物理光学作业参考答案2

物理光学作业参考答案

[12-1] 双缝间距为lmm ，离观察屏1m ，用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ，问两种单色光的第10级亮条纹之间的间距是多少? 解：

杨氏双缝干涉场中亮条纹的位置由确定：m

d

D

x λ=

因此，两种单色光的第10级亮条纹之间的间距：

mm m d

D

m d

D x 3

3

12106101

10

1)0.5896.589()(?=???-=

-=

??=

?λλλ

[12-2] 在杨氏实验中，两小孔距离为lmm ，观察屏离小孔的距离为50cm ，当用一片折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时(见图)，发现屏上的条纹系统移动了0.5cm ，试决定试件厚度。 解：

已知条纹系统移动量为mm x 5=?

未贴薄片时，对应第m 级亮纹处两相干光间的光程差：

λ

ωm x D d x x ==

=?)(0 -------（1）

贴薄片后，对应第m 级亮纹处两相干光间的光程差：

λ

m x x h n =?+?+-=?)()1(0

即： λ

m x x D

d h n =?++-=?)()1( ---------（2）

由式（2）-（1），得： mm x D

n d h 2

10

72.15500

)158.1(1

)1(-?-=??--

=?--

=

式中负号表示条纹移动的方向。因此试件厚度为mm 21072.1-?

[12-3] 一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25个条纹，已知照明光波波长nm 28.656=λ，空气折射率000276

.10=n 。试求注入气室中气体的折射率。 解：

设气室长度为h ，当充以空气时，第m 级条纹对应的光程差：

λ

m =?0 -------------（1）

注入某种气体后，条纹系移动后对应的光程差：

λ)25()(00+=?+-=?m h n n ---------------（2） 由式（2）-（1），得注入气室中气体的折射率： 000823

.130

10

28.65625000276.1256

0=??+

=+

=-h

n n λ

[12-4] 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，透射光经透镜会聚到焦点上。玻璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面(见图)的直线发生光波波长量级的突变d ，问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。 解：

可将此问题等效为等光强双光束的干涉问题，当有突变时，C 点两侧光束间的光程差为：

d n )1(-=? 焦点光强为：

])1([

c o s 4)(

c o s 42

c o s

42

02

02

0d n I I I I -=?==λ

πλ

πδ

根据题意，有方程：

)

4

1(1

)41()1(2])1([

c o s 40

2

0+

-=

+

=-=-=m n d m d n I d n I I λπ

λ

πλ

π

其中，,......2,1,0±±=m

[12-6] 若光波的波长为λ，波长宽度为λ?，相应的频率和频率宽度记为v 和v ?，证明：

λ

λ

?=?v

v ，对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8102-?=?λ，求

频率宽度和相干长度。 证明：

（1） 因为 v

V VT =

=λ，其中V 是光波的速度，为常数。所以：V v =λ，对

此式微分，有：

0=?+?λλv v 所以：

λ

λ

?=?v

v

（2）对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8102-?=?λ，则：

频率宽度 ： Hz

C V v v 4

8

2

9

9

8

2

2

105.110

3)

108.632(10

10

2?=?????=

?=

?=

?=

?---λ

λ

λ

λ

λ

λ

相干长度： m 4

9

8

2

9

2

m a x 10210

10

2)

108.632(?≈???=

?=

?---λ

λ

[12-8] 在等倾干涉实验中，若照明光波的波长nm 600=λ，平板的厚度h=2mm ，折射率n=1.5，其下表面涂上某种高折射率介质(n H >1.5)，问(1)在反射光方向观察到的圆条纹中心是暗还是亮?(2)由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少?(观察望远镜物镜的焦距为20cm)(3)第10个亮环处的条纹间距是多少? 解：

本题考察的干涉条纹为平行平板产生的等倾圆条纹，两相干光束间的光程差为： （由题意知无附加程差） 1）对于圆条纹系的中心所对应的干涉级：

故中心为亮点，且q=0

2) 由中心向外第10个亮纹的干涉序数 N=11，因此第10个亮纹的角半径为：

第10个亮纹的半径为：

2cos

2θnh =?为整数）(101060025.1224

6

0=???==?=-λλnh m rad q N h n n 26'10107.601111026005.11111--?=+-??=+-=λθmm

f r 4.13107.6200210=??==-θ

3）第10个亮纹处条纹角间距

第10个亮纹处条纹间距为：

[12-9] 用氦氖激光照明迈克耳逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环，且中心是暗斑。然后移动反射镜M l ，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20环，此时视场内只有10个暗环，试求(1)M 1移动前中心暗斑的干涉级次(设干涉仪分光板G 1不镀膜)；(2)M l 移动后第5个暗环的角半径。 解：

1）由题意知迈克尔逊干涉仪中两相干光间的光程差为：

动镜M 1未移动时，视场中心为暗点，且有20个暗环，因此视场中心：

即：

-----------（1） 视场边缘处： 即：

------------（2）

动镜M 1移动后，暗环向中心收缩20个，中心仍为暗点，但视场中仅有10个暗环，因此视场中心： 即：

------------（3） 视场边缘处：

即： ------------（4）

由方程（1）～（4）得到： ------------（5）

另外由题意知：

------------（6）

由方程（5）～（6）解得： mm

f e 67.02

10

7.62106005.12002

6

=??????

=??=?--θh

n h n n 1012'22θλ

θλθ==?2

cos 2λ

θ+=?h λλ)21

(221+=+m h λ12m h =λ

λθ)21

20(2cos 21+-=+m h λθ)20(cos 21-=m h λλ)2

1(22'

1'+=+m h λ'

1'2m h =λλθ)2110(2cos 2'1'+-=+m h λ

θ)10(cos 2'1'-=m h 10

20'11'11--=m m m m 201'1-=m m 40

1=m

因此动镜移动前中心暗斑的干涉级次为 ：

2）M 1移动后，第5个暗环的角半径为：

因为：

所以：

[12-15] 假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为1λ和2λ的两个单色光波，

λλλ?+=12，且1λλ<

失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，(1)试求条纹可见度随光程差的变化规律；(2)相继两次条纹消失时，平面镜M 1移动的距离h ?；(3)对于钠灯，设1λ= 589.0nm 和2λ=589.6nm 均为单色光，求h ?值。

解：

1） 设迈克尔逊干涉仪的分光板G 1镀膜，因此两相干光间的光程差为：

视场中某点处（ 角）两单色光的强度分别为： 因此，考察点处总的光强度为：

所以，有：

根据定义，条纹可见度为：

5.402110=+=m m h N

n n N λθ'

1=rad

m h h

707.02

1102

5220551'

5==-=?-==λλλ

λλλθθcos 2h =?θ)]

2cos(1[2101?+=λπ

I I )]

2cos(1[22

02?+=λπ

I I )]

cos()cos(1[4212

12112021?+??-+=+=πλλλλπλλλλI I I I 2

,,212

2

112λλλλλλλλλ+==-=? )]2cos()cos(1[420????+=∴λπ

λ

λπI I )]cos(1[420??+=λ

λ

πI I M )]cos(1[42

0??-=λ

λ

πI I m

2）条纹消失，即 K=0 ,也即：

对于视场中心附近：

对此式等号两边微分，令1=?m 得：

3）对于钠灯，1λ=589.0nm 和2λ=589.6nm ，所以： mm nm h 289.010289.0)

0.5896.589(26.5890.5896

=?=-??=

?

[12-16] 图是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中D 1和D 2是两个长度为10cm 的真空气室，端面分别与光束I 和Ⅱ垂直。在观察到单色光照明(入=589.3nm)产生的干涉条纹后，缓慢向气室D 2充氧气，最后发现条纹移动了92个，(1)计算氧气的折射率；(2)若测量条纹精度为1／10条纹，求折射率的测量精度。

解：（1）

向气室D 2充氧气后，条纹移动了92个，说明两束光间的光程差变化了92λ。而光程差的变化等于2(n-1)L ，n 是氧气的折射率，L 是气室的长度，因子2是考虑到光线两次通过气室的结果。因此： λλδ92)1(2=??=-=?m L n 所以： 000271

.110

102103.589921212

9=????

+=?+=--L

m

n λ （2）如果条纹变化的测量误差为N ?，显然有： λ??=??N n L 2

λλλλ

λ

?=

?=

?222

12

h )cos(2

??=+-=λ

λ

πm M m M I I I I K 2

)12(2

π

λλπ+=??m h 2=?21

)

12(22+=?∴m h λλ

所以折射率的测量精度为： 7

2

910

9.210

110

102103.5892---?=?

???=

?=

?N L

n λ

[12-18] 将一个波长稍小于600nm 的光波与一个波长为600nm 的光波在F —P 干涉仪上比较，当F —P 干涉仪两镜面间距改变1.5mm 时，两光波的条纹就重合一次，试求未知光波的波长。 解：

考察F —P 干涉仪干涉场中心附近某处，对应于两个波长的干涉级差为：

2

1122

1

21)

(2)2(

)2(

λλλλπ

?λπ

?λ-=

+

-+

=-=?h h

h

m m m

当1=?m 时条纹重合，此时有：

1)

(22

112=-λλλλh ----------（1）

当2=?m 时条纹又重合一次，此时有：

2)

)((22

112=-?+λλλλh h ----------（2）

由方程（2）-（1），得： nm h

h

12.010

5.12)

600(226

2

2

2112=??≈

??=

??=-=?λ

λλλλλ

所以，未知光波的波长：

nm 88.59912.060021=-=?-=λλλ

[12-19] F —P 标准具的间隔为2.5mm ，问对于波长500nm 的光，条纹系中心的干涉级是多少?如果照明光波包含波长500nm 和稍小于500nm 的两种光波，它们的环条纹距离为1／100条纹间距，问未知光波的波长是多少？ 解：

（1） 条纹系中心的干涉级是：

4

6

010500

10

5.222=??=

=

λ

h

m

（2） 两种光波的波长差：

nm h e e 4

62

2

10510

5.2250010012-?=???=??=?λλ 所以，未知光波的波长是：

nm 9995.4990005.050021=-=?-=λλλ

[12-20] F —P 标准具两镜面的间隔为0.25mm ，它产生的1λ谱线的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是2mm 和3.8mm ，2λ谱系的干涉环系中第2环和第5环的半径分别是2.1mm 和3.85mm 。两谱线的平均波长为500nm ，求两谱线波长差。 解：

F-P 标准具中相邻光束间的位相差为：

因此，相邻光束间的光程差为：

设对于 谱线的干涉环系中心的干涉级为m0，则有：

---------(1)

自中心向外第 N 个亮环满足方程:

---------(2)

由以上两式(2)-(1)得:

由题设条件知第5环与第2环亮纹的半径平方之比:

所以，

同理,可求出相应于2λ谱线干涉环系中心干涉级的小数部分:

再考察视场中心,两波长环系中心干涉级分别满足:

---------（3）

---------（4）

由方程(3) 和 (4) ，得：

φθλπδ2cos 22+=h λπ

φ

θ+=?cos 2h 1λ111101)(2λλλπ

φq m m h +==+111)1(cos 2λλπ

φ

θ+-=+N m h N )

1(112

q N h

N +-=λθ1

11122252225141215)()(q q q q f f r r ++=+-+-==θθ149.028.38.32442222222525221=--?=--=∴r r r r q 27.01

.285.385

.31.2442

22

2222525222=--?=--=∴r r r r q 1111)(2λλπ

φq m h +=+2212)(2λ

λπ

φ

q m h +=+

所以，两谱线波长差：

[12-22] 在玻璃基片上(52.1=G n )涂镀硫化锌薄膜(38.2=n )，入射光波长为

nm 500=λ，求正入射时给出最大反射比和最小反射比的膜厚及相应的反射比。

解：

（1）由题设条件知题中涉及的是单层增反膜，当其光学厚度nh 满足下面条件时可获得最大反射比： 4

λ

=nh

即当膜厚： n m n

h 52.5238

.245004=?=

=

λ

时，

给出最大反射比： %333328.052.138.2152.138

.212

22

2

202

0max

≈=???

??

?

??+-=????

??

?

?

?+-

=G G n n n n n n ρ

（2） 而当光学厚度：

2

λ

=

nh

即当膜厚： nm

n

h 1052==

λ

时，

给出最小反射比： %40426.052.1152.112

2

0min ≈=??? ??+-=???

? ??+-=G G

n

n n n ρ

[12-23] 在玻璃基片上镀两层光学厚度为4/0λ的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，问为达到在正入射下膜系对0λ全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少?(玻璃基片折射率6.1=G n ) 解：双层膜全增透的条件为： 7.17076.10

.16.135.10

1

2≈=?

==n n n n G

2211212122)(2)2()2(λ

λ

λλλλπφλπφλ?=-=+-+=-h h h h q q nm

nm q q h 06.0106)149.027.0(10

25.02)

500()(22

6

2122=?=-??=-=?-λλ