7(6)空间直线及其方程
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3 8 z 3 x 2 y 0 1 0 x ,y 7 7 z 2x y 0 2 0
因所求直线与两平面的法向量都垂直.
取 s n 1 n 2 ( 3 , 2 ,1 ) ( 2 ,1 , 1 ) ( 1 , 5 , 7 )
14
空间直线及其方程
例 求过点 M ( 2 ,1 , 3 )且与直线 垂直相交的直线方程.
x1 3
y1 2
z 1
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3 ( x 2 ) 2( y 1 ) 1 ( z 3 ) 0
.M
再求已知直线与该平面的交点N,
x 3t 1 x1 y1 z t y 2t 1 令 3 2 1 z t
2
z
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
2
1
A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 L A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
L
O
y
空间直线的一般方程
x
注 ( 1 ) A1、 B 1、 C 1与 A 2、 B 2、 C 2 不成比例 ; (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
直线 L 2 :
x1 1
y2 0
z3 1
且平行于
x2 2
y1 1
提示 n s 1 s 2 ( 1 , 0 , 1 ) ( 2 ,1 ,1 ) ( 1 , 3 ,1 )
点 (1 , 2 , 3 )
的平面方程为 ( ). 1 x 3y z 2 0
取所求直线的方向向量为 MN
12 6 24 1, 3 ) ( , , ) MN ( 2 , 7 7 7 7 7 7
N
直线方程为
x2 2
y 1 1
z3 4
想一想 还有别的方法吗?
16
空间直线及其方程
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之. （锐角）
直线 L 1 :
第六节
空间直线及其方程
(space right line)
空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程 与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
第七章 空间解析几何与向量代数
1
空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0
解令
x2 1
y3 1
z4 2
t
x 2 t y 3t z 4 2t
代入平面方程, 得
2 ( 2 t ) ( 3 t ) ( 4 2 t ) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2 , z 2 .
2
空间直线及其方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
1.对称式方程 一条直线可以有许多方向向量.
z
方向向量的定义 如果一非零向量平行于 一条已知直线, 这个向量称 为这条直线的 方向向量.
已知直线上点
s s M
M
0
L
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) O M ( x , y , z ) L , M 0 M // s x s ( m , n , p ), s 的三个坐标 m 、 n 、 p 称为
2
2
2
两直线的夹角公式
17
空间直线及其方程
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件)
L 1 : s 1 ( m 1 , n 1 , p 1 ), L2 : s2 ( m 2 , n2 , p2 )
(1 ) (2)
L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
//
L 2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
,
例 直线 L 1 : 直线 L 2 :
s1 s 2 0 ,
s 1 ( 1 , 4 , 0 ), s 2 ( 0 , 0 ,1 ),
s 1 s 2 , 即 L1 L 2 .
18
空间直线及其方程
直线 L 2 :
x x1 m1 x x2 m2
y y1 n1 y y2 n2
z z1 p1 z z2 p2
cos( L^L ) ,
1 2
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
m 2 n2 p2
由点法式方程即可得.
19
空间直线及其方程
x t 2 2.过点 ( 1 , 2 , 1 )且与直线 y 3 t 4 垂直的 z t1 平面方程是 ( x 3 y z 4 0 ). 提示 n ( 1 , 3 ,1 )
3. 过直线 L 1 :
x 3 7 1 5 y 8 7 z 7
2
3 8 于是得直线上的一定点 , , 0 , 7 7
s
n2
n1
对称式方程
s
L
1
11
空间直线及其方程
注意
两个对称式方程
x
x 1 3
y1 5
z3 7
8
y
怎么不一样
7
7 z 5 7
答: 实际上直线的对称式方程不唯一.
y
求 此 直 线 的 方 程
直线 L 的
方向数.
3
空间直线及其方程
因为 M 0 M ( x x 0 , y y 0 , z z 0 )
故 M 0 M //
x x0 m
s
y y0 n
y y0
z z0 p
z z0 p
t
直线的对称式方程 (点向式、标准式）
求其方程 .
z
,
解 交点为 B ( 0 , 3 , 0 ),
取 s BA
( 2 , 0 , 4 ),
.A
s
.B
x
wk.baidu.com
O
y
所求直线方程
x2 2
y3 0
z4 4
.
7
空间直线及其方程
x x0
各类直线方程的互换 m n 可将直线的对称式方程化为一般方程吗 注 可将对称式方程拆为一般方程
x y1 5 z3 7
s (1 ,5 ,7 )
10
此直线上一定点为 ( 0 , 1 , 3 ),方向向量为
空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 将 2x y z 2 0
化为对称式方程.
法二 先求直线上一定点: 以 z 0代入 ,
则直线的一个方向向量为:
M 1M
2
( x 2 x 1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
于是对称式方程可写成:
x x1 x 2 x1 y y1 y 2 y1 z z1 z 2 z1
6
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相交
1. 与直线
x 1 y 1 t z 2 t
及
x1 1
y2 2
z1 1
都平行且过原点的平面方程为( x y z 0 ).
提示 平面过原点
法向量 n ( 0 ,1 ,1 ) ( 1 , 2 ,1 ) ( 1 , 1 ,1 )
令
x x0
m n x x 0 mt 故 y y 0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
4
空间直线及其方程
x x0 m
过两点作直线
y y0 n
z z0 p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程. 解 向量 M 1 M 2 与直线平行
^ (s,n) 2
^ (s,n) 2
sin cos cos . 2 2
(当定点取得不同时对称式方程不同).
3 8 另外可验证, 两个点 ( 0 , 1 , 3 ), 7 , 7 , 0 ,
都满足这两个对称式方程, 过两点确定唯一的
一条直线, 因此这两个对称式方程表示同一条 直线.
12
空间直线及其方程
3. 直线的参数方程
设 x x0 m y y0 n z z0 p t
x1 0 y1 1 z1 1
y y0
z z0 p
如对称式方程为 可写成一般方程 又如
x1 0
x1 0 y 1 z 1 (即 y z 0 )
y1 0
z1 1
z
可写成一般方程
x 1 y 1
1 x
O
1
y
8
空间直线及其方程
(1) 3 x 2 y z 1 0 解 法一 (2) 2x y z 2 0 ( 1 ) ( 2 ) 可消去 z . 5x y 1 0 ( 1 ) 2 ( 2 ) 可消去 y . 7 x z 3 0
两个方程中, 每一个只有两个变量, 解出 共同的变量 x. 写成比例式, 即得对称式方程.
取 s M 1M
2
s
(1 ,4 , 2 )
· M · M
1
2
所求直线方程为
x1 1
y2 4
z3 2
5
空间直线及其方程
x x0 m
y y0 n
z z0 p
一般, 如直线过两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
N
15
空间直线及其方程
x 3t 1 将 y 2 t 1 z t
直线过点 M ( 2 ,1 , 3 )
代入 3 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) ( z 3 ) 0
得交点 N ( ,
2 13 3 7
t
3 7
2
,
)
.M
7 7
13 3
x x0 m t 故 y y0 n t z z pt 0
直线的参数方程 t 为参数 s (m , n, p)
上式何时有用 答:如求 直线与平面的交点.
13
空间直线及其方程
例 求直线
x2 1
y3 1
z4 2
与平面
2 x y z 6 的交点.
z
20
空间直线及其方程
4. 两直线
1 2 1 x y 6 与 L2 : 的夹角为 ( 2 y z 3
L1 :
x1
y5
z8
与
C
).
A.
提示 s 1 ( 1 , 2 ,1 )
6
B.
C.
D.
2
4
3
s 2 ( 1 , 1 , 0 ) ( 0 , 2 ,1 ) ( 1 , 1 , 2 )
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
两直线的夹角公式:
cos( L^L ) ,
1 2
m 2 n2 p2
2
2
2
21
空间直线及其方程
过已知直线外一点作直线与已知直线平行
例 求过点 ( 3 , 2 , 5 )且与两平面 x 4 z 3 和
2. 直线的一般方程化为对称式方程 (重要)
怎样将直线的一般方程 化为对称式方程
有两种方法
(1) 用代数的消元法化为比例式;
(2) 在直线上找一定点,再求出方向向量,
即写出对称式方程.
9
空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 化为对称式方程. 例 将 2x y z 2 0
22
空间直线及其方程
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的
夹角 称之.
L: x x0 m
0
y y0 n
2
s ( m , n , p ),
z z0 p
,
: Ax By Cz D 0 ,
n ( A , B , C ),
2 x y 5z 1
的交线平行的直线方程.
s ( m , n , p ),
解 设所求直线的方向向量为
s n1 , s n 2 , 取 s n 1 n 2 ( 4 , 3 , 1 ),
所求直线的方程
x 3 4 y 2 3 z5 1 .
因所求直线与两平面的法向量都垂直.
取 s n 1 n 2 ( 3 , 2 ,1 ) ( 2 ,1 , 1 ) ( 1 , 5 , 7 )
14
空间直线及其方程
例 求过点 M ( 2 ,1 , 3 )且与直线 垂直相交的直线方程.
x1 3
y1 2
z 1
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3 ( x 2 ) 2( y 1 ) 1 ( z 3 ) 0
.M
再求已知直线与该平面的交点N,
x 3t 1 x1 y1 z t y 2t 1 令 3 2 1 z t
2
z
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
2
1
A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 L A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
L
O
y
空间直线的一般方程
x
注 ( 1 ) A1、 B 1、 C 1与 A 2、 B 2、 C 2 不成比例 ; (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
直线 L 2 :
x1 1
y2 0
z3 1
且平行于
x2 2
y1 1
提示 n s 1 s 2 ( 1 , 0 , 1 ) ( 2 ,1 ,1 ) ( 1 , 3 ,1 )
点 (1 , 2 , 3 )
的平面方程为 ( ). 1 x 3y z 2 0
取所求直线的方向向量为 MN
12 6 24 1, 3 ) ( , , ) MN ( 2 , 7 7 7 7 7 7
N
直线方程为
x2 2
y 1 1
z3 4
想一想 还有别的方法吗?
16
空间直线及其方程
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之. （锐角）
直线 L 1 :
第六节
空间直线及其方程
(space right line)
空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程 与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
第七章 空间解析几何与向量代数
1
空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0
解令
x2 1
y3 1
z4 2
t
x 2 t y 3t z 4 2t
代入平面方程, 得
2 ( 2 t ) ( 3 t ) ( 4 2 t ) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2 , z 2 .
2
空间直线及其方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
1.对称式方程 一条直线可以有许多方向向量.
z
方向向量的定义 如果一非零向量平行于 一条已知直线, 这个向量称 为这条直线的 方向向量.
已知直线上点
s s M
M
0
L
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) O M ( x , y , z ) L , M 0 M // s x s ( m , n , p ), s 的三个坐标 m 、 n 、 p 称为
2
2
2
两直线的夹角公式
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空间直线及其方程
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件)
L 1 : s 1 ( m 1 , n 1 , p 1 ), L2 : s2 ( m 2 , n2 , p2 )
(1 ) (2)
L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
//
L 2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
,
例 直线 L 1 : 直线 L 2 :
s1 s 2 0 ,
s 1 ( 1 , 4 , 0 ), s 2 ( 0 , 0 ,1 ),
s 1 s 2 , 即 L1 L 2 .
18
空间直线及其方程
直线 L 2 :
x x1 m1 x x2 m2
y y1 n1 y y2 n2
z z1 p1 z z2 p2
cos( L^L ) ,
1 2
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
m 2 n2 p2
由点法式方程即可得.
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空间直线及其方程
x t 2 2.过点 ( 1 , 2 , 1 )且与直线 y 3 t 4 垂直的 z t1 平面方程是 ( x 3 y z 4 0 ). 提示 n ( 1 , 3 ,1 )
3. 过直线 L 1 :
x 3 7 1 5 y 8 7 z 7
2
3 8 于是得直线上的一定点 , , 0 , 7 7
s
n2
n1
对称式方程
s
L
1
11
空间直线及其方程
注意
两个对称式方程
x
x 1 3
y1 5
z3 7
8
y
怎么不一样
7
7 z 5 7
答: 实际上直线的对称式方程不唯一.
y
求 此 直 线 的 方 程
直线 L 的
方向数.
3
空间直线及其方程
因为 M 0 M ( x x 0 , y y 0 , z z 0 )
故 M 0 M //
x x0 m
s
y y0 n
y y0
z z0 p
z z0 p
t
直线的对称式方程 (点向式、标准式）
求其方程 .
z
,
解 交点为 B ( 0 , 3 , 0 ),
取 s BA
( 2 , 0 , 4 ),
.A
s
.B
x
wk.baidu.com
O
y
所求直线方程
x2 2
y3 0
z4 4
.
7
空间直线及其方程
x x0
各类直线方程的互换 m n 可将直线的对称式方程化为一般方程吗 注 可将对称式方程拆为一般方程
x y1 5 z3 7
s (1 ,5 ,7 )
10
此直线上一定点为 ( 0 , 1 , 3 ),方向向量为
空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 将 2x y z 2 0
化为对称式方程.
法二 先求直线上一定点: 以 z 0代入 ,
则直线的一个方向向量为:
M 1M
2
( x 2 x 1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
于是对称式方程可写成:
x x1 x 2 x1 y y1 y 2 y1 z z1 z 2 z1
6
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相交
1. 与直线
x 1 y 1 t z 2 t
及
x1 1
y2 2
z1 1
都平行且过原点的平面方程为( x y z 0 ).
提示 平面过原点
法向量 n ( 0 ,1 ,1 ) ( 1 , 2 ,1 ) ( 1 , 1 ,1 )
令
x x0
m n x x 0 mt 故 y y 0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
4
空间直线及其方程
x x0 m
过两点作直线
y y0 n
z z0 p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程. 解 向量 M 1 M 2 与直线平行
^ (s,n) 2
^ (s,n) 2
sin cos cos . 2 2
(当定点取得不同时对称式方程不同).
3 8 另外可验证, 两个点 ( 0 , 1 , 3 ), 7 , 7 , 0 ,
都满足这两个对称式方程, 过两点确定唯一的
一条直线, 因此这两个对称式方程表示同一条 直线.
12
空间直线及其方程
3. 直线的参数方程
设 x x0 m y y0 n z z0 p t
x1 0 y1 1 z1 1
y y0
z z0 p
如对称式方程为 可写成一般方程 又如
x1 0
x1 0 y 1 z 1 (即 y z 0 )
y1 0
z1 1
z
可写成一般方程
x 1 y 1
1 x
O
1
y
8
空间直线及其方程
(1) 3 x 2 y z 1 0 解 法一 (2) 2x y z 2 0 ( 1 ) ( 2 ) 可消去 z . 5x y 1 0 ( 1 ) 2 ( 2 ) 可消去 y . 7 x z 3 0
两个方程中, 每一个只有两个变量, 解出 共同的变量 x. 写成比例式, 即得对称式方程.
取 s M 1M
2
s
(1 ,4 , 2 )
· M · M
1
2
所求直线方程为
x1 1
y2 4
z3 2
5
空间直线及其方程
x x0 m
y y0 n
z z0 p
一般, 如直线过两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
N
15
空间直线及其方程
x 3t 1 将 y 2 t 1 z t
直线过点 M ( 2 ,1 , 3 )
代入 3 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) ( z 3 ) 0
得交点 N ( ,
2 13 3 7
t
3 7
2
,
)
.M
7 7
13 3
x x0 m t 故 y y0 n t z z pt 0
直线的参数方程 t 为参数 s (m , n, p)
上式何时有用 答:如求 直线与平面的交点.
13
空间直线及其方程
例 求直线
x2 1
y3 1
z4 2
与平面
2 x y z 6 的交点.
z
20
空间直线及其方程
4. 两直线
1 2 1 x y 6 与 L2 : 的夹角为 ( 2 y z 3
L1 :
x1
y5
z8
与
C
).
A.
提示 s 1 ( 1 , 2 ,1 )
6
B.
C.
D.
2
4
3
s 2 ( 1 , 1 , 0 ) ( 0 , 2 ,1 ) ( 1 , 1 , 2 )
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
两直线的夹角公式:
cos( L^L ) ,
1 2
m 2 n2 p2
2
2
2
21
空间直线及其方程
过已知直线外一点作直线与已知直线平行
例 求过点 ( 3 , 2 , 5 )且与两平面 x 4 z 3 和
2. 直线的一般方程化为对称式方程 (重要)
怎样将直线的一般方程 化为对称式方程
有两种方法
(1) 用代数的消元法化为比例式;
(2) 在直线上找一定点,再求出方向向量,
即写出对称式方程.
9
空间直线及其方程
3 x 2 y z 1 0 化为对称式方程. 例 将 2x y z 2 0
22
空间直线及其方程
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的
夹角 称之.
L: x x0 m
0
y y0 n
2
s ( m , n , p ),
z z0 p
,
: Ax By Cz D 0 ,
n ( A , B , C ),
2 x y 5z 1
的交线平行的直线方程.
s ( m , n , p ),
解 设所求直线的方向向量为
s n1 , s n 2 , 取 s n 1 n 2 ( 4 , 3 , 1 ),
所求直线的方程
x 3 4 y 2 3 z5 1 .