求函数极值的若干方法

求函数极值的若干方法

摘要 函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用.很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题.本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子.

关键词：函数极值 充分条件 乘数法

1 一元函数极值问题

1.1 一元函数极值的定义

设函数()g x 在0x 的一个邻域内有定义,如果对于这个邻域内的不同于0x 的所有的x 都有以下不等式成立，即()()0g x g x <，那么我们就把()0g x 称为函数()g x 的极小值, 0x 就是()g x 的极小值点; 反过来，如果()()0g x g x >，那么我们就把()0g x 称为()g x 的极大值，0x 就是()g x 的极大值点.无论是函数的极小值还是极大值，我们都把它们叫做函数的极值.极值点有两类，分别为极小值点和极大值点. 1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法

1.2.1 二次函数：

在中学数学中我们曾讲了二次函数()2f x ax bx c =++的图象是一条抛物线, 从所学的图象中可以很清楚地分析出：

当0a >时，函数的图象抛物线开口向上, 它的纵坐标由递减变为递增，从而这个顶点的纵坐标就相当于极小值.

当0a <时, 函数的图象抛物线开口向下, 它的纵坐标由递增变为递减，从而这个顶点的纵坐标就相当于极大值.

因此, 想要求得二次函数()2f x ax bx c =++的极大值或者极小值只需要求得这个该函数的顶点坐标)(,x y 即可 ，于是用配方法将()2f x ax bx c =++写成如下形式

()2

2424b ac b f x a x a a -⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭，则该二次函数的顶点坐标是2

4,24b ac b a a ⎫-⎛-⎪ ⎝⎭.

当0a >时, 该坐标值()2

44ac b f x a -=就是极小值.

当0a <时，该坐标值()2

44ac b f x a

-= 即为极大值.

例1 某玩具厂生产某种儿童玩具，年产量为x 百件，总成本是()13f x x =+(万元)，其总收入为()2250.5f x x x =-，试求总利润为最大时最佳产量.

解 设()F x 为总利润，则()()()222150.530.543F x f x f x x x x x x =-=---=-+-

为一元二次函数的形式，则由上可知()44220.5b x a =-=-=⨯-，2

454ac b y a

-==，即当产量为4百件时，利润取得极大值5万元，此时极大值就是最大值.

1.2.2 一般函数

定理1：设函数()g x 在点0x 处是连续的，在0x 的某个邻域内是可求导的. (1)当()0;x U x δ-∈时，所有的x 都满足()0≤'x g ；当()0;x U x δ+∈时，所有的x 都满足()0g x '≥，如果上述两个条件都成立时，那么我们得出()g x 在0x 处可以取到极小值.

(2)当()0;x U x δ+∈时，所有的x 都满足()0g x '≥，而当()0;x U x δ-∈时，所有的x 都满足()0g x '≤，如果上述两个条件也都成立时，那么我们就可以得出()g x 在0x 处可以取到极大值.

(3)当()0;x U x δ∈时，()g x '的符号一直不会改变，即所有的()0;x U x δ∈都满足

()0g x '≥或所有的()0;x U x δ∈都满足()0g x '≤，那么在这种情况下，我们可以得出()g x 在点0x 不能取到极值.

定理2：设函数()g x 在点0x 处存在二阶的导数，如果()g x 满足()g x '=0且

()0g x ''≠，那么()g x 可以取到极值.

(1)当()00g x ''>时，则我们可以在点0x 取到极小值，0x 就叫做()g x 的极小值点. (2)当()00g x ''<时，0x 就叫做()g x 的极大值点，()g x 在点0x 可以取到极大值.

应该值得注意的是：如果出现()g x '=0且()0g x ''=的情形，那么这个时候如果我们还想着用上述定理2的方法去寻找极值就不满足了，以下的定理可以帮助我们解决.

定理3：设函数()g x 在0x 的某个邻域()0;x U x δ∈内存在着直到1n -阶的导函数，在点0x 处n 阶是可以求导的，并且成立()()00k g x =（1，2，…，1n -），()()00n g x ≠，那么,

(1)当n 为偶数的时候，()g x 在点0x 处可以取到极值，并且如果()()00n g x > 我们可以在点0x 处取到极小值，如果()()00n g x < 时，极大值在点0x 取到.

(2)当n 为奇数的时侯，在这种情况下()g x 在点0x 处的极值我们是取不到的. 例2：对于上述事例1，也可用微分法求得极值. 解 ()4F x x '=-+，令()0F x '=，那么4x =, 当4x >时， ()0F x '<, 当4x <时， ()0F x '>,

根据定理1，我们得出,()F x 在4x =的时候可以取到极大值,这个时候的极大值其实也就是我们所要求得的最大值.

例3：求函数()2cos x x h x e e x -=++的极值. 解 对原函数求一阶导得，

()2sin x x h x e e x -'=--，

令 ()0h x '=， 得到驻点，

0x =，

如果用定理1，我们无法判别，继续求导,有

()2cos x x h x e e x -''=+-，()0h x ''=,