏使它垂直于题设平面,1∏因平面垂直于平面,1∏故平面∏的法向量)(λn 垂直于平面1∏的法向量}.1,2,1{1=n于是,0)(1=⋅n n λ即.0)1()1(4)1(1=-+-++⋅λλλx 解得,2=λ故所求平面方程为.:0623=-+-z y x π容易验证，平面02=+-z y x 不是所求平面.例8 (E07) 在一切过直线L : ⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出平面∏, 使原点到它的 距离最长.解 设通过直线L 的平面束方程为,0)2()4(=++++++z y x z y x λ即.04)1()21()1(=++++++z y x λλλ要使2222)1()21()1(16)(λλλλ+++++=d 为最大, 即使31)32(6)1()21()1(2222++=+++++λλλλ为最小，得,32-=λ故所求平面∏的方程为 .012=++-z y x易知，原点到平面02=++z y x 的距离为.0故平面02=++z y x 非所求平面.课堂练习1.在直线方程pz n y m x +-==-6224中, m 、n 、p 各怎样取值时, 直线与坐标面xOy 、yOz 都平行.2.求直线⎩⎨⎧-=-=5272x z x y 与平面x z 3=的夹角ϕ和交点.。
空间直线及其方程(2)-精品文档
y1 z3 x 5 7
北京工商大学
此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为(1,5,7)
2011.2.6 8-6-12
空间直线及其方程
3x2yz 10 将 2x yz20 化为对称式方程.
法二 先求直线上一定点:以 z0 代入 ,
3 8 3 x2 y0 z 10 x ,y 7 7 xy0 z20 2
求直线与平面的交点时常用此。
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8-6-6
空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 ( x , y , z ), M ( x , y , z ) 设一直线过两点 M ， 1 1 1 1 2 2 2 2
x y y z z 1 1 1 则此直线的方程为: x (4)
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8-6-8
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相 ,
求其方程 .
z
解 交点为 B ( 0 , 3 ,0 ),
取s BA
( 2 ,0 ,4 ),
所求直线方程
.A
s
.B
x
O
y
x2 y3 z 4 . 2 0 4
方向向量.
( x ,y , z ) 设一直线过 M ， 0 0 0 0 ( m , n , p ), 其方向向量为的 s
z
s L sM
M0
y
O
求此直线方程。
x
一条直线可以有许多方向向量.
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8-6-3
空间直线及其方程
解 M ( x ,y , z ) L
空间直线的点向式方程
14 . 2
1 t . 2
二、空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0, 表示这两个 方程组 A2 x B2 y C2 z D2 0
s m , n , p n 1 n 2 3 1 5 1 2 3 7i 14 j 7k ,
i
j
k
因此所求的直线方程为
x 1 y 3 z 2 , 7 14 7
即
x 1 y 3 z 2 . 1 2 1
x 1 t, 例 4 求 直 线 y 2 t , 与平面 2x + y z 5 = 0 z 3 2t 的交点.
0
一、空间直线的点向式方程和参数方程
由两向量平行的充要条件可知
x x 0 y y0 z z 0 . m n p
方程组 ① 称为直线的点向式方 程或标准方程 (当 m，n，p 中 有一个或两个为零时， 就理解 为相应的分子是零).
①
z
s
L M
M0 y x
若直线 L 的方程为 x x0 y y0 z z 0 , m n p
解 令 z = 0 代入原方程得 x = 2， y = 0， 即点 ( 2, 0, 0 )在直线上. 因为 s 分别垂直于两平面的法向量 n1 = 1, 1, 2， n2 = 2, 1, 3. 所以
i j k
s n1 n 2 1
1 1 4i j 3k , 2 1 3
显然 P 点的坐标应 解 设所求交点为 P(x, y, z)， 同时满足已知的直线方程与平面方程. 解方程组
高等数学下第八章8.6 空间直线及其方程
垂
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n (2, 3, 1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
x 1 y 2 z 4 2 3 1
3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1 y C1z D1) 2 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
ns L
平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
︿
sin cos( s , n )
sn
Am Bn C p
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
s // n
(2) L //
sn
ABC mn p Am BnC p 0
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
51
50
50
例6.
求过直线L:
x5y z 0 xz40
且与平面
x 4y
8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
则
M (x, y, z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )